行列式的例题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行列式的例题
一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明
2
2
2
111
2
22
22
21111112c b a c b a c
b a b a a
c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得
2
22
22
11111
2
22
22
11111
b a a
c c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左
2
22
2
1111
2
2
22
1111
b a a
c b a a c b
a a c a a c
b a a
c b a a c b +++++++= 222111
222111
b a
c b a c b a c a c b a c b a c b += 22
2
111
2
2
2
111
a c
b a
c b a
c b a c b a c b a c b += 2
2
2
1112a c b a c b a c b
==右
2．计算n 阶行列式
n
n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=
Λ
ΛΛΛ
Λ21222121211
1
解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ，
当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2）
当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 01
111313131
2121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n
n Λ
M M
M Λ
ΛΛ 综上所述
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥=--=+=3,02),)((1,212111n n b b a a n b a D n 。
3． n 阶行列式D 中每一个元素a ij 分别用数b i-j (b≠0)去乘得到另一个行列式D 1 ，试证明D 1=D 。 证明： 首先将行列式D 的每行分别提出b 1,b 2…,b n ，再由每列分别提出b -1,b -2…,b -n 可得
n
n nn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D ---------=
Λ
M M
M Λ
Λ
22112222221
221112
1121
1111
n n nn n n n n n n n n b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a ---------=Λ
M M
M Λ
Λ
22112222221
221112
1121111
n nn n n n n n n n
b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ---------=Λ
M M
M Λ
Λ
Λ221122221
2112
121
1121)
(
nn
n n n
n n
n
a a a a a a a a a
b b b b b b Λ
M M
M Λ
Λ
ΛΛ212222111211
2
12
1)
)((---= D a a a a a a a a a nn
n n n
n
==
Λ
M M M ΛΛ212222111211
4．已知,3
256411222245233
35555
4321=A 求
（1）A 51+2A 52+3A 53+4A 54+5A 55；
（2）A 31+A 32+A 33及A 34+A 35 。 解：由行列式的性质可知
(1) A 51+2A 52+3A 53+4A 54+5A 55=05
43211122224523
33555
54321=
(2)
5A 31+5A 32+5A 33+3A 34+3A 35 =03256411222335553
35555
4321=
2A 31+2A 32+A 33+A 34+A 35 =03
256411222112223
35555
4321=
解出A 31+A 32+A 33=0，A 34+A 35 =0 。
二．利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式计算 1． 计算n 阶行列式
x
a a a a x x
x D n n
n +---=
-12
1111
ΛO
O
解：(解法1) 依次按第i 列的x 倍加到第i-1列去（i=n,n-1,…,2），再将最后1行依次换到第一行得
x
a a x a x D n
n n n ++++---=
-111111
Λ
ΛO O