2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(理)试题

2019年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题1．已知集合(){}ln 1A x y x ==-，{}240B x x -≤，则A B =I （ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}2x x ≥2．若复数z 满足()11z i i +=+，则z =（ ） A ．i -B ．1i -C ．2D ．13．经统计，某市高三学生期末数学成绩()285,X N σ:，且()80900.3P X <<=，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（ ） A ．0.35B ．0.65C ．0.7D ．0.854．若,x y 满足约束条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．0D ．25．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是（ ）A ．823B ．43πC ．12πD ．3π6．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭7．已知2a =55b =77c = ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖.规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖.假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是（ ）A ．427B ．13C ．59D ．19279．若椭圆E 的两焦点分别为12,F F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于,P Q 两点.若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为（ ） A ．21-B ．512- C ．22D ．21+10．如图，AB 是圆锥SO 的底面圆O 的直径，D 是圆O 上异于,A B 的任意一点，以AO 为直径的圆与AD 的另一个交点为C ，P 为SD 的中点.现给出以下结论： ①SAC ∆为直角三角形； ②平面SAD ⊥平面SBD ；③平面PAB 必与圆锥SO 的某条母线平行.A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数()1ln 11xf x x x +=++-，且()()12f a f a ++>，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，30B =o ，3BC =，3AB =D 在边BC 上，点,B C 关于直线AD 的对称点分别为,B C ''，则BB C ''∆的面积的最大值为（ ）A ．9332- B ．637C ．937D ．332二、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为3π，1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ=______.14．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P a b ，且75a b +=，则cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是______.16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是由双曲线22:139x y C -=的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）.,N P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 同旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等）求得，据此，可求得该金杯的容积是______.（杯壁厚度忽略不计）三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-. （1）求证数列{}1n a +是等比数列，并求n a ；（2）若数列{}n b 为等差数列，且32b a =，73b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧面11BCC B 是矩形，1AB A B =，N 是1B C 的中点，M 是棱1AA 上的点，且1AA CM ⊥. （1）证明：MN P 平面ABC ；（2）若1AB A B ⊥，求二面角A CM N --的余弦值.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆()22:11F x y -+=外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离.记P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）过点F 的直线交E 于,A B 两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：AMB ∆的面积是AMN ∆的面积的四倍.20．“工资条里显红利，个税新政人民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日起实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：随机抽取某市1000名同一收入层级的IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均收入为24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT 从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT 从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）设该市该收入层级的IT 从业者2019年月缴个税为X 元，求X 的分布列和期望；（2）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过其2019年的月收入？21．已知函数()()2x f x x e a =-.（1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值； （2）若()1ln f x x x ≥++，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31,5415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，点P的极坐标为4π⎫⎪⎭.（1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；（2）设l 与C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，求PM . 23．已知函数()()130f x x ax a =+-->. （1）当2a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值.2019年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学学科度量参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．C 12．D 二、填空题 13．2 14．60 15．2425-16．26π 三、解答题17．解：（1）当1n =时，1121S a =-，所以11a =.