高中-数学-人教版(2014秋)-6.4.3 余弦定理、正弦定理同步练习(一)

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6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

新教材高中数学6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理学案新人教A版必修第二册

第1课时余弦定理考点学习目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( ) (5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( ) A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6.已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________．解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3. 答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.(2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值．解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ，显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断△ABC 的形状．【解】将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C .由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2. 所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ，所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ，所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cosA ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c 2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝b c .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.② 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.。

人教版高中数学必修第二册6.4.3.3 余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例同步精练【考点梳理】考点一．几个专业术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ考点二距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理考点三高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC ＝a ，∠BCA ＝C ，AB ＝a ·tan C .底部不可达点B 与C ，D 共线测得CD ＝a 及C 与∠ADB 的度数.先由正弦定理求出AC 或AD ，再解三角形得AB 的值.点B 与C ，D 不共线测得CD ＝a 及∠BCD ，∠BDC ，∠ACB 的度数.在△BCD 中由正弦定理求得BC ，再解三角形得AB 的值.【题型归纳】题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题1．（2021·江苏宿迁·高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos sin b c A Ba c B A-=-，则ABC的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos a b C =，则ABC 的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形3．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题4．（2021·天津市实验中学滨海学校高一期中）在锐角ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()12cos c b A =+，则ab的取值范围是（）A ．()1,3B ．()2,3C ．()2,2D ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23a =，且ABC 的面积2222()2S b c a =+-，则ABC 周长的最大值是（）A ．6B ．623+C ．43D ．636．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足2c =，cos sin a C c A =的三角形ABC 有两个，则边BC 的长度的取值范围是（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()3,2D ．()2,2题型三：几何图形中的计算7．（2021·重庆市育才中学高一期中）如图所示，在平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，2AD =，27BD =，23πBAD ∠=，则ABC 的面积为（）A ．73B ．33C ．143D ．638．（2021·安徽合肥·高一期末）如图，设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()cos co 3s 2sin a C c A b B +=，且.3CAB π∠=若点D 是ABC 外一点，1,2DC DA ==，则下列说法中错误的是（）A ．ABC 的内角3B π=B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 面积无最大值D ．四边形ABCD 面积的最大值为5324+9．（2021·辽宁·高一期末）在ABC 中，已知45B =︒，D 是BC 边上一点，如图，75,1,7BAD DC AC ∠=︒==，则AB =（）A ．5B ．6C ．2D ．3题型四：求三角形面积最值或者范围问题10．（2021·四川新都·高一期末）设锐角ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()1cos 3sin c A a C +=，2b =，则ABC 的面积的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．3,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,2311．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积2222221[()]42c a b S c a +-=-．若2b =，sin 2sin a B b C =，则△ABC 面积的最大值为（）A ．13B ．23C ．43D ．6312．（2021·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为（）A ．83B ．43C ．23D ．3题型五：正、余弦定理和三角函数综合问题13．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高一阶段练习）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（）A ．33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦14．（2021·江苏省苏州实验中学高一阶段练习）在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C =2，AC 边上的高为3，则∠ABC 的最大值为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π15．（2021·广东·深圳中学高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos B a bC c-=，1c =，则22a b ab ++的取值范围为（）A ．1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(1,3]C ．5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．7,33⎛⎤ ⎥⎝⎦题型六：测量距离问题16．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C ，D 两个观测点，并在C ，D 两点处分别测得塔顶的仰角分别为45︒和60︒，且60BDC ∠=︒，则此建筑物的高度为（）A ．103米B ．53米C ．10米D ．5米17．（2021·河北邢台·高一阶段练习）一艘船航行到点B 处时，测得灯塔A 在其西北方向，如图，随后该船以20海里/小时的速度，按北偏东15的方向航行两小时后到达点C ，测得灯塔A 在其正西方向，此时船与灯塔A 间的距离为（）A ．203海里B ．403海里C ．206海里D ．406海里题型七：测量高度问题18．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）在高40m 的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为（）A ．340(1)3+m B ．40(13)+mC ．20(62)+mD ．40(62)+m19．（2021·全国·高一课时练习）如图，地平面上有一根旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP=30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（）A ．20（32-）mB ．204-2mC ．204-3m D ．10（32+）m题型八：测量角度问题20．（2021·江苏·南京市宁海中学高一阶段练习）如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45︒，若50m CD =，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（）A ．33B ．62-C ．31-D ．21-21．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45°.已知此山的高1km PO =，小车的速度是20km/h ，则cos AOB ∠=（）A ．338-B ．58-C ．34-D ．104-题型九：正、余弦定理在几何中的综合性问题22．（2021·广东·中山市第二中学高一阶段练习）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，求ABC ∆周长的取值范围.23．（2021·重庆市江津中学校高一阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =，7cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求 ABD △周长的最大值.24．（2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一阶段练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，3b =，求2a c -的取值范围.【双基达标】一、单选题25．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，有四座城市A ，B ，C ，D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ，C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发，以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km26．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）如图所示，为了测量湖中A 、B 两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D 处测量发现A 亭子位于西偏北75︒，B 亭子位于东北方向，乙测量员在C 处测量发现B 亭子位于正北方向，A 亭子位于西偏北30°方向，则A ，B 两亭子间的距离为（）A ．503米B ．1003米C ．506米D ．1006米27．（2021·全国·高一课前预习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知此山的高1km PO =，小车的速度是20km/h ，则cos AOB ∠=（）A ．338-B ．58C ．34-D ．104-28．（2021·全国·高一课前预习）今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，A 点，正北方向的C 市受到台风侵袭，一艘船从A 点出发前去实施救援，以24 n mile/h 的速度向正北航行，在A 处看到S 岛在船的北偏东15︒方向，船航行3h 4后到达B 处，在B 处看到S 岛在船的北偏东45︒方向.此船从A 点到C 市航行过程中距离S 岛的最近距离为（）A ．92 n mile/hB ．()921n mile/h -C ．()931 n mile/h-D ．()932 n mile/h-29．（2021·全国·高一课时练习）为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若MA ⊥平面ABC ，NB ⊥平面ABC ，60m AC =，703m BC =，3tan 4MCA ∠=，14cos 15NCB ∠=，150MCN ∠=，则塔尖MN 之间的距离为（）A ．7510mB ．753mC ．757mD ．75m30．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45︒，且A ，B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为（）A ．(1533)m +B ．(30153)m +C ．(30303)m +D ．(15303)m+31．（2021·全国·高一课时练习）在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为（）A ．200mB ．300mC ．400mD ．1003m32．（2021·安徽·安庆九一六学校高一阶段练习）空中有一气球，在它的正西方A 点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B 点，测得它的仰角为30°，若A 、B 两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离CD 是（）A ．26677米B ．2667(1)7+米C ．266米D ．2667米33．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2sin22C a ba-=，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形34．（2021·江苏·泰州中学高一期中）泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物AB ，高为()15315m -，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算泰州基督教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m【高分突破】一：单选题35．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形36．（2011·河南卫辉·高一期末）若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则△ABC()A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形37．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（）A ．12B ．32C ．33D ．3638．