第四讲 机器人位姿描述
工业机器人位姿描述资料
齐次变换法 矢量法
位姿描述
旋量法 四元数法
5
上海电机学院
位姿描述——点的位置描述
1.点的位置描述{位置矢量}
对于直角坐标系{A}，空间任一点P的位置可用3×1的列矢量 表示。
px
A
P
p
y
pz
AP的上标A代表参考坐标系｛A｝。
6
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
姿态可由某个固连于此物体的坐标系描述。 BAR [AxB ,AyB, A zB ]
nx ox ax
A B
R
ny
oy
a
y
nz oz az
旋转矩阵
7
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
nx ox ax cos(n, x) cos(o, x) cos(a, x)
A B
R
ny
oy
a
y
cos(n,
y)
cos(o, y)
cos(a, y)
nz oz az cos(n, z) cos(o, z) cos(a, z)
(1)点的齐次坐标
px
AP
py
pz
齐次坐标
px
p
y
pz
1
注意： 齐次坐标的表示不是惟一的。
P px py pz 1 T px py pz T a b c T
11
上海电机学院
位姿描述——齐次坐标
规定：
(1) (4×1)列阵[a b c ω]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的 位置；
14
上海电机学院
位姿描述——动坐标系位姿的描述
静系
在机器人坐标系中，运动时相对 于连杆不动的坐标系称为静坐标
机器人的位姿描述与坐标变换
0
1
0
⎥ ⎥
⎢⎣− sinθ 0 cosθ ⎥⎦
Zi Zj
θ
θ Xi
Xj
Yi Y j
⎡cosθ − sinθ 0⎤
j i
R(Zi
,θ
)
=
⎢⎢sinθ
cosθ
0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 1⎥⎦
Zi Zj
θ
Xi Xj
Yj
θ
Yi
⎡1 0
0⎤
j i
R(
X
i
,θ
)
=
⎢⎢0
cosθ
−
sinθ
⎥ ⎥
⎢⎣0 sinθ cosθ ⎥⎦
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
位置矢量
⎡x0 ⎤
P o '
o
=
⎢ ⎢
y0
⎥ ⎥
⎢⎣ z0 ⎥⎦
Z b Z'
O' Y' t n X' O
X Y
姿态矢量
O' O
R
=
[
O' O
X
OO'Y
⎡cos(∠X ' X )
O' O
Z
]3×3
=
⎢ ⎢
cos(∠X
'Y
)
⎢⎣cos(∠X ' Z )
单位主矢量
cos(∠Y ' X ) cos(∠Y 'Y ) cos(∠Z ' Z )
cos(∠Z ' X )⎤
cos(∠Z
'Y
)
⎥ ⎥
cos(∠Z ' Z ) ⎥⎦
姿态矩阵R的特点：
机器人技术基础实验报告2(机器人空间位姿描述)
机器人技术基础实验报告班级：学号：姓名：台号： 2 课程：2.机器人空间位姿描述成绩：批改日期：教师签字：实验目的：1、认识机器人位置与姿态的描述方式2、了解多种姿态的描述方法实验设备及软件:1、珞石XB4机器人2、MATLAB实验原理:位置描述：建立坐标系后可以用一个3×1的位置矢量对坐标系中的任何点进行定位。
用三个相互正交的带有箭头的单位矢量来表示一个坐标系{A}.用一个矢量来表示一个点P A ，并且可等价地被认为是空间的一个位置矢量，或者简单地用一组有序的三个数字来表示。
矢量的各个元素用下标x，y和z 来标明：姿态描述：为了描述物体的姿态，需要在物体上固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。
用X B 、Y B和Z B来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。
在用坐标系{A}的坐标表达时，写成X B A、Y B A、Z B A。
这三个单位矢量按照顺序排列组成一个3×3的矩阵，称之为旋转矩阵。
记为：R B A= [X B A Y B A Z B A]分别绕X 轴，Y轴，Z轴的旋转变换为：坐标系变换是一个坐标系描述到另一个坐标系描述的变换。
被描述的空间点本身没有改变，只是它的描述改变了。
一般情况下坐标系{A}与坐标系{B}既存在位置差异又存在姿态差异。