因为2n n S a n =-①，所以当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②， ①－②得1221n n n a a a -=--，所以121n n a a -=+.所以111111211222111n n n n n n a a a a a a -----++++===+++.所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，23a =，37a =，所以323b a ==，737b a ==， 设{}n b 的公差为d ，则()773b d +-⋅，所以1d =. 所以()33n b b n d n =+-⋅=. 所以()212n n n n a b n n n =-=⋅-.设数列{}2n n ⋅的前n 项和为n K ，数列{}n 的前n 项和为n T ，所以2322232...2nn K n =+⨯+⨯++⋅③，2341222232...2n n K n +=+⨯+⨯++⋅④，③－④得()()23111212222 (22212212)n n n n n n K n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--.所以()1122n n K n +=-⋅+.又因为()1123 (2)n n n T n +=++++=. 所以()()111222n n n n n K T n ++-=-⋅-+. 所以{}n n a b 的前n 项和为()()111222n n n n ++-⋅-+. 18．解法一：（1）如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，连结BM ，因为11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥.因为11AA BB P ，所以1AA BC ⊥.又因为1AA MC ⊥，BC MC C =I ，所以1AA ⊥平面BCM ， 所以1AA MB ⊥，又因为1AB A B =，所以M 是1AA 的中点.取BC 中点P ，连结,NP AP ，因为N 是1B C 的中点，则1NP BB P 且112NP BB =， 所以NP MA P 且NP MA =，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN AP P . 又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以MN P 平面ABC .（2）因为1AB A B ⊥，所以1ABA ∆是等腰直角三角形，设2AB a =，则12AA a =BM AM a ==.在Rt ACM ∆中，2AC a =，所以MC a =.在BCM ∆中，22222CM BM a BC +==，所以MC BM ⊥.由（1）知，则1MC AA ⊥，1BM AA ⊥，如图2，以M 为坐标原点，1MA u u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则()0,0,0M ，()0,0,C a ，()12,,0B a a .所以,,22a a N a ⎛⎫⎪⎝⎭，则()0,0,MC a =u u u u r ，,,22a a MN a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r .设平面CMN 的法向量为()1,,n x y z ，则110,0,n MC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r 即0,0.22az a aax y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =得2y =-.故平面CMN 的一个法向量为()11,2,0n =-. 因为平面ACM 的一个法向量为()20,1,0n =， 则1cos n ∠，12212255n n n n n ⋅>=-. 因为二面角A CM N --为钝角， 所以二面角A CM N --的余弦值为25. 解法二：（1）如图3，在三棱柱111ABC A B C -中，连结BM .因为11BCC B 是矩形， 所以1BC BB ⊥，因为11AA BB P ，所以1AA BC ⊥.又因为1AA MC ⊥，BC MC C =I ，所以1AA ⊥平面BCM . 所以1AA BM ⊥.又因为1AB A B =，所以M 是1AA 中点.取1BB 中点Q ，连结NQ ，MQ ，因为N 是1B C 中点，所以NQ BC P .因为NQ ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以NQ P 平面ABC . 因为M 是1AA 中点，所以MQ AB P .因为MQ ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以MQ P 平面ABC . 因为MQ NQ Q =I ，所以平面MNQ P 平面ABC . 因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN P 平面ABC.（2）如图4，因为1AB A B ⊥，所以1ABA ∆是等腰直角三角形，不妨设2AB a =，则12AA a =，AM BM a ==.又在Rt ACM ∆中，2AC a =，所以CM a =.在BCM ∆中，22222MC BM a BC +==，所以MC BM ⊥. 又因为1MC AA ⊥，1AA BM M =I ，1AA ⊂平面11ABB A ，BM ⊂平面11ABB A ，所以MC ⊥平面11ABB A .连结1MB ，因为1MB ⊂平面11ABB A ，所以1MC MB ⊥. 所以1AMB ∠是二面角A CM N --的平面角. 在1Rt MBB ∆中，22115MB BM BB a =+=，所以11125sin 5BB BMB MB ∠==， 所以()111125cos cos cos sin 25AMB AMB BMB BMB BMB π⎛⎫∠=∠+∠=+∠=-∠=-⎪⎝⎭， 所以二面角A CM N --的余弦值为25. 19．解法一：（1）设(),P x y ，依题意0x >，()1,0F . 因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF -. 依题意得1PF x -=，1x =，化简得E 的方程为()240y x x =>.（2）设()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭. 依题意可设直线AB 的方程()1y k x =-()0k ≠，由()21,4y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=.因为()224224416160k k k ∆=+-=+>，所以212224k x x k++=. 则有124y y k +=，故2222,k D kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由抛物线的定义知2122442k AB x x k+=++=. 设(),M M M x y ，依题意得2M y k =，所以222M k MD x k +=-.又因为2AB MD =，所以222222M k x k k +-=+， 解得1M x =-，所以21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因为02,N x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，所以021x k =，即212,N k k ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以212122112AMBk S MD y y y y k ∆+=-=-， 211212211112224AMND k S MN y y MN y y y y k∆+=-=⨯-=-. 故4AMB AMN S S ∆∆=.解法二：（1）设(),P x y ，依题意0x >.因为P 在圆F 外，所以P 到圆F 上的点的最小距离为1PF -， 依题意得，点P 到()1,0F 的距离PF 等于P 直线1x =-的距离. 