（2021·上海·高一专题练习）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150的等腰三角形D ．顶角为120的等腰三角形39．（2020·辽宁·沈阳二中高一期末）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75的扇形，点,,A B C 分别是半径,OP OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于,,O P Q 三点）,则ABC ∆周长的最小值是（）A ．612+B ．622+C ．2614+D ．2624+40．（2021·浙江·高一单元测试）如图，在ABC 中，∠BAC =23π，点D 在线段BC 上，AD ⊥AC ，14BD CD =，则sin C =（）A ．714B ．2114C ．77D ．21741．（2021·江苏·扬州中学高一期中）在ABC 中，2cos22B a cc+=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC 的形状为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形42．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则sin sin AB的取值范围是（）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭二、多选题43．（2021·江苏·高邮市第一中学高一阶段练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B Ð，C ∠的对边，下列叙述正确的是（）A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=44．（2021·河北·沧州市一中高一阶段练习）如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =，则A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积最大值为5332+D ．四边形ABCD 面积最小值为5332-45．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且3BD =，则下列说法正确的是（）A ．ac 的最小值是4B ．ac 的最大值是4C ．3a c +的最小值是323+D ．3a c +的最小值是423+46．（2021·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）在ABC 中，若3B π=，角B 的平分线BD 交AC 于D ，且2BD =，则下列说法正确的是（）A ．若BD BC =，则ABC 的面积是332+B ．若BD BC =，则ABC 的外接圆半径是22C ．若BD BC =，则312AD DC +=D ．AB BC +的最小值是833三、填空题47．（2020·安徽省岳西县店前中学高一开学考试）如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．48．（2021·上海·高一期中）在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A+sin 2B =2sin 2C ，则111tan tan tan A B C++的最小值为___．49．（2020·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，则AD 的长为______50．（2021·上海·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin A C b cB C a--=+，3b =，则ABC 的周长的最大值是___________.51．（2020·吉林·辽源市第五中学校高一期末（理））对于ABC ，有如下命题：()1若sin2sin2A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()2若sin sin A B =，则ABC 一定为等腰三角形．()3若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 一定为钝角三角形．()4若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定为锐角三角形．则其中正确命题的序号是______.(把所有正确的命题序号都填上)四、解答题52．（2021·全国·高一单元测试）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．53．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满足cos cos 2cos b C c B a B +=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，求2a c +的最大值.54．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 的面积S 的取值范围.55．（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2223,3asinC ccosA a c b ac =+=+．()1求A 和B 的大小；()2若M ，N 是边AB 上的点，,43MCN b π∠==，求CMN 的面积的最小值．【答案详解】1．A 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得sin 2sin 2A B =，故22A B =或者22A B π+=，进而可判断出三角形的形状【详解】因为cos sin cos sin b c A B a c B A-=-，由正弦定理可得：sin sin cos sin sin sin cos sin B C A BA CB A -=-，整理可得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或者22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，而当2A B π+=时则2C π=，所以三角形ABC 为直角三角形，所以cos c B a ⋅=，则cos sin cos sin b c A Ba c B A-=-中，这时cos 0a c B -⋅=，分母为0无意义所以A B =，故选：A ．2．D 【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：D 3．B 【分析】利用给定条件结合对数运算可得222sin sin sin B C A =-，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则有222lg(sin sin )lgsin C A B -=，即有222sin sin sin C A B -=，于是得222sin sin sin C A B =+，在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：222c a b =+，所以ABC 是直角三角形.故选：B 4．B 【分析】利用正弦定理化()12cos c b A =+转化为()sin sin 12cos C B A =+，根据三角恒等变换与三角形的内角和定理得出A 与B 的关系，化sin sin a A b B=，求出它的取值范围即可.【详解】解：锐角ABC 中，()12cos c b A =+，()sin sin 12cos C B A ∴=+，()sin sin 2cos sin A B B A B ∴+=+，sin cos cos sin sin 2cos sin A B A B B A B ∴+=+，()sin sin A B B ∴-=，A B B ∴-=，即2A B =，若A B B π-+=，则A π=，不符合题意舍去；sin 2sin cos 2cos sin sin a A B B B b B B ∴===，3A B C B C π++=+=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32B π∴>，又22A B π=<64B ππ∴<<，22cos 3B ∴<<即ab的取值范围是()2,3.故选：B .5．B 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的22cos sin A A =，进而可得1cos 3A =，22sin 3A =，由余弦定理，基本不等式可求6b c +≤，根据三角形的周长即可求解其最大值．【详解】222221()(2cos )sin 222S b c a bc A bc A =-=⨯=+，即22cos sin A A =，又22cos sin 1A A +=，解得1cos 3A =，22sin 3A =，又23a =，由余弦定理可得：()()()()2222222821123333b c bc b c bc b c b c b c =+-=+-+-+=+ ，()236b c ∴+≤，即6b c +≤当且仅当b c =时取等号，则ABC 周长的最大值是623+，故选：B 6．D 【分析】由正弦定理及题意可得C 的值，再由余弦定理得关于边b 的二次方程，由方程有两个正根可求得结果【详解】解：因为cos sin a C c A =，所以由正弦定理得sin cos sin sin A C C A =,因为sin 0A ≠，所以tan 1C =，因为(0,)C π∈，所以4C π=，由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，由于2c =，所以22220b ab a -+-=，因为满足条件的三角形有2个，所以方程有两个根，所以()2222(2)020a a a ⎧∆=-->⎪⎨⎪->⎩，即2242a a ⎧<⎨>⎩，解得22a <<，故选：D 7．D 【分析】设AB x =，在ABD △中，由余弦定理求得4x =，设ABD α∠=，结合正弦定理求得sin α，得到cos α，进而求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】在ABD △中，由余弦定理可知22222cos3BD AB AD AB AD π=+-⋅，整理可得22240x x +-=，解得4x =，设ABD α∠=，由正弦定理知2sin sin 3AD BDπα=，解得21sin 14α=，所以57cos 14α=，所以211573321sin sin cos cos sin 33314214214⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭πππααα，所以11321sin 4276323214ABC S AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△πα.故选：D.8．C 【分析】根据题设条件和正弦定理化简得23sin 2sin B B =，求得3B π=，得到3C π=，可判定A 、B正确；由四边形ABCD 面积等于53532sin 2434ABCACDS SADC π∠⎛⎫+=+-≤+ ⎪⎝⎭，可判定D 正确，C 错误．【详解】因为()3acos cos 2sin C c A b B +=，由正弦定理，可得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，即23sin 2sin B B =，因为(0,)B π∈，可得sin 0B >，所以3sin 2B =，解得3B π=，又因为3CAB π∠=，所以3C A B ππ=--=，所以A 、B 正确；由四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠(22312cos )sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =+-⋅⋅∠+⋅⋅∠()315353414cos 2sin 2sin 242434ADC ADC ADC π∠∠∠⎛⎫=+-⋅+⨯=+-≤+ ⎪⎝⎭，所以D 正确，C 错误．故选：C.9．B在ADC 中利用余弦定理求得2AD =，在ADB △中由正弦定理可求得AB ．【详解】04575120ADC ∠=︒+︒=，根据余弦定理22202cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，260AD AD +-=，2AD =，060ADB ∠=，根据正弦定理00sin 60sin 45AB AD=，则032sin 6026sin 4522AD AB ⨯===．故选：B 10．C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换求得3A π=，利用正弦定理求得31tan c B=+，求出角B 的取值范围，结合三角形的面积公式以及正切函数的基本性质可求得结果.【详解】因为()1cos 3sin c A a C +=，由正弦定理可得()sin 1cos 3sin sin C A A C +=，因为C 为锐角，则sin 0C >，所以，3sin cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02A π<<Q ，663A πππ∴-<-<，则66A ππ-=，3A π∴=，2b =Q ，由正弦定理sin sin b cB C=，则有sin sin sin 3cos 331sin sin sin tan b B b C B B c B B B Bπ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+，因为ABC 为锐角三角形，则0232B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得62B ππ<<，所以，3tan 3B >，所以，13333sin 1,23222tan 2ABC S bc A c B ⎛⎫⎛⎫===+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△.故选：C.11．C 【分析】由正弦定理边角关系得2ab bc =，则2a c =，由题设得22202569()994ABCc S--+=，结合二次函数的性质即可求△ABC 面积的最大值.【详解】∵sin 2sin a B b C =，∴由正弦定理得2ab bc =且0b ≠，即2a c =且2b =，∴2242242422025699()10415494016994[4()]42244ABCc c c c c c Sc --+-+---+-=-===，∴2209c =时，△ABC 面积取最大值43．故选：C ．12．D 【分析】先运用正弦定理边角互化得出边之间的关系，再结合余弦定理求出角A ，再用一次余弦定理结合不等式求解三角形面积最值.【详解】由2a =且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-.即()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-.由正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-.所以222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，所以60A ∠=︒.则由余弦定理：2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=.所以，4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立.所以133sin 43244△==≤⨯=ABC S bc A bc ..故选D.【点睛】方法点睛：已知三角形中一角A 及其对边a 求三角面积最大值时，通常用如下的做法：第一步：由余弦定理，()2222cos 2221a b c bc A bc bccosA bc cosA =+-≥-=-从而()22·1cos a bc A ≤-，当且仅当b c =时等号成立.第二步：()211sin sin 222·1cos △=≤⨯-ABC a S bc A A A ..13．A【分析】先根据条件2223a c ac b +=+可得6B π=，然后把cos sin A C +化为3sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合角A的范围可得cos sin A C +的取值范围.【详解】由2223a c ac b +=+和余弦定理得2223cos 22a cb B ac +-==，又(0,)B π∈，∴6B π=．因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<．