314恒定磁场基本方程
恒定磁场3-2751534120100408101316
GG
v∫L B⋅ dl = ∫L B cosαdl
cosα dl = ρdφ
I
dφ
ρ
B
α
dl
v∫ ∫ ∫ G G
B ⋅ dl ==
L
2π μ0I ρdφ = μ0I ρdφ
0 2πρ
2πρ
2π
0
dφ
=μ0 I
说明：B的环量与环路的形状大小无关。
仅供自学参考
（3）安培环路不交链电流
GG
v∫L B ⋅ dl
=
∫L
B cosα dl
=
∫0 0
μ0I 2πρ
ρdφ
=
0
（4）安培环路与若干根电流交链源自v∫LG B⋅
G dl
=
μ0
∑
I
k
该结论适用于其它任何带电体情况。
强调：环路方向与电流方向成右手， 电流取正，否则取负。
仅供自学参考
对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培
环路定律得到 B 的解析表达式。
利用安培环路定理求磁场的前提条件：
v∫ G G
G
GG
∫ ∫ H ⋅ dl = I →
L
(∇ × H) ⋅ ds = J ⋅ dS
s
s
GG ∇×H=J
恒定磁场是有旋的
仅供自学参考
图示中 H1=H2 =H3 吗？它们的环量相等吗？
图3.2.19 H 的分布与磁介质有关
仅供自学参考
4. B与H的构成关系
实验证明，在各向同性的线性磁介质中
0
=
Bφ ρ2π
=
μ0I
'
=
μ0
Iρ2
R12
恒定磁场基本方程的微分形式为
恒定磁场基本方程的微分形式引言恒定磁场是指磁场中磁感应强度、磁场强度、磁场偏转角等参数在时间和空间上均保持不变的情况。
恒定磁场具有许多重要应用，例如电动机、发电机、磁共振成像等。
为了深入了解恒定磁场的基本方程，需要进行微分形式的推导和讨论。
恒定磁场基本方程在恒定磁场中，我们可以根据安培定律推导出磁场的基本方程。
安培定律表明，在闭合回路中，电流周围的磁场的环绕方向是闭合回路上的电流方向，其磁感应强度大小与电流大小成正比。
根据安培定律，我们可以得到恒定磁场的基本方程的微分形式：1. 电流元在磁场中受到的磁场力表达式为：dF =I (dl ×B )，其中dF 表示电流元受力的微元，I 表示电流，dl 表示电流元的微元长度，B 表示磁感应强度。
2. 根据叉乘的性质，可以得到上式的分量形式：{dF x =I(B z dy −B y dz)dF y =I (B x dz −B z dx )dF z =I(B y dx −B x dy)3. 利用矢量分析中的散度和旋度概念，可以进一步将上述方程转化为微分形式：{ ∂B x ∂x +∂B y ∂y +∂B z ∂z =0∂B x ∂t =0∂B y ∂t =0∂B z ∂t =0上述方程描述了恒定磁场的基本特性，其中第一个方程表示磁场的无源性，即磁感应强度的散度为零；后三个方程表示磁场随时间不变，即磁感应强度对时间的偏导数为零。
恒定磁场中的应用和意义恒定磁场具有许多重要的应用和意义，下面将从以下几个方面进行讨论：1. 电动机和发电机在电动机和发电机中，恒定磁场被用于产生磁场，从而实现电动机的旋转和发电机的电能转换。
利用恒定磁场的基本方程，可以对电动机和发电机的性能进行分析和优化。
2. 磁共振成像磁共振成像（MRI）是一种利用恒定磁场和变化磁场的共同作用原理进行医学影像诊断的技术。
MRI利用恒定磁场对人体组织中的原子核进行定向，然后通过应用变化磁场使原子核进入共振状态，进而通过检测共振信号获得影像信息。
3.3恒定磁场的基本方程
r
I I
得 H e
I I , B e 0 2r 2r
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
【例2】判断矢量函数 B Ay ex Ax ey 是否可能是某区域的磁感应 强度，如果是，求相应的电流分布。
【解】： 由于
Bx By Bz B 0 x y z
c
R (dl dl ) 4π c ' R3
d
0 I
c
4电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
（1）积分回路C不与电流回路相交链
0
C
c
B dl 0
I
A
B
C
（2）积分回路C与电流回路相交链
4 π
c
B dl 0 I
一、 磁通连续性原理
设 B 是由直流回路C产生的磁 B dS 感应强度，S 为一闭合曲面，则 S 0 磁感应强度 B 穿过S 的磁通量为
S
B 就是磁通量的面密
度，又称为磁通密度
4
c
Idl R dS 3 R
( A B) C A (B C)
B 0
2. 安培环路定律
c
B dl 0 I
B 0 J
3. 恒定磁场的基本方程
B dS 0
