《金版学案》数学必修2(苏教版)模块综合检测卷含解析
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习：第2章2.3-2.3.1空间直角坐标系
第2章平面解析几何初步2.3 空间直角坐标系2.3.1 空间直角坐标系A级基础巩固1．点P(－2，0，3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：由于点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内．答案：C2．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对解析：三坐标均相反时，两点关于原点对称．答案：C3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为() A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：关于x轴对称，x不变，y，z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P′(1，－2，－3)．答案：B4．点P(2，3，4)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－2，3，4) B．(－2，－3，4)C．(2，－3，－4) D．(－2，3，－4)解析：关于yOz平面对称的点，在y轴上，z轴上的坐标不变，在x轴上的坐标变为原来的相反数．答案：A5．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：连接AC，BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A，C坐标求得中点P⎝⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy 的距离为1，则点A的坐标为________．解析：设A(a，0，0)，B(0，0，c)，则AB中点P⎝⎛⎭⎪⎫a2，0，c2，所以|c|2＝1.所以|c|＝2.又a2＋c2＝16，所以a2＝12，a＝±2 3.答案：(±23，0，0)7．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标肯定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标肯定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：依据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④8.如右图所示，空间直角坐标系中OABC-D′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，所以点在平面yOz上，竖坐标为2.所以点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.答案：G点9．在空间直角坐标系中，点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为________．解析：点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为(－2，－4，－6)．答案：(－2，－4，－6)10．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)B级力量提升11．如图所示，三棱锥O-ABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：由于A(a，0，0)，B(0，0，b)，C(0，c，0)，所以G⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b312．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，全部的棱长都是1，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1.以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由于各棱长均为1，所以OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.由于A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. 由于点A 1，C 1均在yOz 平面内，所以A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.由于点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1，所以B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1.14．如图所示，已知一长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解：由于A (－2，－3，－1)，依据长方体各顶点的对称关系， 不难求得B (－2，3，－1)，C (2，3，－1)，D (2，－3，－1)．点A 1，B 1，C 1，D 1与点A ，B ，C ，D 分别关于平面xOy 对称，可得到A 1(－2，－3，1)，B 1(－2，3，1)，C 1(2，3，1)，D 1(2，－3，1)．。
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：章末过关检测卷(一)
章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l 垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A 作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又由于m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，明显只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B5．(2021·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8 cm3B．12 cm3C.323cm3 D.403cm3解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323 (cm3)．答案：C6．(2021·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5. 答案：C7．(2021·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B8．(2021·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析：当n ＝3时明显成立，故排解A 、B ；由正四周体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透亮 无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，假如不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，由于AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为( )A.32B.32C. 3 D ．3 解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32.答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π14．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：依据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的外形特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2 215．(2021·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2·4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：716．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2， 则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，所以h 1h 2＝r 2r 1，又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94， 所以r 1r 2＝32.所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2022·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P -ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．(1)证明：如图所示，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .由于四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .由于EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH .故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积． (1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O . 由于PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .又由于ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ， 所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC . (2)解：由(1)知BD ⊥面PAC .由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3. 所以S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.所以V P -BCE ＝V B -PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ， 则120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π·12×22＝223π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图； (2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E -PAD 的体积；(2)点E 为BC 的中点时，试推断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . (1)解：由于PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AD ，所以三棱锥E -PAD 的体积为V ＝13S △PAD ·AB ＝13×12×1×3×1＝36.(2)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． 由于在△PBC 中，E ，F 分别为BC ，PB 的中点， 所以EF ∥PC .又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， 所以EF ∥平面PAC .