cos sin cos sin cos sin 66A C A A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1333cos cos sin sin cos 3sin22223A A A A A A π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，∵32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，13sin 232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭则33cos sin 22A C <+<，因此，cos sin A C +的取值范围是33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】三角形中的范围问题，一般有两个处理思路：（1）把目标式转化为关于边的代数式，结合基本不等式及三角形边长间的关系求解；（2）把目标式转化为单角函数式，结合角的范围求解.14．B 【分析】由余弦定理可求得2b =，再由等面积关系可得23sin ac B=，利用余弦定理结合基本不等式得出2cos 1B ac ≥-，即可求得3sin 32B π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再结合B 的范围即可得出结论.【详解】cos cos 2c A a C +=，由余弦定理可得222222222b c a a b c c a bc ab+-+-⋅+⋅=，整理可得2b =，又AC 边上的高为3，所以1123sin 22ac B ⨯⨯=，即23sin ac B=，222222cos 122a c b ac b B ac ac ac+--=≥=-，当且仅当a c =取等号，3cos 1sin 3B B ∴≥-，即3sin 3cos 3B B +≥，即3sin 32B π⎛⎫+≥⎪⎝⎭，()0,B π∈，4,333B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则2,333B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故∠ABC 的最大值为3π.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得23sin ac B=，由基本不等式得2cos 1B ac≥-.15．D 【分析】由给定条件结合正弦定理边化角，求出角C ，再利用正弦定理借助三角函数恒等变换即可作答.【详解】ABC 中，由正弦定理得：cos 22sin sin cos sin B a b A BC c C--==,整理变形得：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A C B C B C B C A =+=+=，而sin 0A >，则1cos 2C =，0C π<<，于是得3C π=，则23A B π+=，令3A πθ=+，于是有3B πθ=-，因ABC 为锐角三角形，即66ππθ-<<，由正弦定理得sin 22sin(),sin()sin 3333c A a b C ππθθ==+=-，2222444sin ()sin ()sin()sin()3333333a b ab ππππθθθθ++=++-++-22431313131[(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )]322222222θθθθθθθθ=++-++⋅-2224911(cos sin )(8cos 1)3443θθθ=+=+，而3cos 12θ<≤，则有278cos 19θ<+≤，即271(8cos 1)333θ<+≤，所以22a b ab ++的取值范围为7(,3]3.故选：D 16．B【分析】结合图形由余弦定理可得答案.【详解】设AB x =，则BC x =，33BD x =，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅∠，即22131100210332x x x =+-⨯⨯⨯，整理得2531500x x +-=，解得53x =或103x =-（舍），故选：B.17．C 【分析】由正弦定理可得答案.【详解】由题意可知60,45,40ABC A BC ∠∠===海里，由正弦定理可得sin sin BC ACA ABC=∠，即40sin45sin60AC =，解得206AC =，所以206AC =海里.故选：C.18．B 【分析】根据仰角与俯角概念列式求解.【详解】如图40,,43AB DE ADB BDC ππ==∠=∠=,由题意得这座塔的高为()33404034013AB BC AB BD AB AB +=+=+=+=+，故选：B.19．C 【分析】在直角三角形中表示出,AO BO ，然后由余弦定理求解．【详解】由已知，得3,AO h BO h ==，则在ABO 中，由余弦定理，得2222cos60AB AO BO AO BO =+-⋅⋅，即22240033h h h =+-，得()20m 43h =-.故选：C ．20．C 【分析】在ABC 中，由正弦定理得AC ＝1002m ，再在ADC 中，由正弦定理得解.【详解】由题知，15CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，135ABC ∠=︒.在ABC 中，由正弦定理得sin 30sin135AB AC=，又100AB =m ，∴AC ＝1002m ．在ADC 中，90ADC θ∠=︒+，50CD =m ，由正弦定理得sin(90)sin15AC CD θ=+，∴()sin15cos sin 9031AC CDθθ⋅=+︒==-.故选：C.21．A 【分析】可由30OAP ∠=︒，1km OP =算得3km OA =,由45OBP ∠=︒，1km OP =算得1km OB =,由行使时间和速度算得AB ，再由余弦定理解出cos AOB ∠.【详解】由题意可得30OAP ∠=︒，45OBP ∠=︒，1km OP =，OP OA ⊥，OP OB ⊥，则3km OA =，1km OB =.因为157.520km 602AB =⨯⨯=，所以由余弦定理可知，222254334cos 2823OA OB AB AOB OA OB -+-∠===-⋅.故选：A.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22．（1）23π；（2）(23,23⎤+⎦【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）32,2sin ,2sin 2sin sin sin sin 3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 32sin sin 32sin 333L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<∴<+≤ ⎪⎝⎭，232sin 3233A π⎛⎫∴<++≤+ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(23,23⎤+⎦.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.23．（1）6π；（2）12【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD △中，由余弦定理可求得4BD =，在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==，由余弦定理得22161cos 22x y A xy -+==，即2216x y xy -+=，利用基本不等式求得()max x y +，进而求出 ABD △周长的最大值.【详解】（1）在BCD △中，7cos 14CBD ∠=-Q ，273sin 1141421CBD ∠⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭利用正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，37sin 1142sin 2331BC CBDBDC CD⨯⋅∠∴∠===又CBD ∠为钝角，BDC ∴∠为锐角，6BDC π∴∠=（2）在BCD △中，由余弦定理得22227277cos 2142733BC BD CD BD CBD BC BD ∠++===-⋅⨯--解得：4BD =或5BD =-（舍去）在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y==由余弦定理得22222161cos 222AB AD D x y A AB B AD xy -+=⋅-+==，即2216x y xy -+=整理得：()2163x y xy +-=，又0,0x y >>利用基本不等式得：()()2231346x y x y xy +=≤-+，即()2416x y +≤，即()264x y +≤，当且仅当4x y ==时，等号成立，即()max 8x y +=，所以()max 8412AB AD BD ++=+=所以 ABD △周长的最大值为12【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.24．（1）3B π=；（2）()0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B 的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -，再由锐角三角形得出C 的范围，进而得出答案．【详解】（1）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+.再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又()0,B π∈，则3B π=.（2）由3B π=，3b =，则由正弦定理，有224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C Cπ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 23cos 33C C C Cππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则62C ππ<<，则30cos 2C <<.所以2a c -的取值范围为()0,3.25．D 【分析】设15min 后飞机到了E 处，求出DE ，ABD △中由余弦定理求得BD ，由勾股定理逆定理知90ADB ∠=︒，这样易得,ABD DBC ∠∠，从而得出cos BDC ∠，然后在BDE 中由余弦定理得出BE ．【详解】设15min 后飞机到了E 处，则136090km 4DE =⨯=，由题意60DAB ∠=︒，//DA BC ，60AD =，120AB =，221601202601206032BD =+-⨯⨯⨯=，所以222AD BD AB +=，所以90DB ∠=︒，从而30ABD ∠=︒，于是90DBC ∠=︒2222(603)(6013)240DC BD BC =+=+=，6033cos 2404BD BDC CD ∠===，DBE 中，2222232cos (603)90260390360034BE BD DE BD DE BDE =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=⨯，603BE =．故选：D ．26．C 【分析】由条件解BCD △求BD ，在ACD △中利用正弦定理解求AD ，在ABD △中利用余弦定理求AB ，由此可得A ，B 两亭子间的距离.【详解】由题意，可得3010545ACD ADC BDC ∠︒=∠︒=∠=︒，，，∴45,60DAC ADB ∠∠=︒=︒．在等腰直角BCD △中，100CD =∴100BC =，1002BD =．在ACD △中，由正弦定理得100sin 45sin 30AD=︒︒，解得502AD =．连接AB ．在ABD △中，由余弦定理可得2222cos 6015000AB AD BD AD BD =+-⋅=︒，解得506AB =，即A 、B 两个亭子之间的距离为506米．故选：C.27．A 【分析】分析出POA 、POB 均为直角三角形，求出OA 、OB 的长，计算出AB 的长，再利用余弦定理可求得cos AOB ∠的值.【详解】由题意，得PO ⊥平面AOB ，AO 、BO ⊂平面AOB ，故PO AO ⊥，PO BO ⊥，所以，POA 、POB 均为直角三角形，且30PAO ∠=，45PBO ∠=，由1PO =，可得1OB =，3tan 30POOA ==．因为7.520 2.560AB =⨯=，所以22231 6.2533cos 28213OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯．故选：A ．28．C 【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.【详解】如图，SE AB ⊥ASB ，中，135ABS ∠=︒，324184AB =⨯=，15BAS ∠=︒，18030ASB ABS SAB ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得sin sin AS ABABS ASB=∠∠sin135182sin 30AB AS ︒∴==︒()n mile ，所以船与S 岛的最近距离：()()1cos30·sin 182sin15182931n mile 2SE SA SAB -︒=∠=︒=⨯=-故选：C.29．C 【分析】先在Rt MAC 中求得CM ，Rt BCN 中求得CN ，再在MNC 中利用余弦定理求MN 即可.【详解】依题意，在Rt MAC 中，60m AC =，3tan 4MCA ∠=，3tan 604AM AM MCA AC ∠===，可得45m AM =，则2222456075CM AM AC =+=+=，在Rt BCN 中，703m BC =，14cos 15NCB ∠=，则70375314cos 15BC CN NCB===∠，又MNC 中，150MCN ∠=，由余弦定理可得：则222cos MN CM CN CM CN MCN =+-⋅⋅∠()2275753275753cos150757=+-⨯⨯=.故塔尖MN 之间的距离为757m .故选：C.30．C 【分析】要求树的高度，需求PB 的长度，要求PB 的长度，在PAB △中利用正弦定理可得.【详解】解：在PAB △中，30,15,60,PAB APB AB ∠=∠==又()232162sin15sin 4530sin 45cos 30cos 45sin 302222-=-=-=⨯-⨯=４由正弦定理得：sin 30sin15PB AB=，()60130622624PB ∴=⨯=+-∴树的高度为()()2sin 453062303302PB m =+⨯=+31．B【分析】作出平面示意图：244PCO PBO PAO θ∠=∠=∠=且600,2003AB BC ==，应用余弦定理求cos 2θ，进而求sin 4θ，即可求该山峰的高度PO .【详解】由题设，若244PCO PBO PAO θ∠=∠=∠=且600,2003AB BC ==，∴600,2003PB AB PC BC ====，∴由余弦定理知：2223cos 222PB BC PC PB BC θ+-==⋅，又022πθ<<，∴1sin 22θ=，则3sin 42cos 2sin 22θθθ==，∴该山峰的高度sin 4300PO PC θ=⋅=米.故选：B32．B【分析】根据题意在ABD △中根据余弦定理即可求解.【详解】解：由题意知：D 为气球C 在过AB 且与地面平行的平面上的正投影，设CD x =米，45,30CAD CBD ∠=︒∠=︒，则AD x =米，3BD =米，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠，即2222662(3)(3)··cos150x x x x =+-︒，解得：26677x =，故测量时气球到地面的距离是2667(1)7+米．33．D【分析】利用降次公式、余弦定理化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意2sin 22C a b a -=，即1cos 1222C b a-=-，所以cos bC a =，由余弦定理得2222a b c b ab a+-=，化简得222a b c =+，所以三角形ABC 是直角三角形.故选：D34．D【分析】在Rt ABM 求出AM ，在ACM △中利用正弦定理求出CM ，在Rt CDM △即可求得CD .【详解】在Rt ABM 中，sin15AB AM=，()232162sin15sin 453022224-=-=⨯-⨯=，所以153302sin1562415AB AM ==--=，在ACM △中，301545CAM ∠=+=，1801560105AMC ∠=--=，1804510530ACM ∠=--=，由正弦定理可得sin sin AM CM ACM CAM =∠∠即302sin 30sin 45CM =，所以2302302sin 452601sin 302CM ⨯===，在Rt CDM △中，3sin 60603032CD CM ==⨯=，所以估算泰州基督教堂的高度为303m ，故选：D.35．B。