S
B 0
H dl I
l
H J
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
作业：P85 3-11、3-12
由
B d S BdV 0
恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
恒定磁场是有旋场，电流密度是磁场 的涡旋源
恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，没有磁荷的存在
积分形式：
l
H
dl
I
S B dS 0
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和
磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
物性方程： B H
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线S I
场量切向分量的衔接关系
n12
H dl l
l2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
d
t2
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
由场量闭合曲面的积分方程
场量法相分量的衔接关系
S B dS 0
n12
左面=
S2 B2 dS
S1 B1 dS
B dS
S3
S2
B2 n12S B1 n12S (B2n B1n )S 右面 0
工程电磁场——恒定磁场——第2讲
式（1）代入式（2）
Az y
dy
Az x
dx
dAZ
0
AZ const
第三章
4、由微分方程求 A
恒定磁场
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试 求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。
解: 采用圆柱坐标系，A A ez 且 A f ()
2 A1
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为:
Ax 4π
J xdV ; V R
Ay 4π
J ydV ; V R
Az 4π
J zdV V R
矢量合成后，得
JdV
Adl 0 ,
l
有 A1t A2t (1)
与
E dl 0 ,
l
E1t E2t
对比，
图 磁矢位 A 的衔接条件
第三章
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
恒定磁场
S A dS V AdV 0
当 L 0 时， A1nS A2nS 0, A1n A2n (2)
0a 2 J 2
e
a a
第三章
3.5.3 磁矢位与电位的比较
位 函 数 电位
比较内容
(有源或无源）
引入位函数依据 E 0
位与场的关系 微分方程
位与源的关系
E
Q
p E dl
2
dV
V 4πr
恒定磁场
磁矢位A
F1x x
F1y y
00 0
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式在物理学中，恒定磁场是指在一个空间中磁场强度（磁感应强度）的方向、大小均不改变的磁场。
在这样的磁场中，电荷粒子（如电子）会受到磁力的作用，从而发生运动。
要研究恒定磁场所产生的磁力，需要了解磁场的基本方程及微分形式。
尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）在1913年提出了氢原子的模型，通过对电子在氢原子中的运动轨迹进行研究，他发现电子在磁场中运动会受到磁力作用。
此后，物理学家们开始研究恒定磁场的基本方程。
首先，我们需要了解一个基本概念：磁感线。
磁感线是用来表示磁场分布的一种方法。
在恒定磁场中，磁感线是由磁场强度方向上的箭头表示的。
箭头的方向指向磁场强度向量的方向，箭头的长度表示磁场强度的大小。
基本方程如下：∇·B=0∇×B=μJ其中，B表示磁场强度，J表示电流密度，μ是磁导率（磁通量密度与磁场强度的比例系数），∇表示向量算符（它包括对空间位置的偏导数和一些其他操作），·表示数量积，×表示矢量积。
上面的第一个方程表明，恒定磁场中的磁场强度B是无源场，即没有电荷的存在，没有产生磁场强度B的源头。
这个方程也叫作高斯定理，它告诉我们磁感线是闭合的，但不可能有电荷单极子，是不存在单独的磁荷的。
第二个方程是安培定理，是描述电流所产生的磁场的通用规律。
它告诉我们，电流的变化可以产生磁场，也就是说，电流可以产生一个与其方向垂直的磁场。
