反常二重积分
反常二重积分收敛性的判定
反常二重积分收敛性的判定刘继成;王湘君【摘要】华东师范大学数学系编《数学分析(下册)》教材在第21.8节介绍了反常二重积分收敛的定义、判定定理,作者发现教材中对本节内容的处理不够清晰,特别是没有给出定理21.19关于反常二重积分收敛等价于绝对收敛的直观解释.本文优化了该节的内容,理顺了反常二重积分收敛的判定方法,证明了无界区域上的二重积分转化为累次积分的定理,构造例子说明了反常一重积分收敛与反常二重积分收敛的本质区别.通过分析例子表明,在本文框架下判定反常二重积分收敛性及计算积分值是非常有效的.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)003【总页数】7页(P53-59)【关键词】反常二重积分;绝对收敛;无界区域【作者】刘继成;王湘君【作者单位】华中科技大学数学与统计学院,武汉430074;华中科技大学数学与统计学院,武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O172.2首先叙述无界区域上的反常二重积分收敛的定义，参见文献[1]P.279.定义1 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域Eγ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.令若极限存在有限，且与γ的取法无关，则称f(x,y)在D上的反常二重积分收敛，并记否则称发散.该定义表明，反常二重积分收敛要求对任意包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在Dγ上可积，极限(1)收敛与γ的取法无关.因此，要想判断f(x,y)dσ发散，只需要找到一个序列γn，极限(1)不收敛即可.然而，想利用定义1判断极限(1)收敛是困难的.若f(x,y)是非负的，定义1等价于只要存在一列包围原点的光滑封闭曲线序列γ n，满足Eγn⊂Eγn+1且当n→∞时dγn→+∞，其中Eγ为γn所围的有界区域，f(x,y)在Dn=Eγn∩D上可积，且极限(1)存在.由被积函数的非负性及单调收敛定理，极限存在等价于有上界.因此，对非负被积函数有下面的结论，见文献[1]P.280定理21.17.由定义1，下面定理条件的必要性是显然的.定理2 设在无界区域D上f(x,y)≥0，γ1,γ2,…,γn,…为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足, 当n→∞,,其中Dn=Eγn∩D，则反常二重积分(1)收敛，并且正如上面的解释，利用定理2，要判断非负函数在无界区域上反常积分的收敛性及积分值，只需对为一列包围原点的光滑封闭曲线序列验证性质(i)和(ii)，同时得到积分收敛性和积分值.通常，选择En=[-n,n]×[-n,n]或者En={(x,y)|x2+y2≤n2}，γn为其边界.显然，γn满足(i).对于(ii)，由单调收敛定理，只需验证例1 证明反常二重积分收敛，其中为第一象限部分，即[0,+∞).证取En={(x,y)|x2≤n2}，γn为其边界，.则dn=n→+∞，γn满足(i).其次γn满足(ii).由定理2知，积分(2)收敛，且注1 文献[1]中证明例1的方法是利用P.281定理21.18.经比较，直接利用定理2更简单.定理3 设f(x),g(x)≥0，且无穷积分收敛，则收敛，且I=I1×I2.注2 记σ.定理2的结论就是反常二重积分化为累次积分的公式注意到，定理3的逆命题一般是不成立的.比如f(x)≡0,g(x)≡1，显然，但定理3的证明取 En=[-n,n]×[-n,n]，γn为其边界，.则dn=n→+∞，γn满足(i).其次由定理2知，积分收敛，且I=I1×I2.例2 计算反常积分的值.解考察二重反常积分由定理3，J收敛，且J=I 2.由例1，有.因此.例3 若p,q>0，则其中为Gamma函数，为Beta函数.证对Gamma函数Γ(p)，令x=u2，则dx=2udu，则对Beta函数B(p,q)，令x= cos2θ，则dx=2cosθdθ，则由定理3，有取En={(x,y)|x2+y2≤n2}，γn为其边界，.则为了对一般函数反常二重积分收敛性进行判定，需要下面的Cauchy收敛准则. 定理4 (Cauchy收敛准则) 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.则f(x,y)dσ收敛的充要条件是对∀ε>0，存在R>0，使对任意具有光滑边界且包含在D\B(0,R)的有界区域U，都有其中B(0,R)是以原点为圆心，R为半径的圆域.证必要性是显然的，下证充分性.考虑函数函数F(R)对所有的R有定义，且由Cauchy条件知，当R→+∞时，F(R)收敛，其极限记为I.∀ε>0，存在R>0使|F(R)-I|≤ε.对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，且dγ≥R，有由Cauchy收敛准则容易知，若|f(x,y)|dσ收敛，则f(x,y)dσ收敛.此时，称f(x,y)dσ绝对收敛.相反，若收敛，而不收敛，称条件收敛.应用Cauchy收敛准则可得到下面最常用的比较判别法.