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。

高中数学平面向量及其应用6.4.3第3课时习题课_余弦定理和正弦定理的综合应用课件

∠BCA=30°,∠ADB=45°,求BD的长.
解:在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°.

由正弦定理,得∠ = ∠,
·∠
sin∠ABC=

=
×°

=

.

因为 AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC.

于是 sin∠BAD=sin∠ABC= .

则∠BAC=(
)
A.60°
B.30°
C.60°或 120° D.30°或 150°

解析:由已知得 = ||×||sin∠BAC=×2×3sin∠BAC,

∴sin∠BAC=.
∴∠BAC=30°或 150°.
答案:D
随堂练习

1.在△ABC 中,a=1,b=2,C=,则 S△ABC 的值为(
求出AC,然后可利用余弦定理求AB,也可以利用三角形的性
质求AB.
(1)解法一: ∵A=30°,C=45°,
∴B=105°,
由正弦定理得
·
b=

=

=

°
°

,

=4sin 105°
=4(sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°)
,

(2)由题设及(1)得 cos Bcos C-sin Bsin C=- ,

∴cos(B+C)=-,

∵0<B+C<π,∴B+C= .

又 A+B+C=π,∴A=.

又bcsin A=,且 a=3,∴bc=8.

高中数学必修二 6 4 正、余弦定理(精练)(含答案)