在恒定磁场中，我们可以将安培定理简化为以下形式：∇×B=0这个方程表明，在恒定磁场中，磁场强度的旋度（旋转）为零，即恒场强是一种无旋场（没有涡旋构造），所以磁力线可以看作是平的曲线段。
通过对上述方程的整理和推导，我们可以得到恒定磁场的微分形式：∂Bx/∂x+∂By/∂y+∂Bz/∂z=0∂Bz/∂y-∂By/∂z=μJx∂Bx/∂z-∂Bz/∂x=μJy∂By/∂x-∂Bx/∂y=μJz其中，Bx、By、Bz分别表示磁场强度在x、y、z三个方向的分量，Jx、Jy、Jz分别表示电流密度在x、y、z三个方向的分量。
恒定磁场基本方程的微分形式为
恒定磁场基本方程的微分形式为恒定磁场基本方程的微分形式为什么重要？磁场是物理学中的一个重要概念，它与电场一起构成了电磁场。
在恒定磁场中，磁感线是直线或圆弧，而且磁感线的密度相等。
恒定磁场的基本方程可以用来描述磁场的性质和行为，因此它是理解和应用磁场相关知识的基础。
一、什么是恒定磁场？恒定磁场指在空间某个区域内，时间不变或者时间变化很缓慢，且空间各点处的磁感应强度大小、方向都不随时间改变或者改变很小。
在这种情况下，我们可以使用静电学类比来处理问题。
二、什么是恒定磁场基本方程？1. 定义根据安培环路定理（又称安培第二定律），在任何闭合回路上，通过该回路的电流总和等于该回路所包围区域内的总电流。
在恒定磁场中，该定理可以表示为：∮B·dl = μ0I其中B表示磁感应强度（单位：特斯拉），l表示回路的长度，I表示通过该回路的电流（单位：安培），μ0表示真空中的磁导率（单位：亨利/米）。
2. 微分形式根据斯托克斯定理，一个闭合曲线所包围的面积内的旋度等于该曲线沿着法向方向的环流密度。
在恒定磁场中，该定理可以表示为：∇×B = 0其中∇表示偏微分算子，×表示向量积运算。
将斯托克斯定理应用于一个无限小的闭合回路上，则有：∮B·dl = ∫(∇×B)·dS其中dS表示曲面元素面积。
由于恒定磁场中磁感应强度不随时间变化，因此我们可以将上式简化为：∇×B = 0这就是恒定磁场基本方程的微分形式。
三、为什么恒定磁场基本方程的微分形式重要？1. 描述磁场性质恒定磁场基本方程的微分形式可以用来描述恒定磁场的性质和行为。
它告诉我们，在恒定磁场中，任何一个点处的旋度等于零。
这意味着在任何一点处，磁场的方向是唯一的，因为不存在旋转的磁场线。
这也意味着磁场是无源场，即不存在产生磁场的电荷或电流。
2. 解决问题恒定磁场基本方程的微分形式可以用来解决一些与恒定磁场相关的问题。
恒定磁场的基本方程和边界条件
恒定磁场的基本方程和边界条件1. 嘿，你知道恒定磁场不？它的基本方程就像一把神奇的钥匙呢。
就好比你要打开一扇神秘的门，这方程就是开锁的关键。
高斯定理说通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。
比如说，你想象一个完全封闭的盒子，磁场线就像一些调皮的小虫子，它们进进出出这个盒子，但总体数量不会有变化，既不会凭空多出来，也不会无端消失。
这多有趣呀，感觉磁场就像一个有秩序的小世界。
2. 恒定磁场的安培环路定理也很厉害哦。
这就像在一个迷宫里找路，磁场强度沿着闭合路径的线积分等于穿过这个路径所围面积的电流的代数和的μ₀倍。
打个比方，假如电流是一群奔跑的小怪兽，磁场强度就是跟着它们跑的小尾巴。
你看那些电线里的电流在流动的时候，周围就会产生磁场，这个磁场就按照安培环路定理的规则存在着。
你说神奇不神奇？3. 那恒定磁场的边界条件又是怎么回事呢？这就像两个不同的国家之间的边境规则。
在两种不同磁介质的分界面上，磁场强度的切向分量是连续的。
就好像两个人在边境上握手，虽然两边的情况可能有些不同，但这握手的力度（切向分量）是一样的。
比如说，一块铁和空气的交界处，磁场强度的切向部分不会突然变个样。
4. 再说说磁感应强度的法向分量吧。
在两种磁介质的分界面上，磁感应强度的法向分量满足一定的关系。
这就像两个相邻的池塘，水面高度（类比法向分量）有一定的关联。
假如一个池塘里的水涨一点，另一个池塘也会受到影响。
就像在磁介质中，一边的磁感应强度的法向分量改变了，另一边也会跟着有相应的变化。
这是不是很像一种默契呢？5. 你可别小瞧这些恒定磁场的方程和边界条件啊。
它们就像魔法咒语一样，掌控着磁场这个神秘的魔法世界。
你想啊，如果没有这些规则，磁场就像一群没头的苍蝇，到处乱撞。
就像一个没有交通规则的城市，汽车到处乱开，那可就乱套了。
而这些方程和条件就是磁场世界的交通规则，让一切井井有条。
6. 我跟你讲，理解这些就像解开一个超级有趣的谜题。
就像玩拼图，每一块都很重要。
恒定磁场3-3_7515_341_20100408101407.