所以P 在以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线上. 所以E 的方程为()240y x x =>.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线AB 过()1,0F ，依题意可设其方程1x ty =+()0t ≠.由21,4x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=. 因为216160t ∆=+>，所以124y y t +=. 所以()()212121142x x ty ty t +=+++=+.因为D 是AB 中点，所以()221,2D t t +.由抛物线定义得()()2121144AB x x t =+++=+.设圆D 与:l x m =相切于M ，因为DM 与抛物线相交于N ，所以0m <，且DM l ⊥， 所以12DM AB =，即()22121442t m t +-=+，解得1m =-. 设()00,N x y ，则02y t =，且()2024t x =，所以20x t =，因为()222112t t ++-=，所以N 为DM 的中点，所以2AMD AMN S S ∆∆=.解法三：（1）同解法一（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，连结,MF NF .因为直线AB 过()1,0F ，依题意可设其方程()10x ty t =+≠.由21,4x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=.因为216160t ∆=+>，所以124y y t +=. 所以2M D y y t ==. 因为2AB MD =，122AB x x =++，又因为122M x x MD x +=-， 所以1212222M x x x x x +++=-，解得1M x =-，所以()1,2M t -. 所以21111MF AB t k k t ⎛⎫⋅=⨯=- ⎪--⎝⎭，故90MFD ∠=o . 又因为NM NF =，所以NF ND =，从而MN ND =. 所以12AMN AMD S S ∆∆=. 又12AMD AMB S S ∆∆=，所以4AMB AMN S S ∆∆=.20．解：（1）既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为240005000100018000--=，月缴个税30000.0390000.160000.22190X =⨯+⨯+⨯=；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000100017000---=，月缴个税30000.0390000.150000.21990X =⨯+⨯+⨯=；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为2400050001000200016000---=，月缴个税30000.0390000.140000.21790X =⨯+⨯+⨯=；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000500010001000200015000----=，月缴个税30000.0390000.130000.21590X =⨯+⨯+⨯=； 所以X 的可能值为2190,1990,1790,1590. 依题意，上述四类人群的人数之比是2:1:1:1， 所以()221905P X ==，()119905P X ==， ()117905P X ==，()115905P X ==.所以X 的分布列为所以()219019901790159019505555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为在旧政策下该收入层级的IT 从业者2019年每月应纳税所得额为24000350020500-=， 其月缴个税为15000.0330000.145000.2115000.254120⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为在新政策下该收入层级的IT 从业者2019年月缴个税为1950， 所以该收入层级的IT 从业者每月少缴交的个税为12019502170-= 4. 设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000， 则217024000x ≥，因为x N ∈，所以12x ≥.所以经过12个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过2019年的月收入. 21．解法一：（1）因为()()2x f x x e a =-，所以()()221xf x x e a '=+-.设直线2y x =与()y f x =的图象的切点为()11,x y ， 则()121212x x ea +-=.①因为切点既在切线上又在曲线上，所以1211111,2.x y x e ax y x ⎧=-⎨=⎩②③由①②③得1a =-. （2）由题意得()21ln 1xxex a x ≥+++，即()()21ln 1x x x a x ∈-+≥+，因为0x >，所以21ln 1x xe a x+-≥+. 设()21ln xx F x e x+=-，则()22222ln 2ln 2x xx x e x F x e x x +'=+=.考察函数()222ln xh x x ex =+，因为()()21410x h x xe x x'=++>，所以()h x 在()0,+∞单调递增. 又因为()21222221110e h e e e e e e-=⋅-<⋅-=-<，且()2120h e =⋅>，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即022002ln 0x x ex +=，所以当()00,x x ∈时，()0h x <，()0F x '<，()F x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0F x '>，()F x 为单调递增. 所以()()0200min 01ln x x F x F x ex +==-. 由题意得，()01a F x +≤.令02200x x e t =>，取对数得0022ln ln x x t +=，④由022002ln 0x x ex +=，得02ln 0t x +=，⑤由④⑤得002ln 2ln x x t t +=+，设函数()ln 2x x x ϕ=+，则有()()0x t ϕϕ=， 因为()ln 2x x x ϕ=+在()0,+∞单调递增， 所以0x t =，即00ln 2x x =-， 所以()020000001ln 1212x x x F x ex x x +-=-=-=，故12a +≤，解得1a ≤. 故a 的取值范围是(],1-∞ 解法二：（1）同解法一.（2）设()()()21ln x F x x e a x x =--++，0x >， 则()()()21121x a x F x x e x++'=+-.①当1a =时，令()22ln 1xG x xex x =---，()()2121x G x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，设()21x g x e x =-，0x >.因为()22120x g x e x'=+>， 所以()g x 在()0,+∞单调递增，又因为1404g ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()2110g e =->， 故存在01,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =， 所以0201x ex =，两边取对数得002ln x x =-. 所以当()00,x x ∈，()0g x <，()0G x '<，()G x 单调递减.()0,x x ∈+∞，()0g x >，()0G x '>，()G x 单调递增.所以()()020000min 2ln 10x G x G x x ex x ==---=.