定理5(比较判别法) 设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域Eγ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.又设满足同样条件的非负函数g(x,y)满足且收敛，则绝对收敛.证直接由定理2和定理3立得.例4 设D=(-∞,+∞)×(-∞,+∞)，判断反常二重积分的收敛性，并说明理由.当积分收敛时，求积分的值.解首先证明I绝对收敛.令Dn=[-n,n]×[-n,n], 则当n→+∞时，dn→+∞，且所以，I绝对收敛.其次，直接计算对于反常二重积分，可以证明：∫Df(x,y)dσ条件收敛，则必定绝对收敛 (见[1] P283定理21.19，或者证明见[2] P276定理13.4.2).这一点与反常一重积分有本质的不同.为了能直观上理解该性质，在本节中我们将以例子来给予分析和比较.由此，要判断一般函数反常二重积分的收敛，等价于判断其绝对值的非负函数积分的收敛，这已在第2节和第3节中讨论.我们首先回顾无穷限反常一重积分的定义(参见[1]上册P272)，然后用例子说明，反常一重积分收敛与反常二重积分收敛不同性质的本质是由于定义不同造成的. 定义6 设函数f(x)定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限则称此极限J为函数f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分，记作并称f(x)dx收敛.如果极限不存在，称发散.例5 设函数f(x)定义在上，且则由于级数收敛，因此极限f(x)dx存在，且但因为该级数不绝对收敛，因此反常一重积分 f(x)dx也不绝对收敛.例6 设函数h(x,y)定义在上，且其中f(x)与例5中相同，现在来考察反常二重积分是否收敛，是否绝对收敛.取En=[-n,n]×[-n,n]，γn为其边界，.则d(Dn)=n→+∞，γn满足(i).其次，亦即，不绝对收敛.另外，对n≥1，取，其中γn为En的边界，，其中[0,n].如右图所示：E n为整个区域和为阴影区域，则dn=n→+∞，而且最后一个等式是因为数列发散.综上，发散.注3 反常一重积分收敛和反常二重积分收敛有此不同性质的本质是实数R是有全序的，而平面是无全序的.因此，反常二重积分不能定义为其中B(0,R)是以原点为中心，R为半径的圆域.例如，显然不能认为xdxdy=0是收敛的，但正是如此，反常二重积分必须是定义1中对任意的区域Dγ的极限来定义，而不是某类特别的区域.另外，如果将定义6改为下面的形式，则反常一重积分与反常二重积分收敛性质相同.定义6′设f(x)为定义在无穷区间[a,+∞)上的函数，若对R上任一包含原点的有界集合En，f(x)在En与[a,+∞)的交集En∩[a,+∞)=Dn上恒可积.设γn为En的边界，令若极限存在有限，且与En的选取无关，则称f(x)在[a,+∞)上的无穷限反常积分收敛，记作否则称发散.再看例5，如按照定义6′，则例5中的反常积分f(x)dx不收敛.事实上，只要选取则，极限发散.[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 北京：高等教育出版社， 2014.[2] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析[M]. 2版. 北京：高等教育出版社， 2004.[3] 卓里奇B A. 数学分析[M]. 蒋铎，王昆杨，周美珂，邝荣雨译. 4版. 北京：高等教育出版社， 2006.[4] 崔尚斌. 数学分析教程[M]. 北京：科学出版社，2013.[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏. 数学分析学习指导书(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.Key words: improper double integral; absolute convergence; unbounded d omain。
无界区域上简单反常二重积分的计算
D D D
存在且取相同的值I，则称I为f(x,y)在无 界区域D上的反常二重积分，记作
f (x , y)dσ lim f (x , y)dσ I
D
D D D
此时也称反常二重积分 f (x , y )dσ 收敛，否则称反常
D
二重积分 f (x , y )dσ发散．
D
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为了简化计算，常常选取一些特殊的DΓ趋于区域D．
例1 设D为全平面，已知ex dσ 2y2 收敛，求其值． D
解 设 DR为中心在原点，半径为R的圆域，则
e(x 2y2)dσ
2
dθ
0
R er2rdr
0
2 1 er2 2
R 0
1 eR2
DR
显然，当R→+∞时，有 DR→D,因此有
0
0
0
D
由例1知
， e dx (x 2y2) dy (1 ea2 ) 4
e dx (x 2y2) dy (1 e2a2 ) 4
D1
D2
从而得
(1 ea2 ) ( a ex 2dx )2 (1 e2a2 )
4
0
4
令 a 得 ex2 dx .
