交大大物第三章习题答案

习题

3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R =20m 的圆周运动，其中有一恒力F =，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。

解：j i 2020+-=-=∆A B r r r

由做功的定义可知：J W 12)2020(6.0-=+-•=∆•=j i i r F

3-2. 质量为m=的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x=5t 2

,y=(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？

i j i j i 60)5.020()5.080(=+-+=-=∆24r r r 22//10d dt d dt ===i a v r 105m m ==⨯=i i F a

由做功的定义可知：560300W J =•∆=•=i i F r

3-3.劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg ，mg x k =∆

可得此时弹簧的伸长量为：k

mg

x =

∆ 由做功的定义可知：k

g m kx kxdx W k mg x

22

1

220

2

===

⎰

∆

3-4.如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：W f 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。

解：求在B 点的速度： N-G=R v m 2 可得：R G N mv )(2

1

212-=

由动能定理：

R

mg N mgR R G N W mv W mgR f f )3(2

1

)(2102

12

-=--=-=

+

3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为

i F )4.388.52(2x x --=，其中F 和x 单位分别为N 和m ．

（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功；

（2）此弹力是否为保守力? 解：

（1）由做功的定义可知：

J

x x x x dx x x d W x x 2.69)

(6.12)(4.26)4.388.52(3

1322122234

.1522

.02

1

=----=--=•=⎰

⎰

x F （2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。

3-6. 一质量为m 的物体，在力)(2

j i F bt at +=的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。

解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：

)3

1

21(1)(1322j i j i bt at m dt bt at m t m +=+==⎰⎰

F v 所以功率为：

)3

1

21(1)3121(1)(5232322t b t a m bt at m bt at N +=+•

+=•=j i j i V F

3-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为

cz bxy ax E ++-=2p .

（1）求作用力F ；

（2）当质点由原点运动到3=x 、3=y 、3=z 位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中p E 的单位为J ，z y x 、、的单位为m ，F 的单位为

N .

解：（1）由作用力和势能的关系：

k j i F c bx by ax r

cz bxy ax r E P ---=∂++-∂-=∂∂-=)2()(2

（2）取一个比较简单的积分路径：k j i r dz dy dx ++=，则积分可得：

)(])2[(k j i k j i dr F dz dy dx c bx by ax W ++•---=•=⎰⎰

=9a-9b-3c

3-8. 轻弹簧AB 的上端A 固定，下端B 悬挂质量为m 的重物。已知弹簧原长为0l ，劲度系数为k ，重物在O 点达到平衡，此时弹簧伸长了0x ，如图所示。取x 轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O '；力的平衡位置O 。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P 时系统的总势能。

解：（1）取弹簧原长位置O '为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P （坐标设为x '）时系统的总势能：2

P 2

1E x k x mg '+

'-= （2）取力的平衡位置O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一

位置P （坐标设为x ）时系统的总势能：

20

20P 2

121E kx mg kx x x k mgx =-++-=而）（

所以22020P 2

12121E kx kx x x k mgx =-++-=）（

3-9. 在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在

121

2

ρρρ<<的条件下，求细棒下落过程中

的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。

解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：

hsg lsg 12ρρ= ，则l h 1

2

ρρ=

。 在下落过程中，利用功能原理：2

2

21012h slv sglh gsydy ρρρ-=-⎰

所以：2

max 1

v gl ρρ=

进入液体的最大深度H 为细棒运动的速度为零时：

210

H

sglh gsydy ρρ-=-⎰ 所以1

122

l H ρρρ=

•-

3-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f 的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k 为常数，即kv f -=，试求质量为m 的卫星，开始在离地心R r 40=（R 为地球半径）陨落到地面所需的时间。

解：根据题意，假设在离地心R r 40=处质点的速度为v 1，地面上的速度为