2013年江苏高考数学试题及答案解析版

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数)4

2sin(3π

+=x y 的最小正周期为 ．

【答案】π

【解析】T ＝|2πω |＝|2π

2 |＝π．

2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5

【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝

＝5．

3．双曲线

19

162

2=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 4

3±

= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4

31692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．

【答案】8

【解析】23＝8．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3

【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2

【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：905

92

88919089=++++=

x ．

方差为：25

)9092()9088()9091()9090()9089(2

22222

=-+-+-+-+-=

S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 【答案】

63

20

【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为

63

20

9754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥

ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．

【答案】1：24

【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故

体积之比为1：8．

又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：

3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比

为1：24．

9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]

【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z

2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝1

2 ．

10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=

，BC BE 3

2

=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】1

2

【解析】)(32

213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=

+= AC AB AC AB 213

2

61λλ+=+-=

x

A

B C

1A

D

E F

1B

1C

所以，611-

=λ，3

2

2=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．

【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)

【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ，右焦点为

F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，

若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ． 【答案】

3

3

【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2

，

由等面

积得：1d ＝a bc

。若126d d =，则c

b 2＝

6a bc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2

a ，得：0662

=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a b ，解之得：a b ＝36，所以，离心率为：331e 2

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=a b ．

x

y

y ＝x

y ＝x 2—4P (5,5)

13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x

y 1

=

（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 【答案】1或10 【解析】

14．在正项等比数列}{n a 中，2

1

5=

a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ． 【答案】12

【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧

=+=

3

)1(2

15141q q a q a ，得：a 1＝1

32 ，q

＝2，a n ＝2

6－n

．记52121

2-=+++=n n n a a a T ，2

)1(212

n

n n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则

2

)1(5

22

1

2n n n ->-，化简得：

52

11

212212+->-n n n

，当5211212+->

n n n 时，122

121

13≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．

（1）若2||=

-b a ，求证：b a ⊥；

（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，

|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0， 所以，b a ⊥． （2）⎩⎨

⎧=+=+②

1

sin sin ①0

cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ． 所以，α－β＝

π32，α＝π3

2

＋β， 带入②得：sin(

π32＋β)＋sin β＝2

3cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1，