高一数学诱导公式
高一数学诱导公式汇总
高一数学诱导公式汇总学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学诱导公式大全，希望对大家有所帮助!高一数学诱导公式总结诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα诱导公式公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
高中数学诱导公式大全
高中数学诱导公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
诱导公式诱导公式二三四高一数学精品课件_1
3
6
4
解：(1)原式＝tan
π－π 4
＋cos
55π＋sin 6
2π－π 6
＝－tanπ4＋cos
4×2π＋7π 6
－sinπ6＝－1＋cos76π－12
＝－1＋cos π＋π6 －12＝－32－cosπ6＝－32－ 23.
(2)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855° ＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135°＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 或
2626，
cosα－75°＝－
26 26
(舍)．
所以 sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5 2626.
题型三 化简求值问题 [探究发现]
(1)利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z )时，化简结果与 k 是否 有关？
A．sin α＝sin β
B．sin α＝－sin β
C．cos α＝－cos β 解析：因为 α＋β＝π，
D．tan α＝－tan β
所以 sin α＝sin(π－β)＝sin β，
故 A 正确，B 错误；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，
故 C 正确；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，故 D 正确． 答案：ACD
根据以上推导过程你能推导下列各式的结果吗？ (1)cos(nπ＋α)＝____________.(2)sin(nπ－α)＝____________. (3)cos(nπ－α)＝____________. 解析：(1)cos(nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z )． ①当 n＝2k(k∈Z )时，由诱导公式有 cos(nπ＋α)＝cos(2kπ＋α)＝cos α＝(－1)2kcos α(k∈Z )； ②当 n＝2k＋1(k∈Z )时，由诱导公式有 cos(nπ＋α)＝cos(2kπ＋π＋α)＝－cos α＝(－1)2k＋1cos α(k∈Z )． 综上，对任意角 α 有 cos(nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z )．
高一数学三角函数的诱导公式
例题讲解
例1
求下列三角函数值：
（1） sin 225 ；
cos 1290 （2）
；
11 （3）cos 240 12 ；（4）sin ． 10
例2
cos 180 sin 360 化简： ． sin 180 cos 180
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限 意义：k （k Z）的三角函数值
2 1 ）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；
1 1、已知 cos(75 ) ，其中 是第三象限角， 3 求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
2、已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA A+B 3 +C (2)tan tan 4 4
1 3、已知 tan ，求值 3 sin 3 ( )cos(2 ) tan(2 ) 3 3 sin( 2 )cos( ) tan( ) tan( ) 2 2
请同学们思考回答点 P 关于 三个点的坐标间的关系．
高一数学公式大全
高一数学公式大全常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
诱导公式第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
解析 (1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12； cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.
答案
1 (1)2
－21
6
求任意角三角函数 值：(1)“负化正”； (2)“大化小”； (3)“小化锐”； (4)“锐求值”
课堂精讲
【训练 1】 求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos－316π；(3)tan(－945°).
解 (2)法一 cos－316π＝cos316π＝cos4π＋76π
＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－
3 2.
法二 cos－316π＝cos－6π＋56π
＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－
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课堂精炼
【训练 2】 化简下列各式： (1)tan(2π－coαs)(sαi－n(－π)s2iπn－(5πα－)coαs)(6π－α)；
解 (1)原式＝－tcaons(απ·－sinα()－sinα()πc－os(α－) α) ＝－cossinαα（（－－cosisnαα））scinosαα
＝－csions
题型三 给值(或式)求值问题
数学
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知识梳理
诱导公式 二、三、四
sin(π＋α)＝－sinα， cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα，
sin(－α)＝－sinα， cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝－tan α sin(π－α)＝sinα， cos(π－α)＝－cosα， tan(π－α)＝－tanα
3 2.
