《研究生课件 数理统计》
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《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
研究生-数理统计课后答案参考
, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为 ，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得 满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
工程硕士数理统计课件第六讲
，建立预测模型。
应用与结论
将建立的回归模型应用于实际工 程设计，预测性能或结果，为工 程决策提供依据。
案例三：质量控制中的假设检验应用
选择合适的检验统计量
提出假设
根据质量控制需求，提出原假设 和备择假设。
根据数据类型和分布特征，选择 合适的检验统计量。
进行假设检验
根据样本数据计算检验统计量， 并依据临界值判断原假设是否成 立。
总结词
通过实例演示如何运用假设检验 方法对质量控制数据进行统计分 析，判断产品质量是否符合预期 标准。
P值与结论
计算P值并根据其大小判断是否拒 绝原假设，从而判断产品质量是 否符合预期标准。
07
总结与展望
本讲内容的回顾
统计推断
介绍了统计推断的基本原理和方法，包括参数估 计和假设检验。
方差分析
介绍了方差分析的基本原理和在工程实践中的应 用，包括单因素和多因素方差分析。
统计学的分类
02
01
03
描述统计学
通过数据描述来揭示数据的分布特征和规律。
推断统计学
利用样本信息来推断总体特征和规律。
预测统计学
利用已知数据来预测未来的趋势和结果。
统计学的基本概念
01
02
03
04
数据
统计学研究的对象是数据，包 括数值和非数值数据。
总体和样本
总体是研究对象全体数据的集 合，样本是从总体中抽取的一 部分数据。
工程硕士数理统计课件第六讲
目
CONTENCT
录
• 引言 • 数理统计基础 • 描述性统计 • 概率论基础 • 参数估计与假设检验 • 工程应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
应用与结论
将建立的回归模型应用于实际工 程设计，预测性能或结果，为工 程决策提供依据。
案例三：质量控制中的假设检验应用
选择合适的检验统计量
提出假设
根据质量控制需求，提出原假设 和备择假设。
根据数据类型和分布特征，选择 合适的检验统计量。
进行假设检验
根据样本数据计算检验统计量， 并依据临界值判断原假设是否成 立。
总结词
通过实例演示如何运用假设检验 方法对质量控制数据进行统计分 析，判断产品质量是否符合预期 标准。
P值与结论
计算P值并根据其大小判断是否拒 绝原假设，从而判断产品质量是 否符合预期标准。
07
总结与展望
本讲内容的回顾
统计推断
介绍了统计推断的基本原理和方法，包括参数估 计和假设检验。
方差分析
介绍了方差分析的基本原理和在工程实践中的应 用，包括单因素和多因素方差分析。
统计学的分类
02
01
03
描述统计学
通过数据描述来揭示数据的分布特征和规律。
推断统计学
利用样本信息来推断总体特征和规律。
预测统计学
利用已知数据来预测未来的趋势和结果。
统计学的基本概念
01
02
03
04
数据
统计学研究的对象是数据，包 括数值和非数值数据。
总体和样本
总体是研究对象全体数据的集 合，样本是从总体中抽取的一 部分数据。
工程硕士数理统计课件第六讲
目
CONTENCT
录
• 引言 • 数理统计基础 • 描述性统计 • 概率论基础 • 参数估计与假设检验 • 工程应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
研究生应用数理统计参数估计(讲稿)
, X n )] ,则称$是的渐进
无偏估计量。
注：1 n n i1
Xi X
2不是D（X）的无偏估计量，但是
渐进无偏估计量。
例2.2.1 对任一总体，若E( X )=,D( X )= 2均存在
，且X1, X 2 ,L , X 2为X的样本，试证
（1）1 n
则称$1比$2有效。
注：方差越小越好。那么是否有下界？
例2.2.1 设对总体X : N (, 2 )，X1, X 2,L , X n
是来自总体X的样本，试证
（1）S12
1 n
n i 1
Xi
2 是 2的无偏估计量;
(2)S12是较S 2
1 n 1
n i 1
nI ( )
称为g( )的无偏估计的T的R C方差下界。
注1 对离散总体，将密度函数改为分布律即可；
注2 一般分布都满足正则条件；
注3 利用R-C不等式有时可以判断出一个无偏
估计是否是UMVUE,因为在满足定理条件下，如果
D(T ) g( )2 ，则T是g( )的UMVUE.但UMVUE的