则相对于坐标系{B}描述的点PB在坐标系{A}下的描述为：AP A=R B A P B+P BORG为了简化表达，可改写为：[P A1]=[R B A P BORG A 01][P B 1]=T B A[P B 1] 其中T B A =[RB A P BORGA01]为4×4矩阵，称为齐次变换矩阵。
描述了坐标系{B} 相对于坐标系{A}的变换。
姿态其他描述： X-Y-Z 固定角 等效转轴表示法 X-Y-Z 欧拉角 四元素法 1、X-Y-Z 固定角:坐标系{B}的方位规则如下：最初坐标系{B}与{A}重合，转动相对固定坐标系{A}来描述，先绕X A 轴转γ 角 ，再绕Y A 轴转β角，最后绕Z A 轴转α角。
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
[课件](工业机器人)位姿描述与齐次变换PPT
位姿描述与齐次变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/711ba841caaedd3383c4d3c4.png)
根据几何学知识，上面第四小节中给定点的绝对位置为：
Ap b a b a b a c s cs b a
写成三维形式，有：
a a a c s 0a Apbbbs c 0b
3. 试按照运动顺序计算相关基本变换矩阵相乘结果
c s 0 a
Tra(An a,A sb,A0)Ro(zA t,)s0
c
0
0 b 1 0
0
1
4. 计算结果比较
两种方法结果相同！但后一种方法简单！
问题：是否仅仅按照运动变换顺序将相关的基本变 换矩阵相乘，即可以得到齐次变换阵？
0 0 0 0 0 10
O B 在A中位置，记作 A pOB
B在
A 中姿态，记作
A B
R
。
分成两块，不便于记忆！
齐次变换矩阵
若写成如下齐次形式，有：
c s 0 aa
A 1ps0 0
c
0 0
0 1 0
A 中的位置，然后与
b
A坐标原点值相加即可
得到该点绝对位置。
OA
由几何法，得：
aacbs 写成矩阵形式
b as bc
Y A
YB
b
b
XB a
OB
a
X A
a
XA
相
a c sa 对
bs cb
坐 标 值
b 1 0b 1 0B A 0R
Ap 1OBB 1pA BTB 1p
七、齐次变换矩阵
1. 构成：分为4块。左上角是姿态矩阵，为一单位正交 矩阵；右上角为对象坐标系原点位置值；左下角为 三个0 0 0，简记为0；右下角为1。
机器人的位姿描述课件
通过位姿描述，可以确定机器人 在空间中的位置、朝向和姿态， 对于机器人运动学、导航、遥控 等领域具有重要意义。
机器人位姿的表示方法
欧拉角表示法
以绕三个轴（横滚、俯仰、偏 航）的旋转角度为基础，描述
机器人的姿态和朝向。
方向余弦矩阵表示法
通过三个方向的单位向量和三 个方向的旋转角度，构建一个 方向余弦矩阵，描述机器人的 姿态和朝向。
总结词
精准、稳定、高效
详细描述
工业机器人通常需要高精度、稳定性和效率来提高生产效率、产品质量和降低生产成本。位姿控制策 略是实现这些目标的关键技术。通过对工业机器人的运动学和动力学模型进行分析和优化，可以实现 对机器人位姿的高精度控制。
全
详细描述
手术导航
医疗机器人在手术导航中通过位姿描述， 实现精确的手术定位和操作。
康复治疗
医疗机器人在康复治疗中，通过位姿描述 评估患者的运动功能和康复进展。
辅助行走
医疗机器人在辅助行走中，通过位姿描述 实现稳定、安全的行走辅助。
航空航天机器人
空间探索
航空航天机器人在空间探索中通过位姿描 述，实现精确的物体抓取和运输。
无人机配送
航空航天机器人在无人机配送中，通过位 姿描述实现准确、高效的配送服务。
机场跑道清扫
航空航天机器人在机场跑道清扫中，通过 位姿描述实现高效、安全的清扫作业。
04
机器人位姿描述的挑战与解决方案
传感器误差与位姿估计
传感器误差
机器人的传感器在获取自身及环境信息时存在误差，包括安装偏差、测量不准确 等问题，对位姿估计造成影响。
平移向量
平移向量是用于描述物体在空间中沿 某三个方向移动的向量，通常用三个 连续的数值表示。通过平移向量，可 以确定机器人在空间中的位置。
机器人的位姿运动学
PAB (Bx Ax )i ( By Ay ) j ( Bz Az )k
ax P b y cz
x
P
cz by ax
y
【空间向量的表示】
Application of a scale factor
Makes the matrix 4 by 1 Allows for introducing directional vectors
S 1 0 0 C 0
Representation of Combined Transformations
【复合变换的表示】
1. 2.