三角诱导公式
2022届高一数学第二学期07（诱导公式01）[知识要点]诱导公式(以下k∈Z，α∈R)(1)sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(2)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα(3)sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα(4)sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα(5)sin(2π-α)=cosαcos(2π-α)=sinαtan(2π-α)=cotαcot(2π-α)=tanα(6)sin(2π+α)=cosαcos(2π+α)=-sinαtan(2π+α)=-cotαcot(2π+α)=-tanα(7)sin(23π-α)=-cosαcos(23π-α)=-sinαtan(23π-α)=cotαcot(23π-α)=tanα(8)sin(23π+α)=-cosαcos(23π+α)=sinαtan(23π+α)=-cotαcot(23π+α)=-tanα★口诀：，权且当锐角，竖变横不变(奇变偶不变)，符号看象限★熟记：tan(kπ+α)=tanα(k∈Z) tan(kπ-α)=-tanα(k∈Z)★由第二组诱导公式得：函数y=sin x，y=tan x，y=cot x都是奇函数，函数y=cos x是偶函数[课后作业]01．化简：(1)(2)3sin()cos()cot()2n(3)sec(2)csc()2ta πθπθθππθπθπθ----+---02．已知tan (540º+α)=lg 101，求tan (α-270º)的值03．已知α∈(0，π)，sin (2π+α)=41，求cos (23π+α)的值cos (2π-α) sin (π-α)∙ tan (2π-α) cos (π-α) sin (π-α) tan (π+α) ∙ 3 304．已知|cos (π+α)|=-cos α，tan (α-3π)=-43，求sin (-α)05．已知α是第三象限角，f (α)= (1)化简f (α)(2)若cos (α-23π)=51，求f (α)的值06．已知x ∈(4π，43π)，sin (π+x )+cos (π-x )=-1325，求 的值sin (π-α)cos (2π-α)tan (-α+23π)cos (-α-π)sin (-α-π) 1-tan (π+x ) 1-tan (2π-x )07． 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,5}B =，则AB = 08. 不等式01x x ≤+的解集为 09. 已知4sin 5α=，则cos()2πα+= 10. 已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像过点(2,4)，则a 的值为11. 设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件22. 已知函数()22x x f x -=+.（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.2022届高一数学第二学期08 （诱导公式02 ）[课后作业]01．下列各式中，与cos (23π-α)相等的是[ ] (A )sin (π-α) (B )cos (π-α) (C )sin(2π-α) (D )cos (2π+α)02．求值： (1)cos 1º+cos 2º+cos 3º+∙∙∙+cos 180º=(2)若cos (5π-α)=-31，则cos α=(3)tan 1º∙tan 2º∙tan 3º∙∙∙∙∙tan 89º=(4)sin 21º+sin 22º+sin 23º+∙∙∙+sin 2180º=(5)若tan (3π-α)=-31，则tan (23π+α)= （6）若sin (5π-x )=-31，则cos (π+x )=（7）若cot (π-θ)=2，则sin θ∙cos θ=03．化简下列各式： (1)(2)tan α+tan (180º-α)+cot (90º+α)-tan (360º-α)(3)sin (180º-α) sin (180º+α) cos (360º-α) sin (-α) cot (90º-α) tan (90º+α)∙ ∙ sin (3π-α) tan (α-5π) csc (5π+α) sin (-α)cot (-π-α) cos (π+α) ∙ ∙04．已知α是钝角，且sin (180º+α)=-31，求cos (α-180º)的值05．已知tan α=2，求 的值06．已知x ∈(4π，43π)，sin (2π-x )+cos (π+x )=-1325，求的值sin (π-α)-sin (α-2π) cos (23π+α)+cos (π+α)1-co t (π+x )1-co t (2π-x )07．已知x∈(2π，π)，sin(π-x)-cos(π+x)=32(1)求sin x-cos x的值(2)求sin3(2π+x)+cos3(2π+x)的值08．已知角α的终边经过点P(sin20175π，cos20175π)，求角α的最小正值9. 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为10. 已知集合{1,0,}A a =-，{||1|1}B x x =-<，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是11. 函数2146y x x =-+的值域为 12. 不等式33(1log )(log )0x a x +->的解集是1(,9)3，则实数a 的值为13. 若函数()f x 的图像过点(1,2)，则1()1f x --的图像经过点14. 已知函数11()||||f x x x x x=+--. （1）判断()f x 的奇偶性，并作出函数()f x 的图像；（2）关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解22---诱导公式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.3诱导公式【考点梳理】考点一：公式二1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.考点二：公式三1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．2．公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.考点三：公式四1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．2．公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.考点四：公式五1．角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示． 2．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 考点五：公式六1．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.大重点：诱导公式规律总结1.明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值 公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1．（2021·江苏·高一课时练习）求值： （1）7πsin6； （2）11πcos 4； （3）()tan 1560-︒. 2．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）计算 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒．题型二：诱导公式二、三、四应用 3．（2021·江苏·高一课时练习）化简：（1）cos(π)ππsin cos sin(π)22αααα-⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭.4．（2021·全国·高一课时练习）已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f αππααπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若α为第四象限角且31sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（3）若313απ=-，求()f α．题型三：：诱导公式五、六应用5．（2021·全国·高一课时练习）已知3tan 4θ=-．求下列各式的值：（1）3sin cos 222sin()cos()ππθθπθθπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--；（2）222sin cos cos 2sin cos θθθθθ-++． 6．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）已知角θ的顶点是平面直角坐标系的原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角θ的终边过点()1,2P ．（1）求sin θ，cos θ的值；（2）求()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．题型四：诱导公式的化简求值7．