积分公式与高阶导数
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
高数微积分公式大全dy
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
导数微积分公式大全
导数微积分公式大全导数是微积分中非常重要的概念，它表示函数在其中一点的变化率。
为了计算导数，我们需要使用一系列的微积分公式。
下面是一份包含最常用的导数公式的清单：1.基本导数公式：-常数函数：如果f(x)=c，则f'(x)=0，其中c是一个常数。
- 幂函数：如果f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n是一个实数。
-指数函数：如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
- 对数函数：如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
- 正弦函数：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数：如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数：如果f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
2.基本运算规则：- 常数乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且c是常数，则(cf(x))' = c(f'(x))。
-加法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
-乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^23.链式法则：-如果h(x)=f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
4.反函数法则：- 如果y = f(x)是可导函数，且在x处有非零的导数，则它的反函数x = f^(-1)(y)的导数为(dx/dy) = 1/(dy/dx)。
5.高阶导数：-如果f(x)的导数f'(x)存在，则f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推。
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是一门研究函数的变化率与积分的数学学科。
在学习微积分时，我们会使用一些重要的公式来计算和推导出函数的性质。
下面是16个常用的微积分公式：1.导数的定义：设函数f(x)在x点有定义，则f(x)在x点可导，当且仅当下式极限存在：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示f(x)的导数。
2.基本导数公式：a.(k)'=0，其中k是常数。
b. (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
c. (sin x)' = cos x。
d. (cos x)' = -sin x。
e.(e^x)'=e^x。
f. (ln x)' = 1/x。
3.导数的四则运算法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则有：a.(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
b.(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
c.(k*f(x))'=k*f'(x)，其中k是常数。
d.(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
e.(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
4.链式法则：如果有复合函数F(g(x))，其中F(u)和g(x)都是可导函数，则有：(F(g(x)))'=F'(g(x))*g'(x)。
5.反函数的导数：如果函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x，并且g(x)在一些点可导且不为0，则有：(f^-1(x))'=1/g'(f^-1(x))。
6.高阶导数：函数f(x)的n阶导数，记作f^(n)(x)，可通过对其一阶导数进行n次求导得到。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式求导和定积分是微积分中的基础概念，求导是一种衡量函数变化率的方法，而定积分是对函数在一定区间上的面积或体积的计算。
在实际问题中，求导和定积分公式的应用非常广泛。
下面是一些常用的求导公式：1.基本导数公式：- 常数函数： $ \frac{d}{dx} (c) = 0$- 幂函数：$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$- 指数函数：$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$- 对数函数：$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x}$-三角函数：- 正弦函数：$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)$- 余弦函数：$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x)$- 正切函数：$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x)$2.基本运算法则：- 常数乘以函数：$ \frac{d}{dx} (cf(x)) = cf'(x)$- 函数的和或差：$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$- 乘法法则：$ \frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)$- 除法法则：$ \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$- 复合函数法则：$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$3. 链式法则：如果函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$4. 高阶导数：将求导的操作应用多次可以得到高阶导数，例如二阶导数表示为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
