可微性的几何意义及应用
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过切点 P 与切平面垂直的直线 称为曲面在点 P 的法线. 由切平面方程知道，法向量为
r n ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0, y0 ), 1 ),
于是过切点 P 的法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
z
定义 3 设曲面 S 上一点P,
P•
Π 为通过点 P 的一个平面,
S 上的动点 Q 到定点 P
O
dh Q•
S
和到平面Π 的距离
x
y
分别记为 d 和 h.
图 17 - 3
若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有 h 0, d
则称Π为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点.
定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面 的充要条件是
二元函数全微分的几何意义: 当自
当自变量由 ( x0 , y0 ) 变为 ( x0 x, y0 y) 时, 函
数 z f ( x, y ) 的增量 z 是 z 轴方向上的一段 NQ;
而在点( x0 , y0 ) 的全微分 dz
dz fx ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y,
| S | 0. 13.
又因
S 1 absinC 1 12.50 8.30 1 25. 94,
2
2
2
所以 S 的相对误差限为
S 0.13 0. 5 %. S 25.94
§1 可微性与偏导数
一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用
返回
四、可微性的几何意义及应用
若一元函数 y f ( x) 可微， 我们把平面曲线 S
在其上某一点 P( x0 , y0 ) 的切线 PT 定义为
S
过点 P 的割线 PQ，
当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置
z z0 2a x0( x x0 ) 2b y0( y y0 ).
又因 z0 a x02 b y02 , 所以它可化简为
2a x0 x 2b y0 y z z0 0.
由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . 2a x0 2b y0 1
例8 应用公式 S 1 ab sinC 计算某三角形的面积, 2
现测得 a 12.50, b 8.30, C 30o. 若测量 a, b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1o, 试求用此公式
计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
解 依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为 | a | 0.01 , | b | 0.01 , | C | 0.1o . 1800
Q• T
• P
PQ 与 PT 的夹角 也将随 Q →P 而趋于 0
用 h 表示点 Q 到直线 PT 的距离 ，
用d 表示点 Q 到点 P 的距离，
由于
sin
h ,
d
因此当 Q 沿 S 趋于 P 时,
0 等同于 h 0.
d
S
Q
h
d
T
•
P
图 17 - 2
我们引进曲面 S 在点 P 的 切平面的定义.
由于 | S | | dS | S a S b S C a b C
S | a | S | b | S | C |
a
b
C
1 | bsinC | | a | 1 | a sinC | | b |
2
2
1 | abcosC | | C |, 2
因此将各数据代入上式, 即得 S 的绝对误差限为
近似计算和误差估计：
例7 求 1. 08 3. 96 的近似值. 解 设 f (x, y) x y,
并令 x0 1, y0 4, x 0.08, y 0.04. 由公式 (3)，有
1. 08 3. 96 f ( x0 x, y0 y) f (1,4) fx (1,4)x f y(1,4)y 1 4 0.08 14 ln1(0.04) 1. 32.
于是, z 与 dz 之差是 MQ 那一段，它的长度将随着
0 而趋于 0, 而且是较 高阶的无穷小量.
例6 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
解：fx ( x0, y0 ) 2a x0 , f y ( x0, y0 ) 2b y0, 由公式 (13), 在点 P 处的切平面方程为
函数 f 在点P0( x0 , y0 ) 可微.
定理 17.4 说明: 函数在点 P0( x0, y0 ) 可微, 则曲面
z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, z0 ) 处的切平面方程为 z z0 fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ).
z
S •Q •Q2
则是切平面 PM1MM2 上
Q1•
M1•
•PLeabharlann Baidu
•M •M 2 • N2
相应的那一段增量 NM.
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
z
S •Q •Q2
Q1•
M1•
•P
•M •M 2 • N2
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
r n ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0, y0 ), 1 ),
于是过切点 P 的法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
z
定义 3 设曲面 S 上一点P,
P•
Π 为通过点 P 的一个平面,
S 上的动点 Q 到定点 P
O
dh Q•
S
和到平面Π 的距离
x
y
分别记为 d 和 h.
图 17 - 3
若当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 P 时, 恒有 h 0, d
则称Π为曲面 S 在点 P 的切平面, 称 P 为切点.
定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面 的充要条件是
二元函数全微分的几何意义: 当自
当自变量由 ( x0 , y0 ) 变为 ( x0 x, y0 y) 时, 函
数 z f ( x, y ) 的增量 z 是 z 轴方向上的一段 NQ;
而在点( x0 , y0 ) 的全微分 dz
dz fx ( x0, y0 ) x f y ( x0, y0 ) y,
| S | 0. 13.
又因
S 1 absinC 1 12.50 8.30 1 25. 94,
2
2
2
所以 S 的相对误差限为
S 0.13 0. 5 %. S 25.94
§1 可微性与偏导数
一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用
返回
四、可微性的几何意义及应用
若一元函数 y f ( x) 可微， 我们把平面曲线 S
在其上某一点 P( x0 , y0 ) 的切线 PT 定义为
S
过点 P 的割线 PQ，
当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置
z z0 2a x0( x x0 ) 2b y0( y y0 ).
又因 z0 a x02 b y02 , 所以它可化简为
2a x0 x 2b y0 y z z0 0.
由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . 2a x0 2b y0 1
例8 应用公式 S 1 ab sinC 计算某三角形的面积, 2
现测得 a 12.50, b 8.30, C 30o. 若测量 a, b 的误 差为 0.01, 测量 C 的误差为 0.1o, 试求用此公式
计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限.
解 依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为 | a | 0.01 , | b | 0.01 , | C | 0.1o . 1800
Q• T
• P
PQ 与 PT 的夹角 也将随 Q →P 而趋于 0
用 h 表示点 Q 到直线 PT 的距离 ，
用d 表示点 Q 到点 P 的距离，
由于
sin
h ,
d
因此当 Q 沿 S 趋于 P 时,
0 等同于 h 0.
d
S
Q
h
d
T
•
P
图 17 - 2
我们引进曲面 S 在点 P 的 切平面的定义.
由于 | S | | dS | S a S b S C a b C
S | a | S | b | S | C |
a
b
C
1 | bsinC | | a | 1 | a sinC | | b |
2
2
1 | abcosC | | C |, 2
因此将各数据代入上式, 即得 S 的绝对误差限为
近似计算和误差估计：
例7 求 1. 08 3. 96 的近似值. 解 设 f (x, y) x y,
并令 x0 1, y0 4, x 0.08, y 0.04. 由公式 (3)，有
1. 08 3. 96 f ( x0 x, y0 y) f (1,4) fx (1,4)x f y(1,4)y 1 4 0.08 14 ln1(0.04) 1. 32.
于是, z 与 dz 之差是 MQ 那一段，它的长度将随着
0 而趋于 0, 而且是较 高阶的无穷小量.
例6 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
解：fx ( x0, y0 ) 2a x0 , f y ( x0, y0 ) 2b y0, 由公式 (13), 在点 P 处的切平面方程为
函数 f 在点P0( x0 , y0 ) 可微.
定理 17.4 说明: 函数在点 P0( x0, y0 ) 可微, 则曲面
z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, z0 ) 处的切平面方程为 z z0 fx ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ).
z
S •Q •Q2
则是切平面 PM1MM2 上
Q1•
M1•
•PLeabharlann Baidu
•M •M 2 • N2
相应的那一段增量 NM.
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
z
S •Q •Q2
Q1•
M1•
•P
•M •M 2 • N2
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)