(3)证明：由于PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， 所以EB ⊥PA .由于EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ，所以EB ⊥平面PAB . 又由于AF ⊂平面PAB ， 所以AF ⊥BE .由于PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，所以AF ⊥PB . 由于PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， 所以AF ⊥平面PBE .由于PE ⊂平面PBE ，所以AF ⊥PE .22．(本小题满分12分)(2022·广东卷)如图①所示，四边形ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，按图②方式折叠，折痕EF //DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．(1)证明：如图所示，由于PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又由于ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ， 所以AD ⊥平面PCD . 又CF ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ， 所以CF ⊥平面DMF .(2)解：由于PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334. 所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M - CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
【金版学案】2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)第2章2.1-2.1.2直线的方程 Word版含解析
第2章平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.2 直线的方程A组基础巩固1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是()A．45°B．135°C．1 D．－1解析：直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°.答案：B2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点()A．(3，2) B．(－3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)解析：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点(3，2)．答案：A3．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．答案：C4．直线xa＋yb＝1过第一、第二、第三象限，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、第二、第三象限，故a<0，b>0.答案：C5．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m 的值为()A．－2 B．2C．－3 D．3解析：由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得m＝3或m＝2(舍去)．答案：D6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.3，1B.3，－1C．－3，1 D．－3，－1解析：原方程化为x1a＋y1b＝1，所以1b＝－1.所以b＝－1.又因为ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，且3x－y－3＝0的倾斜角为60°，所以k＝tan 120°.所以a＝－ 3.答案：D7．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于()A．－3 B．3C.13 D ．－13解析：由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0 (a ≠0)，所以x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 答案：D8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．①任何一条直线在y 轴上都有截距；②直线在y 轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x 轴的直线．解析：因为当直线垂直于x 轴时，直线在y 轴上的截距不存在，所以①错误．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误．不垂直于x 轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确．答案：③9．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是________．解析：直线方程化为3x －2y ＝4，所以34x －y 2＝1. 所以x 43＋y －2＝1. 答案：x 43＋y －2＝1 10．已知三角形的顶点是A (8，5)，B (4，－2)，C (－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．解：设AB ，BC ，CA 的中点分别为D ，E ，F ，如图所示．根据中点坐标公式得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，32，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，F (1，4)． 由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32＝x －6－1－6， 整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．由两点式得EF 的直线方程为y －124－12＝x －（－1）1－（－1）， 整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程．由两点式得DF 的直线方程为y －324－32＝x －61－6， 整理得x ＋2y －9＝0，这就是直线DF 的方程．11．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定实数m 的值．(1)在x 轴上的截距是－3；(2)斜率是－1.解：(1)令y ＝0，所以2m －6m 2－2m －3＝－3. 所以2m －6＝－3m 2＋6m ＋9，即3m 2－4m －15＝0.所以m ＝－53或m ＝3. 当m ＝3时，m 2－2m －3＝0.此时方程为y ＝0不符合题设条件，从而m ＝－53.(2)由m2－2m－32m2＋m－1＝1，所以m2＋3m＋2＝0.所以m＝－2或m＝－1(舍去)．故m＝－2.B级能力提升12．过点A(3，－1)，B(5，4)的直线方程的两点式为__________，一般式为__________________．答案：y－（－1）4－（－1）＝x－35－35x－2y－17＝013．已知△ABC的一个顶点为A(3，－1)，AB被y轴垂直平分，AC被直线y＝x垂直平分，则直线BC的方程是________．解析：A(3，－1)关于y轴的对称点为B(－3，－1)，A(3，－1)关于直线y＝x的对称点为C(－1，3)，所以BC的方程为y＋13＋1＝x＋3－1＋3，即2x－y＋5＝0.答案：2x－y＋5＝014．过点P(1，1)作直线l与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l有________条．解析：设l为y＝k(x－1)＋1即为y＝kx－k＋1，则12×（k－1）2|k|＝2，解得k＝3±22或k＝－1.答案：315．过点(a，0)，(0，b)，(1，3)，且a，b均为正整数的直线方程为________________________．解析：设所求直线方程为：xa＋yb＝1，则1a＋3b＝1(a，b∈N*)，所以a＝bb－3∈N*，故⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝6.所求方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝016.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示，试求：(1)直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李．解：(1)由题图知，点A(60，6)，B(80，10)．所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30.故旅客最多可免费携带30 kg行李．。
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习：第1章1.2-1.2.1平面的基本性质
第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．安静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析：我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案：D2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n解析：α与β交于m，n在α内，m与n交于A.答案：A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不只确定一个平面．答案：D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个解析：若三点在同始终线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．答案：C5.如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过点________．解析：依据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定很多个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或很多7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；②一条直线和一个点能确定一个平面；③梯形肯定是平面图形．解析：依据三个公理及推论知①②均不正确．答案：③8．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或110．依据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解：由题意画出图形如图所示．B级力量提升11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B，E，D1三点的关系是________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，(图略)则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线．答案：共线12．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l，m，n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l，m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l，m，n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面．