0
2
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D2 { x, y︱x2 y2 2a2 , x 0, y 0},
则有
e dx (x 2y2) dy e dx (x 2y2) dy e(x 2y2)dx dy
D1
D
D2
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而
e(x 2y2)dx dy a ex 2dx a ey2dy ( a ex 2dx )2
数学分析之反常重积分
f ( x , y )d x d y 收敛。且在收敛时成立 Dn f ( x, y)dxdy lim f ( x, y)dxdy 。
D
n Dn
例 13.4.1 设 D {( x, y) | a2 x2 y 2 } （ a 0 ） 。 记r x2 y2 ，
计算 e ( x
R2
2 y2 )
dxdy ，并求 e x dx 。
0
2
解 利用极坐标变换 x r cos , y r sin ， R 2 就变换为 D {(r , ) | 0 r , 0 2π } 。 因此利用变量代换法得
R2
e
D {( x, y) | a2 x2 y2 2} 。
f ( x, y)dxdy d
0
2π
a
r1 p dr 2π r1 p dr 。
a
令 趋于正无穷大，最后一个积分当 p 2 时收敛，当 p 2 时发散。由 引理 13.4.1 即可得知所需的结论。 从以上推导可以看出，当 D 为扇形区域
a r ,
( , [0, 2π ])
时，上述结论也成立。
（2）比较判别法 定理 13.4.1（比较判别法） 设 D 为 R 2 上具有分段光滑边界的无 界区域，在 D 上成立 0 f ( x, y) g( x, y) 。那么 （1） 当 g ( x, y)dxdy 收敛时， f ( x, y)dxdy 也收敛；
a
dx
c
f ( x, y)dy 和 dx | f ( x, y) | dy 都存在，则 f ( x, y) 在 D 上可积，
反常二重积分word版
反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或 ==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==⎰⎰DcaM N +∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰或 ==3．==或 ==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时, ⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时, ⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果α>2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α⎰⎰DacN M +∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π≤2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26 D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dy dxdyxe2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxedy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21014451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdyy x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰D dxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdyy x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号, 也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么}0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye(1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c 是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m ,⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分22π=-∞+⎰dx ex例4 计算．解，令，则计算 1)⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ; 2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ; 3）4)5)设，问 取何值时，该广义积分收敛？（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
《反常二重积分》课件
目录
01.02.03.源自04.05.06.
反常二重积分的 定义：反常二重 积分是二重积分 的一种特殊情况， 其积分区域为无 限区域或半无限
区域。
反常二重积分的 定义域：反常二 重积分的定义域 为无限区域或半 无限区域，包括 无穷大、无穷小、
无穷远等。
反常二重积分的积 分区域：反常二重 积分的积分区域可 以是无限区域或半 无限区域，包括无 穷大、无穷小、无
推广到高维空间： 将反常二重积分推 广到高维空间，如 三维空间、四维空 间等。
推广到更广泛的函数类： 将反常二重积分推广到 更广泛的函数类，如连 续函数、可积函数等。
推广到更复杂的积分 区域：将反常二重积 分推广到更复杂的积 分区域，如曲面积分 、曲线积分等。
推广到更广泛的应用 领域：将反常二重积 分推广到更广泛的应 用领域，如物理、工 程、经济等。
反常二重积分在 物理学中的重要 性在于它可以帮 助我们更好地理 解和描述物理现 象，从而更好地 解决实际问题。
积分计算：用于计算反常二重积分的值 积分变换：用于将反常二重积分转化为其他类型的积分 积分估计：用于估计反常二重积分的上下界 积分方程：用于求解反常二重积分方程
计算电场强度：反常二重积分用于计算电场强度，如点电荷、线电荷、面电荷等。 计算磁场强度：反常二重积分用于计算磁场强度，如点磁荷、线磁荷、面磁荷等。 计算引力场强度：反常二重积分用于计算引力场强度，如点引力源、线引力源、面引力源等。
反常二重积分的定义和性质 反常二重积分的求解方法 反常二重积分的应用 反常二重积分与其他积分的关系
反常二重积分的 定义和性质
反常二重积分的 计算方法
反常二重积分的 应用
反常二重积分与 其他数学领域的 联系
反常二重积分教学讲义
重积分收敛, 并记
f(x ,y )d lim f(x ,y )d;
D
d D
(1 )
否则称 f (x, y) 在 D 上的反常二重积分发散, 或简
称 f (x, y)d 发散.
D
定理21.16 设在无界区域 D 上 f(x,y)0, 1,2, ,
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n, 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足
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定理21.17 若在无界区域 D上 f(x,y)0,则反常二 重积分(1)收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子
区域上 f (x, y) 可积，且积分值有上界.
例1 证明反常二重积分
e d (x2 y2 )
D
收敛,其中 D 为第一象限部分,即 D [0 , ) [0 , ).
算公式,有
所以
x y e d 2p1 2q1 (x2y2)
DR
Rx2p1ex2dx R y2q1ey2dy.