常用微积分式导数公式
常用微积分式导数公式微积分是数学中重要的分支，它涉及到诸多的概念和公式。
其中导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、解微分方程、描述曲线的性质等等。
下面将介绍一些常用的微积分导数公式。
一、基本函数的导数公式：1.常数函数导数公式：如果c是一个常数，那么对于常数函数f(x)=c，它的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其中x>0，它的导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数导数公式：- 正弦函数的导数公式：f'(x) = cos(x)- 余弦函数的导数公式：f'(x) = -sin(x)- 正切函数的导数公式：f'(x) = sec^2(x)- 余切函数的导数公式：f'(x) = -csc^2(x)-反正弦函数的导数公式：f'(x)=1/√(1-x^2)-反余弦函数的导数公式：f'(x)=-1/√(1-x^2)-反正切函数的导数公式：f'(x)=1/(1+x^2)-反余切函数的导数公式：f'(x)=-1/(1+x^2)二、基本运算法则：1. 变量替换法则：如果y=f(u)，且u=g(x)是可导函数，那么由链式法则可得dy/dx = (dy/du)*(du/dx)。
2.和、差、积法则：-和差法则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)-积法则：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)3.乘幂法则：[f(x)^n]'=n*f'(x)*f(x)^(n-1)。
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
导数微积分公式大全
导数微积分公式大全1.函数的导数定义公式：若函数$f(x)$在区间$[a, b]$内有定义，且对于任意$x\in(a, b)$，函数$f(x)$在点$x$处的导数存在，则导数的定义如下：\begin{align*}f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x}\\&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\end{align*}2.基本导数法则：(1)常数函数导数：若$f(x)=C$，其中$C$为常数，则$f'(x)=0$。
(2)幂函数导数：若$f(x) = x^n$，其中$n$为正整数，则$f'(x) = nx^{n-1}$。
(3)指数函数导数：若$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$。
(4)对数函数导数：若$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
(5)三角函数导数：若$f(x) = \sin x$，则$f'(x) = \cos x$；若$f(x) = \cos x$，则$f'(x) = -\sin x$；若$f(x) = \tan x$，则$f'(x) = \sec^2 x$。
3.四则运算法则：若函数$f(x)$和$g(x)$都在一些区间上可导，则其和、差、积、商的导数如下：(1)和的导数：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$(2)差的导数：$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$(3) 积的导数：$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$(4) 商的导数：$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$4.复合函数导数：若函数$y=f(g(x))$可微分，则导数$f'(g(x))$和$g'(x)$的乘积等于复合函数$y$对$x$的导数：\\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}\]5.高阶导数：若函数$f(x)$的导数$f'(x)$存在，则导数$f'(x)$的导数称为$f(x)$的二阶导数，表示为$f''(x)$，类似地，导数$f''(x)$的导数称为$f(x)$的三阶导数，以此类推。
导数微积分公式
导数微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，包括导数和积分两个基本概念。
导数是描述函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
下面我将整理一些常用的导数公式。
1.基本导数公式a.常数函数导数：若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
b. 幂函数导数：若f(x)=x^n（n为自然数），则f'(x)=nx^(n-1)。
c. 指数函数导数：若f(x)=a^x（a为常数且a>0，且a≠1），则f'(x)=a^xlna。
d. 对数函数导数：若f(x)=lnx（x>0），则f'(x)=1/x。
2.三角函数导数公式a. 正弦函数导数：若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx。
b. 余弦函数导数：若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx。
c. 正切函数导数：若f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。
d. 反正弦函数导数：若f(x)=arcsinx，则f'(x)=1/√(1-x^2)。
e. 反余弦函数导数：若f(x)=arccosx，则f'(x)=-1/√(1-x^2)。
f. 反正切函数导数：若f(x)=arctanx，则f'(x)=1/(1+x^2)。
3.复合函数导数公式a.复合函数导数：若y=f(g(x))，其中f和g都可导，则y'=(f'(g(x)))*(g'(x))。
4.乘积和商的导数公式a.乘积的导数：若y=u(x)v(x)，其中u和v都可导，则y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
b.商的导数：若y=u(x)/v(x)，其中u和v都可导且v(x)≠0，则y'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^25.链式法则若y=f(u(x))，其中f和u都可导，则y'=f'(u(x))u'(x)。
微积分公式大全