Example:
Rotation of degrees about the x-axis, Followed by a translation of [l1,l2,l3] (relative to the x-, y-, and z-axes respectively), Followed by a rotation of degrees about the y-axis.
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
【齐次变换矩阵】
3. 变换的表示 Representation of Transformations
当空间的坐标系（向量、物体或运动坐标系）相对于固定的参考坐 标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。
z
Axis
px pn p y l1 l2 po cos pa sin pz l3 l4 po sin pa cos
机器人技术第4讲
0 0 0 .1 0
1 0 0.5 0
17
2.11 微分变换
4. 两个坐标系之间微运动的关系
实际应用中，往往需要得到某两个坐标系i和j之间的微运动关系， 即 i 与 j 之间的关系，不失一般性，假定j系就是固定系0系， 由前面的微运动可知： (2-115) T T
(2-107)
8
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
于是变为：
Trans(d x , d y , d z ) Rot( K , d) I K z d 0 K z d 0 K y d K x d 0 0 K y d K x d 0 0 dx dy dz 0
2.11 微分变换
前几节讲述了机器人手部位姿与关节运 动间的关系，其目的是使机器人的手部 达到空间某一给定的位姿。 在对机器人进行操作与控制时，常常涉 及到机械手位置和姿态的微小变化，这 些变化可由描述机械手位姿的齐次变换 矩阵的微小变化来表示。在数学上，这 种微小变化可用微分变化来表达。
1
2014-3-24
(2-114)
表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动元素的代数和， 即微分旋转是可加的。
0 1 例： 已知一个坐标系 A 0 0
2014-3-24
0
1
0 1 0
0 0 0
10 5 ，相对固定系的微分平移 0 1
16
2.11 微分变换
0 z y 0
2
2.11 微分变换
1 机器人的微运动
首先研究机器人杆件在作微小运动时位姿变化的表达。设机 器人运动链中某一杆件对固定系的位姿为T，经过微运动后， 对固定系的位姿变为T＋dT，若该运动相对于固定系进行的， 总可以用微小的平移和旋转来表示，
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
机器人技术 数学基础-位姿描述与齐次变换
nx ox ax Px
Fobject
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
Py
Pz 1
二、刚体位姿的数学描述
2. 约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知， 该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由 度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互 独立的，而是有约束的，约束条件为：
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz u
x
三、刚体位姿的坐标变换
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz 中的位置
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
已知：
z w
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成
a= x , b= y , c= z ，w为比例系数 w ww
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
x
V
y z
x
y
z
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
wT 作为通用比例因子，它可取任意正值，但
w
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
一、点、向量和坐标系的齐次表示
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的 方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
机器人位姿描述基本术语
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
手Z 腕
X
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作
机器人运动学第四讲
3.1 机器人的位姿描述 一、机器人位姿的表示 1、位置的表示 坐标系建立后，任意点p在空间的位 置可以用一个3×1的位置矢量来描述； 例如，点p在{A}坐标系中表示为：
ｚ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
px A P py pz
ｘ
ｏ
{A}
ｙ
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换 ①、绕z轴旋转θ 角 坐标系{i}和坐标系{j}的原点合， 坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i} 绕轴旋转了一个θ 角。θ 角的正负一般 按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆 ｚi 时钟为正。 ｚ
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
• 若给定一旋转矩阵:
r11 R K ( ) r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r22
• 则可计算出：
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
α
ｙi
ｘi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：
ｚi ｚj
β
ｏi
ｏj
β
ｙj ｙi
ｘi
ｘj