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
3-4 磁介质中恒定磁场的基本方程
式中
m
M
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
2 标量磁位的多值性
定义磁场中任意两点A、B之 间的磁压为
U mAB
B A
H d l mA mB
令B点为零磁位（ mB 0 ），则A点的磁位 mA 会因 积分路径的不同而数值不同. 要消除 mA 的有多值性，应规定所选的积分路径不 能与电流回路相交链。当然，标量磁位 mA 的有多值性 并不影响磁场强度 H的计算 .
标量磁位(单位：安培)
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
在非均匀介质中,引入磁荷的概念后，磁标位满足泊 松方程，即
m m
J m d S)
S
传导电流
分布电流
(
B
J m d S
S
M d S
S
M dl
B M
C
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
0
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
库仑规范
A 0 2 A 0 J
A 0
2
无源区域
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
四
标量磁位
1 标量磁位的定义
在自由电流等于零的区域内 J 0 H m H 0 H J
恒定磁场的基本方程
3
r
)dV
B 0 4
s
K(
r)( r r r3
r
)
dS
例1 试求无限长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系，取电流Idl
Z' dl
R
O
θ P dB
ρ
dl = dzez eR sinez + cose
dl eR dz cose R2 2 z2
反之，
tan2
0 1
tan1
1
r
tan1
0
2 0
它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么
在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。
实际上，如果铁磁物质侧的B与分界面平行，由
H2t
ห้องสมุดไป่ตู้
H1t ， B2
B2t
0H1t
0
B1t
1
B1
r
0 。既然B2＝0，
也就无所谓垂直或平行了。因此不管什么情况，
总可以认为：铁磁物质表面，空气侧的B 近似与分 界面垂直。
在分析磁场时，上述规律对于确定边界条件十 分有用。
直观感觉： 实验结果：
dB
Idl R?
dB
k
Idl eR R2
大小：
Idl k R2
方向：
I (r')
. R(r - r') dB P (r)
r'
dl eR
r
.
O(0, 0, 0)
磁感应强度 B
B 0 4
I 'dl eR l R2
恒定磁场基本方程及边界条件
0
M) d l I
H B M A/m
定义磁场强度 则有
L
0
Hd l I
H 与I 成右螺旋关系
说明: H 的环量仅与环路交链的自由电流有关;
环路上任一点的H 是由系统全部载流体产生的; 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链关系是否满足右手 螺旋，是为正，反之为负。
§4.3.2
恒定磁场基本方程
一、 一般形式的安培环路定律※
有磁介质时
Bd l
L
0
(I I m ) 0 I 0 J m d s
s
将 J m M 代入上式，得 移项后 L (
B
B
L
0
d l I ( M ) ds I M d l
M lim
V 0
m
i 1
n
i
单位：A/m 它是反映磁化程度的物理量。
V
5、磁化电流
体磁化电流
Jm M
面磁化电流
K m M en
6、结论
有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同 作用所产生的磁场。 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
二、磁偶极子与电偶极子对比
磁偶极子 磁偶极子受磁 场力矩而转动
2、磁偶极矩 将m=IdS 称为磁偶极矩。单位安培米² 3、磁化现象 磁偶极子在外磁场作用下发生旋转，其旋转方向使磁偶极矩方向 与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。