即1a =时，有()211ln x x e x x -≥++，所以1a =符合题意. ②当1a >时，因为0x >，所以()()()()()()221ln 11ln x x F x x e a x x x e x x G x =--++<--++=， 由①知，存在()00,x ∈+∞，使得()()000F x G x <=， 所以1a >不符合题意.③当1a <时，()()0F x G x >≥，符合题意. 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 解法三：（1）同解法一.（2）考察函数()1m t e t '=--，因为()1m t e ''=-，所以当0t =时，()0m t '=. 当(),0t ∈-∞时，()0m t '<；当()0,t ∈+∞时，()0m t '>， 所以()m t 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.所以()()00m t m ≥=.①当12a +≤，即1a ≤时，因为0x >， 所以()22ln 2ln 11ln 1xx x xee x x a x x +=≥++≥+++，符合题意.②当12a +>，即1a >时，设()()2ln ln 11x xg x e x a x +=--+-，因为0x >，所以()2ln ln 21x xg x e x x +<---，令()2ln ln 21x xh x ex x +=---，考察()()2ln 0t x x x x =+>.因为()120t x x'=+>，所以()t x 在()0,+∞单调递增. 因为1210t e e⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()120t =>， 故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =，即002ln 0x x +=，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()002ln 0002ln 10x x h x ex x +=-+-=.因为()()g x h x <，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()000g x h x <=， 所以1a >不符合题意. 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 解法四：（1）同解法一. （2）由题意得()21ln 1xxex a x ≥+++，即()21ln x xe x x ax -+-≥，因为0x >，所以21ln 1x xe a x+--≥. 设()()2ln 22ln 1ln 11x xx ex x xe x x F x x x+-+----==+， 设()()2ln 2ln 1x xG x ex x +=-+-.考察函数()1tm t e t =--，因为()1tm t e '=-，所以当(),0t ∈-∞时，()0m t '<，()m t 在(),0-∞单调递减； 当()0,t ∈+∞时，()0m t '>，()m t 在()0,+∞单调递增. 所以()()min 00m t m ==，所以()()00m t m ≥=.所以()()2ln 2ln 10x xG x ex x +=-+-≥，当且仅当2ln 0x x +=时，“=”成立. 以下证明：存在()00,x ∈+∞，使得002ln 0x x +=. 因为()2ln t x x x =+在()0,+∞单调递增，1210t e e⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()120t =>， 所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =，故()0G x ≥， 当且仅当0x x =时，“=”成立. 所以当0x >时，()()11G x F x x=+≥. 又因为()()00011G x F x x =+=，所以当0x >时，()min 1F x =. 故a 的取值范围是(],1-∞. 22．解法一：（1）由2221sin ρθ=+得222sin 2ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ= 代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=.设点P 的直角坐标为(),x y ，因为P的极坐标为4π⎫⎪⎭，所以cos 14x πρθ===，sin 14y πρθ===.所以点P 的直角坐标为()1,1.（2）将31,541,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2212x y +=，并整理得241110250t t ++=.因为21104412580000∆=-⨯⨯=>，故可设方程的两根为12,t t ，则12,t t 为,A B 对应的参数，且1211041t t +=-. 依题意，点M 对应的参数为122t t +， 所以1255241t t PM +==. 解法二：（1）同解法一.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,B x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=. 由31,541,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t ，得4133y x =-.将4133y x =-代入2212x y +=，并整理得24116160x x --=.因为()()2164411628800∆=--⨯⨯-=>， 所以121641x x +=，121641x x =-.所以0841x =，0041481333341341y x =-=⨯-=-，即83,4141M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以5541PM ===. 23．解法一：（1）当2a =时，不等式()1f x >即1231x x +-->，当1x ≤-时，原不等式可化为1231x x --+->，解得5x >，因为1x ≤-，所以此时原不等式无解；当312x -<≤时，原不等式可化为1231x x ++->， 解得1x >，所以312x <≤；当32x >时，原不等式可化为1231x x +-+>，解得3x <，所以332x <<.综上，原不等式的解集为{}13x x <<.（2）因为0a >，所以30a >，所以()()()()14,1,312,1,314,.a x x f x a x x a a x x a ⎧--≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩因为0a >，所以()130f a -=--<，3310f a a ⎛⎫=+>⎪⎝⎭. 当01a <<时，要使得()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形， 则()()111a a -+=-，解得0a =，舍去；当1a =时，()y f x =的图象与x 轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；当1a >时，要使得()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形， 则()()111a a -+=-，解得2a=±，因为1a >，所以2a =.综上，所求a 的值为2.解法二：（1）同解法一. （2）因为0a >，所以30a>. 所以()()()()14,1,312,1,314,.a x x f x a x x a a x x a ⎧--≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩若()y f x =的图象与x 轴围成直角三角形， 则()()111a a -+=-或()()111a a +-=-， 解得0a =（舍去）或2a =2a =.经检验，2a =综上，所求a 2.。