6.4.2 正、余弦定理(精练)【题组一正余弦的定理的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，则下列等式正确的是( ) A ．a=b cos C+c cos B B ．a=b cos C-c cos B C ．a=b sin C+c sin B D ．a=b sin C-c sin B【答案】A【解析】b cos C+c cos B=b ·222-2a b c ab ++c ·2222-222a c b a ac a+==a ，所以A 正确、B 错误； a=b sin C+c sin B sin sin sin sin sin 2sin sin A B C C B B C ⇒=+=，显然不恒成立，故C 错误；a=b sin C- c sin B sin sin sin sin sin 0A B C C B ⇒=-=，故D 错误.故选：A2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =b =π4A =，则角B =( ) A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】D【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin b A B a === 因为b a >，所以B A >，因为0πB <<，所以B =π3或2π3，故选：D. 3．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，已知a ＝1，bA ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【答案】B【解析】因为1,30a b A ===︒，由正弦定理得：sin sin a b A B =，即1sin 30︒=sin B =，因为(0,180)B ∈︒︒，所以60B ︒=或120︒，故选：B.4(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，1a =，b =60B =︒，则A =( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】因为在ABC 中，1a =，b =60B =︒，所以由正弦定理得，1sin A =1sin 2A =，因为a b <，所以A 为锐角，所以30A =︒，故选：A5．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且45B =︒，60C =︒，b =c 等于( )ABC ．2 D【答案】B【解析】ABC 中，∵45B =︒，60C =︒，b = ∴由正弦定理sin sin b cB C=得：c =故选：B 6．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若45A =，30B =，a =b =( ) AB．CD ．3【答案】D【解析】由正弦定理sin sin a bA B=得1sin 3sin a B b A ===.故选：D.7．(2021·全国·高一课时练习)ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若2,,6a A c π===则b =___________. 【答案】2或4【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2680b b -+=，解得2b =或4.故答案为：2或4. 8．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，那么BC 的长度为______．【解析】∵在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，∴由余弦定理可得：2222cos 94232cos607BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=°．∴BC =9．(2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末)在ABC中，若6,6a b A π===，则B 的大小为__________．【答案】3π或23π【解析】由正弦定理得sin sin a bA B =，∴6sin sin sin b A B a π== ∵b a >，∴B A >，∴3B π=或23π故答案为：π3或2π310．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，已知6a =，b =30A =，则B =______. 【答案】60或120【解析】由正弦定理sin sin a b A B=可得1sin 2sin 6b A B a === 因为30A =，则0150B <<，故60B =或120.故答案为：60或120. 【题组二边角互换】1．(2021·江西·九江一中高一月考)在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b ab c +-=，则C =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由题意，222222a b ab c a b c ab ⇒+-=+-=，由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==，∵0C π<<，∴3C π=.故选：C.2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，则A =( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-，整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，3A π∴=.故选：B. 3．(2021·广东高州·高一期末)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54C ．32D ．65【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A. 4．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4,6a b c ===，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值是___________.【答案】612【解析】因为222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c bc A ac B ab C +-+-+-++=++2226122a b c ++==,故答案为：612.5．(2021·广东·中山市第二中学高一月考)在ABC 中，若sin :sin :sin 4:5A B C =，则角A 的大小是___________．【答案】3π【解析】由正弦定理可得：::4:5a b c =设,4,5a b k c k ===，0k >由余弦定理可得2221625211cos 2402b c a A bc +-+-===，又()0,A π∈，所以3A π=．故答案为：3π．6．(2021·广东·铁一中学高一月考)在①cos cos )cos 0(C A A B +=，②cos23sin()1B A C -+=，③cos sin b C B a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b 、c ，若1a c +=，________，求角B 的值和b 的最小值．【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：cos[()](cos )cos 0A B A A B π-++-=，cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos 0A B A B =，又sin 0A ≠∴ sin B B =，∴ tan B = 又∵(0,)B π∈，∴ 3B π=因为1a c +=，所以1c a =-且(0,1)∈a由余弦定理得：2222222112cos (1)(1)331324b a c ac B a a a a a a a ⎛⎫=+-=+---=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴ 当12a =时，2b 取最小值，()2min 14b =， ∴ b 的最小值为12若选②，在ABC 中，A B C π++=，则由题可得222cos 13cos()2cos 3cos 11B B B B π---=+-= ∴1cos 2B =或cos 2B =-(舍去)，又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=．(剩下同①)若选③，由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin B C C B A +=，又sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，∴sin cos sin C B B C =，又sin 0C ≠，∴ sin B B =，∴tan B 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=，(剩下同①)【题组三三角形的面积】1．(2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =1，B =45°，其面积为2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【解析】∵1sin 21122ABCSac B c ⨯⨯===，∴c =2222cos b a c ac B =+-，∴(22212125b =+-⨯⨯=，可得5b =. 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B=，∴52sin 45R ==︒.故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π6A =，1b =，sin C B =，则ABC 的面积S =__.【解析】因为sin C B =，由正弦定理化角为边可得：c == 所以ABC的面积111sin 1222S bc A ==⨯⨯=3．(2021·全国·高一课时练习)已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为60︒，另两边长之比为3∶2，则这个三角形的面积是___________.【解析】依题意，设三角形另两边长分别为3,2(0)k k k >，由余弦定理得：2227(3)(2)232cos 60k k k k =+-⋅⋅，解得27k =，于是得三角形面积213332sin 6022S k k =⋅⋅==4．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中边a，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且23ac C π===，则ABC 的面积S =___________.【解析】由正弦定理知sin 1sin 2a C A c===.由a c <，得A C <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6A π=，所以ππ6B AC ，所以11sin 226S ac B π==-=5．(2021·福建·泉州科技中学高一月考)在ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若ABCS =7a b +=，3C π=，则边c =______．【解析】3C π=，1sin 2ABCSab C =，∴解得12ab =，7a b +=，∴由余弦定理可得c6．(2021·广东·惠来县第一中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，1b =，则sin sin sina b cA B C_______．【解析】依题意1sin 2ABCSbc A =，1142c c ⨯⨯==，由余弦定理得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =由正弦定理得13239sin sin sin sin 33a b ca A B CA. 【题组四判断三角形的形状】1．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则有222lg(sin sin )lg sin C A B -=，即有222sin sin sin C A B -=，于是得222sin sin sin C A B =+，在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：222c a b =+，所以ABC 是直角三角形. 故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，若22,sin sin sin a b c A B C =+=⋅，则ABC 一定是( ) A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．非等腰三角形【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin A B C =⋅得：2a bc =，因2a b c =+，则有2222()()4(2)40b c b c bc a a -=+-=-=，即b c =，因此得a b c ==，所以ABC 是等边三角形. 故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，已知cos bA c=(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】因为cos b A c=，所以sin cos sin B A C =，即()sin cos sin sin cos cos sin C A A C A C A C =+=+，所以sin cos 0A C =，所以sin 0A =或cos 0C =，又因(),0,A C π∈，所以cos 0C =，则2C π=，所以ABC 为直角三角形.故选：C.4．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a C c A c +=，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin cos sin cos sin A C C A C +=，sin()sin A C C ∴+=， sin sin B C ∴=，三角形内角和等于180°，B C ∴=，故选：C.5．(2021·江西·南昌市新建区第一中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos22A b c b+=，则ABC 的形状是( )． A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】21cos (1cos )222A b c A b +=+=，1cos 1b c c A b b +∴+==+，即cos c A b=，又222cos 2b c a A bc +-=，∴2222b c a cbc b +-=，整理得222a c b +=，所以ABC 为直角三角形．故选： C.6．(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==，得2sin a R A =，2sin b R B =， sin cos sin cos A A B B ∴=，∴11sin 2sin 222A B =，sin 2sin 2A B ∴=，22A B ∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故选：D【题组五三角形个数的判断】1．(2021·山东胶州·)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若60B =︒，b 2c =，则ABC 解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得2sin sin sin sin c b c B C C B b=⇒===，由于b c >所以C 为锐角，所以45C =︒，故三角形有唯一解. 故选：B2．(2021·福建福州·)在ABC 中，5a =，8b =，6A π=，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．解的个数不确定【答案】A【解析】因为8b =，6A π=，所以顶点C 到AB 的距离sin 8sin 46d b A π===，因为5a =，所以d a b <<，所以以C 为圆心，5a =为半径画弧与AB 有两个交点，所以三角形有两解，故选：A3．(2021·浙江绍兴·)若满足30ACB ∠=︒，2BC =的ABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是( ) A ．[)1,2 B ．{}[)12,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意得，sin30AB BC =︒或AB BC ≥时满足题意的ABC 有且只有一个，则1AB =或2AB ≥. 故选:B4．(2021·安徽·东至县第二中学)已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6B π=，10c =，8b =，则ABC 的解的情况为( ) A ．无解 B ．有一解C ．有两解D ．有三解【答案】C 【解析】因为6B π=，10c =，8b =，所以1sin 1058102c B b c =⨯=<=<=，所以角C 可能是锐角也可能是钝角，所以ABC 有两解，故选:C ．5．(2021·江西·贵溪市实验中学)不解三角形，下列三角形中有两解的是( ) A ．2,3,105a b B ===︒ B ．2,3,35a b B ===︒ C ．2,3,90a b A ===︒D ．3,2,35a b B ===︒【答案】D【解析】对A ,,a b < B 为钝角，只有一解；对B , ,,a b < B 为锐角，只有一解；对C , ,,a b < A 为直角，只有一解；对D , ,,a b > B 为锐角，A 有两解；故选：D6．(2021·上海·)在ABC 中，1,45a b A ===︒，则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】A【解析】在ABC 中，145a b A ︒===，，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin 2sin 11b A B a ===>，这与sin (01]B ∈，矛盾，所以满足此条件的三角形不存在，即个数为0.故选：A7．(2021·全国·)已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c a C A = 因为6a =，6c =，60A =所以sin C 60C =或120C =(舍) 由三角形的内角和可得：180606060B =--=，所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.8．(2019·江苏·苏州大学附属中学)在ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若2,1,29a b B ===︒，则此三角形解的情况是( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．有无数解【答案】C 【解析】由正弦定理可得，sin 2sin 29sin 2sin 292sin 3011a B Ab ⨯===⨯<⨯=, a b >， A B ∴>，由于B 为锐角，角A 可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个. 故选：C.9．(2021·江西省南丰县第二中学)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =1b =，120A =︒，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定【答案】B【解析】因为a =1b =，120A =︒，所以由正弦定理可得，sin 1sin 2b AB a ==，所以30B =︒或150B =︒，当30B =︒时，30C =︒，满足题意；当150B =︒时，180A B +>︒，不能构成三角形，舍去.综上，30B =︒，即三角形的解只有一个.故选：B ．10．(2021·福建·厦门双十中学)在ABC 中，100a =，80b =，45A =︒，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】根据正弦定理有sin sin abA B =，则sin 22sin 5b A B a ，a b >，A B ∴>，∴这样的B 只有一个，即此三角形有一个解.故选：A.【题组六最值】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a=2，c=1，则角C 的取值范围是( )A ．()π02， B ．ππ63⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．ππ62⎛⎫⎪⎝⎭， D ．π06⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】在△ABC 中，a=2，c=1，由正弦定理sin sin ac A C =，得21sin sin A C =，∴sin C=12sin A.∵A ∈(0，π)，∴0<sin A ≤1，∴sin C ∈102⎛⎤⎥⎝⎦，.结合函数y=sin x 的图象可得C ∈π5π0π66⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，.∵a>c ，∴角C 是锐角，∴C ∈π06⎛⎤⎥⎝⎦，.故选：D .2．(2021·吉林·延边二中高一月考)已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】Acos sin 0A a C +=cos sin sin 0C A A C +=，因为()0,180C ∈︒，sin 0C ≠，sin 0A A +=，即tan A =因为()0,180A ∈︒，所以120A =︒.如图，ABC ABD ACD S S S =+，所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，所以bc b c =+，即111b c +=，所以11()224b c b c b c c b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当c b =，bc b c =+，即2c b ==时，等号成立，所以b c +的最小值为4.故选：A.3．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，内角A ，B ，C 及其所对的边a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=(1)求A ；(2)若a =b c +的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2).【解析】(1)由cos sin 0a C C b c --=，以及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，由于B A C π=--即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C -=，又sin 0C >cos 1A A -=，由辅助角公式可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于0A π<<，可得5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，即3A π=.(2)由(1)知3A π=，又a = 所以22sin a R A==且23B C π+=，由正弦定理，22b c Rsin B RsinC +=+2sin 2sin B C =+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin B B =1cos 2B B ⎫=+⎪⎪⎭6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭综上所述b c +的取值范围为3.4．(2021·陕西·绥德中学高一月考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a ab b c -+=.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π；【解析】(1)因为222a ab b c -+=，所以222a b c ab +-=，所以由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为0C π<<，所以3C π=. (2)因为3C π=，所以2222cos c a b ab C =+-，即2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，当且仅当a b =时等号成立.所以1sin 42ABC S ab C ==≤=所以△ABC 5．(2021·四川巴中·高一期末(理))在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=．(1)求角C ；(2)若2a b +=，求c 的取值范围．【答案】(1)π3C =；(2)[)1,2. 【解析】(1)由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，即2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，2sin cos sin()sin(π)sin A C B C A A =+=-=，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =，又因为(0,π)C ∈，所以π3C =； (2)由2a b +=得2b a =-，且02a <<由(1)知：π3C =，由余弦定理得： 222222cos (2)(2)c a b ab C a a a a =+-=+---223643(1)1a a a =-+=-+当02a <<时，由二次函数的性质知：23(1)1y a =-+的值域为[)1,4，当且仅当1a =时取等号，此时1b =，所以214c ≤<，即12c ≤<所以c 的取值范围为[)1,2．。