解析：由于P∈l，P∈m，所以l∩m＝P.由推论2知，l，m共面．答案：②13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：由于MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.又由于M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以M，N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又由于平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，求证：D1E，CF，DA三线共点．证明：如图所示，连接EF，A1B，D1C，由于E，F为AA1，AB的中点，所以EF綊12A1B.又由于A1B綊D1C，所以EF綊12D1C.故直线D1E，CF在同一个平面内，且D1E，CF不平行，则D1E，CF必相交于一点，设该点为M.又由于M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，所以M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示，在四周体ABCD中，E，G，H，F分别为BC，AB，AD，CD 上的点，EG∥HF，且HF<EG.求证：EF，GH，BD交于一点．证明：由于EG∥HF，所以E，F，H，G四点共面，又HF<EG，所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示，延长GH和EF交于一点O，所以a，b，c，l四线共面．由于GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上，即EF，GH，BD交于一点．16.已知：如图所示，a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l四线共面．证明：由于a∥b，所以a，b确定一个平面α.由于A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.所以AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.所以l，b⊂α，l，b⊂β.由于l∩b＝B，所以l，b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．。
苏教版高考数学必修2模块综合检测 版含答案
模块综合检测(时间:120分钟;满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共计70分,把答案填在题中横线上)错误!直线l不在平面α内，用符号表示为________.答案：l⊄α错误!下列结论中,正确的是________（填序号)。
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行;③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.解析:过平面外一点可作一条直线与已知平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对；若α⊥β，a⊥α则a⊂β或a∥β，②不对；③当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,因而③也不对.答案:④错误!半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________.解析：设圆心坐标为（a,b），由所求圆与x轴相切且与圆x2＋(y－3）2＝1相内切可知，所求圆的圆心必在x轴的上方，且b＝6，即圆心为（a,6).由两圆内切可得a2＋（6－32）＝6－1＝5,所以a＝±4、所以所求圆的方程为（x＋4）2＋（y－6）2＝36或(x－4）2＋（y－6)2＝36、答案：(x＋4)2＋（y－6)2＝36或（x－4）2＋（y－6）2＝36错误!如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测画法）,若A1D1∥O′y′,D1C1在O′x′上,A1B1∥O′x′,且有A1D1＝1,A1B1＝2，C1D1＝3,则平面图形ABCD的面积是________。
解析:把直观图还原为平面图求解.由于A1D1∥O′y′，D1C1在O′x′上，A1B1∥O′x′，所以原四边形ABCD是∠AD C＝90°的直角梯形，且AD＝2A1D1＝2,AB＝A1B1＝2,CD＝C1D1＝3,所以S梯形ABCD＝错误!·(AB＋CD)·AD＝错误!×（2＋3）×2＝5、答案：5错误!如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,直线AD1与直线A1C1所成的角是________度。
【金版学案】苏教版高中数学必修2练习：1.3.1空间几何体的表面积(含答案解析)
第 1 章立体几何初步1.3空间几何体的表面积空间几何体的表面积A 组基础稳固1．若一个圆台的正视图如下图，则其侧面积等于()A． 6B． 6πC．3 5π D ． 65π22分析：由于圆台的母线长为（2－1）＋2 ＝5，答案： C2．一个几何体的三视图如下图，该几何体的表面积为()A． 372 B ． 360 C．292D． 280分析：由三视图可知该几何体是由下边一个长方体，上边一个长方体组合而成的几何体．由于下边长方体的表面积为8×10×2＋ 2×8×2＋ 10×2×2＝ 232，上边长方体的表面积为8×6×2＋ 2×8×2＋ 2× 6× 2＝ 152，又由于长方体表面积重叠一部分，因此几何体的表面积为232＋ 152－2×6×2＝360.答案： B3．(2014 ·江卷浙 )某几何体的三视图 (单位： cm)如下图，则此几何体的表面积是()A． 90 cm2 B ．129 cm 2C． 132 cm 2C．138 cm 2分析：该几何体如下图，长方体的长、宽、高分别为 6 cm， 4 cm， 3 cm，直三棱柱的底面是直三角形，边长分别为 3 cm， 4 cm， 5 cm，1因此表面积S＝ [2 ×(4× 6＋ 4× 3)＋ 3× 6＋ 3×3] ＋ 5× 3＋4×3＋ 2× ×4×3 ＝ 99＋ 39＝2138(cm 2)．答案： D4．将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A． 4π B． 3π C． 2π D ．π分析：底面圆半径为1，高为 1，侧面积S＝ 2πrh＝ 2π·1× 1＝ 2π.答案： C5．圆台的上、下底面半径分别是 3 和4，母线长为6，则其表面积等于()A． 72 B ．42πC． 67πD． 72π分析： S 圆台表＝S 圆台侧＋ S 上底＋ S 下底＝π(3＋ 4) ·6＋π· 32＋π· 42＝ 67π.答案： C6．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻双侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．a b a b 12a2＋ b2·2＝ 10，解得 a 4 b3故长方体的侧面积为2× (4＋ 3) ×2＝28.答案： 287．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是________ ．分析：正六棱柱的侧面积为六个边长为 a 的正方形的面积之和，为6a2；底面积为两个正六边形的面积之和，等于3 222＋ 32 2×6× a ＝33a ，故所求正六棱柱的表面积为6a3a .4答案： 6a2＋ 3 3a28．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为_____．分析：如下图：该几何体为长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆柱后剩下的部分．2因此 S 表＝ (4 ×1＋ 3×4＋ 3×1) ×2＋ 2π· 1× 1－2π· 1 ＝ 38.9．将圆心角为120°，面积为 3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________．分析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一，故有，13πR2＝3π，所以 R2＝ 9.因此2l ＝ 3× π＝ 2π.3因此 r ＝1.因此S 圆锥表＝ 3π＋πr2＝ 4π.答案： 4π10．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶ 3，求圆台的全面积．解：如下图，设两底面半径分别为8r 和3r，又圆台的高是12，母线长为 13，可列式： (8r － 3r) 2＋ 122＝ 132，解得 r＝ 1，故两底面半径分别为 8 和 3，代入表面积公式：22S 圆台表＝π(R＋ r ＋ Rl ＋ rl) ＝ 216π.B 级能力提高11．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为 A ，则 A ∶B 等于 ()A ． 11∶ 8B ．3∶8C ．8∶3D ． 13∶ 8分析：设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则 2πr ＝384πl ，则 l ＝ 3r ，因此 B ＝1 8 23π 8 2， 2 r×＝ πr3 43A ＝83πr2＋ πr2＝113πr 2，得 A ∶B ＝11∶8.答案： A12． (2015 福·建改编 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积等于 ________．分析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，因此其表1 面积为 S 表面积 ＝ S 侧面积 ＋ 2S 下底面积 ＝ (1＋1＋ 2＋ 22) ×2＋ 2× × (1＋ 2) ×1＝11＋22.2答案： 11＋ 2 2。
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：模块综合检测卷(一)
模块综合检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．不存在 答案：C2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．－6或2 C ．3或－4 D ．6或－2答案：D3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( ) A ．27π B ．18π C ．9π D ．54π 解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ， 则6a 2＝54，所以a ＝3. 又由于2r ＝3a ， 所以r ＝32a ＝332，所以S 表＝4πr 2＝4π·274＝27π.答案：A4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由于三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以推断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以推断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图①所示，故该几何体的直观图如图②所示．在图①中，V 棱柱ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 棱锥P -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC -PA 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.