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
• 绕任意轴的转动 设绕k轴转动θ 角，则旋转矩阵为：
其中：
0 0 1 0
px x j py y j pz z j 1 1
04-机器人课程-运动学
1、机器人运动学
1.5机器人微分运动及速度
机器人的微分运动是研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化 之间的微分关系。如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两 类基本问题：一类是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的 微小变化；另一类是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相 应的微小变化。机器人的微分运动对机器人控制、误差分析、动力分析和保证工作 精度具有十分重要的意义。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
1.3.1 直角坐标变换 在机器人中建立直角坐标系后，机器人的手部和各活动杆件之间相对位 置和姿态就可以看成是直角坐标系之间的坐标变换。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
平移变换 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但两者的坐标原点不重合，如图3-7所 示。 若用矢量Pij表示坐标系{i}和坐标系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可以看成 是由坐标系{i}沿矢量Pij平移变换而来的，所以称矢量Pij为平移变换矩阵，它是一个 3×1的矩阵
1.1、机器人位姿描述
机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有 时也会用到其他各个活动杆件在空间的位置和姿态。需要先 了解的与机器人运动相关的一些基础知识。 机器人的机构运动简图、机器人的自由度、机器人的坐标系、 机器人的工作空间、机器人的位姿
1、机器人运动学
1.2机器人的位姿
所谓机器人的位姿主要就是指机器人手部在空间的位置和姿态。有了机器 人坐标系，机器人手部和各个活动杆件相对于其他坐标系的位置和姿态就 可以用一个3×1的位置矩阵和一个3×3的姿态矩阵来描述。如图3-2所示， 机器人手部的坐标系{H}相对于机座坐标系{O}位置就可以用坐标系{H}的 原点OH在坐标系{O}三个坐标分量xOH、yOH、zOH、组成3×1的位置矩阵来 表示
机器人的位姿运动学
T
Inverse of Transformation Matrices
The inverse of a transformation (or a frame) matrix is the following:
nx n T y nz 0
z
ox oy oz 0
ax ay az 0
a
px d x py d y pz d z 1
a
d
相对于固定坐标系，新坐标系位置可通过 在原坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到。
p
n
o n
o
x
y
Representation of a Pure Rotation about an
相对于固定的参考坐标系的每次变换，变换矩阵都是左乘的。
Transformations Relative to the Rotating
(current) Frame
当进行相对于运动坐标系或当前坐标系的轴的变换时： 为计算当前坐标系中点的坐标相当于参考坐标系的变化，这时 需要右乘变换矩阵而不是左乘。
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
【齐次变换矩阵】
3. 变换的表示 Representation of Transformations
当空间的坐标系（向量、物体或运动坐标系）相对于固定的参考坐 标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。
【相对于旋转坐标系（当前坐标系/运动坐标系）的变换】
4. 变换矩阵的逆
Inverse of Matrices
The following steps must be taken to calculate the inverse of a matrix:
位姿描述和齐次变换
过渡矩阵—公式3-13
C
p
C B
R
B
p
A B
R
B
p
A
oA
再由3-11得到复合变换 xA
A p C p A pC0 BAR B p A pB0
zBp A Bo o
yA xB
3.1 一般变换实例
｛A，B｝初始位姿重合， ｛B｝相对于｛A｝的zA轴 转 30度，再沿xA轴移动10个单位、沿yA轴移动5个单 位，求位置矢量和旋转矩阵
这种方法用强氧化剂将L-山梨糖在4位的仲醇基氧化生成维C的重要前 体——2-酮基-L古龙酸（2-Keto-L-gulonic acid，简称2-KGA）。为了保护 山梨糖C6位伯醇基不被氧化，就须在酸性条件下先用丙酮处理L-山梨糖， 形成双丙酮衍生物后再进行氧化；氧化后还必须水解生成2-酮基-L-古龙酸 （不稳定，难分离出），再经转化而得维C。
莱氏法维生素C生产工艺过程
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
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山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.2 齐次变换及运算
4、常用的旋转变换 ①、绕z轴旋转θ 角 坐标系{i}和坐标系{j}的原点合， 坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i} 绕的z轴旋转一个θ 角。θ 角的正负一般 按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆 ｚi 时钟为正。 ｚ
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述
R 称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。 旋转矩阵的性质： 1、列向量两两正交，行向量两两正交。 2、列向量和行向量都是单位向量。 3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同 样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。 4、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。 5、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：