6.4.3正弦定理(一)第2课时课件高一下学期数学人教A版必修第二册第六章

3.(多选)下列说法正确的是
√A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
√C.在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
√D.在△ABC中， a sin
＝ A sin
b＋c B＋sin
a>b a＝b
A为钝角一解无解
a<b
无解
A为直角一解无解
无解
A为锐角一解一解
a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解
(2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是
2 题型探究
PART TWO
一、已知两角及任意一边解三角形
例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得sina45°＝sin430°＝sin 1c05°，解得 a＝4ssinin3405°°＝4 2，c＝4ssiinn 3100°5°＝2( 6＋ 2).
A.有一解
B.有两解
√C.无解
D.解的个数不确定
解析
由正弦定理和已知条件，得 4 sin
3B＝sin230°，
∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
12345
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3 ，A＝30°，则B＝___6_0_°_或__1_2_0_°_.

高中数学必修二课件：余弦定理、正弦定理习题课

A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝
(A ) A．1
B．2
C．3
D．4
13 ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
解析设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝ 13 ， ∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝12，所以C＝π3 .
(2)由已知，得12absin
C＝3
2
3 .
π 又C＝ 3 ，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析 (1)因为cos A＝35，A∈(0，π)，所以sin A＝45. 又由A→B·A→C＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsin A＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2 5.
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( A )
A．－14
1 B.4
C．－23
＝ac，c＝2a，则cos B＝____4____．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A＝
3 5
，
A→B·A→C＝3.
方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

人教版高中数学必修第二册6.4.3 第3课时正弦定理和余弦定理的综合问题同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时正弦定理和余弦定理的综合问题同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在△ABC中,若sin =cos ,则角C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.60°或120°B.120°C.60°D.30°3.在△ABC中,若A=60°,b=1,△ABC的面积S=3,则 sin =()B3C D.33=2,则△ABC外接圆的直4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,B=45°,S△ABC径为()A.5B.43C.52D.625.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2c cos C=b cos A+a cos B,则角C的大小为()A.2π3B.5π6C.π6D.π36.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2+2ab=a2+b2+6,C=2π3,则△ABC的面积是()A.3B2C D.337.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c cos B+b cos C=a sin A,△ABC的面积b2+a2-c2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2 + 2-cos2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c=()A.13B.7C.37D.6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形的面积S=2203,则a的值为.10.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,则2sin -sin sin =.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sin sin =5 2 ,sin S△ABCb的值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求角A,C的大小;(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC.14.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+b cos A=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,△ABC的周长为3+23,求△ABC的面积.15.(5分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.参考答案与解析1.B[解析]∵sin =sin =cos ,∴cos C=sin C,∴C=45°,故选B.2.C[解析]∵S△ABC=12BC·CA·sin C=33,∴sin C∈(0°,90°),∴C=60°.3.A[解析]∵S=3=1bc sin A=12×1∴c=4,∴a2=b2+c2-2bc cos A=12+42-2×1×4×12=13,得a=13,∴ sin =4.C[解析]根据三角形的面积公式得,12×1×c×sin45°=2,所以c=42,则b2=a2+c2-2ac cos B=25,即b=5.设△ABC外接圆的半径为R,则直径为2R,由正弦定理得2R= sin =52,故选C.5.D[解析]由题意及正弦定理得,2sin C cos C=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,∵sin C ≠0,∴cos C=12,∴C=π3.故选D.6.C[解析]由c2+2ab=a2+b2+6,可得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cosC=a2+b2+ab,∴a2+b2-2ab+6=a2+b2+ab,∴ab=2,则S△ABC=12ab sin C.7.D[解析]由正弦定理及c cos B+b cos C=a sin A,得sin C cos B+sin B cos C=sin2A,即sin(C+B)=sin2A,即sin A=sin2A,所以sin A=1,因为0°<A<180°,所以A=90°.由余弦定理、三角形面积公式及b2+a2-c2),得12ab sin2ab cos C,整理得tan C=3,因为0°<C<90°,所以C=60°,故B=30°.故选D.8.A[解析]由2cos2 + 2-cos2C=1,可得2cos2 + 2-1-cos2C=0,则有cos2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A,得4b=3a①,又a-b=1②,联立①②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2ab cos C=16+9-12=13,则c=13.9.49[解析]由12bc sin A=2203得c=55,所以a2=b2+c2-2bc cos A=2401,所以a=49.10.-15[解析]由条件得 =sin sin =15,∴sin A=15sin C.同理可得sin B=35sinC,∴2sin -sin sin =2×15sin -35sinsin =-15.11.2113[解析]因为cos A=45,cos C=513,且A,C为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,则sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=6365,又因为 sin = sin ,所以b= sin =21.12.14[解析]由sin sin =5 2 ,得 =5 2 ,所以a=52c①,由S△ABC=12ac sin sin得12ac=5②,联立①②得a=5,c=2.由sin B为锐角知cos B=34,故由余弦定理得b2=25+4-2×5×2×34=14,所以b=14.13.解:(1)由a2-ab-2b2=0结合正弦定理得sin2A-sin A sin B-2sin2B=0,又B=π6,所以上式化简并整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-12(舍去).因为0<A<π,所以A=π2,又A+B+C=π,所以C=π-π2-π6=π3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C,即142=a2+b2-2ab cos2π3,所以a2+b2+ab=196①.由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b②,联立①②解得b=27,a=47,=12ab sin C=143.所以S△ABC14.解:(1)由已知及正弦定理得(sin A+2sin C)cos B+sin B cos A=0,即(sin A cos B+sin B cos A)+2sin C cos B=0,即sin(A+B)+2sin C cos B=0,∵sin(A+B)=sin C,且sin C≠0,∴cos B=-12,又0<B<π,∴B=2π3.(2)由余弦定理,得9=a2+c2-2ac cos B,∴a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.∵a+b+c=3+23,b=3,∴a+c=23,∴ac=3,∴S=12ac sin B=12×3△ABC15[解析]由题意得AC= 2+ 2=5,所以sin∠BAC= =3,cos∠BAC= =45.在△ABD中,由正弦定理得 sin∠ t = t sin∠ ,而AB=4,∠ADB=3π4,所以cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosπ4cos∠BAC+sinπ4sin∠16.解:(1)因为m ∥n ,所以a sin B-3b cos A=0,由正弦定理,得sin A sin B-3sin B cos A=0,又sin B ≠0,所以tan A=3.由于0<A<π,所以A=π3.(2)方法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a=7,b=2,A=π3,所以7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin 方法二:由正弦定理,得=sin ,7sin π3=2sin,从而sin又由a>b ,知A>B ,所以cos故sin C=sin (A+B )=sin B+π3=sin B cos π3+cos B sin π3=所以△ABC 的面积为12ab sin。