n
试求p的极大似然估计量。
例2.1.5 设总体X的概率分布如下表，
X
012Fra bibliotek3P
2
2(1-) 2
1-2
0
1 2
是未知参数，利用总体X的如下观测值，
3，1，3，0，3，1，2，3
求的极大似然估计值。
例2.1.6 设总体X的分布函数为
F(x;
,
)=
1
研究生数学基础课程之应用数理统计
多元线性回归
总结词
多元线性回归是研究多个自变量与一个因变量之间线性关系 的统计方法。
详细描述
多元线性回归分析中，我们通常使用多个自变量来预测一个 因变量的值。通过建立多元线性方程组，我们可以分析多个 变量之间的关系，并预测未来趋势。这种方法在经济学、社 会科学和医学等领域有广泛应用。
非线性回归分析
实验设计与数据分析
实验设计原则与步骤
实验设计原则
确保实验的公正性、随机性和可重复 性，以减少误差和偏见。
实验设计步骤
确定研究目的、选择实验对象、设计 实验程序、确定样本量和实验周期。
数据收集与整理
数据收集方法
采用问卷调查、观察法、测量法等多种方法收集数据。
数据整理步骤
对数据进行清洗、分类、编码和整理，确保数据准确性和完整性。
跨学科应用
应用数理统计是许多学科领域研究的重要工具。通过学习本课程，学生可以掌握不同领域中数据分析的方法和技术， 为未来的学术研究和职业发展打下坚实的基础。
培养逻辑思维
应用数理统计不仅是一门技术学科，更是一种思维方式。学习本课程有助于培养学生的逻辑思维和问题 解决能力，提高综合素质。
02
概率论基础
总结词
非线性回归分析是研究非线性关系的统计方法，适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况。
详细描述
非线性回归分析通过使用非线性函数来描述两个变量之间的关系。这种方法适用于因变量和自变量之间存在曲线、 指数或其他非线性关系的情况。非线性回归分析在许多领域都有应用，如生物学、经济学和物理学等。
05
02
方差分析的步骤
包括建立模型、计算自由度、计 算F统计量、进行F检验等步骤。
03
方差分析的应用
《概率论与数理统计》经典课件 概率论
解： P( Ak )
C C k nk D ND
/ CNn ,
k
0,1,
,n
（注：当L>m或L<0时，记 CmL 0）
2021/8/30
17
❖ 例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒
的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解： ① ②……n
2021/8/30
2
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
S AB
✓
A的逆事件记为A,
A
A S,
A A
若
A A
B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
An；
A B {甲、乙至少有一人来}
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
# 3。的推广：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
硕士研究生数理统计课件
ξ2、……、ξn ）来自于总体F(x)。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
[理学]研究生应用数理统计pdf课件第1章
![[理学]研究生应用数理统计pdf课件第1章](https://img.taocdn.com/s3/m/603deedb0408763231126edb6f1aff00bed570ce.png)
盒形图主要出现在专业文献中。
19 24 27 32
60
(3). 茎叶图 (Stemplot)
60 5+ 6 5 4+ 6 4 04 3+ 7 3 00011334 2+ 5 5 5 5 6 6 7 7 7 9 9 9 9 2 223333444 1+ 9
1. 分类变量的图表示
分类变量(Categorical Variable) 主要指 这种变量的各个取值没有大小、顺序的区别， 不能做数学运算。
如：性别变量、属性变量等
主要有饼图、条形图两种表示方法
例1.1.1 马萨诸塞州犯罪情况(1993年)
马萨诸塞州地方犯罪情况
33%
无新罪 新罪
67%
马萨诸塞州地方犯罪情况
参数估计 数理统计学最重要的内容之一 利用样本观察值去估计出总体的未知参数
直观上可以利用调查到的 n 个学生的月支出
x1 ,x2 ,…,xn 的算术平均 ：
∑ x
=
1 n
n k =1
xk
去估计这所学校学生的平均月支出费用 µ 。
它的合理性在哪？ 还有没有其它的办法？ 这些不同的方法各有什么样的优缺点？
统计学的目的就是从样本去得出总体的信息。
总体
……..