微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。
柯西积分公式及高阶导数公式
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律及其应用。
在微积分中，有许多重要的公式被广泛应用于各种问题的解决中。
本文将介绍16个微积分公式，并分别阐述其含义和应用。
一、导数的定义公式导数是微积分中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在这个公式中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
该公式的含义是通过计算函数在极限情况下的变化率来求得导数。
导数的应用非常广泛，包括求函数的极值、判断函数的增减性等。
二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是求导过程中常用的规则，它将导数与函数的四则运算相结合。
具体公式如下：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2) (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2这些公式可以通过对函数中的每一项进行求导，并按照四则运算法则进行组合计算。
它们对于求解复杂函数的导数提供了便利。
三、常用导数公式在微积分中，有一些常用的导数公式被广泛应用于各种问题的求解中。
这些公式包括：(1) (x^n)' = nx^(n-1)(2) (e^x)' = e^x(3) (lnx)' = 1/x(4) (sinx)' = cosx(5) (cosx)' = -sinx(6) (tanx)' = sec^2x这些公式可以帮助我们快速求取一些特定函数的导数，从而简化求解过程。
四、高阶导数公式除了一阶导数外，函数的高阶导数也是微积分中的重要概念。
Cauchy积分公式和高阶导数公式
14
e C1 ( z 2 1)2 dz C1 z i 2i e ( 1 i ) e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i z
z
e ( z i )2 2 dz (z i)
z
y
C1 i
C
x
o
C2
i
e (1 i )e i 同理可得 dz , 于是 2 2 C 2 ( z 1) 2 z i i e (1 i )e (1 i )e C ( z 2 1)2 dz 2 2 i i (1 i )( e ie ) (1 i )2 (cos 1 sin1) 2 2 i (sin 1 cos 1). 15
如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内 解析，在C上连续，那么柯西积分公式仍 然成立.
6
用柯西积分公式计算积分：
z0
C
C
f (z) dz 2πif ( z0 ) （） z z0
需注意： (1) 识别积分类型(是否具有（*）式左端特征). (2) 所求积分是否满足定理的条件.
7
例
关于Cauchy积分公式的意义: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. （这是解析函数的一个重要特征） (2) 公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出了解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数各种局部性质的有力工具)
(3) 公式提供了一种计算积分的方法.
5
z0
C
注：
在 C 内以 i 为中心作一个正向圆周 C1 , 以 i 为中心作一个正向圆周 C2 , z e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z 1)
积分与求导公式大全
积分与求导公式大全一、常用的求导公式1. 常数法则：d/dx(c) = 0，其中c为常数。
2. 幂函数法则：若f(x) = x^n，其中n为常数，则d/dx(f(x)) =nx^(n-1)。
3. 乘法法则：若f(x) = u(x) * v(x)，则d/dx(f(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)，其中u'(x)表示对u(x)求导。
4. 除法法则：若f(x) = u(x) / v(x)，则d/dx(f(x)) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2，其中u'(x)表示对u(x)求导。
5. 指数函数法则：若f(x) = a^x，其中a为常数且a > 0，则d/dx(f(x)) = ln(a) * a^x。
6. 对数函数法则：若f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a > 0且a≠1，则d/dx(f(x)) = (1 / (x * ln(a)))。
7. 三角函数法则：若f(x) = sin(x)，则d/dx(f(x)) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则d/dx(f(x)) = -sin(x)。
8. 反三角函数法则：若f(x) = arcsin(x)，则d/dx(f(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)；若f(x) = arccos(x)，则d/dx(f(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
9. 导数的链式法则：若f(x) = g(h(x))，则d/dx(f(x)) = g'(h(x)) * h'(x)，其中g'表示对g求导。
10. 高阶导数法则：若f(x)的n阶导数存在，则d^n/dx^n(f(x)) =d^(n-1)/dx^(n-1)(f'(x))。
二、常用的积分公式1. 常数积分：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数表示积分常数。
导数公式微分公式和积分公式