人教A版高中数学必修五正弦、余弦定理同步训练(1).docx

正弦、余弦定理同步训练（1）一．选择题1. 在ABC ∆中，6=a ，ο30=B ，ο120=C ，则ABC ∆的面积是（）A ．9B ．18C ．39D ．3182．在ABC ∆中，若b B a A cos sin =，则B 的值为（） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο903.在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（） A 090 B 060 C 0120 D 0150 4．在ABC ∆中，已知角B=ο45，22=c ，334=b ，则角A=（） A ．ο15 B ．ο75 C ．ο105 D ．ο15或ο755．在ABC ∆中，已知角B=ο60，C=ο45，BC=8，AD ⊥BC 于D ，则AD 长等于（）A ．)13(4-B ．)13(4+C ．)33(4+D ．)33(4-6．在ABC ∆中，已知6b =，10c =，30B =o ，则解此三角形的结果有（）A. 无解B. 一解C. 两解D. 一解或两解7. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A 090 B 0120 C 0135 D 0150 二、填空题8. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________9.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________10．在ABC ∆中，若角B=ο30，32=AB ，AC=2，则ABC ∆的面积是____________.11．在ABC ∆中，5=a ，ο105=B ，ο15=C ，则此三角形的最大边的长为__________．12．在ABC ∆中，12=+b a ，ο60=A ，ο45=B ，则=a _________，=b ________．三．解答题13．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若sin sin A C =,求C . 14.（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.。

人教版高中数学必修5同步练习,余弦定理(一)

人教版高中数学同步练习1．1.2 余弦定理(一) 课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3C. 5 D ．5答案 A2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π12答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.答案 120°8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.答案 30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120°解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， ∴θ＝120°.10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 答案－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49 ⇒x ＝7.所以，所求中线长为7.12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．答案 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．。

数学新教材高一下人教A版必修第二册6.4.3 余弦定理、正弦定理第一课时余弦定理

第六章
6.4.3 余弦定理、正弦定理第一课时余弦定理
课标要求
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
素养要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角前预习
容索
课堂互动
引
分层训练
1
课前预习
(2)在△ABC 中，若内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos2A2＝b＋2cc，则△ABC
的形状为( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形解析在△ABC 中，由已知 cos2A2＝b＋ 2cc，得1＋c2os A＝b＋ 2cc，所以 cos A＝bc. 根据余弦定理，得b2＋2cb2c－a2＝bc.
3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A＋B)
＝13，则 c 等于( D )
A.4
B. 15
C.3
D. 17
解析由 cos(A＋B)＝13，得 cos C＝－13，
又 a＝3，b＝2， ∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，则 c＝ 17.
2.一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的另一
边长为( B )
A.52
B.2 13
C.16
D.4
解析设所求的边为c，由题意得
c2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，则 c＝2 13.
3.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝60°，c＝2，b＝2 3，
∴c＝5 7.
∴cos
B＝a2＋2ca2c－b2＝120×2＋1107×5－5 1752＝

人教版高中数学必修第二册6.4.3 第4课时余弦定理、正弦定理应用举例同步练习(含答案)

处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是
北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是 ( )
A.10 3海里 B.10 2海里
C.20 3海里 D.20 2海里
6.如图 L6-4-7 所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东 45°方向,距离 20 2海里的 B
.
12.学校里有一棵树,甲同学在 A 地测得树尖 D 的仰角为 45°,乙同学在 B 地测得树尖 D 的仰
角为 30°,量得 AB=AC=10 m,若树根部为 C(A,B,C 在同一水平面上),则2 小题,共 20 分)
13.(10 分)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为 15°的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部 B 的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6米(如图 L6-4-10 所示),旗杆底部与第一排在同一水平面上,若国歌播放的时间约为 50 秒,那么升旗手应以约多大的速度匀速升旗?
.
图 L6-4-12 16.(15 分)在某次地震时,震中 A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市 B,C,D. 已知 B,C 两市相距 20 km,C,D 两市相距 34 km,C 市在 B,D 两市之间,如图 L6-4-13 所示.某时刻 C 市感到地表震动,8 s 后 B 市感到地表震动,20 s 后 D 市感到地表震动,若震波在地表传播的速度为每秒 1.5 km,求震中 A 到 B,C,D 三市的距离.
处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站 A 东偏北θ(0°<θ<45°)方向
的
C
处,且

6.4.3 第1课时余弦定理(分层练习)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

6.4.3 第1课时余弦定理基础练巩固新知夯实基础1.在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝9，C ＝150°，则c ＝( ) A ．73 B ．8 3 C.39D ．1022.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D.133.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形4.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．45.在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. (多选题)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，则b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．227.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．8.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________． 9.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.10.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1. (1)角C 的度数为________； (2)AB 的长为________．11.在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .能力练综合应用核心素养12.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A ．43 B ．8－4 3 C ．1 D ．2313.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－514.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－3101015.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π316.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形17.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 18.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.19.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．20.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________．21.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．【参考答案】1.A 解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋81－2×23×9×(－32)＝147.∴c ＝147＝7 3. 2.A 解析：由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b＝1，故选A.3.C 解析：由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4.C 解析：b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.5.A 解析：因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．6.AC 解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝2或b ＝4.7. 1 解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.8. 34 解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 9. 0 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.10.(1)23π (2)10 解析：(1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 2π3＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.11.解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.12.A 解析：由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.13. D 解析：由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 14.C 解析：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得BD ＝AD ＝13BC ，∴CD ＝23BC ，AB ＝23BC ，AC ＝53BC ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－1010.15.D 解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，B ＝π3或B＝2π3. 16.A 解析：在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c 2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc＝bc，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形． 17. 19 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.18.4解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 19. 612 解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.20. 等边三角形解析：由余弦定理及cos A ＝12得b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ，∴a ＝b ＋c 2，∴b 2＋c 2－(b ＋c 2)2＝bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，于是a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形． 21.解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12.。

