高中数学 同步辅导讲义 1.1.1集合

集合基本概念及题型分类学生用讲义一、基本知识1.1.1 集合的相关概念(1) 集合、元素的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做集合的元素。

(2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示；集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。

(3) 不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。

空集是一个特殊又很重要的集合，很多问题的考虑，要注意空集的情况，这是容易忽略的问题，在学习中还要记住常用集合的记法，在今后的学习中使用频率较高，如实数集和整数集的记号，正整数集和自然数集的记号。

(4) 集合的分类：①按照集合中元素个数的多少，可分为⎩⎨⎧无限集有限集集合；②按照集合中元素形式的不同，可分为⎩⎨⎧点集数集集合；③集合还可以分为⎩⎨⎧集不可列集可列集合。

(5) 元素的性质：①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可。

也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在集合中就确定了。

例如，“山东的地级市”构成一个集合，济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中，北京、南京……不在这个集合中；“比较大的数”不能构成一个集合，因为组成它的元素是不确定的。

②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个，也就是说集合中的元素是不重复出现的。

例如：good 中的字母构成的集合为},,{d o g ，而不是},,,{d o o g 。

集合的三个特性中，互异性往往是我们考虑不周的地方，如含字母的集合中，求出字母的值，要代回原来的集合中检验。

③无序性：集合中的元素是无次序的，也就是说只要两个集合中的元素相同，这两个集合就相等。

例如：},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。

(6) 常见集合的表示1.1.2 集合与元素的关系元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种，如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈，a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

1.1.3 集合的表示法a) 例举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法例如：方程062=--x x 的解的集合，可表示为}3,2{-，也可以表示为}2,3{-；又如方程组⎩⎨⎧=-=+02y x y x果元素个数较多或无限个，且当构成集合的元素具有明显的规律时，也可采用例举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号。

思考：（1）a 与}{a 的不同；（2）Φ与}{Φ及}0{的不同。

b) 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如)}(|{x p A x ∈，)(x p 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素，A 为x 的范围，有时也写为}),(|{A x x p x ∈。

例如：大于3的所有整数表示为：}3|{>∈x Z x ；方程652+-x x 的解集可表示为}65|{2+-x x x 。

注意：（1）弄清集合是点集还是数集，点集用一个有序实数对来表示；（2）竖线后要准确说明集合中元素的共同特性；（3）若描述部分，出现元素记号以外的其它字母时，要对新字母说明其含义，并指出其取值范围。

说明：（1）错误表示}{实数集；（2）可以省去竖线及左边部分，如}{直角三角形。

c) 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图（Veen 图）。

例如：集合}5,4,3,2,1{用图示法表示为：1.2.1 集合间的基本关系：① 子集：若对任意的A x ∈有B x ∈，则称集合A 为集合B 的子集,记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）. ②集合相等的概念：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（A B ⊇），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A = 1.2.2 真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，即如果B A ⊆且B A ≠，那么集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）.例如{}3,2,1N 、{}b a ,{}c b a ,,等等. 子集与真子集的区别在于“B A ⊆”允许B A =或A B ，而A B 是不允许“B A =”的，所以如果AB 成立，则一定有B A ⊆成立；但如果有B A ⊆成立，AB 不一定成立.备注：①注意强调：任何集合是它本身的子集；②强调元素与集合间的关系，和集合与集合间关系的区别，以及符号表示上的不同。

1.3.1 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

记作：B A Y 读作：“A 并B ”即： {}B x A x B A ∈∈=或,Y说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

1.3.2 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

记作：B A I 读作：“A 交B ” 即： {}B x A x B A ∈∈=且,I说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

1 2 3 4 5用维恩图表示为：1.3.3全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。

1.3.4 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集。

1.3.5 集合运算注意点： 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

1.3.6 集合基本运算的一些结论：A B A ⊆I ，B B A ⊆I ，A A A =I ，∅=∅I A ,A B B A I I =，∅=A A C U Y )( B A A Y ⊆，B A B Y ⊆，A A A =Y ，A A =∅Y ,A B B A Y Y =，∅=A A C U I )(若A B A =I ，则一定有B A ⊆，反之也成立 若B B A =Y ，则B A ⊆，反之也成立 若)(B A x I ∈，则A x ∈且B x ∈ 若)(B A x Y ∈，则A x ∈或B x ∈二、题型分类考点一：集合的基本概念例1、 若R b a ∈,集合},,0{},,1{b aba b a =+，求a b -的值.例2、 已知集合},,{},2,,{2aq aq a B d a d a a A =++=，其中0≠a ，若B A =，求q 的值练1. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.考点二：集合与元素、集合与集合之间的关系 题型一：关系判断例1、已知下列集合：（1）}5,,12|{1≤∈+==k N k k n n A ；}3,,2|{2≤∈==k N k k x x A ；（3）}3,,1414|{3≤∈-=+==k N k k x k x x A 或；问：1）用列举法表示上述各集合；2）如果Z k ∈,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。

练1、集合},16|{},,13|{},,23|{Z m m y y S Z u u y y B Z k k x x A ∈+==∈+==∈-==之间的关系是A 、S ≠⊆B ≠⊆A B 、S=B ≠⊆AC 、S ≠⊆B=AD 、S ≠⊇B=A练2、设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ） A ． N M = B ．≠⊂N M C ．≠⊃N M D ．Φ=N M I例2、已知集合},|{},,23|{22R b b b x x N R a a a x x M ∈-==∈+-==，则N M ,的关系是A 、 M ≠⊆NB 、M ≠⊇NC 、M=ND 、不确定题型二：已知关系求参数范围例1、 已知：集合A a a a A ∈-+-=3},12,52,2{2，求a .练1、已知A a A ∉--=3},12,2{且，则a 的取值范围是___________； 练2、（1）已知}33,)1(,2{22++++=a a a a A 且A ∈1，求实数a 的值；（2）已知N M b a N b a M ===且},2,2{},,,2{2，求b a ,的值.练3、设全集}16,2,1{2-+=k k U ，集合}2,1{-=k A ，A U ，}4{=A C U ，则k 等于_______．练4、已知}73,22,3,4{},72,4,2{23223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A ,若}5,2{=B A I ,求实数a 的值,并求B A Y .练5、设集合}065|{},019|{222=+-==-+-∈=x x x B a ax x R x A ，}082|{2=-+∈=x x R x C ，且Φ=Φ≠C A B A I I ,，求a 的值．练6、设集合},23|{},,13|{Z n n y y N Z m m x x M ∈+==∈+==，若N y M x ∈∈00,，则00y x 与集合N 的关系是___________；例2、若集合}1|{},06|{2+==-+=mx x B x x x A , 且A B ⊆，则m 的取值的集合是________。

练1、已知集合}02)2(|{},045|{22≤++-=≤+-=b x b x x Q x x x P 且有Q P ⊇，求实数b 的取值范围。

练2、设集合}121|{},71|{-≤≤+=≤≤-=k x k x S x x M ，若Φ=S M I ，求k 的取值范围.练3、已知集合}5log )32(log |{222>--=x x x A ，}02|{22<--=a ax x x B , 若Φ=B A I ，求实数a 的取值范围。

练4、设全集R U =,集合}1|{},0,2|{2>=>==x x P x y y M x，则下列关系中正确的是( )A. P M =B. ≠⊂M PC. ≠⊂P MD. Φ=P M C U I练5、设},32|{},2|{A x x y y B a x x A ∈+==≤≤-=，},|{2A x x z z C ∈==若BC ⊆，求实数a 的取值范围。