磁化现象的动态演示过程
4、磁化强度（Magnetization
Intensity）
将单位体积的磁偶极矩的矢量和，称为磁化强度。
《电磁场理论》
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式是指表达磁场变化率的一种方程形式，其中包括了磁场的旋度和磁场随时间变化的导数。
在电磁学领域中，磁场是一种非常重要的物理量，它与电场一起构成了电磁场，是电磁学理论的基础之一。
恒定磁场指的是磁场在时间上不发生改变的情况，因此可以将磁场看做是一个恒定的场。
对于恒定磁场，其基本方程可以表示为：
∇×B = μ0J
其中，B是磁场，J是电流密度，μ0是真空中的磁导率，∇×表示旋度运算符。
这个方程表达了磁场的旋度与电流密度之间的关系，可以通过旋度运算符来求解。
旋度运算符是一个矢量运算符，用于计算一个矢量场的旋度。
它将一个矢量场的偏导数进行了组合，并给出了一个新的矢量场。
在这个方程中，磁场的旋度表示了磁场的变化率，而电流密度则表示了磁场的来源。
这个方程告诉我们，如果我们知道了磁场的变化率和电流密度，就可以求解出磁场的分布情况。
如果我们考虑磁场随时间的变化，那么可以将上述方程进行扩展，得到恒定磁场基本方程的微分形式：
∇×E = -∂B/∂t
其中，E是电场，B是磁场，∂/∂t表示对时间的偏导数。
这个方程表示了电场的旋度与磁场随时间变化的导数之间的关系。
它告诉我们，如果我们知道了磁场随时间的变化率和电场的旋度，就可以求解出电场的分布情况。
恒定磁场基本方程的微分形式是电磁学中非常重要的一个方程形式。
它将磁场的变化率和电流密度联系起来，以及将电场的旋度和磁场随时间的变化联系起来，为电磁学理论的研究提供了重要的基础。
恒定磁场公式
恒定磁场公式恒定磁场是物理学中的一个重要概念，在我们的学习过程中，涉及到一系列的公式。
先来说说磁感应强度 B 这个家伙，它的定义式是 B = F / (IL) 。
这里面的 F 是磁场对电流元 IL 的作用力。
咱就说，有一次我在实验室里做实验，要测量一个小磁针在磁场中的受力情况。
那小磁针就像个倔强的小家伙，在磁场中左摇右摆，好不容易才稳定下来。
我紧紧盯着测力计上的读数，心里那个紧张啊，就怕出一点差错。
这就像我们在解题的时候，每一个数据都得小心翼翼地对待，不然得出的结果可就差之千里啦。
还有磁通量Φ，公式是Φ = BS 。
这个 S 指的是垂直于磁场方向的面积。
我记得有一次上课，老师拿了个巨大的线圈，然后用一块强磁铁在旁边晃悠，给我们演示磁通量的变化。
那磁铁一靠近，同学们的眼睛都瞪得老大，看着指针疯狂摆动，就好像在看一场精彩的魔术表演。
安培力的公式是F = BILsinθ ，这里的θ 是电流方向与磁场方向的夹角。
有一回我在做一道关于安培力的题目，怎么都算不对，急得我抓耳挠腮。
后来才发现，原来是我把角度给算错了，真是细节决定成败啊！洛伦兹力的公式是F = qvBsinθ ，这在研究带电粒子在磁场中的运动时可太重要了。
我曾经在科普视频里看到过关于粒子加速器的介绍，那些带电粒子在强大的恒定磁场中飞速旋转，遵循着这些公式所描述的规律，感觉真是神奇极了。
在学习恒定磁场公式的过程中，我深深地感受到，这些公式不仅仅是一堆枯燥的符号和数字，它们背后是神奇的物理世界。
就像我们通过一扇小小的窗户，窥探到了宇宙的奥秘一角。
有时候，我会想，要是没有这些公式，我们对于磁场的理解可能就像在黑暗中摸索，毫无头绪。
而有了它们，我们就像是有了指南针，能够在磁场的知识海洋中找到方向。
不过，学习这些公式可不能死记硬背，得理解它们的含义和适用条件。
不然，一遇到稍微复杂点的题目，就会像迷路的小羊羔，不知所措。
总之，恒定磁场的公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，多做练习，多观察生活中的相关现象，就一定能掌握它们，走进那个充满魅力的磁场世界！。
恒定磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围 形成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的 散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布 的特性，进而得出恒定磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
0 B 4
21:10:01