（2021·海南·儋州二中高一月考）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α； （2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值8．（2020·四川·威远中学校高一月考）化简:（1）设tan 3α=，求sin()cos()sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，求2sin sin cos ααα-.题型五：利用诱导公式证明恒等式 9．（2019·全国·高一课时练习）求证：()()()2cos cos 223sin 3cos sin sin cos sin 1222θθθθθθθθπ-π-+=ππ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫π++-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 10．（2021·全国·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题型六：正切函数的诱导公式的应用 11．（2021·陕西富平·高一期末）化简求值：（1）3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；（2）()tan 315tan 570tan 60tan 675︒+︒-︒-︒．12．（2021·上海师范大学第二附属中学高一月考）化简下列各式：（1）()()()()()sin 180cot 90cos 360tan 180tan 90sin()αααααα︒-︒-︒-⋅⋅︒+︒+-（2）()22221sin cot cot cos αααα+--【双基达标】一、单选题13．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））若3tan 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2t a n 5πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-14．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）已知200︒的终边上有一点(1,)a -，则si n 160︒=（ ）A ．a -B ．21a a +C ．21a a -+D ．211a +15．（2021·江西·九江一中高一期中）已知65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫⎝-⎪⎭=( )A ．33-B ．63-C ．33D ．6316．（2020·湖北荆门外语学校高一月考）若()tan 20192πα-+=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-=（ ） A ．35-B ．45C ．25D ．117．（2021·全国·高一课时练习）已知3312,,tan(),sin cos 22425ππααπαα⎛⎫∈-=-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于（ ）A ．15±B ．15-C ．15D ．75-18．（2021·全国·高一课时练习）已知31,2,sin 223ππαπα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan()πα+=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．2-19．（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知tan 2θ=，则s i n c o s ()2c o s s i n ()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．2320．（2020·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知cos 29m =，则sin 241tan151的值是（ ）A ．21m m -B ．21m -C ．21m m-D ．21m --21．（2021·安徽·淮北市树人高级中学高一期中）若3sin(π)5α+=，且α是第三象限角，则ππsin cos 22ππsin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．7C ．-7D ．-122．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一月考）已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且3sin 5θ=，则sin()2sin 22tan()ππθθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=-（ ）A ．2215B ．23C ．2215-D ．23-【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一课时练习）设()tan 5m πα+=（4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ），则()()()()sin 3cos sin cos a αππαπα-+---+的值为（ ）A ．11m m +-B ．11m m -+C ．－1D ．1 24．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．32C ．32±D ．12-25．（2021·全国·高一课时练习）化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ26．（2021·陕西渭滨·高一期末）sin(600)tan300-+︒︒的值是（ ） A ．32-B ．32C ．132-+D ．132+27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知()sin 0πα+<，且s i n 02πα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 28．（2021·全国·高一单元测试）“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简tan1tan 2tan3tan89︒︒︒︒（ ） A ．442B ．1C ．1442D ．145230．（2021·广西·防城港市防城中学高一月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q “广义互余”已知1sin()4πα+=-，下列角β中：①15sin 4β=；②1cos()4πβ-=；③tan 15β=；④tan 152πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.可能与角a “广义互余”的有（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④31．（2021·广西·全州县第二中学高一期中）化简221cos 102sin 201cos 160-+--的结果为（ ）A ．sin10B ．sin102C ．12D ．1 32．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos cos()2,2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ） A ．2B ．-2C ．13D ．3二、多选题33．（2021·河北·曲周县第一中学高一月考）下列化简正确的是 A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-34．（2020·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+ 35．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ） A ．tan(1)tan1π+=B ．()sin()cos tan 360ααα︒-=-C ．cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭36．（2020·江苏省苏州第十中学校高一月考）已知()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅----，则（ ） A ．当120x =时，上式的值为32B ．当150x =时，上式的值为12C ．当240x =时，上式的值为32D ．当60x =-时，上式的值为32-三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____． 38．（2021·全国·高一课时练习）求值()()sin 420cos750sin 690cos 660︒︒+-︒⋅-︒=_________．39．（2021·河南·新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且115tan tan 4αα-=则πsin sin(π)2πsin sin(π)2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为______.40．（2021·全国·高一课时练习）已知角2()5k k Z παπ=-∈，若角θ与角α的终边相同，则sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++的值为______. 41．