答案：C6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， 所以|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案：A7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．答案：B8．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论肯定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析：如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排解选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排解选项B.故选D. 答案：D9.如图所示，在四周体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°解析：如图所示，取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，则∠EFH 为所求，可证△EFH 为直角三角形， EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1， 从而可得∠EFH ＝30°. 答案：D10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0，得(1＋k 2)·x 2＋2kx ＝0. 由于两点恰好关于y 轴对称， 所以x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2＝0， 所以k ＝0. 答案：A11．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0相互垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解析：垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，所以a ＝10.l ：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入，得c ＝－2； 将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12. 则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 答案：A12．过点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6 解析：由题意知l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即－13k ＝－1，k ＝3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝－2x ＋b过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]14．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2－(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：依据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.由于△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22.解得a ＝4±15.答案：4±1515．如图所示，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D -ABC 中，给出下列三种说法：①△DBC 是等边三角形；②AC ⊥BD ；③三棱锥D -ABC 的体积是26.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．解析：取AC 的中点E ，连接DE ，BE ， 则DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，且DE ⊥BE . 又DE ＝EC ＝BE ，所以DC ＝DB ＝BC ，故△DBC 是等边三角形． 又AC ⊥平面BDE ， 故AC ⊥BD .又V D -ABC ＝13S △ABC ·DE ＝13×12×1×1×22＝212，故③错误．答案：①②16．已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是_________________________．解析：由于(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25，所以点P 在圆内．当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4，将x ＝－4代入圆的方程，得y ＝2或y ＝－6，此时弦长为8.当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，当弦长为8时，圆心到直线的距离为 25－42＝3，则|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3，解得k ＝－43.则直线l 的方程为y ＋3＝－43(x ＋4)，即4x ＋3y ＋25＝0.答案：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：法一：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.由于直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， 所以直线l 的斜率k ＝－3.所以依据点斜式有y －⎝⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫－35，故所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.法二：由于直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点， 所以设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0. 由于直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112.从而所求直线方程为 15x ＋5y ＋16＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：由于CC 1∥AA 1，所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角， 即∠BC 1C ＝30°.在Rt △BC 1C 中，BC ＝CC 1·tan ∠BC 1C ＝6×33＝23， 从而S △ABC ＝34BC 2＝33，因此该三棱柱的体积为V ＝S △ABC ·AA 1＝33×6＝18 3.19．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体， 知AD 1∥BC 1.由于F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图所示，连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.由于M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.20．(本小题满分12分)右图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小全都．表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V，则V＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π.所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.21．(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)由于点P(x，y)是MN的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋42，y＝y02，故⎩⎨⎧x0＝2x－4，y0＝2y.将用x，y表示的x0，y0代入到x20＋y20＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q到直线3x ＋4y－86＝0的距离d＝|6－86|32＋42＝16.故点P到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)由于圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C(a，2(a－2))，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，由于MA＝2MO，所以x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋（2a－3）2≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
2015年苏教版高中数学必修二同步模块综合检测及答案解析3套模块综合检测(A)
模块综合检测（A ）(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．直线x ＝tan 60°的倾斜角是________． 2．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题有________个．3．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是________．(填序号)4．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是________．5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．6．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是____________． 7．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是____________．8．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为__________．9．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是____________． 10．在平面直角坐标系中，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)的距离为2的直线共有________条．11．已知点A (－2,3,4)，在y 轴上有一点B ，且AB ＝35，则点B 的坐标为________． 12．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________． 13．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．14．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0，若圆C 和坐标轴的交点间的线段恰为圆C ′直径，则圆C ′的标准方程为__________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．16．(14分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB的方程．17．(14分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点，求证P A∥平面EDB．