常见统计分布及其特点

【附录一】常见分布汇总

一、二项分布

二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是。

二、泊松poisson分布

1、概念

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

2、特点——期望和方差均为λ。

3、应用（固定速率出现的事物。）——在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布

三、均匀分布uniform

设连续型随机变量X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b

则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，记为X~U[a,b]。

四、指数分布Exponential Distribution

1、概念

2、特点——无记忆性

（1）这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。

（2）无记忆性

当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s) 即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

3、应用

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果

五、正态分布Normal distribution

1、概念

2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础）

中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。

3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在。

4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础

定理一：设X1，X2，X3.。。Xn是来自正态总体N（μ，δ2）的样本，则有

样本均值X~N（μ，δ2/n）——总体方差常常未知，用t分布较多

六、χ2卡方分布（与方差有关）chi-square distribution

1、概念

若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同

分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），其中参数n 称为自由度

【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来。用RSS/δ2，所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。

2、卡方分布的特点

（1）

分布的均值为自由度 n ，记为 E() = n 。（这个容易证明） （2）分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 D(

) = 2n 。 （3）如果 互相独立，则：（独立可加减）

服从

分布，自由度 ； 服从 分布，自由度为

3、图形特点

4、应用

定理二，设X1，X2，X3.。。Xn 是来自正态总体N （μ，δ2）的样本，则有

样本均值X~N （μ，δ2/n ） ）（χδ1-n ~)1(222

S n

（1）正态分布以及卡方分布是F 检验的基础。大量的检验用到了F 检验：F 检验、三大检验。

七、t 学生分布（用样本方差s 来标准化）——Student's t-distribution

1、概念（适用于δ2未知）

【理解】把样本标准正态化的U 变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布。 由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量t 值的分布称为t 分布（u 变换指把变量转换为标准正态分布）

【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同

2、特点

1）与标准正态分布曲线相比，自由度v 越小，t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大，t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=∞时，t 分布曲线为标准正态分布曲线。

定理三：设X1，X2，X3.。。Xn 是来自正态总体N （μ，δ2）的样本，则有

样本均值X~N （μ，δ2/n ），S 为样本方差

）

（μ1-n t ~n /S X 【注意】S 是样本方差。中心极限定理说的是样本均值的方差。

八、F 分布F-distribution

1、概念

F 分布定义为：设X 、Y 为两个独立的随机变量，X 服从自由度为k1的卡方分布，Y 服从自由度为k2的卡方分布，这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布

2、特点

（1）它是一种非对称分布；

（2）它有两个自由度，即n1 -1和n2-1，相应的分布记为F （ n1 –1， n2-1）， n1 –1通常称为分子自由度， n2-1通常称为分母自由度；

（3）F 分布是一个以自由度

和 为参数的分布族，不同的自由

度决定了F 分布的形状。 （4）F 分布的倒数性质：

（5）残差平方和之比通常与F 分布有关。