（2021·浙江临海·高一期中）已知点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则5sin cos(3)2sin sin()2πθπθπθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 42．（2021·上海·高一课时练习）已知sin(π)α-是方程61x x =-的根，求cos(5π)tan(2π)sin(3π)cot(π)αααα-⋅-+⋅-的值.四、解答题43．（2021·陕西·绥德中学高一月考）(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+. 44．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α是方程25760x x --=的根．求233sin sin tan (2)tan()22cos cos 22αππαπαπαππαα⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．45．（2021·江西省靖安中学高一月考）已知3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----.（1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值；（3）若13cos(),,252ππααπ⎡⎤--=∈⎢⎥⎣⎦，求()f α的值. 46．（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒47．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知角α的终边经过点(),2P x -，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin ααα+的值； （2）求值：()()sin 420cos750sin 690cos 660tan(1380)+--+-o o o o o.48．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）（1）求函数|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++的值域；（2）化简：sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．49．（2021·陕西韩城·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan tan 20αα--=.（Ⅰ）求()tan πα-的值；（Ⅱ）求2021sin sin(2021)2cos()2sin()παπααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-++的值. 50．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简： （1）212sin100cos 280cos3701cos 170-︒︒︒--︒；（2）()()()()sin tan 5tan 2cos 2αππαπαπα-----. 51．（2021·湖北武汉·高一期中）已知角α的终边经过点(),22P m ，22sin 3α=且α为第二象限角.（1）求实数m 和tan α的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin cos παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值.【答案详解】1．（1）7π1sin62=-；（2）22-；（3）3. 解 （1）7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.（2）11π3π3ππcoscos 2πcos cos π4444⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2cos42=-=-. （3）()()tan 1560tan1560tan 4360120-︒=-︒=-⨯︒+︒()tan120tan 18060tan 603=-︒=-︒-︒=︒=.2．（1）336--；（2）-1. 【详解】 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=sin 4cos 6tan 933621ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=sin cos 11tan 3361πππππ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=sin cos tan 3361πππ--+，313=223--+， 336--=. （2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒，()()()tan 72045sin 36030cos 3360120=︒---︒+-⨯︒-， tan45sin30cos60=--+，11122=--+，1=-．3．（1）2cos α-；（2）cos α【详解】 （1）()()2cos(π)ππcos sin cos cos sin cos sin(π)22sin ααααααααα--⎛⎫⎛⎫⋅-+=⋅--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos sin sin cos sin cos tan cos αααααααα⋅-==-. 4．（1）()cos f αα=-；（2）15-；（3）12-． 【详解】（1）[]3sin()cos()sin (sin )cos (cos )2()cos cos()sin()(cos )sin f απααπαααααπαπααα⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-+⋅-+-⋅．（2）因为31sin sin cos 225παπαα⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()cos 5f αα=-=-．（3）因为313απ=-，()cos f αα=-， 所以3131cos 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 52cos cos 331132ππππ⎛⎫⎪⎝⎛⎫=--⨯-=--=-=- ⎪⎭⎭⎝．5．（1）710- ；（2） 2225．【详解】（1）原式31cos sin 1tan 7462sin cos 2tan 11014θθθθθθ---+-+====--+-++． （2）原式2tan 12tan 1θθ-=++312242925116--=+=+． 6．（1）25sin 5θ=，5cos 5θ=；（2）2-. 【详解】因为角θ的终边过点()1,2P ，所以1x =，2y =，22125r OP ==+=， 所以225sin 55y r θ=== ，15cos 55x r θ===， （2）()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin 4cos sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ-+---==--+，由（1）知：tan 2yxθ==， 所以sin 4cos tan 4242sin cos tan 121θθθθθθ------===-+++所以()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2-.7．（1）sin cos αα⋅；（2）32-.【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴3cos sin 2αα-=-. 8．（1）2；（2）25.【详解】 ∵tan 3α=，则sin()cos()sin cos 22a a a a ππππ-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin (cos )sin cos cos (sin )sin cos a a a aa a a a-+-+==+--tan 1312tan 131a a ++===--.（2）依题意得：tan 353tan a a+=-，∴tan 2a =，∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos a a a a a a aα--=+22tan tan tan 1a aa -=+ 222221-=+25=. 9． 证明：左边()cos cos cos cos 1cos cos cos θθθθθθθ-=+---+ 111cos 1cos θθ=++-221cos θ=-=22sin θ=右边，所以原式或立． 10． 【详解】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．11．（1）1；（2）33． 【详解】（1）3πsin(2π)cos(3π)cos sin (cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin (cos )αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----；（2）()31tan 315tan 570tan(36045)tan(54030)tan 45tan 3033tan 60tan 675tan 60tan(72045)tan 60tan 45331-+︒+︒︒-︒+︒+︒-︒+︒====-︒-︒-︒-︒-︒-︒+︒-+．12．（1）sin α；（2）0. 