分段函数

“分段函数”教学方案

平山县职业教育中心：郄东明

课题：分段函数（高等教育出版社《数学（基础模块）》上册第三章第3节）

第一部分：（教学导入环节设计与意图阐释）

一、场景描述

选择场景：繁华的步行街；DV拍摄切入视角：过往人群，两旁林立商场及商家门面上的广告．

导入语：生活，让我们学会了合理的分析与正确的选择．今天我们跟随镜头，去看看繁华的步行街．

播放提前录制的DV视频，画面展示过往人群及两旁林立的商场．

特定镜头1：李宁专卖店门前广告．

特定镜头2：联通公司神州行话费资费标准．

特写镜头3：出租车收费标准．

特定镜头1 特定镜头2 特定镜头3

设计意图：以步换景的方式，表述身边的真实生活场景，突出学生的切身体会，引起学生关注生活细节．有选择地挖掘场景中与数学相关联的问题，使学生对场景本身有一种新的认识，达到吸引学生的注意力，激活学生学习的动机与潜能．

二、角色模拟

在拍摄DV的过程中，选择了几处特写镜头，请说说有几处特写镜头？并简要说明特写镜头描述的内容．学生：（略）

教师：今天我们去体验一下生活，同学们如何对待这三件事情？

事件一：购买李宁牌服装一件，打9折；购买李宁牌服装二件或三件，打8.5折；购买李宁牌服装四件以上，打7.5折．现李宁牌服装全国统一价128元，在李宁专买店里，你看中了一件服装，刚巧遇到了四位顾客正在挑选李宁牌服装，也想购买．此时，你将做如何打算？说说你的合理性，并建立购买李宁牌服装的折扣价与购买数量之间的函数关系式．

学生1：通过主动招呼四位顾客，分析联合购买的优惠价．

学生

教师：用列表的方法，我们一看就可以得出购买李宁牌服装的折扣价与购买数量的关系．我们用函数解析式的方法如何给出？

学生3：设购买服装的数量x 件，服装的折扣价y 元，则

⎪⎩⎪⎨⎧∈≥===*,4,963,2,8.1081

,2.115N

x x x x y ．（教师进行适时点拔与评价）

注：在分析过程中，突出不同自变量有不同的取值，为抽象出分段函数做铺垫．

教师：买了新衣服，心情非常愉悦，走进联通公司去充话费．神州行卡（免费接听）话费资费标准如下．

事件二：神州行卡（免费接听）市内通话费资费标准：每次通话3分钟以内，每分钟20.0元；超过3分钟，每分钟（不足1分钟按1分钟计算）收费10.0元．试建立一次通话应付费与通话时间之间的函数关系．

学生：设通话时间为x 分钟，一次通话应付费为y 元．

⎩⎨⎧>-⨯+⨯≤<=3),3(1.032.03

0,2.0x x x x y ．（教师评价）

教师：我们来仔细分析刚才同学建立起来的函数关系能不能正确表述问题3．

学生：不能．因为x 取5.3需要按4计算．

教师：锐利的目光，洞察了表达式的关键错误．（追问：怎么去解决呢？）

学生：加一个限制条件，当x 不是整数时，取1][+x ，][x 表示x 的整数部分．（教师：鼓励语）

教师：也可以采用分更小的段表示：如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<≤<=

54,8.04

3,7.032,6.021,4.01

0,2.0x x x x x y ．

教师：充了话费，时间也不早了，逛街也累了，走出步行街，就打的回家吧．

事件三：出租车的收费标准：当行程不超过2km 时，收费6元；行程超过2km ，但不超过10km 时，在收费6元的基础上，超过2km 部分每公里收费0.2元；超过10km 时，超过部分除每公里收费0.2之外，再加收%50的回程空驶费．试建立一个出租车收费y （元）与行程x （公里）之间的函数解析式．从步行街到你家，花费了你14元，那步行街到你家的距离在什么范围内？

学生：⎪⎩

⎪⎨⎧>⨯-+≤<⨯-+≤<=10,3)10(22102,2)2(62

0,6x x x x x y ．（教师评价）

设计意图：问题的设置以递进式的方法，层层深入，并对每一个问题只是一种模型，可以对具体情况做适当的修改．如事件三出租车收费问题，可以按照当地情况作变化．对于这四个问题呈现，充分把学生置身于场景中，进行了角色模拟，把学习活动看成自我体验，自我教育的过程，达成三维的教学目标，并充分激发学生学习的主观能动

性．

三、回归任务

教师：我们分析了三项任务，建立了各自的函数关系式，试说说他们的共同特点？

学生1：在自变量的不同取值范围内，对应的函数值不同．（教师补充：有不同的对应法则．）

学生2：不同的对应法则，用不同的解析式表示．

教师：我们今天新认识了一个函数：叫分段函数．

回归概念：在自变量不同的取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数．

设计意图：任务的分解与概念的回归，体现了数学的原生态发展的必然结果．运用场景激活学生的思维，让学生在教师的引导下通过具体问题去感受、体会，从而逐渐形成一般的认识．从设置问题开始，始终强化主线的提炼，揭示函数的本性，延拓了生活的命题．从步步深入的过程中，体会数学与生活的关系．

第二部分：（教学导入设计的总体构思）

一、数学教学的设计思想

场景式教学的设计紧扣教育即生活的思想，展现教学的生动活泼与灵活多样．场景式数学教学的核心理念是：回归数学的原生态．场景式数学教学以生活（或某工程、活动）场景为核心，倡导“以用为本，学以致用”的教学方法．以学生已有认识水平为行动指向，辅以生活（或某工程、活动）提炼成的问题，运用角色模拟，深入浅出地展开数学教学过程．选择课题分段函数进行场景式教学，突出了函数应用的广泛性与实用性，生活场景表现了数学的本源性，充分揭示了数学的抽象概括过程，挖掘了数学的文化思想．导入设计贯穿在学生生活的主线上，尤其凸现了以生为本的原则，引领学生关注身边的每一个故事．

二、分段函数导入设计的总体构思

教学目标

（1）通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型；

（2）在初步掌握了函数的列表法、图象法、解析法三种主要表示方法基础上，进一步学习分段函数的表示方法；

（3）经历三个场景问题（李宁专卖店的广告、联通神州行收费单及出租车收费标准）抽象为数学问题（分段函数）的过程，认识到数学与实际生活的密切联系；

（4）从三个场景抽象到三个问题，提高学生对数学的高度抽象性、概括性的认识及数学素质的培养；

（5）体验每一个场景活动的探索过程，锻炼合理分析的意识，逐渐认识数学的意义；发展条理、清晰地阐述自我观点的能力，从而获得成功的体验，激起学习数学的兴趣，建立学好数学的自信心．