1 v ' J (r ) ( R )dV
2
1 2 1 ( ) (r r ') 4 R B 0 {0 J (r)[4 (r r ')]dV '} 0 J (r ) v' 4
将上式在空间的任意面积S上积分，S的边界为C，并利 用斯托克斯公式可得
1 已知： ( ) 0 和 J (r ) 0 R
磁场散度定理微分形式 由高斯散度定理，有
B 0
B d S BdV 0
S V
磁通连续性定律（积分形式）
2
20:28:09
5.2
S V
真空中磁场的基本方程
磁通连续性定律（积分形式）
B d S BdV 0
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 20:23:52 4 v ' R
1
5.2
R R R
已知： J (r ) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
第三章 恒定磁场3-7节
在矢量场中，要确定一个矢量，必须同时知道它的散 度和旋度。因此现在必须要规定的散度。为了简便，令： ∇ ⋅ A = 0 此式称为库仑规范。 则： 2 A = − µJ 上式为磁矢位满足矢量形式的泊松方程。它相 ∇ 当于三个标量形式的泊松方程。即：
∇ 2 Ax = − µJ x
∇ 2 Ay = − µJ y
∇ 2 Az = − µJ z
三、方程的解 上面三个方程的形式和静电场电位的泊松方程完全一样，因而解的形 式也应该一样，即 µ J x dV ' Ax = ∫ 4π V ' R
µ J y dV Ay = ∫ 4π V R
'
'
µ Az = 4π
J z dV ' ∫' R V
将上面三式合并，即得：
µ JdV ' A= ∫ 4π V R
二、互感 在线性介质中，由回路１的电流 I 1所产生而与回路２相交 链的磁链 ψ 21 和电流 I 1 成正比，即 ψ 21 = M 21 I1 ψ M 21 = 21 称为回路１对回路２的互感。
I1
同理 I 2 称为回路２对回路１的互感。 三、聂以曼公式 考虑两个由细导线构成的回路，设导线及周围媒质的磁导 率为 µ 0 。令回路１中通有电流 I 1 ，则回路１中电流 I 1 在 l 2处 产生的磁矢位为： µ 0 I 1 dl1 A1 = 4π ∫ R l1
B2 t
µ2
=K
H 如果分界面上无面传导面电流， 1t − H 2t = 0则说明 磁场强度的切向分量连续。 2．利用 ∫ B ⋅ ds = 0
− B1n ∆s + B2 n ∆s = 0
⇒ B1n = B2 n
.4 磁矢位
恒定磁场资料
4 V
r
4 V r
由于J是源点坐标 (x’,y’,z’)的函数， 而算符是对场 点坐标(x,y,z)求导
J=0
2024/7/19
第四章恒定磁场
12
因此，
B ( 0 J dV )
4 V r
根据定义可知
A 0 J dV
4 V r
磁感应强度B是唯一的，但的存在使得矢量磁位A
不是唯一的。
由B0，引入一个矢量A，满足B=A
A称为磁场B的矢量磁位，单位：韦伯/米（ Wb/m ）
由毕-萨定律可导出A的电流积分公式 ：
将
er 1
r2
r
(J) 1J J 1
rr
r
代入毕-萨定律
B 0 J er dV 0 J ( 1)dV
4 V r 2
4 V
r
0 ( J )dV 0 J dV
矢量场不仅要规定它的旋度，还必须规定它的散度。
由于A=Ax/x+Ay/y+Az/z，
而B=A与Ax/x、Ay/y、Az/z无关,
因此，A可以任意规定。每种规定称为一种规范。
在恒定磁场中,为了方便规定A=0，称为库仑规范 。
2024/7/19
第四章恒定磁场
13
4.3.2矢量磁位的边值问题
B=0
B=A
C1 r
不定积分求解，得
H
C2 r
由于r=0处H，故 C1=0
r=R处H1t=H2t ,即
J0R C2 2R
因此，导体内
H1
J0r 2
e
得
C2
J0R2 2
故导体外H 2
J0R2 2r
e
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稳恒磁场基本方程
稳恒磁场基本方程因磁场也是矢量场，在第一章中，我们知道，矢量场的基本性质可由它的散度和旋度方程描述。
下面我们导出磁场的基本方程。
由上一节，对于电流密度分布为J 在空间P (x )点产生的磁通密度为：3(()d 4V V r μπ'')⨯='⎰J x r B x用戴尔算符∇点乘上式两边，注意到积分是对源坐标变量，而戴尔算符是对场变量运算。
