2012年北京市密云县高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2012年北京市密云县高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合M ={x|x >1}，P ={x|x 2>1}，则下列关系式正确的是（ ） A.M =P B.M ∪P =P C.M ∪P =M D.M ∩P =P

2. 函数y =cos x 的一个单调递增区间为（ ） A.(−π

2

，π

2)

B.(0, π)

C.(π2

，

3π2

) D.(π, 2π)

3. 已知向量a →

=(1, 1)，b →

=(2, n)．若|a →

+b →

|=a →

⋅b →

，则n =( ) A.−3 B.−1 C.1 D.3

4. 已知等比数列{a n }的前三项依次为a −1，a +1，a +4，则a n =( ) A.4⋅(3

2)n B.4⋅(2

3)n

C.4⋅(3

2)n−1

D.4⋅(2

3)n−1

5. 抛物线y 2=4x 上一点M 到准线的距离为3，则点M 的横坐标x 为（ ） A.1 B.2

C.3

D.4

6. 如图所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为（ ）

A.2012年

B.2010年

C.2100年

D.1998年

7. 设变量x ，y 满足约束条件{x ≤2，

y ≤x ，x +y ≥2，

则目标函数z =2x +y 的最小值为( )

A.6

B.4

C.3

D.2

8. 给出定义：若m −1

2

2（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m ．在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x −{x}|的四个命题：

①函数y =f(x)的定义域为R ，值域为[0,1

2]； ②函数y =f(x)的图象关于直线x =k

2(k ∈Z)对称；

③函数y =f(x)是周期函数，最小正周期为1； ④函数y =f(x)在[−1

2

，1

2]上是增函数．

其中正确的命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是________人．

设复数满足i −z =2−i ，则z =________．

已知双曲线x 24

−

y 2m

=1的离心率为2，则实数m =________．

如图所示，函数y =f(x)的图象在点P 处的切线方程是y =−x +8，则f(5)=________，

f′(5)=________．

已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；

②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β；

③如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；

④若α∩β=m ．n // m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n // α，且n // β 其中正确确命题的序号是________（把正确命题的序号都填上）

规定一种运算：a ⊗b ={a,a ≤b

b,a >b ，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f(x)=sin x ⊗cos x 的值域为

________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，c =3，cos B =1

4． (1)求b 的值；

(2)求sin C 的值．

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75, 80)，第2组[80, 85)，第3组[85, 90)，第4组[90, 9)，

第5组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示．

（1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组

每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱CC 1的延长线上，且CC 1＝C 1E ＝BC =1

2AB ＝1．

①求证：D 1E // 平面ACB 1；

②求证：平面D 1B 1E ⊥平面DCB 1； ③求四面体D 1B 1AC 的体积．

已知函数f(x)=−1

3x 3+2ax 2−3a 2x +1，0

（2）若x ∈[1−a, 1+a]时，恒有−a ≤f′(x)≤a 成立（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），试确定实数a 的取值范围．

已知曲线E 上任意一点P 到两个定点F 1(−√3,0)和F 2(√3,0)的距离之和为4， (1)求动点P 的方程；

(2)设过(0, −2)的直线l 与曲线E 交于C ,D 两点，且OC →

⋅OD →

=0（O 为坐标原点），求直线l 的方程．

已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n+1+S n−1=2S n +1，其中(n ≥2, n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n =4n +(−1)n−1λ⋅2a n (λ为非零整数，n ∈N ∗)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N ∗，都有b n+1>b n 成立．