i
py j yi j p i pz j z i j p
i
ｚi ｚj
p
即：
p R p
i j j
ｏi ｘi ｏj ｘj
ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式可以给出多种不 同的解释，前面介绍的是同一个向量在不 同的坐标系的表示之间的关系。 上述数学关系也可以在同一个坐标系 中解释为向量的“向前”移动或旋转，或 则，坐标系“向后”的移动或旋转。
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3.1 机器人的位姿描述
对于机器人来说，我们最关心它的末 端执行器相对于基座的位置和姿态，简称 为位姿。 问：我们如何用一组关节参数来描述 机器人的末端执行器相对于基座的位姿？
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3.1 机器人的位姿描述 一、机器人位姿的表示 1、位置的表示 坐标系建立后，任意点p在空间的位 置可以用一个3×1的位置矢量来描述； 例如，点p在{A}坐标系中表示为：
j
ｏi ｘi ｏj
θ
θ
ｙj
ｙi
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02ｘj3.2 齐次变换及运算
xi y i zi
令:
cos si n 0
3.1 机器人的位姿描述
2、姿态（或称方向）的表示 我们知道：两个刚体的相对姿态可 以用附着与它们上的坐标系的相对姿态 来描述。
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3.1 机器人的位姿描述
刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标 系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对 于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的 姿态。 坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用 坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中 的表示给出， 即[AxB AxB AxB] （这里前上标A 说明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示） ，它是一个3×3矩阵，它的每一列为 {B}的 基矢量在{A}中的分量表示。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.1 机器人的位姿描述 即：
A B
R A xB
A
yB
xB x A A zB x y B A xB z A
yB x A yB y A yB z A
T zB xA B X A B T z B y A YA B T zB z A ZA
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述
3.2 齐次变换及运算
3.3 机器人运动学方程
3.4 机器人微分运动
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机器人的任务
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第3章
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的位姿 及运动与各个关节的 位姿及运动之间的关 系。 其中： 正问题：已知关节运 动，求手的运动。 逆问题：已知手的运 动，求关节运动。
px A P py p z
其中px，py，pz为P点的 坐标分量。
ｘ
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
{A}
ｙ
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• 位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐 标原点的选择有关。
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基矢量都是单位矢量，因此，上式又 可以写成：
A B
cos( xA , x B ) cos( xA , yB ) cos( x Az , B ) R cos( yA , x B ) cos( y A, y cos( y Az , B ) B) , x B ) cos( zA , yB ) cos( zA , zB ) cos( zA
•
A B A T R 1 B R B A R
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A B
3.1 机器人的位姿描述
3、位姿的统一表示 定义一组四向量矩阵[R P]，如图。其中， i i p jorg{j}的原点 表示 {j}相对{i}的姿态， 表示 jR 相对{i}的位移。 我们可以将{j}坐标 ｚj 系相对{i}坐标系描述为： ｚi
i
P j P i Pjorg
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3.2 齐次变换及运算 2、旋转 设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重 合，但它俩的姿态不同。设有一向量P， 它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i} 中如何表示？ 考虑分量：
i
px i x j p j xi j p
{j} { R p jorg } 3×4
i j i
ｘj
p
ｘi
ｏi
ｏj ｙj
ｙi
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3.2 齐次变换及运算
3.2.1、不同直角坐标系之间的关系 1、平移 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿 态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩 阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i} P 的位置，则同一点P 在两个坐标系中的表 示的关系为：