0
0
(p ) (q ) lim 4x 2p 1y2 q 1 e (x 2 y2)d R D R 前页 后页 返回
4x 2 p 1 y 2 q 1 e (x 2 y 2 )d, D
( i ) d n i n fx 2 y 2 ( x ,y ) n ( n ) ;
(ii)Isupf(x,y)d , n D n
其中 D nE n D ,E n 为 n 所围的有界区域.这时反
常二重积分 (1) 必定收敛, 并且
f(x,y)dI.
D
证 设 为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成
r 0
0
22 (c o s)2 p 1 (s in)2 q 1 d (p q ). 0
反常二重曲面积分
反常二重曲面积分是数学分析中一个深入且重要的概念，它涉及到曲面上的积分，并且在某些特定条件下表现出“反常”的性质。
在理解这个概念之前，我们首先需要明确什么是二重积分以及它在曲面上的应用。
二重积分，简而言之，是对二元函数在平面区域上的积分。
当我们将这个概念扩展到曲面上时，就需要考虑曲面的几何特性和函数在曲面上的行为。
而反常二重曲面积分，则是指当被积函数在曲面的某些点或区域上表现出无界或不可积的特性时的情况。
在实际应用中，反常二重曲面积分经常出现在物理、工程和科学的各个领域。
例如，在电磁学中，计算通过曲面的电流或电荷分布时，就可能需要用到反常二重曲面积分。
在流体力学中，当考虑流体通过具有奇异点或边界的曲面时，反常二重曲面积分也是一个重要的工具。
从数学分析的角度来看，反常二重曲面积分的研究不仅涉及到积分理论本身，还与实分析、复分析以及微分几何等多个数学分支紧密相连。
在处理这类积分时，我们需要格外小心，因为被积函数的无界性或不可积性可能会导致积分结果不存在或无法定义。
为了处理反常二重曲面积分，数学家们发展了一系列的技术和工具，包括极限过程、分割法、变量替换等。
这些方法的目的是将被积函数在奇异点或边界附近的行为进行适当的处理，以便得到有意义的积分结果。
总的来说，反常二重曲面积分是数学分析中一个既有趣又具挑战性的课题。
它不仅深化了我们对积分理论的理解，还为我们在物理、工程和科学等领域解决实际问题提供了有力的数学工具。
二重积分变量变换
M 2 {x u u , y u u } M1
M 2 M1 M 4 | | M 1
M 4 {x (u, v v ) x (u, v ), y (u, v v ) y (u, v )} M1
y
y y
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B
u
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
x
dxdy
dx 0
0 dy
xu yu
x v du yv 0
(x , y ) dudv dv (u, v )
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
X
二重积分的变量变换 与反常二重积分
二重积分的变量变换公式, 并对常用的 极坐标变换作详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的广义极坐标变换 三、反常二重积分
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则
f (x (u, v ), y (u, v )) ? dudv
反常二重积分与三重积分简介
平面 x y z 1所围成的四面体． 解 闭区域 如图8.4.4所示． 将区域 投影到 xy 坐标平面上, 得到 Dxy .
0 y 1 x 投影区域, 即 Dxy : 0 x 1
1
z
●
o
x
1
●
y
图8.4.4
在Dxy 上任取一点(x, y), 过此点作平行于 z 轴的直线, 该直线
d 0 i 1 i i i
机动
n
i
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结束
f ( x, y, z )dv lim f ( , ,
d 0 i 1 i i
n
i
) vi
其中 称为积分区域, f ( x, y, z ) 称为被积函数, f ( x, y, z )dv 称为被积表达式, d v 称为体积元素, x, y, z 称为积分变量,
x d x
1 x 0
d y
1 x y 0
dz
x d x
0
1 x 0
(1 x y )d y
1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 x(1 x ) d x ( x x x ) 0 8 3 4 24 2 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
●
y
z z1 ( x, y )
在对 z 积分时,先将x、y看作常
x
Dxy
图8.4.3 d x d
y
数, 将ƒ(x, y, z)只看作 z 的函数, 在区间 [z1( x, y), z2 ( x, y)] 上对
z 积分, 得到关于 x, y 的二元函数, 记为
F ( x, y )
21_8 反常二重积分资料
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定理21.18 设 f ( x , y ) 在无界区域 D 的任何有界子区
域上可积. 则反常二重积分
f ( x, y ) d 收敛的充
D
要条件是: 反常二重积分 | f ( x , y ) | d 收敛.
f ( x , y ) 在曲线 所围的有界区域 E 与 D 的交集
E
D D (图21-42)
y
上二重可积.令
E D
D
x
d min
x 2 y 2 ( x, y) .
O
图 21 42
若存在有限极限:
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d
lim f ( x , y )d ,
因此存在 n,使得 D Dn D. 由于 f ( x , y ) 0, 所 以有
f ( x, y )d f ( x, y )d I .
D Dn
另一方面，因为
I sup f ( x , y )d ,
n Dn
故对任给的 0, 总有 n0 , 使得
lim 4 x
R 0
R
2 p 1 x 2
e
dx y
0
R
2 q 1 y 2
e
d y.
令 DR [0, R] [0, R], 由二重积分化为累次积分的计 算公式,有
x
DR 0
2 p 1
y
2 q 1 ( x 2 y 2 )
e
d
2 q 1 y 2
DR
( x y )
2
2
d d e rdr
(整理)反常二重积分.
反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义 1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx N cM aM N ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解 ，令，则计算 1) ⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ;2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ;22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？。
反常二重积分的计算_高等数学(下册)_[共2页]
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D
9.2.3 反常二重积分的计算
与定积分中的反常积分类似，在二重积分 ∫∫D f (x, y)dσ 中，如果积分区域 D 为无界区域或被积 函数 f (x, y) 无界，那么称 ∫∫D f (x, y)dσ 为反常二重积分. 在实际中，偶尔会需要计算反常积分.
反常二重积分的处理方法与反常定积分类似，具体为：
（1）如果积分区域 D 无界，可先在有界闭区域上积分，然后再令有
界闭区域趋于无界区域 D ，那么此时的极限即等于反常二重积分的值. （2）如果被积函数 f (x, y) 无界，可先用包含各个瑕点的小区域将
瑕点与原积分区域 D 隔开，然后在去掉这些小区域的区域上积分，最
后令小区域的直径趋于零，那么此时的极限即等于反常二重积分的值. 下面举例说明.
D
x
内的闭区域；
（4） ∫∫ (x + y)dxdy . x2 + y2≤x+ y
4．选用适当的坐标计算下列各题：
∫∫ （1）
D
x2 y2
dσ
，其中
D
是由
x
=
2,
y
=
x
及
xy
= 1 所围成的闭区域；
∫∫ （2）
1− x2 − y2 dσ ，其中 D 是由圆周 x2 + y2 = 1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
D 1+ x2 + y2
∫∫ （3）
x + y dσ ，其中 D 为 x2 + y2 ≤1, x + y ≥1 ；
D x2 + y2
（4）
dσ
，其中 D 为 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a .
(整理)反常二重积分
反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义 1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx N cM aM N ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解 ，令，则计算 1) ⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ;2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ;22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？。
二重积分的反常积分
目 录1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)Df x y d σ⎰⎰收敛的判定 (2)2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)二重积分的反常积分数学系本0601班魏慧指导教师：梁素萍摘要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。
数学分析21.8反常二重积分（含习题及参考答案）
数学分析21.8反常⼆重积分（含习题及参考答案）第⼆⼗⼀章重积分 8 反常⼆重积分⼀、⽆界区域上的⼆重积分：定义1：设f(x,y)为定义在⽆界区域D 上的⼆元函数. 若对于平⾯上任⼀包围原点的光滑封闭曲线γ, f(x,y)在曲线γ所围的有界区域E γ与D 的交集 D ∩E γ=D γ上恒可积. 令d γ=min{22y x +|(x,y)∈γ}. 若极限σγγd y x f Dd ??∞→),(lim存在且有限，且与γ的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛，并记σd y x f D),(=σγγd y x f Dd ??∞→),(lim，否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分发散，或简称σd y x f D),(发散.定理21.17：设在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, γ1, γ2,…, γn ,…为⼀列包围原点的光滑封闭曲线序列，满⾜：(1)d n =inf{22y x +|(x,y)∈γn }→+∞, (n →∞)；(2)I=σd y x f nD n),(sup <+∞, 其中D n 为γn 所围的有界区域E n 与D 的交集，则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛，且有σd y x f D),(=I.证：设γ’为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为E ’, 并记D ’=E ’∩D. ∵∞→n lim d n =+∞, ∴存在n, 使得D ’?D n ?D. 由f(x,y)≥0,有σd y x f D ??'),(≤σd y x f n),(sup , ?ε>0, ?n 0, 使得σd y x f nD ??0),(>I-ε. 对充分⼤的d ’, 区域D ’⼜可包含D 0n, 使得σd y x f D ??'),(>I-ε. 由I-ε<σd y x f D ??'),(≤I, 知f(x,y)在D 上的反常⼆重积分存在，且σd y x f D),(=I.定理21.18：若在⽆界区域D 上f(x,y)≥0, 则反常⼆重积分σd y x f D),(收敛的充要条件是：在D 的任何有界⼦区域上f(x,y)可积，且积分值有上界.例1：证明反常⼆重积分σd eDy x ??+-)(22收敛，其中D 为第⼀象限部分，即D=[0,+∞)×[0,+∞).证：设D R 是以原点为圆⼼, 半径为R 的圆与D 的交集，即该圆第⼀象限部分. ∵) (22y x e +->0，∴⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22关于R 递增.⼜σd eRD y x ??+-)(22=dr r e d Rr ??-0202πθ=)1(4D y x R ??+-+∞→)(22lim =)1(4lim 2R R e -+∞→-π=4π. 即对D 的任何有界⼦区域D ’, 总存在⾜够⼤的R ，使得D ’?D R , ∴σd e D y x ??' +-)(22≤σd e RD y x ??+-)(22≤4π.由定理21.18知，反常⼆重积分σd e Dy x ??+-)(22收敛，⼜由定理21.17有，σd e Dy x ??+-)(22=4π.注：由例1结论，可推出反常积分?+∞-02dx e x 的值(常⽤于概率论). 考察S a =[0,a]×[0,a]上的积分σd eaS y x ??+-)(22=??--ay ax dy edx e22x dx e .由D a ?S a ?aD2(如图)知σd eaD y x ??+-)(22≤σd eaS y x ??+-)(22=202??? ???-ax dx e ≤σd e aDy x ??+-222)(. 令a →+∞, 则得202lim ??? ???-+∞→a x a dx e =σd e D y x ??+-)(22=4π, ∴?+∞-02dx e x =2π.例2：证明：若p>0, q>0, 则B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.证：令x=u 2, 则dx=2udu, Г(p)=?+∞--01dx e x x p =2?+∞--0122du e u u p , 从⽽ Г(p)Г(q)=4?+∞--+∞--?0ydx exy q x p =4??----+∞→?Ry q Rx p R dy e y dx ex1201222lim.令D R =[0,R]×[0,R], 由⼆重积分化为累次积分计算公式有σd eyxy x D q p R)(121222+---??=??----?Ry q Rx p dy e y dx ex1201222.∴Г(p)Г(q)= 4σd e y x y x D q p R R)(121222lim +---+∞2+---??, 其中D 为平⾯上第⼀象限部分. 记D r ={(x,y)|x 2+y 2≤r 2, x ≥0, y ≥0}. 于是有 Г(p)Г(q)=4σd e y x y x Dq p )(121222+---??=4σd e y x y x D q p r r)(121222lim +---+∞→??,应⽤极坐标变换，有Г(p)Г(q)=4??----++∞→rr q p q p r rdr e r d 012122)(2202sin cos lim θθθπ=4??--+--+∞→rr q p q p r dr e r d 01)(22012122sin cos lim πθθθ=2?+Γ?--201212)(sin cos πθθθq p d q p =B(p,q)Г(p+q). ∴B(p,q)=)()()(q p q p +ΓΓΓ.定理21.19：函数f(x,y)在⽆界区域D 上的反常⼆重积分收敛的充要条件是|f(x,y)|在D 上的反常⼆重积分收敛.证：[只证充分性]设σd y x f D|),(|收敛，其值为A. 作辅助函数f +(x,y)=2),(|),(|y x f y x f +, f -(x,y)=2),(|),(|y x f y x f -, 则0≤f +(x,y)≤|f(x,y)|, 0≤f -(x,y)≤|f(x,y)|.∴在D 的任何有界⼦区域σ上, 恒有σd y x f D+),(≤σd y x f D|),(|=A,σd y x f D即f +(x,y)与f -(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. ⼜f(x,y)=f +(x,y)-f -(x,y), ∴f(x,y)在D 上的反常⼆重积分也收敛.定理21.20：(柯西判别法)设f(x,y)在⽆界区域D 的任何有界⼦区域上⼆重积分存在, r 为D 内的点(x,y)到原点的距离r=22y x +. (1)若当r ⾜够⼤时, |f(x,y)|≤p rc, 其中常数c>0, 则当p>2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛；(2)若f(x,y)在D 内满⾜|f(x,y)|≥p rc,其中D 是含有顶点为原点的⽆限扇形区域, 则当p ≤2时，反常⼆重积分σd y x f D),(发散.⼆、⽆界函数的⼆重积分定义2：设P 为有界区域D 的⼀个聚点，f(x,y)在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空⼼邻域内⽆界，△为D 中任何含有P 的⼩区域，f(x,y)在D-△上可积. ⼜设d 表⽰△的直径，即 d=sup{221221)()(y y x x -+-|(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈△}. 若极限-→D d d y x f σ),(lim存在且有限，且与△的取法⽆关，则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分收敛. 记作-D d y x f σ),(=-→D d d y x f σ),(lim 0,否则称f(x,y)在D 上的反常⼆重积分??Dd y x f σ),(发散.定理21.21：(柯西判别法)设f(x,y)在有界区域D 上除点P(x 0,y 0)外处处有定义, 点P(x 0,y 0)为瑕点，则： (1)若在点P 附近有|f(x,y)|≤a rc, 其中c 为常数, r=2020)()(y y x x -+-, 则当a<2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛； (2)若在点P 附近有|f(x,y)|≥a rc, 且D 含有以点P 为顶点的⾓形区域, 则当a ≥2时，反常⼆重积分σd y x f D),(收敛.习题1、试讨论下列⽆界区域上⼆重积分的收敛性： (1)??≥++1σ?d y x y x y p≤≤++1022)1(),(, (0解：(1)令x=rcos θ, y=rsin θ, 则≥++12222)(y x m y x d σ=??+∞12201rdr r d m πθ=??+-+∞→d m d dr r d 11220lim πθ=-2π?+-+∞→d m d dr r 11 2lim . ∵?+-+∞→dm d dr r 112lim 当2m-1>1时, 收敛；当2m-1≤1时, 发散；∴≥++12222)(y x m y x d σ当m>1时, 收敛；当m ≤1时, 发散. (2)由区域的对称性和被积函数关于x,y 的偶性得原积分=4??+∞+∞++001111dy ydx x q p . ∵?+∞+011dx x p当p>1时, 收敛；当p ≤1时, 发散. ∴原积分当p>1, q>1时收敛，其它情况发散.(3)∵0y x y x )1(),(22++?≤p x M)1(2+,∴当p>21时, 由σd x My p ??≤≤+102)1(收敛，得原积分收敛；当p<21时, 由σd x my p ??≤≤+1∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x )cos(22)(22. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则+∞∞-+-+∞∞-+dx y x e dy y x)cos(22)(22=??+∞-0220cos 2dr r re d r πθ=π?-+∞→du d udu e 0cos lim=2π.3、判别下列积分的收敛性： (1)≤++12222)(y x m y x d σ；(2)??≤+--12222)1(y x m y x d σ. 解：令x=rcos θ, y=rsin θ, 则(1)??≤++12222)(y x m y x d σ=??102201rdr r d m πθ=2π?+-→1120lim d m d dr r . ∵?+-→1 120lim dm d dr r 当2m-1<1时, 收敛；当2m-1≥1时, 发散；∴??≤++1 2222)(y x m y x d σ2222)1(y x m y x d σ =??-10220)1(rdr r d d m σθπ=π?-→-d m d du u 01)1(lim . ∴当m<1时, 由?-→-dmd du u 01)1(lim 收敛知，原积分收敛；当m ≥1时, 由?-→-dm d du u 01)1(lim 发散知，原积分发散.。
二重积分的变量变换
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B
u u ( x , y ) v v ( x ,y )
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
u
x
dxdy
dx 0
0 dy
v
vk v
M4 M1
u u (x , y ) v v (x , y )
u u ( x ,y )
v v ( x ,y ) x x ( u ,v ) y y ( u ,v )
y
M4
D
M3
M3
u uh u
M1
M2
o x M 1M 4 {x v v, y v v }
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
当 u, v 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于 平行四边形,故其面积为
v
vk v
M4 M1
D
M3
o
M2
x x (u , v ) T : y y (u , v )
y
M4
M3
D
u uh u
M1
M2
o
x
M 1(x (u, v ), y (u, v )) , M 2 (x (u u, v ), x (u u, v ))
D D
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
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数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
证 设 为任何包围原点的光滑封闭曲线, 它所围成
的区域记为 E,
并记 D E I
D.
因为
lim
x
dn
,
因此存在 n, 使得 D Dn D. 由于 f ( x, y) 0, 所
以有
f ( x, y)d f ( x, y)d I.
D
e d ( x2 y2 ) π .
D
4
(2)
由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分
e x2d 的值. 0
为此, 考察 Sa [0,a][0,a] 上的积分 e d . ( x2 y2 )
因为 e d ( x2 y2 )
Sa
Sa
a ex2dx a e y2dy
无界函数的二重积分
e d ( x2 y2 )
DR
的值随着 R 的增大而增大. 又因
e d ( x2 y2 )
2 d
R er2 rdr π(1 eR2 ),
DR
0
0
4
所以
lim e d ( x2 y2 ) lim (1 eR2 ) .
R DR
R 4
4
显然对 D 的任何有界子区域D, 总存在足够大的 R,
数学分析 第二十一章 重积分
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
定理21.20 (柯西判别法)
设 f ( x, y) 在无界区域 D 的任何有界子区域上可积, D 中的点 ( x, y) 到原点的距离为
r x2 y2 .
(i) 若当
r 足够大时,
|
f ( x, y) |
定义1
设 f ( x, y) 为定义在无界区域 D 上的二元函数.
若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 ,
f ( x, y) 在曲线 所围的有界区域 E 与 D 的交集
E I D D (图21-42)
y
上二重可积. 令
d min x2 y2 ( x, y) .
E D D
O
x
若存在有限极限:
数学分析 第二十一章 重积分
*§8 反常二重积分
与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积 分区域是无界的和被积 函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分.
一、无界区域上的二重积分 二、无界函数的二重积分
*点击以上标题可直接前往对应内容
§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
无界区域上的二重积分
显然有
无界函数的二重积分
0 f ( x, y) | f ( x, y) |, 0 f ( x, y) | f ( x, y) |,
因而任给有界区域 D, 恒有
f ( x, y)d | f ( x, y) | d M ,
f ( x, y)d | f ( x, y) | d M .
所以 f ( x, y) 与 f ( x, y) 在 D 上的反常二重积分都
使得 D DR , 于是
e d ( x2 y2 ) e d ( x2 y2 ) π .
D
DR
2
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
因此由定理21.17, 反常二重积分 e d ( x2 y2 ) 收敛，
并且由定理21.16有
若极限
lim f ( x, y)d
d 0
D
存在且有限, 并与 的取法无关, 则称 f ( x, y) 在 D
上的反常二重积分收敛, 记作
f ( x, y)d
lim d 0
f ( x, y)d ;
D
D
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
证 (只证充分性) 设 | f ( x, y) | d 收敛于M. 作辅
助函数:
D
f (x, y) | f (x, y) | f (x, y) , 2
f (x, y) | f (x, y) | f (x, y) . 2
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
D 2a
Da Sa
O
a 2a x
令 a , 则得
图 21 43
lim
a
a e x2dx 2 e d ( x2 y2 ) ,
0 D
4
故得
e x2dx .
0
2
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有
关 函数与 函数的联系公式.
例2 证明: 若 p 0,q 0, 则
( p,q) ( p)(q) . ( p q)
证 对于 函数, 令 x u2 , 则 dx 2udu, 于是
( p) x e p1 xdx 2 u2 e p1 u2 du.
0
0
从而
( p)(q) 4 x2 e p1 x2dx y e 2q1 d y2 y
D
(ii) 若在点 P 的附近有
f
( x,
y)
c r
,
且 D 含有以点 P 为顶点的角形区域, 则当 2 时,
反常二重积分 f ( x, y)d 发散.
D
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复习思考题
c rp
( c 为正常数 ),
则当 p 2 时, 反常二重积分 f ( x, y)d
( x,
y)
在
D
上满足 |
f
D
( x,
y) |
c rp
, 其中
D
包
含有以原点为顶点的无限扇形区域, 则当 p 2 时
反常二重积分 f ( x, y)d 发散.
D
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设 f ( x, y)在有界区域 D上除点 P( x0 , y0 ) 外处处有
定义, 点 P 是它的瑕点, 则下面两个结论成立:
(i) 若在点 P 的附近有
f
( x,
y)
c r
,
其中 c 为常数，r ( x x0 )2 ( y y0 )2 , 则当 2
时, 反常二重积分 f ( x, y)d 收敛;
0
0
lim 4 R x2 e p1 x2dx R y2 e q1 d y2 y.
R 0
0
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
令 DR [0, R][0, R], 由二重积分化为累次积分的计 算公式, 有
x y e d 2 p1 2q1 ( x2 y2 ) R x2 e p1 x2dx R y e 2q1 y2dy.
例1 证明反常二重积分
e d ( x2 y2 )
D
收敛, 其中 D 为第一象限部分, 即 D [0,)[0,).
证 设 DR 是以原点为圆心 R 为半径的圆在第一象限 部分. 因为 e( x2 y2 ) 0, 所以二重积分
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
于是有 ( p)(q) 4 x y e d , 2 p1 2q1 ( x2 y2 )
D
lim 4 x y e d . 2 p1 2q1 ( x2 y2 ) r Dr
对上式积分应用极坐标变换，则得
0
0
DR
所以
( p)(q) lim 4
x y e d 2 p1 2q1 ( x2 y2 )
R
DR
4 x y e d , 2 p1 2q1 ( x2 y2 )
(4)
D
这里 D 为平面上第一象限. 和例1 一样,下面讨论(4)
式右边的反常二重积分,记
Dr ( x, y) | x2 y2 r2, x 0, y 0 .
a e x2dx
2
,
0
0
0
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
而
Da
Sa
D
(图 21-43),
2a
所以
y
e d e d ( x2 y2 )
( x2 y2 )
D 2a
Da
Sa
( a ex2dx)2 0
e d . ( x2 y2 )
D
再由
I f ( x, y)d I , D
可知反常二重积分 f ( x, y)d 存在, 且等于 I .
D
由定理 21.17 的证明容易看到有以下定理:
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§8 反常二重积分 无界区域上的二重积分
无界函数的二重积分
定理21.18
若在无界区域 D上 f ( x, y) 0, 则反常二重积分 (1) 收敛的充要条件是：在 D 的任何有界子区域 上 f ( x, y) 可积，且积分值有上界.
D
d D
(1)
否则称 f ( x, y) 在 D 上的反常二重积分发散, 或简
称 f ( x, y)d 发散.