解：（1）()()()()()()()sin 180cot 90cos 360sin tan cos sin tan 180tan 90sin()tan cot sin ααααααααααααα︒-︒-︒-⋅⋅⋅⋅==︒+︒+-⋅-⋅- （2）()222222221sin cot cot cos cot cos cot cos 0αααααααα+--=+--=13．D 解：因为2π2π2πtan tan tan π555ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πtan 45α⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.所以2tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：D. 14．C 【详解】 由题意2sin 2001a a ︒=+，所以2sin160sin(360200)sin 2001a a ︒=︒-︒=-︒=-+．故选：C ． 15．B 【详解】 ∵3=()5102πππαα+-+，65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+， ∴由诱导公式可得，336sin[()]cos()102103sin()5ππππααα=-+=-=-+， 故选：B. 16．D 【详解】由()tan 20192tan 2παα-+=⇒=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-222222sin cos sin cos tan tan 14211sin cos tan 141ααααααααα+⋅-+-+-====+++. 故选：D. 17．B 【详解】由题意得3tan()tan 4απα-==-，又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 0,sin 0αα<>，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+341555=-=-， 故选：B. 18．B 【详解】 因为31,2,sin cos 223ππαπαα⎛⎫⎛⎫∈+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 3α=-，tan 22α=-， 所以()tan tan 22παα+==-， 故选：B 19．B 【详解】 因为tan 2θ=，所以sin cos()2cos sin()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--，2cos cos sin θθθ=-，221tan θ==--，故选：B 20．B 【详解】sin 241tan151sin 61tan 29cos29tan 29== 22sin 291cos 291m ==-=-，故选：B. 21．B 【详解】由()3sin πsin 5αα+=-=，则3sin 5α=-.又α是第三象限角，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以ππ43sin cos cos sin 22557ππ43cos sin sin cos 2255αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 22．C 【详解】依题意，θ是第二象限角，而3sin 5θ=，则24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4θθθθθ=--=-==-， 所以342()sin()2sin()sin 2cos 2255232tan()2tan 152()4ππθθθθπθθ-+⋅-++--+===----⋅-. 故选：C 23．A 【详解】∵()tan 5m πα+=，4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ，∴tan m α=，1m ≠， ∴()()()()sin cos tan 111sin cos tan sin 3cos 11n 1si cos a m m m m ααααααππαπαα------+====-+--+-+-+-+--．故选：A. 24．B 【详解】∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴55,636πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴2553sin 1cos 662ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴553sin sin sin 6662πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：B 25．A 【详解】原式=sin()cos()cos 2cos sin()πθπθθθθ-+-， =2(sin )cos cos (sin )θθθθ--， =-sin θ. 故选：A 26．A 【详解】()33sin(600)tan 300sin120tan 60sin 60tan 60322-+︒=+-︒=︒︒-︒=-=-︒.故选：A. 27．B 【详解】由诱导公式可得：()sin sin 0παα+=-<，sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，所以α是第二象限角 故选：B 28．B 【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件． 故选：B ． 29．B 【详解】因为sin sin(90)sin cos tan tan(90)1cos cos(90)cos sin αααααααααα︒-︒-=⋅=⋅=︒-， 所以tan1tan 2tan3tan89(tan1tan89)(tan 2tan88)(tan 44tan 46)tan 451︒︒︒︒=︒︒⋅︒︒︒︒︒=． 故选：B ． 30．A 【详解】由1sin()4πα+=-，得1sin 4α-=-，所以1sin 4α=，故15cos 4α=±. 由题意，a +β= 90°，所以sin β15cos ,4α==±，1cos sin 4βα==，tan 15β=±.故①③满足；对于②，由1cos()4πβ-=，得cos β= 14-，不满足；对于④，由tan()152πβ+=，可得115tan β-=.则15tan 15β=-，不满足.故可能与角a “广义互余”的有①③. 故选：A. 31．B 【详解】222221cos 10sin 10sin102sin 20sin 202sin 201cos 1602sin 2s 0s 6in in 110-===+-+--+-，故选：B. 32． A 【详解】3cos cos()2,sin cos 22παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos 2,(sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=-∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==， 故选：A ． 33．AB利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos o αααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 34．AB 【详解】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB. 35．ABD 【详解】由诱导公式易知A 正确；B 正确，()sin()sin cos tan tan 360ααααα︒--==--；C 错误，cos()tan()sin(2)παπαπα----(cos )(tan )1sin ααα--==--；D 正确，312sin()sin 12sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，原式2(sin cos )|sin cos |θθθθ=-=-∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0,cos 0θθ><，∴sin θcos θ0->，∴312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭. 故选：ABD. 36．ABD 【详解】()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅---- ()()()()()sin 180cos 1sin()tan 180tan 90tan 90xx x x x x --=⋅⋅----2sin 1cos cos sin cos sin 11tan sin cos tan tan xx x xx x xx x x x=⋅⋅==⨯=--， 当120x =时，原式3sin1202==，故选项A 正确； 当150x =时，原式1sin1502==，，故选项B 正确；当240x =时，原式()3sin 240sin 18060sin 602==+=-=-，故选项C 不正确； 当60x =-时，原式()3sin 60sin 602=-=-=-，故选项D 正确， 故选：ABD 37．2或2- 【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭， 当角α为第一象限角时，2cos sin 2αα==，22cos sin 222αα--=--=-； 当角α为第三象限角时，2cos sin 2αα==-，22cos sin 222αα--=+=． 故答案为：2或2-. 