18．(16分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．(1)求证D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．19．(16分)已知M 与两定点O (0,0)、A (3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′的方程．20．(16分)如图，在五面体ABC －DEF 中，四边形ADEF 是正方形，F A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值；(2)证明CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B －EF －A 的正切值． 模块综合检测(A) 答案1．90° 2．4解析 ①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l 1、l 2可以异面、相交，④与l 1、l 2都相交的两直线可以相交．3．②解析 注意到直线的斜率a 与在y 轴上的截距1a同号，故②正确．4．4π 解析∵SO ⊥底面ABC ， ∴SO 为三棱锥的高线，∴SO ＝r ，又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝2r ，∠ACB ＝90° ∴BC ＝2r ，∴V S －ABC ＝13×12×2r ×2r ×r ＝13r 3．又∵球的体积V ＝43πr 3，∴VV S －ABC ＝43πr 313r 3＝4π．5．π3 解析 连结A 1B ，BC 1，A 1C 1，∵E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，∴EF ∥12A 1B ，GH ∥12BC 1，∴∠A 1BC 1即为异面直线EF 与GH 所成的角． 又∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°．6．x ＋2y －3＝0解析 直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点为A(1,1)，点(－1,0)关于x ＝1的对称点为B(3,0)也在所求直线上，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．7．x ＋y ＝2或x ＝y解析 截距相等问题关键不要忽略过原点的情况． 8．2或0解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 则圆心为(1,2)．由点到直线的距离公式得d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝2或0．9．60°解析 可先求出圆心到直线的距离d ＝3，由于半径为2，设圆心角为θ，则知cos θ2＝32，∴θ＝60°． 10．2解析 满足要求的直线应为圆心分别为A 、B ，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A 与圆B 相交，所以公切线有两条．11．(0,8,0)或(0，－2,0) 12．2解析 由已知可知PQ 的垂直平分线为 kx －y ＋4＝0，∴直线kx －y ＋4＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－12，3， ∴－12k ＋1＝0，k ＝2．13．36π解析 由三视图可知，该几何体是半个圆锥，底面半径为1，高为3，故体积为16π×12×3＝36π． 14．x 2＋(y －3)2＝1 解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0与x 轴没有交点，只与y 轴相交，取x ＝0，得 y 2－6y ＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C ′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x 2＋(y －3)2＝1．15．解 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋12＝04x －3y ＋16＝0，解得交点B(－4,0)，∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－1k AC ＝12，∴AC 边上的高线BD 的方程为 y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0． 16．解 由题意知，直线AB 的斜率存在， 且AB ＝62，OA ＝25，作OC ⊥AB 于C ． 在Rt △OAC 中，OC ＝20－(32)2＝2．设所求直线的斜率为k ， 则直线的方程为y ＋4＝k(x －6)， 即kx －y －6k －4＝0． ∵圆心到直线的距离为2，∴|6k＋4|1＋k2＝2，即17k2＋24k＋7＝0，∴k＝－1或k＝－717．故所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0．17．证明如图所示，连结AC，BD，交于点O，连结EO，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以EO∥PA，又EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．18．(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连结C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1．(2)解在DC上取一点E，连结AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连结MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE ． 即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 19．解 (1)设M 坐标为(x ，y)，由题意得x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4． 所以M 点的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4． (2)因为曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′是与C 半径相同的圆，故只需求C ′的圆心坐标即可，设C ′的圆心坐标(x 0，y 0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋1＝122·x 0－12＋y 02－4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝195y 0＝125．故曲线C ′的方程为⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －1252＝4． 20．(1)解 因为四边形ADEF 是正方形， 所以FA ∥ED ．所以∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ． 故ED ⊥CD ．在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝223．所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223．(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°．由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB ．又CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF ．(3)解 由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点． 取EF 的中点N ，连结GN ，则GN ⊥EF ． 因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF ． 过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于点M ， 则∠GNM 为二面角B －EF －A 的平面角．连结GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM ，从而BC ⊥GM ． 由已知，可得GM ＝22．由NG ∥FA ，FA ⊥GM ，得NG ⊥GM ． 在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14．所以二面角B －EF －A 的正切值为14．。
2020-2021学年新教材苏教版数学必修第二册模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评（时间120分钟,满分150分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．复数z满足（3－2i）z＝4＋3i（i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A[由题意得，z＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!,则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A。
]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3，4，5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( ）A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!B[将先后两次的点数记为有序实数对（x，y)，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4，6），(6，4），(5，5)，（6,6），共4种,则满足条件的概率为错误!＝错误!。
故选B。
］3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A．0。
3 B．0.4 C．0.5 D．0.6D［设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB,AC,BC共10种,其中恰有一名女生为aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种，故恰有一名女同学的概率P＝错误!＝0.6 。
故选D.］4．已知△ABC为等腰三角形,满足AB＝AC＝错误!，BC＝2，若P 为底边BC上的动点，则错误!(错误!＋错误!)（）A．有最大值8 B．是定值2C．有最小值1 D．是定值4D[如图，设AD是等腰三角形底边BC上的高，长度为错误!＝错误!。
故错误!·(错误!＋错误!)＝（错误!＋错误!）·2错误!＝2错误!2＋2错误!·错误!＝2错误!2＝2×（错误!)2＝4。
故选D.］5．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则△ABC 是( ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形A[因为lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，所以lg错误!＝lg 2.所以sin A＝2cos B sin C.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以sin(B＋C)＝2cos B sin C，所以sin(B－C)＝0。
2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：章末过关检测卷(二) Word版含解析
章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m < 2. 答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2 解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5. 所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(]0°，30°B.(]0°，60°C.[]0°，30°D.[]0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.因为|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解：如图所示，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上， 所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R . 因为圆与直线y ＝1相切， 所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝ R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52. 所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。
【金版学案】苏教版高中数学必修2测试章末知识整合1含解析
章末知识整合一、数形联合思想“数形联合”是把代数中的“数”与几何中的“形”联合起来认识问题、理解问题并解决问题的思想方法，是人们的一种广泛思想习惯在数学上的详细表现．数形联合一般包含两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．分析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形联合的典范．在本章的学习中主要表此刻以下两个方面：(1)直线的方程中有好多看法，如距离、倾斜角、斜率等都很简单转化成“形”，因本题目中波及这些问题时能够试试用数形联合来解决．(2)与圆相关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的地点关系等都可能用到数形联合思想．例 1] 已知圆 C1：x2＋y2＝ 4 和圆 C2：x2＋ (y－8)2＝4，直线 y＝25 x＋ b 在两圆之间 (不与圆订交或相切 )，务实数 b 的取值范围．解：画出表示图如下图，5直线 y＝2 x＋b，即5x－2y＋2b＝0.|2b|当直线与圆 C1相切时，＝2，解得 b＝±3；当直线与圆 C2相切时，|－16＋2b|＝2，解得 b＝5 或 b＝11.5＋4联合图形可知 3<b<5.规律总结圆是一种几何特点特别显然的图形．在解圆的相关问题时，一般要依据题意在平面直角坐标系中画出图形，而后充足利用图形解决问题．变式训练 ]1．设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的随意一点，则分析：由于点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的随意一点，所以（x－1）2＋（y－1）2表示点(1，1)与该圆上随意一点的距离．易知点 (1，1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，如下图，所以（1－0）2＋（ 1＋4）2＋2＝26＋2.答案：26＋22．已知点 A(3，1)，在直线 y＝x 和 y＝0 上各找一点 M 和 N，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．解：由点 A(3，1)及直线 y＝x，可求得点 A 对于 y＝x 的对称点 B(1，3)，同理可得点 A 对于 y＝0 的对称点 C(3，－ 1)，如下图．则 AM ＋AN＋MN ＝BM＋CN＋MN ≥BC，当且仅当 B，M，N，C 四点共线时，△ AMN 的周长最短，为BC＝2 5.由点 B(1，3)， C(3，－ 1)可得直线 BC 的方程为 2x＋y－5＝0.52x ＋y －5＝0，x ＝3，由 ， 得 ＝5y xy ＝3.5 5故点 M 的坐标为 3，3 .5对于 2x ＋ y －5＝ 0，令 y ＝0，得 x ＝2，5故点 N 的坐标为 2，0 .故点 M 5，5 与点 N 5，0 即所求，此时△ AMN 的周长最短， 且最3 3 2短周长为 2 5.二、分类议论思想分类议论思想是数学的基本思想之一， 其本质就是把整体问题化为部分问题，进而增添题设的条件来解决问题．例 2] 过点 P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条相互平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线方程．解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1， x ＝0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，知足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k ，则两条直线的方程分别为y ＝k(x ＋1)，y ＝kx ＋2.2令 y ＝0，分别得 x ＝－ 1，x ＝－ k .2由题意 －1＋k ＝1，即 k ＝1.所以这两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即 x －y ＋1＝0， x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程分别为x ＝－ 1，x ＝0 或 x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.规律总结研究直线要擅长从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类议论．这是隐含在题中的一个分类要素，易被忽略，也是犯“对而不全”错误的本源之一．变式训练 ]3．已知直线 l：4x－ysin θ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．解：直线 l 的方程中 y 的系数是－ sin θ，而 sin θ的值域是－ 1，1]，sin θ的值可取零，但 sin θ＝0 的直线的斜率不存在，故视 sin θ为研究对象，分类议论．(1)当 sin θ＝0，即θ＝kπ(k∈Z)时，π直线 l 的斜率不存在，倾斜角α＝2；(2)当 sin θ≠0，即θ≠kπ(k∈Z)时，4直线 l 的斜率 k＝? k的取值范围为(－∞，－4]∪4，＋∞)．三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较宽泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想．例 3] 已知过点 (3，0)的直线 l 与圆 x2＋y2＋x－6y＋3＝0 订交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ(此中 O 为坐标原点 )，求直线 l 的方程．剖析：已知 OP⊥OQ，若设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2＋y1y2＝0，由点 P， Q 在圆及直线 l 上，可联立方程，借助根与系数的关系求解．解：设直线 l 的方程为 x＋ay－3＝ 0，由题意知 a≠0.x2＋y2＋x－6y＋3＝ 0，由(*)x＋ ay－3＝0，消去 y，得 x2＋3－x 2＋x－ 6×3－x＋3＝0，a a即(a2＋1)x2＋(a2＋6a－ 6)x＋3a2－ 18a＋9＝0，设 P(x 1， y 1 ， 2 ，y 2 ，则 2－18a ＋9 ①) 1 2＝3a2.Q(x ) x x a ＋1由方程组 (*) 消去 x ，得(3－ay)2＋y 2＋3－ay －6y ＋3＝0，即(a 2＋1)y 2－ (7a ＋6)y ＋15＝0，15所以y1y2＝a 2＋1.②依题意知 OP ⊥ OQ ，所以 x 1x 2＋y 1y 2＝0.3a 2－ 18a ＋915将①②代入，得a 2＋1＋a 2＋1＝0.整理，得 a 2－6a ＋8＝0，解得 a ＝2 或 a ＝4，经查验知 a ＝2 和 a＝4 都知足题意，所以直线 l 的方程为 x ＋2y －3＝0 或 x ＋4y －3＝0.规律总结函数思想的本质是用联系和变化的看法提出问题的数学特点，成立各变量间的函数关系．经过函数形式，利用函数的相关性质，使问题得到解决．方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线地点关系的判断．变式训练 ]14．已知直线 l ：y ＝ 2x 和两个定点 A(1，1)，B(2，2)，问直线 l 上能否存在一点 P ，使得 |PA|2＋|PB|2获得最小值， 若存在，求出点 P 的坐标和 |PA|2＋|PB|2 的最小值；若不存在，说明原因．解：假定存在一点 P ，使得 |PA|2＋ |PB|2 获得最小值，设此点为 P(2x 0，x 0)，则 |PA|2＋ |PB|2＝ (2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－2)2＋ (x 0－2)2＝10x 20－18x 0＋10.9由于 x 0∈R ，所以当x＝10，99即点 P 的坐标为5，10时，PA2＋PB2可获得最小值，且最小值为1910.四、转变与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，进而使问题迅速获得解决．例 4] 已知实数 x，y 知足 y＝x2－2x＋2(－1≤x≤ 1)，试求y＋3的x＋2最大值和最小值．解：设 y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)表示曲线段 AB.由y＋3的几何意义x＋2可知，它表示定点P(－2，－3)和曲线段 AB 上任一点 (x，y)的连线的斜率 k，如下图，可知k PA≤k≤k PB.由已知可得 A(1，1)，B(－1， 5)，所以 k＝1－（－3）＝4，k＝5－（－ 3）＝8.PA－（－）3PB－1－（－ 2）124y＋3的最大值是8，最小值是4所以3≤k≤8，故＋3.x2规律总结y2－y1c＋dx对于形如 k＝的分式函数 y＝的值域问题，可利用定点x2－1a＋bxx与动点的相对地点，转变为求直线斜率的范围，利用数形联合进行求解．变式训练 ]5．已知实数 x，y 知足 x＋y＋1＝ 0，求 x2＋y2－2x－2y＋2 的最小值．解：原式可化为 (x －1)2＋ (y －1)2，其几何意义为点 P(x ，y)和点 Q(1，1)间距离的平方，而点 P(x ，y)在直线 x ＋y ＋1＝0 上．设 d 为点 Q 到直线 x ＋y ＋ 1＝0 的距离，由|PQ|≥d 得 （ x －1）2＋（ y －1）2≥|1＋1＋1|，2即 x 2＋y2－2x －2y ＋2≥29，故所求最小值为 92.。
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直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角．包括0°角、直角、锐 角，因此直线和平面所成角的范围是 0，.π2求 斜线与平面所 成的角一般步骤：
①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线 与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中， 利用平面几何或三角函数知识求出这个角．
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5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平 面a内的____________________，我们就说直线a与平面α互 相垂直．
6．过一点有且只有一条直线与平面垂直，同样， ____________________.