样本
被研究的对象全体
具有代表性的 部分个体
定义1.1.1 X 是具有分布函数 F 的一个随机变量， 如果 X1，X2 ，…，Xn 是有同一分布函数 F 的 相互独立的随机变量，则称：
X1，X2 ，…，Xn 是从总体 F ( 总体 X ) 中得到 的容量为 n 的简单随机样本，简称为 样本。
Fn (x) =
0，
—k ， n 1，
19 24 27 32
60
(3). 茎叶图 (Stemplot)
60 5+ 6 5 4+ 6 4 04 3+ 7 3 00011334 2+ 5 5 5 5 6 6 7 7 7 9 9 9 9 2 223333444 1+ 9
1. 分类变量的图表示
分类变量(Categorical Variable) 主要指 这种变量的各个取值没有大小、顺序的区别， 不能做数学运算。
如：性别变量、属性变量等
主要有饼图、条形图两种表示方法
例1.1.1 马萨诸塞州犯罪情况(1993年)
马萨诸塞州地方犯罪情况
33%
无新罪 新罪
67%
马萨诸塞州地方犯罪情况
参数估计 数理统计学最重要的内容之一 利用样本观察值去估计出总体的未知参数
直观上可以利用调查到的 n 个学生的月支出
x1 ,x2 ,…,xn 的算术平均 ：
∑ x
=
1 n
n k =1
xk
去估计这所学校学生的平均月支出费用 µ 。
它的合理性在哪？ 还有没有其它的办法？ 这些不同的方法各有什么样的优缺点？
统计学的目的就是从样本去得出总体的信息。
总体
……..
样本
被研究的对象全体
具有代表性的 部分个体
定义1.1.1 X 是具有分布函数 F 的一个随机变量， 如果 X1，X2 ，…，Xn 是有同一分布函数 F 的 相互独立的随机变量，则称：
X1，X2 ，…，Xn 是从总体 F ( 总体 X ) 中得到 的容量为 n 的简单随机样本，简称为 样本。
Fn (x) =
0，
—k ， n 1，
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
《概率论与数理统计》课件 第七章 随机变量的数字特征
i 1,2, , 如果 xi pi ， 则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节 方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
大连理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章
第6章数理统计的基本概念一. 统计的基本概念二. 统计量的分布三. 抽样分布，由大数定律：（3）则在 8.1，需确定估计区间（）。
（2）构造2σ甲μ甲μ乙μμ−→−PX1.8=x统计工作最基本内容：1.估计电视机寿命的平均值µ，估计电视机寿命的方差2.比较两厂电视机寿命值有无差别，方差有无差别。
总体样本统计量参数点估计假设检验区间估计目的：（方差同理）方法：()··21是否一致与μμ()··2221是否一致与σσ()··0是否一致与μμ()··22是否一致与σσ().,...,21n x x x 统计工作的基本步骤1.收集资料：2.统计分析：对数据整理和分析3.统计推断：i ）点估计：确定未知参数θ的估计量ii ）区间估计：确定（左，右）区间（1）参数估计：（2）假设检验：i ）推断两个总体均数是否一致ii ）推断两个总体方差是否一致iii ）推断一个总体均数有无变化iv ）推断一个总体方差有无变化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2221212σσμμσμθ一. 统计的基本概念()为样本一组观察值。
,21n x x x ⎩⎨⎧总体有限总体（观察值有限个）无限总体（观察值无穷多个）随机变量 X 总体⇔（n 为样本容量）研究对象观察值的全体（样本是从总体中抽取的部分个体）n X X X 21,个体：每个观察值。
独立同分布，则称()n X X X 21,为简单随机样本，简称为样本。
(),,21n X X XnX X X 21,(),...2,1,===i p x X P i i ()n n x X x X x X P ===,...,2211()∏===ni i x X P 1样本联合分布列：（1）代表性：保证总体中每个个体有同等机会被抽到。
（2）独立性：每次抽取独立进行，各个体值互不影响。
（1）离散型：总体X 的分布列()发生的概率x x x 样本点n 21,与总体同分布()n x x x F ,...,21()n x x x f ,...,21（2）连续型：总体X 的分布密度f (x )样本联合密度：（3）总体X 的分布函数F (x )样本联合分布函数为：()()()n x f x f x f 21=()()()n x F x F x F 21=()发生的可能性x x x 样本点n 21,n X X X ,,21n X X X ,,21()n X X X 21,设为总体X 的样本，()n X X X T T 21,=函数，且不含任何未知参数，称T 为统计量。
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
o
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
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序列，且E(Xi)= ，Var(Xi)= 2， i=1,2,…, 则对任给 >0,
ln i m P{n 1| i n1Xi |}1
.
