高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
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件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(× ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(× )
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所
在的直线方程.( × )
答案
(5) 过 圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ r2 上 一 点 P(x0 ， y0) 的 圆 的 切 线 方 程 是 x0x ＋ y0y ＝
⇔d>相r切；
⇔相离.
>0⇔ 相交 ；
(2)代数法：Δ―＝判―b―别2－―式→4ac＝<00⇔⇔相相离切
； .
答案
2.圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法 位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
解析 由题意可知过 A，B 两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心
|－ab| 到直线 AB 的距离为 d＝ a＋b2＋1，
而 a＋b＝－tan1 θ，ab＝－sin1 θ，
因此 d＝
1
－stiann1θθ2＋1，化简后得 d＝1，故直线与圆相切.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
所以所求弦长为 2 2.
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解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的
位置关系是_相__交___.
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，
|a·0＋b·0－1| 而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ a2＋b2 ＝
1 a2＋b2<1.
所以直线与圆相交.
解析答案
(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切， 则实数k的取值范围是________.
解析答案
(3)已知方程 x2＋tanx θ－sin1 θ＝0 有两个不等实根 a 和 b，那么过点 A(a，
a2)，B(b，b2)的直线与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是__相__切____.
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解析答案
5.(教材改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为
__2__2____.
解析 由xx22＋＋yy22－－44＝x＋04，y－12＝0， 得 x－y＋2＝0.
又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 22＝ 2. 由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，
证明 由yx＝－k1x＋2＋1，y＋12＝12，
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
代数法：联立两圆方程 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 组成方程组的解的情况
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解
答案
知识拓展
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2) 过 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 上 一 点 P(x0 ， y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为 (x0 － a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线 方程为x0x＋y0y＝r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相 交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在
直线的方程.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条
所以圆心 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m，
从而 C1C2＝ 32＋42＝5. 由两圆外切得 C1C2＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9.
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解析答案
4.(2015·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射ห้องสมุดไป่ตู้与圆(x ＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________.
是[_－__3_,_1_]____. 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，
∴ |a1－2＋0＋－11|2≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
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解析答案
3.(2014·湖南改编)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外 切，则m＝9________. 解析 圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－ 4)2＝25－m，
第九章 平面解析几何
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
d<r ⇔相交d＝；r
r2.(√ )
(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，
B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2√.(
)
答案
2
考点自测
1.(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是
___②_____.
①相切；
②相交但直线不过圆心；
③相交过圆心；
④相离.
解 析 由 题 意 知 圆 心 (1 ， － 2) 到 直 线 2x ＋ y － 5 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |2×1－2－5|
22＋1 ＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0， 所以直线与圆相交但不过圆心.
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解析答案
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所
在的直线方程.( × )
答案
(5) 过 圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ r2 上 一 点 P(x0 ， y0) 的 圆 的 切 线 方 程 是 x0x ＋ y0y ＝
⇔d>相r切；
⇔相离.
>0⇔ 相交 ；
(2)代数法：Δ―＝判―b―别2－―式→4ac＝<00⇔⇔相相离切
； .
答案
2.圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法 位置关系
外离 外切 相交 内切 内含
解析 由题意可知过 A，B 两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心
|－ab| 到直线 AB 的距离为 d＝ a＋b2＋1，
而 a＋b＝－tan1 θ，ab＝－sin1 θ，
因此 d＝
1
－stiann1θθ2＋1，化简后得 d＝1，故直线与圆相切.
思维升华
解析答案
跟踪训练1
已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
所以所求弦长为 2 2.
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题型分类 深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的
位置关系是_相__交___.
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，
|a·0＋b·0－1| 而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ a2＋b2 ＝
1 a2＋b2<1.
所以直线与圆相交.
解析答案
(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切， 则实数k的取值范围是________.
解析答案
(3)已知方程 x2＋tanx θ－sin1 θ＝0 有两个不等实根 a 和 b，那么过点 A(a，
a2)，B(b，b2)的直线与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是__相__切____.
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解析答案
5.(教材改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为
__2__2____.
解析 由xx22＋＋yy22－－44＝x＋04，y－12＝0， 得 x－y＋2＝0.
又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 22＝ 2. 由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，
证明 由yx＝－k1x＋2＋1，y＋12＝12，
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
代数法：联立两圆方程 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 组成方程组的解的情况
d>r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2
d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解
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知识拓展
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2) 过 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 上 一 点 P(x0 ， y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为 (x0 － a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线 方程为x0x＋y0y＝r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相 交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在
直线的方程.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条
所以圆心 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m，
从而 C1C2＝ 32＋42＝5. 由两圆外切得 C1C2＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9.
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解析答案
4.(2015·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射ห้องสมุดไป่ตู้与圆(x ＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________.
是[_－__3_,_1_]____. 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，
∴ |a1－2＋0＋－11|2≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
12345
解析答案
3.(2014·湖南改编)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外 切，则m＝9________. 解析 圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－ 4)2＝25－m，
第九章 平面解析几何
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
d<r ⇔相交d＝；r
r2.(√ )
(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，
B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2√.(
)
答案
2
考点自测
1.(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是
___②_____.
①相切；
②相交但直线不过圆心；
③相交过圆心；
④相离.
解 析 由 题 意 知 圆 心 (1 ， － 2) 到 直 线 2x ＋ y － 5 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |2×1－2－5|
22＋1 ＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0， 所以直线与圆相交但不过圆心.
12345
解析答案
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围