7．从平面外一点引平面的垂线， ____________________，叫做这个点到这个平面的距离．
5．任意一条直线都垂直 6．过一点有且只有一个平面与直线垂直 7．这个点和垂足间的回
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8．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的______， 那么这条直线垂直于这个平面．
(2)符号语言：假设________，________，________， ________，________，那么l⊥α.
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平 行．简称为：“____________________〞．
(2)符号语言：假设______∥________，______， ________，那么l∥m.
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（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥PABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F DEG 的体积V F DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥FDEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。
[金版学案]2016_2017学年苏版高中数学必修2(测试)模块综合检测卷(二)_Word版含解析
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模块综合检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：由题意知k OM ＝2－01－0＝2，所以k PQ ＝－12.所以直线PQ 的方程为： y －2＝－12(x －1)，即：x ＋2y －5＝0. 答案：B2．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2，2)．设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋（－1）2＝10，解得k ＝3.所以l的方程为3x－y－4＝0.答案：C3．在坐标平面xOy上，到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有( )A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：在坐标平面xOy，设点P(x，y，0)，依题意得（x－3）2＋（y－2）2＋25＝（x－3）2＋（y－5）2＋1，整理得y＝－12，x∈R，所以符合条件的点有无数个．答案：D4．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2 C．6 D．210解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a·1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.答案：C5．已知两点A(－2，0)，B(0，2)．点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22D.3－22解析：l AB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝|3|2＝32，所以AB边上的高的最小值为32－1.所以S min＝12×22×⎝⎛⎭⎪⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：A6．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7 C．－1 D．1答案：D7．一个多面体的三视图如左下图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C．6 D．7解析：该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，如图所示，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案：A8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：如图所示，取A 1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．所以异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°.答案：B9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞ 解析：C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．如图所示，当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33， 即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33.答案：B10．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4，则S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3 C.7， 3D ．7， 3解析：函数S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25化为(x －3)2＋(y －4)2＝S ，它是以点C (3，4)为圆心，半径为S 的圆，当此圆和已知圆x 2＋y 2＝4外切和切时，对应的S 的值即为要求的最小值和最大值．当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相外切时，对应的S 为最小值，此时两圆圆心距等于两圆半径之和，即5＝S min ＋2，求得S min ＝9；当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相切时，对应的S 为最大值，此时两圆圆心距等于两圆半径之差，即5＝S max －2，求得S max ＝49.答案：A11．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.答案：A12．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：设动圆圆心为P ，已知圆的圆心为A (5，－7)，则外切时|PA |＝5，切时|PA |＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8， 所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(3)2＝12π.答案：12π15．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长．设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2，当弦过点A(3，1)且与|CA|＝（2－3）2＋（2－1）2＝ 2.所以半弦长＝r2－|CA|2＝4－2＝ 2.所以最短弦长为2 2.答案：2216．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝12×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝13×12×3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3)． 答案：24三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1，l 2上．将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×（－1）－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8×m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇环形ABCD ，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．(1)AD应取多长？(2)容器的容积为多大？解：(1)如图①和图②所示，设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，则OD＝72－x.图①图②由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR＝60×π180·72，2πr＝60×π180（72－x），72－x＝3R.所以R＝12，r＝6，x＝36，所以AD＝36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H＝722－R2＝1235，圆台的高h＝H2＝635，小圆锥的高h′＝635，所以V容＝V大锥－V小锥＝13πR2H－13πr2h′＝50435π.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF ⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB.所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图所示，取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12 AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4. 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6k 2＋1⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又因为轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，±253与点(4，0)决定的直线斜率为±257. 所以当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时，k 的取值围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－257，257∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34.。
【金版学案】高一数学苏教版必修2习题：1. 1.3 中心投影和平行投影 Word版含答案[ 高考]
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1．1.3中心投影和平行投影诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
”这首诗告诉我们，要注意从不同角度观察事物，下面的三个图形是从不同方向观察某一物体的形象，你能分析出它代表什么吗？分析的依据是什么？1．由于光的照射，在不透明的物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．投影线交于一点的投影称为中心投影，或看作由点光源照射形成的投影；投影线相互平行的投影称为平行投影，或看作由平行光照射形成的投影．两种投影的区别在于：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构，中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．3．平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种．4．平行投影的主要性质有：①直线或线段的平行投影是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一条直线或平行直线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．5．视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．光线自物体由前向后投射所得投影称为主视图或正视图．光线自物体由上向下投射所得投影称为俯视图；光线自物体由左向右投射所得投影称为左视图．几何体的正视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图．6．长方体的三视图都是矩形，正方体的三视图都是正方形(有一面正对观察者)；直立圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆；直立圆柱的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆；圆台的主视图与左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆．7．三视图的画法规则：一个几何体的主视图和左视图的高度一样，俯视图和主视图的长度一样，左视图与俯视图的宽度一样．画三视图时，看见的线画成实线，被遮住看不见的线要画成虚线．,一、投影的分类与区别投影分为中心投影和平行投影两种．两种投影的区别在于：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点．②同一个几何体在平行投影与中心投影下有不同的图形结构，中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体，平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．