导数公式微分公式和积分公式一、导数公式1.基本导数公式：(1)常数函数的导数为0：(c)'=0(2) 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)(3) 指数函数的导数：(a^x)'=a^xlna (其中a>0，a≠1)(4) 对数函数的导数：(log_ax)'=1/(xlna) (其中a>0，a≠1)(5) 正弦函数和余弦函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx(6) 正切函数的导数：(tanx)'=sec^2x(7) 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的导数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，(arctanx)'=1/(1+x^2)2.导数的四则运算：(1)和差的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'(2) 函数与常数的乘积的导数：(cf)'=cf'(3) 积的导数：(fg)'=f'g+fg'(4) 商的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)(5)复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)二、微分公式微分可以看作函数在其中一点上对自变量的微小变化与函数值的微小变化之间的比率。
微分公式是导数概念的一个应用，常用于近似计算。
1.一阶微分公式：(1) 一个变量的微分：df=f'(x)dx(2) 两个变量的微分：df=f_xdx+f_ydy (其中f_x和f_y分别是函数f关于x和y的偏导数)2.高阶微分公式：(1) 一个变量的n阶微分：d^n f/dx^n(2) 两个变量的混合n阶微分：d^n f/dx^mdy^n-m (其中m+n为n阶)三、积分公式积分是微分的逆运算，可将一个函数的导数还原为原函数，同时也可以用于计算曲线下的面积、体积等。
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ−= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=− ⑸()2tan sec x x '= ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''−⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n n u ax b a u ax b +=+⎡⎤⎣⎦ （4）()()()()()()()nn n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦∑五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ−= ⑼()x x d e e dx =⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x =六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰ ⑷ln xx a a dx c a =+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =−+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==−+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰⑾arcsin dx x c =+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = 形如ln nx xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx = 【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin 62π= （3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=（1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=−（1）tan 00= （2）tan 63π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot6π= （3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在 十二、重要公式 （2）()10lim 1x x x e →+= （9）lim 0x x e →−∞= （10）lim xx e →+∞=∞。
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1 1 | | 令 C1： z | , C2： z 1| , 3 3
则 I
C1
f ( z ) dz
C2
f ( z ) d z (复合闭路定理)
C1
2z 1 2z 1 ( ) ( ) z 1 dz z C2 z 1 dz z
2z 1 2πi z 1 2z 1 2πi z z 0
解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。
换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。
一、柯西积分公式
注意 柯西积分公式中的区域 D 可以
是多连域。比如对于二连域 D,
其边界为 C C1 C 2 ，则
z
D C1
C2
z0
1 f ( z0 ) 2π i 1 2π i
1 则由柯西积分公式有 f ( z ) 2π i
C
f ( ) d , ( z D ) . z
d d2 1 2 又 [( z ) ] ( z ) , [( z )1 ] 2 ( z ) 3 , dz dz2
……
n! dn 1 ( n 1) , ( ) n! ( z ) n 1 n ( z ) dz z
f
( n)
n! ( z0 ) 2πi n! ( z0 ) | 2π
| z z | R
0 0
1
f (z) d z , (n 1 , 2 , ) . n 1 ( z z0 )
n! M | f ( z)| , ds n n 1 R1 | z z0 |
|f
( n)
(柯西积分公式)
4πi .
z 1
C
解 I
| z | 2
z ( ) 2 9 z dz . z ( i )
z i
3
0
2
3
i
z 2π i 9 z2
π . 5
试考虑积分路径为 | z | 4 的情况。
二、平均值公式
(连续函数的平均值)
定理 (平均值公式) 如果函数 f (z ) 在 | z z0 | R 内解析，
2i ez (e z )( n1) z 0 dz 1 z n ( n 1)! z 2i . ( n 1)!
例 计算 I
ez
| z | 2
( z 1)
2
2
dz .
i
C1
C
2
解 (1) 令f ( z )
ez
( z 1)
2 2
ez
(z i) (z i)
f ( z0 )
z z0
1 d z 2 π if ( z0 ). z z0
C
z0
D
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
z
D
z0
G
证明 如图，以 z0 为圆心， 为半径作圆 G，则
(思路)
(跳过?)