38．1 【详解】()()sin 420cos750sin 690cos 660sin 60cos30sin 30cos60331112222︒︒+-︒⋅-︒=︒+︒⋅︒=⋅+⋅=故答案为：139．35【详解】 由115tan tan 4αα-=，得24tan 15tan 40αα--=，得1tan 4α=-或tan 4α=. α为第二象限角，∴1tan 4α=-，π1sin sin(π)1cos sin 1tan 3241πcos sin 1tan 51sin sin(π)42αααααααααα⎛⎫+-+-⎪++⎝⎭∴====--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭. 故答案为：35. 40．1- 【详解】sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++sin cos tan |sin ||cos ||tan |αααααα=++ sin 2cos 2tan 2555|sin 2||cos 2||tan 2|555k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin cos tan 555sin costan555ππππππ--=++--sin cos tan 5551111sincostan555ππππππ--=++=-+-=-.故答案为：1- 41．2- 【详解】点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则2tan 21θ==5sin cos(3)cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin()2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：2- 42．520±【详解】61x x =-即26()10x x +-= ，解得13x = ，19x = ，1sin(π)sin 9αα-=-=，1sin 9α=- ， cos(5π)tan(2π)cos(π)tan()cos (tan )sin(3π)cot(π)sin(π)cot()sin (cot )αααααααααααα-⋅--⋅--⋅-==+⋅-+⋅--⋅-sin cos sin cos cos cos sin sin αααααααα⋅==⋅， 因为1sin 9α=-，所以45cos 9α=± ，那么原式值为520±. 故答案为：520±43．(1)2；(2)1. 【详解】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，3sin(90)5tan1805cos 0sin 5403sin 905tan 05cos 0sin 03505102-+︒+︒+︒=-++-=-+⨯+⨯-=(2) 由诱导公式可得，()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2sin (sin )cos (cos )cos sin sin cos 1.πππαααπαππαπααπααααααααα-+------+---=-=44．34±． 【详解】由sin α是方程25760x x --=的根，可得3sin 5α=-或sin 2α=（舍），原式233sin sin (tan )(tan )22sin (sin )ππαααααα⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯- 2cos (cos )tan (tan )sin (sin )αααααα⨯-⨯⨯-=⨯-tan α=-．由3sin 5α=-，可知α是第三象限或者第四象限角， 当α是第三象限时，4cos 5α=-，3tan 4α=； 当α是第四象限时，4cos 5α=，3tan 4α=-； 所以3tan 4α=或34-， 即所求式子的值为34±． 45．（1）cos α-；（2）12-；（3）265. 【详解】 解：（1）3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----sin cos (cos )cos cos sin αααααα-⨯⨯-==--⨯； （2）若313πα=-，则3111()cos()cos 332f παπ=--=-=-； （3）由1cos()25πα--=，可得1sin 5α=-， 因为[απ∈，3]2π，所以26cos 5α=-，所以26()cos 5f αα=-=. 46．（1）cos α；（2）38 【详解】 （1）原式()sin cos cos cos cos sin αααααα⋅⋅-==-⋅；（2）原式()()()sin 18030cos 18030cos 36060tan 60=-︒+︒⋅︒+︒⋅-︒-︒⋅︒()sin30cos30cos60tan 60=-︒⋅-︒⋅︒⋅︒131332228⎛⎫=-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 47．（1）6566+-或6566-；（2）13+. 【详解】（1） 角α的终边经过点(),2P x -，由三角函数的定义，23cos 62x x x α==+，解得10=±x . 当10x =时，30cos 6α=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα-+=；当10x =-时，30cos 6α-=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα++=-. （2）由诱导公式可得：()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)sin 60cos30sin 30cos 60tan 6033113132222+--+-=++=⋅+⋅+=+o o o o o o o o o o48．（1）{4,2,0,6}--；（2）cos θ． 【详解】 解：（1）因为|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++，显然|,2k k Z παα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭； 当α在第一象限时，sin 0α>、cos 0α>、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 6sin cos tan cot y αααααααα=+++=； 当α在第二象限时，sin 0α>、cos 0α<、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 4sin cos tan cot y αααααααα-=+++=---； 当α在第三象限时，sin 0α<、cos 0α<、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 0sin cos tan cot y αααααααα-=+++=-； 当α在第四象限时，sin 0α<、cos 0α>、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 2sin cos tan cot y αααααααα--=+++=--； 综上可得{}4,2,0,6y ∈--；（2）sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos tan θθθθ-=- sin cos cos sin cos cos θθθθθθ==⋅49．（Ⅰ）2-；（Ⅱ）13. 【详解】（Ⅰ）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0α>.由2tan tan 20αα--=，解得tan 2α=，或tan 1α=-（舍去）. ∴tan()tan 2παα-=-=-.（Ⅱ）2021sin sin(2021)cos sin 2cos()2sin()cos 2sin παπααααπααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭=-++- 1tan 112tan 3αα-==-.50．（1）1；（2）tan α． 【详解】（1）22(cos10sin10)12sin100cos 28012cos10sin10cos10sin101cos10sin170cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170︒-︒-︒︒-︒︒︒-︒====︒-︒︒-︒︒-︒︒--︒； （2）()()()()sin tan 5sin()(tan )sin tan tan 2cos 2(tan )cos cos αππαπααααπαπαααα--+--===-----．51．（1）1m =-，tan 22α=-；（2）211. 【详解】（1）由三角函数定义可知22222sin 38m α==+，解得1m =±，∵α为第二象限角，∴1m =-，所以tan 22α=-． （2）由（1）知tan 22α=-，()()sin cos 3sin sin sin cos 3cos sin 2cos cos 3sin cos cos cos 3sin cos παβαβαβαβπαβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=-+--+ ()tan 3tan 223213tan tan 12232αβαβ+-+=-=-++-⨯211=。
高一数学1.3三角函数的诱导公式
y
,
P(x，y)
Ox
sin sin
cos cos
tan tan
sin 2k sin
公式一: cos 2k cos tan 2k tan k Z
二若与的终边关于原点对称,则两角的函数关系怎样?