二、平行投影的性质①直线或线段的平行投影是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重叠的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行线上的两条线段的投影平行且投影比等于这两条线段之比．三、三视图①几何体的主视图、左视图、俯视图统称为几何体的三视图；②三视图画法规则是：高平齐(即主视图与左视图的高要保持平齐)、长对正(即主视图与俯视图的长应对正)、宽相等(即俯视图与左视图的宽度应相等)；③看得见的棱或轮廓线要用实线表示，看不见的棱或轮廓线要用虚线表示．基础巩固知识点一中心投影与平行投影1．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有________(填序号)．解析：由投影的相关知识知，四个命题均正确．答案：①②③④2．两条相交直线的平行投影是____________________________．解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时，平行投影是两条相交直线；当平行时，其投影是一条直线．答案：两条相交直线或一条直线3．中心投影的投影线________；平行投影的投影线是________的，平行投影有________与________．答案：相交于一点平行正投影斜投影知识点二空间几何体的三视图4．三视图是相同图形的几何体是________．解析：球的三视图都是圆．答案：球5．如右图，画出圆锥的左视图．解析：从正左方向向右投影得到左视图．如下图．6．画出下列几何体的三视图：解析：(1)三棱锥的三视图：(2)四棱台的三视图：知识点三由三视图判断空间几何体7．下图为两个几何体的三视图，根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．答案：圆台四棱锥]8．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(A)A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：根据正视图的形状推测几何体的形状．由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.能力升级综合点一几何体的投影与三视图的综合理解9．下列实例中，不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知，小孔成像，相片，人的视觉为中心投影，工程图纸为平行投影．答案：①10．画简单组合体的三视图时，下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同；②主视图与左视图高平齐；③俯视图与左视图宽相等；④俯视图画在左视图的正向．解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”，易知①②③正确．答案：④综合点二空间几何体三视图的综合判断11．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(B)解析：根据三视图的概念，直接观察求解即可．该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，故选B.综合点三几何体三视图中的有关计算12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．解析：从左视图中得到高为2，正三棱柱的底面正三角形的高为23，可得边长为4.答案：2 4综合点四利用三视图探究几何体的形状13．用小立方体组成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置各层小立方体的个数．(1)你能确定哪些字母表示的数？(2)几何体可能有多少种不同的形状？解析：(1)面对数个立方体组成的几何体，通过对主视图与俯视图的观察，我们可得出下列结论：①a＝3，b＝1，c＝1.②d、e、f中的最大值为2、最小值为1或2，且至少有一个是2.所以上述字母中我们可以确定的是a＝3，b＝1，c＝1.(2)当d、e、f中有一个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f 中有两个是2时，有3种不同的形状；当d、e、f中都是2时，有1种形状，所以几何体有7种不同的形状．。
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模块综合检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．不存在 答案：C2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．－6或2C ．3或－4D ．6或－2答案：D3．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为( )A ．27πB ．18πC ．9πD ．54π解析：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，则6a 2＝54，所以a ＝3.又因为2r ＝3a ，所以r ＝32a ＝332， 所以S 表＝4πr 2＝4π·274＝27π. 答案：A4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是()答案：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18 C．24 D．30解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图①所示，故该几何体的直观图如图②所示．在图①中，V棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝12×4×3×5＝30，V棱锥P-A1B1C1＝13S△A1B1C1·PB1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC-PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.答案：C6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，所以|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.答案：A7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.[]－3，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：法一：可联立方程组利用弦长公式求|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出|MN |，再结合|MN |≥23可得答案．答案：B8．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析：如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.答案：D9.如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：如图所示，取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH 为所求，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，从而可得∠EFH ＝30°.答案：D10．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0，得(1＋k 2)·x 2＋2kx ＝0.因为两点恰好关于y 轴对称，所以x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2＝0， 所以k ＝0.答案：A11．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解析：垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1， 所以a ＝10.l ：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.答案：A12．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6解析：由题意知l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即－13k ＝－1，k ＝3. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]14．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2－(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1. 因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22.解得a ＝4±15.答案：4±1515．如图所示，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是26.其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．解析：取AC的中点E，连接DE，BE，则DE⊥AC，BE⊥AC，且DE⊥BE.又DE＝EC＝BE，所以DC＝DB＝BC，故△DBC是等边三角形．又AC⊥平面BDE，故AC⊥BD.又V D-ABC＝13S△ABC·DE＝13×12×1×1×22＝212，故③错误．答案：①②16．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是_________________________．解析：因为(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25，所以点P 在圆内．当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－4，将x ＝－4代入圆的方程，得y ＝2或y ＝－6，此时弦长为8.当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，当弦长为8时，圆心到直线的距离为25－42＝3，则|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3， 解得k ＝－43.则直线l 的方程为y ＋3＝－43(x ＋4)， 即4x ＋3y ＋25＝0.答案：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解：法一：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，所以直线l 的斜率k ＝－3.所以根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 故所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.法二：因为直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点， 所以设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.因为直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，所以λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 从而所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.18．(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC 1∥AA 1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°.＝23，在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×33从而S△ABC＝32＝33，4BC因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.19．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.20．(本小题满分12分)右图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V，则V＝8×4×6＋12×8π＝192＋16π.2×2所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.21．(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)因为点P(x，y)是MN的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 02，故⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y . 将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16.故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.22.(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a的取值范围．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C(a，2(a－2))，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋（2a－3）2≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。