二、柯西不等式
定理
设函数 f (z ) 在 | z z0 | R 内解析，且| f ( z ) | M , 则
|f
( n)
n! M ( z0 ) | , (n 1 , 2 , ) . n R
(柯西不等式)
证明R1 : 0 R1 R ,
函数 f (z ) 在 | z z0 | R1 上解析，
1 左边 f ( z0 ) 2π i 1 右边 2π i
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | 1 | 右边 左边 | Γ | z z0 | ds , 2π
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式 二、平均值公式 三、最大模原理
分析：
设 z0 D, 若 f (z) 在D内解析，则
f ( z) f ( z) d z闭路变形原理 z z0 z z0 d z C z z0
f z f z0 0
证 (1) | f (0) |
1 2π f ( z 0 R e i ) d θ . 2π 0
三、最大模原理
定理 (最大模原理) 如果函数 f (z ) 在 D 内解析，且不为常数，
则在 D 内 | f ( z ) | 没有最大值。 证明 (略) 理解 如图，函数 f (z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
2 2
.
i
C2
如图，作 C1 , C2两个小圆， 则 I
C1
f ( z ) dz
C2
f ( z ) d z (复合闭路定理)
C1
dz ez dz 2 2 C2 ( z i )2 ( z i )2 (z i) (z i)
ez
记为
I1 I 2 .
例 计算 I 解 (2)I1
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
z
D
z0
G
证明 | 右边 左边 |
(思路)
| f ( z ) f ( z0 ) | 1 Γ | z z0 | ds , 2π
1 2πδ , (当 充分小时) 2π
zi
πi cos i
πi (e e 1 ) . 2
例 计算 解
| z | 1 z100 d z .
ez
2πi 2πi z 99 . dz (e ) z 0 99! 99!
ez
| z | 1 z100
ez 例 求积分 n dz . ( n 为整数) z z 1
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
即只要 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，
故等式成立。
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f (z ) 在区域 D 内解析，
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C D
z
z0 G
意义 将 z0 换成 z，积分变量 z 换成 ，则上式变为
f (z)
1 2π i
f ( ) C z d , ( z D) .
证明(略)
意义 解析函数的导数仍解析。 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于利用求导计算积分. f (z) 2πi ( n ) dz f ( z0 ) . 应用 反过来计算积分 C n 1 n! ( z z0 ) 推出一些理论结果。
解
| zi | 1
2π i cos z cos z dz 3 2! (z i)
根据柯西不等式有 | f ( z0 ) | 令 R , 即得 f ( z0 ) 0 , 由 z0 的任意性，知在全平面上有 f ( z ) 0 , 则 f (z ) 为一常数。
M , R
证(1) 任取正数 r 2 , (注意 f (z ) 在 | z | 2 上的性态不知道) 则函数 f (z ) 在 | z | r 内解析， 由高阶导数公式有
在 | z z0 | R 上连续， 则有
1 2π f ( z0 ) f ( z 0 R e i ) d θ . 2π 0
y
R C
z
z0
证明 由柯西积分公式有
f ( z0 )
1 f (z) | z z0 | R z z 0 d z 2π i
x
1 2 π f ( z0 R e i ) R e i i dθ 2πi 0 R e i
| z z | R
( n)
1
令 R1 R , 即得 | f
n! M ( z0 ) | , (n 1 , 2 , ) . n R
三、刘维尔定理
定理设函数 f (z ) 在全平面上解析且有界，则 f (z ) 为一常数。 证明 设 z0 为平面上任意一点，
R 0 , 函数 f (z ) 在 | z z0 | R 上解析，且 | f ( z ) | M ,
D
z0 G
z0
G
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f (z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值， 则此函数必恒为常数。
推论 2 若 f (z ) 在有界区域 D 内解析，在 D 上连续，则 | f ( z ) | 在 D 的边界上必能达到最大值。
C
cos z dz , 其中 C 为： z
0
C1 1 2
C2
(1) C1 : | z | 1; (2) C2 : | z 2 | 1 . 解 (1) I
cos z dz z
2π i cos z
C1
在 | z | 1 上解析
z0
(柯西积分公式)
2πi .
(2) I
e 解 (1) n 0, n 在 z 1 上解析, z