因此，我们有： 000333d d d 444V V V V V V r r r μμμπππ''''⨯'⨯∇=∇'=∇'='∇⨯'⎰⎰⎰J r J r r B J 又因为31()0r r ∇⨯=∇⨯-∇≡r 因此， ()0∇=B x 上式称为磁场中的高斯定理微分形式。
上式表明磁场的散度总是为零，即磁场不存在散度源。
磁场是一无散场。
磁通密度B 通过一有向面积s 的通量称为磁通，记为ψ。
则d sψ=⎰B s 磁通的单位为韦伯(Wb)。
正因为此定义，B 称为磁通密度。
由散度定理，我们得到：d 0s =⎰B s上式称为磁场中的高斯定理积分形式。
上式说明，稳恒磁场通过任一封闭面的总磁通总是零，即磁场是一管量场。
或说，磁场线总是闭合的，没有起点和终点。
此称为磁通连续性原理。
取磁通密度B 的旋度得：03(()d 4V V r μπ'')⨯∇⨯=∇⨯'⎰J x r B x 注意积分和算符∇的运算是对不同的变量，上式右边：0033002020(d d 441()d 4()d 4[()]d 41[()]d 4V V V V V V V V r r V r V r V r r V r r μμππμπμπμπμπ''''''')⨯'⨯∇⨯'=∇⨯'=∇⨯-'⨯∇''=∇⨯∇⨯'''=∇∇-∇'1=∇'∇-'∇'⎰⎰⎰⎰⎰⎰J x r J r J J J J J J 因为r = x – x '及11r r ∇=-∇'、214()r πδ∇=-r ，我们得： 0003000(d ()d d 4441()d d ()44V V V V V V V V r r V V r rμμμπδπππμμμππ'''''')⨯1∇⨯'=∇-'∇''+'4(-')''=∇-∇''+∇∇'''+⎰⎰⎰⎰⎰J x r J J x x J J J x 上式右边第一项可转为封闭面积分，因电流是局限在s '包围的体积V '内，此面积分为零。
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22
体电流分布： A 0 J (r ')dV '
4 V ' R
面电流分布： A 0 Js (r ')dS '
4 S ' R
线电流分布： A 0 I dl '
4 l ' R
电流元：
dA 0 Idl 4 R
电磁场与电磁波
23
A
0
4
A
0
4
JdV
V源 R源场 JS • dS
真空中，线电流回路C1、C2
C1对C2的作用力为F1-2
F12
C1
0 I 2dl2 (I1dl1 aR )
dl1
r1
dl2
R
r2
4 C2 C1
R2
O
电磁场与电磁波
C2
5
F12
0 4
C2 C1
I 2dl2
(I1dl1 aR )
R2
真空中磁导率 (Permeability)：
4 V ' R
矢量恒等式： (uF ) u F u F
( 1 ) J (r ') J (r ') 1 J (r ')
R
RR
B 0 J (r ')dV '
4 V '
R
J(r’)是源点的函数，此项计算为0
[ 0
J (r ')dV '] A
4 V ' R
A 0 J (r ')dV '
0I 2
ln
r0 r
B
a
0 I 2 r
电磁场与电磁波
27
例. 平行(双)传输线周围磁场？
传输线间距：2a
分析：
1. 矢量磁位的方向 2. 磁通密度的方向
I
I
3. 如何建立柱座标系？
y
P(r , ,0)
电磁场与电磁波
r2
r r 1
x
aa
28
利用上题结果：“长直导线周围的磁位”
A1
aI I1
0 4 10 7 (H / m)
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
0
4
1 9 109
8.851012(F
/ m)
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
6
2.磁感应F1强2 度4C20、I2Cd2磁Cl12I通2dl4密20 度(CRI1 1I2d1ld1lR1 2a
R)
dB
0 4
Idl R2 (az aR )
0 4
Idl sin
R2
a
R
Idl
——“毕奥-沙伐”定理的微分形式
电磁场与电磁波
10
3. Biot-Savart’s Law
1. 微分形式 2. 积分形式
B
dB
0
4
0I 4 C
Idl
sin
R2
dl aR
R2
a
线电流
B 0
已经得到 2 A 0J B 0J 真空中安培环路定律的微分形式
任意端面作积分，并用Stoke’s Law
B • dl C
S B • dS 0
S J • dS 0 I
真空中安培环路定律的积分形式
电磁场与电磁波
31