其对应的数学公式怎样?
y
α
P(x，y) o
x Q(-x，-y)
问题提出
t
p
1 2
5730
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样
定义的？
sin y
y
α的终边
cos x P(x，y)
tan y (x 0)
Ox
x
2.如何将任意角的三角函数值，转化为
00～900范围内的三角函数值，是我们需
要研究和解决的问题.
同名三角函数的诱导公式
若与的终边相同, 则两角的函数关系怎样?
4.利用诱导公式，可以求任意角的三 角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
(3)sin(- 16 )
3
(2)sin 11
3
(4)cos(-2040 )
例2 已知cos(π＋x)＝ 1 ，求下列
各式的值：
3
（1）cos(2π－x)； （2）cos(π－x).
例3 已知 cos( ) 2 ，求 sin ( 2 )
的值
6
3
3
例4 已知 sin (30 ) 1 ，求
1
P(-x,y)
o
x
-α
sin sin
5.3诱导公式(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
• 1.利用单位圆的对称性推导诱导公式； • 2.掌握三角函数的诱导公式； • 3.能运用诱导公式化简简单的三角函数； • 重点：诱导公式的探究 • 难点：圆的几何性质与三角函数性质的联系；
复习引入
问题1：三角函数的定义？
三角函数第一定义：y sin ; x cos; y tan x 0.
的对称点P4，那么又可以得到什么结论？
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z)
P1(x,y)与P4(-x,y)关于y轴对称
sinα=y
sin(π-α)=y
cosα=x
tan y
x
cos(π-α)= -x
tan - - y
x
公式四 sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
公式三 sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα
公式四 sin(π-α)=sinα cos(π-α)=- cosα tan(π-α)= -tanα
典例分析
【例1】利用公式求下列三角函数值：
(1) cos 225 (2) sin 8π (3) sin(16π )
P4
π-α
P1
α
1
tan(π-α)=-tanα
创设问题情境
诱导公式 (公式一~ 公式四)
简记： 函数名不变， 符号看象限.
公式一 sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα tan(α+2kπ)=tanα
公式二 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα
求值（4） cos420 ；（5） sin( 7 ) ；（6） tan 1140 ； 6
5.3 第2课时 诱导公式-高一数学新教材(人教A版必修第一册)
sin
sin
4
2
=
sin2
cos
cos
2
= sin tan
cos
sin
sin
sin
2
cos
跟踪训练 2.化简
= sin • sin • cos
cos
= sin2
题型三 利用诱导公式求值
例3
对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π－α与π＋α，π＋ 3 63
2
cosα
sinπ2 - (- ) cos(- ) cos
-sinα
提示：
cosπ2 - (- ) sin(- ) -sin
π 2
α
π 2
( α)
公式六
sin( π 2
α)
cosα
已知sin40°≈0.64，求cos130°。
cos(π2 α)
sin α cos130°=cos（90°+40°）=-sin40°≈-0.64
y x
公式五
sin(
π 2
α)
cosα
cos(π2 α) sin α
公式五
sin(π2 α) cosα
已知sin40°≈0.64，求cos50°。
cos(
π 2
α)
sin α cos50°=cos（90°-40°）=sin40°≈0.64
我们能不能用学过的公式推导出 的正余弦值与α的正余弦值的关系？
将α所在的终边关于原点、x轴、y轴对称，我们得到 了π＋α、－α、π－α的角的三角函数值和 α角的三角函数 值的关系。
如果将α所在的终边关于y=x对称，会得到什么样的角？ 它的三角函数值和α角的三角函数值有什么样的关系？
高一数学公式大全之三角函数诱导公式总结
高一数学公式大全之三角函数诱导公式总结京翰家教网辅导：为方便高一学生记忆高一数学公式，京翰教育整理了高一数学公式大全。
下面是数学公式大全之三角函数的诱导公式总结。
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
常用的诱导公式有以下几组：诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
5.3诱导公式(第2课时)高一数学人教A版必修一
.
(−)(−)(−−)( +)
解：原式=
(−��
)(− )(− )[5+( −)]
2
)(−)[−(+)][4+( +)]
2
(−��
2
−2 [−( −)]
=
因此1 = 5 ，1 = 5 .