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案(总4页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)52．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( )(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45(B)35(C)920 (D)512 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( )(A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________.10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C＝60°，试解△ABC .12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积.参考答案一、选择题1． C 2．B 3．D 4． B 5．B提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形.5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理Cc B b A a sin sin sin ==＝k ，得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1，∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C .9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10.所以AB ＝10.(3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.。

高一下学期数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理课件(一)

三角形的4个元素，应用方程思想，已知其中3个元素可以求出第4个元素.
所以 c 4 .
小结：余弦定理可以用来解决“已
知两边和其中一边的对角求第三边”的
问题.
知识拓展
归纳步骤在 ABC 中 , 已知 a , b , A , 如何解三角形 .
第一步：由余弦定理 , 得 a2 b2 c2 2bc cos A ;
a2 b2 c2 2bc cos A
602 342 2 60 34 cos 41 1676.78 , 所以 a 41 (cm).
由余弦定理的推论 , 得
cos B c2
a2
b2
342
412
602
763
,
2ca
2 34 41
2788
因为 0 B 180 , 利用计算器 , 可得 B 106 . 所以 C 180 ( A B) 180 (41 106) 33 .
探究新知
思考：试试使用几何法证明余弦定理.
证明：如图 , 当 ABC 是锐角三角形时 , 过点 B 作 BD AC , 垂足为 D , 则
BC2 =CD2 BD2 AC AD2 BD2
=AC2 2 AC AD AD2 BD2 =AC2 AB2 2AC AD
因为 BC a , AC b , AB c , 在 RtADB 中 AD AB cos A c cos A , 所以 a2 b2 c2 2bc cos A.
探究新知
如图 , 当 ABC 是钝角三角形时 , 不妨设 A 为钝角 . 过点 B 作 AC 的垂线 , 与 CA 的延长线相交于点 D , 则
BC2 =CD2 BD2 AC+AD2 BD2
=AC2 +2 AC AD AD2 BD2 =AC2 AB2 +2AC AD 因为 BC a , AC b , AB c ,

高中数学正弦定理和余弦定理同步练习新人教A版必修

1.1.1正弦定理作业1、在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于（）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于（） A. 226- B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （） A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。

7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案：1、解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。

2、解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。

4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。

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6.4.3 余弦定理、正弦定理同步练习（一）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =++，则A =（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 2、若△ABC 的内角,,A B C 满足2sin 3sin 4sin A B C ==，则cos B =（）A. 1116B. 2936C. 4348D. 1724 3、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π3B =，2b ac =，则ABC △一定是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4、在不等边三角形中，a 为最大边，想要得到A 为钝角的结论，三边,,a b c 应满足的条件是（）A. 222a b c >+B. 222a b c =+C. 222a b c >+D. 222a b c ≤+5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若64sin 2B a ,c ,,===则b =（）A. 9B. 36C.D. 66、边长分别为1 ）A. 90︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒7、在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（）A. B. C. D. 8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-，(,)q b a c =-，且∥p q ，则角C =（）A. π6B. π4C. π3D. π29、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c b -=，sin 4cos sin B A C =，则b =（）A. 2B. 4C. 12D. 14二、填空题：请将答案填在题中横线上． 10、已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且π6C =，2cos a B c =，则A =______． 11、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22()4a b c +-=，且60C =︒，则ab 的值为______．12、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若222b c a +=，且cos 0,C =则△ABC 是______三角形．13、已知一个三角形的三边分别为,a b，则最大角的大小为______． 14、已知△ABCA ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos 2sin 22A b b aB =+．（1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b ． 16、如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c ．（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BDAB ⊥BD ，求BC 的长．17、在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ⋅的值．答案第1页，共5页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查余弦定理.【解答】由已知222a b c bc =++及余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，∴120A =︒．选C ．2、【答案】B【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】∵2sin 3sin 4sin A B C ==，234a b c ∴==，令3(0)c m m =>，则4,6b m a m ==，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=222236916263m m m m +-=⨯⨯2936=．选B ． 3、【答案】C【分析】本题考查余弦定理.【解答】∵π3B =，222b ac a c ac ==+-，∵2()0a c -=，解得a c =， ∴ABC △是等边三角形．选C ．4、【答案】C【分析】本题考查余弦定理. 【解答】由222cos 02b c a A bc+-=<，知2220b c a +-<，∴222a b c >+．选C ． 5、【答案】D【分析】本题考查余弦定理.【解答】∵sin 23B ,=∴221cos 12sin 12233B B .⎛=-=-⨯= ⎝⎭由余弦定理得2222212cos 64264363b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴6b =．选D ．6、【答案】C【分析】本题考查余弦定理.θ，则由余弦定理可得cos2θ=，∴45θ=︒，故三角形的最大角与最小角的和是18045135︒-︒=︒．选C．7、【答案】D【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】由题意，在△ADC中，由余弦定理可得916131cos2342C+-==⨯⨯，则sin C=，在△ABC中，由正弦定理可得：sin sinAB ACC B==，据此可得AB=D．8、【答案】C【分析】本题考查余弦定理.【解答】222()()()∥p q a c a c b a b c a b ab⇒+-=-⇒=+-，由余弦定理可知：2222cosc a b ab C=+-⋅，∴1πcos,(0,π)23C C C=∈⇒=．选C．9、【答案】B【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】∵sin4cos sinB A C=且A B C++=π，∴sin sin()sin cos cos sinB AC A C A C=+=+，∴sin cos cos sin4cos sinA C A C A C+=，∴sin cos3cos sinA C A C=，化简可得22212a c b-=，又222a c b-=，∴2122b b=，解得4b=或0b=（舍去），∴4b=．选B．10、【答案】5π12答案第3页，共5页【分析】本题考查余弦定理.【解答】∵2cos c a B =，∴22222a c b c a ac+-=⋅，∴22a b =， ∴a b =，可得A B =，∵π6C =，∴π5π212C A B -===．故答案为5π12． 11、【答案】43 【分析】本题考查余弦定理.【解答】()224a b c +-=，()2222424c a b a b ab ∴=+-=++-，由余弦定理可知：22222222cos 2cos60c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 222224a b ab a b ab ∴++-=+-，即24ab ab -=-，解得43ab =． 12、【答案】等腰直角【分析】本题考查余弦定理.【解答】由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-===，∴45，A =︒ 又cos 0C =，∴90C =︒，∴△ABC 是等腰直角三角形．13、【答案】120︒【分析】本题考查余弦定理.【解答】显然,a bθ，由余弦定理可得2222cos a b ab θ+-=，∴1cos 2θ=-， ∴这个三角形的最大角为120︒．14、【答案】1【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】由正弦定理可得2sin sin sin a b c R A B C==== sin 60a ∴=︒3a =，由余弦定理，得22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得1c =+1-（舍去），∴1c =1+．15、【答案】（1）3cos 5A =；（2）1b =或5．【分析】本题考查余弦定理和正弦定理. 【解答】（1）由题意知234cos 2sin 22A b b a B =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，∵sin 0B ≠，∴4tan 3A =，又A 为△ABC 的内角，则3cos 5A =．（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，∴220256b b =+-，∴2650b b -+=，解得1b =或5． 16、【答案】（1）π3；（2【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】（1）由2cos 2a B b c +=及正弦定理，得2sin cos sin 2sin A B B C +=，则2sin cos sin 2sin A B B C +=2sin()2sin cos 2cos sin A B A B A B =+=+，整理得sin 2cos sin B A B =，∵(0,π)B ∈，∴sin 0B >， ∴1cos 2A =，又(0,π)A ∈，∴π3A =．（2）在Rt △ABD中，2sin sin 3BD AD A ===，则1AB ==，∵D 为AC 的中点，∴24AC AD ==，答案第5页，共5页在△ABC 中，由余弦定理可得222π41241cos 133BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =17、【答案】（1）π3B =；（2）1AB AC ⋅=．【分析】本题考查余弦定理和正弦定理.【解答】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=， ∵sin 0A ≠，∴sin 2B =，又B 为锐角，∴π3B =．（2）由（1）知，π3B =，∵b =22π72cos3a c ac =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，∴6ac =，又a c >，∴3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===，∴||||cos 21AB AC AB AC A ⋅===．。