“电”、“磁”对比
•E 0 E 0
E • dS Q
S
0
J aR dV V R2
体电流
场分布对称时
安培环路定律
B • dl 0I
C
电磁场与电磁波
16
例. 电流环在轴线上的磁感应强度
已知: 半径a和电流I
直接求解. B
dB
0
Idl
a
(I
a
Sd )
4
R
a
z
R
cos
ar
R
sin
C
I源dl源 R源2 场
aR
闭合 环路C
a
z
P(0,0,z)
0 2
ln
r0 r
方向？
空 间任意一点P处的磁位：
y
P(r , ,0)
r2
r r1
x
A A1 A2
a
az I
0 2
ln
r0 r1
azI
0 2
ln
r0 r2
a
A
az
0 2
I
ln
r2 r1
....ln
a2 a2
r r
2 2
2ar 2ar
cos cos
ez
aR
I 2dl2 B
C2
B
0
I1dl1 aR
4 C1 R 2
电磁场与电磁波
7
磁通密度、磁场感应强度: B
——“毕奥-沙伐”定理的积分形式
任何直流电流回路在周围空间的磁场分布
aB
B 0
4
C
I源dl源 R2
源场
aR
Idl
R
磁感应强度单位：
1. T (特[斯拉])：Tesla
2. Wb/m2 (韦[伯]/ 米2)
I
2
R12
应用安培环路定律,得
B dl l
2
0
Bd
0
I 2
R12
B
0 I 2R12
e
33
2) R1 R2
2
B dl
l
0
Bd 0I
B
0 I 2
e
(2)
3 ) R2 R3, 这时穿过半径为 的圆面积的电流为
I I
I
2
R32
R22 R22
I
R32 R32
2
R22
应用安培环路定律，得
4
'
J (r ') aR R2
d
'
体电流
电磁场与电磁波
B 0
4
S'
JS
(r ') aR R2
dS
面电流
11
4.受力
F l Idl B
dF Idl B (dq)(vdt) B dqv B dt
洛伦兹力
F qv B
F合 qE qv B
电磁场与电磁波
12
5. 恒定磁场散度方程的微分形式
对于体电流分布
B 0 4
V
'
J
(r ') R2
aR
dV
'
• B 0 • J (r ') aR dV '
4 V '
R2
aR 1
R2
R
• B 0 •[ 1 J (r ')]dV ' •(F G) G • F F •G
4 V '
R
•[ 1 J (r ')] J (r ') • 1 1 • J (r ')
2 A 0J (r ) 矢量磁位的泊松方程
2 Ax 0 J x
Ax
0 4
J x dV ' V' R
2 Ay 0 J y
Ay
0 4
J y dV ' V' R
2 Az 0 J z
联想 2
的解
Az
0 4
J z dV ' V' R
0
电磁场与电磁波
25
2
0
1
4 0
V源
R源场
dV
类比写出：A*
电磁场与电磁波
8
对于电流元 Idl ，dB 为
dB
0 4
I源dl源
R源2 场
aR
—电流元产生的“磁场”
对比记忆
dE14 0dq源 R源2 场aR
—电荷产生的“电场”
电磁场与电磁波
9
dB
0 4
I源dl源大 a小R 、方向
R源2 场
大小？ 方向：“右手螺旋”
az
a
aR
——电流在某处产生磁场
R S源
源场
A
0I
4
dl
R C源 源场
dA
0 Idl
4R源场
引入矢量磁位的好处？
矢量磁位的方向？
可以使运算变得较简单：
• 与电流同向 • 有时与电流元成简单的线性关系 • 二阶偏微分方程常可分解成标量泊松方程形式
电磁场与电磁波
24
矢量磁位的微分方程
可以证明矢量磁位满足以下微分方程（毕德显p.246）
第3章 恒定磁场
引言——源——电流密度 恒定磁场的基本方程
矢量磁位 恒定磁场中的介质 边界条件 电感 磁场能量和磁场力*
电磁场与电磁波
1
什么是恒定磁场？
电流: 电荷在电场作用下的宏观定向运动。 恒定电流(直流): 不随时间变化的电流。 恒定磁场: 导体中有恒定电流通过时，在导体 内部不仅有恒定电场，还有不随时间变化的磁 场，即恒定磁场。 恒定磁场和静电场、恒定电场是性质完全不同 的场，但在分析方法上有许多共同之处。 同前类似，从有关的试验定律出发，引出数学 描述——恒定磁场基本方程。
)3 / 2
ex
电磁场与电磁波
19
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • dS A • dS A• dl
S
S
C
dA
0 Idl
4R源场
电磁场与电磁波
20
§3.2 矢量磁位(Vector Magnetic Potential)