根据三角函数的定义，得：
( − ) = 5 , ( − ) = 5 .
2
2
新知探索
由前面的分析知：
(
2
− ) = 5 ,
(
2
− ) = 5 .
= 1 , = 1 . 5 = 1 , 5 = 1 .
求
3
2
3
2
( 2 −)( 2 +)
(−− )( −)
解：方程5 2
∙ 2 ( − )的值.
− 7 − 6 = 0的两根为1 =
3
− ，2
5
= 2，
3
5
∵−1 ≤ ≤ 1，∴ = − .
又是第三象限角，
4
5
∴ = − ， =
4
5
的纵坐标分别为 ， .
5
13
(1)求 的值；
5
解：(1)∵的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为 ，∴
13
2
∵ < < ，∴ = −
∴ =
=
5
− .
12
12
.
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。
二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
高一数学诱导公式PPT教学课件
1、此时甲地的时间为：（ B ）
A．8时
B．9 时
C．15时 D．16时
读中心点为地球北极的示意图，若阴影部分为7月6日，
非阴影部分为7月7日，判断2～3题：
2、此时甲地的时间为：（ C ）
A．15时 B．9时 C．3时 D．12时
3、此时北京时间为（ B ）
A．6日8时 B．7日8时
C．6日20时 D．7日20时
经线 晨线
经线 昏线
纬线
夜
昼
东
晨线示意图
纬线
昼
夜
东
昏线示意图
晨昏线变化简图
N 北极圈
北回归线 赤道
南回归线
南极圈 S
春秋分
三、晨昏线与经纬线的关系
1、晨昏线与经线
只有在春分日或秋分日是重合的，其余时间都不重合;两 者间的夹角随着季节的变化而变化，冬、夏至日达到最大 为23°26′。
2、晨昏线与纬线
小结
诱导公式五:
诱导公式六:
sin(
)
cos
2
sin( ) cos
2
cos(
)
sin
2
cos( ) sin
2
(正2弦)函的数正值弦,前(余面弦加)上函一数个值把,分α别看等成于锐α角的时余原弦函
数值的符号.
考查的内容及相应的解题方法主要包括：
①根据北极上空看地球自转为逆时针，南极上空看为顺 时针，确定南北极、南北 回归线、南北极圈。 ②根据地球自转方向确定晨线、昏线。 ③根据晨昏线和昼、夜半球确定太阳直射点的经纬度 （地理坐标）。 ④根据太阳直射点的位置，极昼、极夜范围确定相应日期。
一名中国船员拍摄到海上落日景观，洗印出的照片显示拍摄
高1数学-三角函数-诱导公式
高一数学诱导公式知识点1.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.2.诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．3.诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 4.诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．题型一 给角求值【例1】求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．【过关练习】1.求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．2.sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.323.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12 D.3＋12题型二 给值求值问题【例1】已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．【过关练习】1.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.253.若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－324.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．5.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值．题型三 三角函数式的化简【例1】化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【过关练习】1.化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).2.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).题型四 利用诱导公式证明恒等式【例1】求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.【过关练习】1.求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.题型五 诱导公式的综合应用【例1】已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【过关练习】1.已知角α终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．2.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .【补救练习】1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－122.若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－323.化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．4.已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．1.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．22.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 3.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－136.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2237.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .1.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 22.已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.3 3.式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ . 4.若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．5.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．。
5.3诱导公式(一)课件-高一上学期数学人教A版 (1)
3
4、已知 cos( ) 3 ，且 2 ，则 sin( 3 ) cos( )
1 5
。
5
课堂总结
一、诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切
一
二
2k
sin
cos
sin
cos
tan tan
三
sin
cos
tan
四
sin
cos
tan
注意：
（1）函数名称不变；（2）运用公式时把 “看成”锐角；
y2
P2
O
P1(x, y)
x
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
y=x
由三角函数的定义得：
2 诱导公式(二)
y 的终边
2
P2(y，x)
P1(x，y) O
x
诱导公式五
sin(
)
cos
2
cos( ) sin
2
2 诱导公式
P3
y2
P2
O
P1(x, y)
x
角α的终边与单位圆的交点P1坐标 为(x,y).
2
诱导公式六
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
2 诱导公式(二)
公式概括：
函数名称变，符号看象限 作用：实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
【例1】证明：
【例2】
（1）若 sin( ) 1 ，则 cos
1 3.
2
（2）若 cos(
3
) 1 ，则 cos(
)
1 2
sin 250o cos 790o
（3） sin(2 )sin(2 ) cos(6 ) .
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2019届高一数学诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαta n(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y''；y=y''''，有通解Q，可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值a0`30`45`60`90`sina01/2√2/2√3/21cosa1√3/2√2/21/20tana0√3/31√3NonecotaNone√31√3/30三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数，其中c0，c1，c2，.....及a都是常数，这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(an cosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dxan=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa^2-Sina^2死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。