8
下面给出的贝努里大数定律，
是定理2的一种特例.
设Sn是n重贝努里试验中事件A发
生的次数，p是事件A发生的概率，
贝努里
引入
1，如第 i次试A验 发生
Xi 0，
否则 i=1,2,…,n
n
则
Sn Xi
i 1
Sn
n
1 n
n i1
Xi
是事件A发生的频率
.
9
于是有下面的定理：
贝努里
定理3（贝努里大数定律）
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{S | np|}1
n n
或 lim P{S | np|}0
n n
.
10
任给ε>0， lim P{S | np|}0
近于1.
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
.
6
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{X | E(X)|}122
.
7
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有 下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
≤K，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
ln im P{n 1|i n1X in 1i n1E (X i)|}1
.
5
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i1
X
i
与其数学期望
1 n
n
E( Xi )偏差很小的
i1
概率接近于1.
1 n
随机的即了当，n充取分值大接时近，于其n i数1 X学i 期差望不的多概不率再接是
.
13
这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
.
14
休息片刻继续下一讲
辛钦
分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
ln i m P{n 1| i n1Xi |}1
请看演示 辛钦大数定律
.
12
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
.
3
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
Hale Waihona Puke .4几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1, X2, …是相互独立的随
机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi)
n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小.
请看演示 贝努里大数定律
贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
.
11
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理3（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
第五章 大数定律和 中心极限定理
第一节 大 数 定 律
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
.
2
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
ln i m P{n 1| i n1Xi |}1
.
8
下面给出的贝努里大数定律，
是定理2的一种特例.
设Sn是n重贝努里试验中事件A发
生的次数，p是事件A发生的概率，
贝努里
引入
1，如第 i次试A验 发生
Xi 0，
否则 i=1,2,…,n
n
则
Sn Xi
i 1
Sn
n
1 n
n i1
Xi
是事件A发生的频率
.
9
于是有下面的定理：
贝努里
定理3（贝努里大数定律）
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{S | np|}1
n n
或 lim P{S | np|}0
n n
.
10
任给ε>0， lim P{S | np|}0
近于1.
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
.
6
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{X | E(X)|}122
.
7
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有 下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
≤K，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
ln im P{n 1|i n1X in 1i n1E (X i)|}1
.
5
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i1
X
i
与其数学期望
1 n
n
E( Xi )偏差很小的
i1
概率接近于1.
1 n
随机的即了当，n充取分值大接时近，于其n i数1 X学i 期差望不的多概不率再接是
.
13
这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
.
14
休息片刻继续下一讲
辛钦
分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
ln i m P{n 1| i n1Xi |}1
请看演示 辛钦大数定律
.
12
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
.
3
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
Hale Waihona Puke .4几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1, X2, …是相互独立的随
机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi)
n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小.
请看演示 贝努里大数定律
贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
.
11
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理3（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
第五章 大数定律和 中心极限定理
第一节 大 数 定 律
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
.
2
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: