对数函数中底数的变化对函数图象的影响
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋∞ )．(2)对数函数的特征：log ax的系数： 1特征 log ax的底数：常数，且是不等于 1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数 y＝ log7x 是对数函数，而函数y＝－ 3log 4x 和 y＝ logx2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例 1－ 1】函数 f(x)＝ (a2－ a＋ 1)log (a＋1)x 是对数函数，则实数a＝ __________ ．解析：由 a2－ a＋ 1＝ 1，解得 a＝ 0,1 ．又 a＋ 1＞ 0，且 a＋ 1≠ 1，∴ a＝ 1．答案： 1【例 1－ 2】下列函数中是对数函数的为__________ ．(1)y＝ log a x (a＞ 0，且 a≠ 1) ； (2)y＝ log2x＋2；(3)y＝ 8log 2 (x＋ 1) ； (4)y＝ log x6(x＞ 0，且 x≠ 1) ；(5)y＝ log 6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x ，不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x＋1，不是 x，且系数为 8，不是 1(4)×底数是自变量 x，不是常数(5) √底数是 6，真数是 x答案： (5)2．对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象(1)定义域 { x|x＞0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)质(4)当 x＞1时， y＞ 0；当 0＜ x＜ 1(4) 当 x＞1 时， y＜0；当 0时， y＜0 ＜x＜1 时， y＞0(5) 在 (0，＋∞ )上是增函数(5) 在 (0，＋∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数． a＞ 1 时，函数单调递增；0＜ a＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y＝ a x(a＞0，且 a≠ 1) y＝ logax (a＞ 0，且a≠ 1)定义域R (0，＋∞ )值域(0，＋∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致，同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a＞ 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜ a＜ 1 时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞ 1 还是 0＜ a＜ 1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0) 点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线 y＝ 1 来切，自左到右 a 变大．【例 2】如图所示的曲线是对数函数y＝ log ax 的图象．已知a 从3 ，4 ， 3 ， 1 中取值，则相应曲线C1， C2， C3， C4的 a 值依次为 ()3 5 10A．3， 4 ，3 ， 13 5 10B． 3 ， 4 ， 1 ， 33 10 5C．4 ， 3 ，3 ， 13 5 10D．4 ， 3 ， 1 ， 33 10 5解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜ C3的底数＜ C2的底数＜ C1的底数．故相应于曲线C1， C2， C3， C4的底数依次是3 ，4，3，1．答案： A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左”； (2)方法y＝二：作直线1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y＝ a x (a＞ 0，且 a≠ 1) 与对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝ x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第 2 页共 10 页①由 y＝ f(x)解出 x，即用y 表示出x；②把 x 替换为 y， y 替换为 x；③根据 y＝ f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例 3－ 1】若函数y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数，且 f(2)＝ 1，则 f(x)＝ ( )1A． log 2x B ．2xC． log 1 x D．2x－ 22解析：因为函数 y＝a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数是f(x)＝ loga x，又f(2)＝ 1，即 log a2＝ 1，所以 a＝ 2．故 f(x)＝ log 2x．答案： A【例 3－ 2】函数 f(x)＝ 3x(0＜ x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A． (0 ，＋∞ ) B ． (1 ,9]C． (0,1) D ． [9，＋∞ )解析：∵ 0＜ x≤ 2，∴ 1＜ 3x≤9，即函数 f(x)的值域为(1,9] ．故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] ．答案： B【例 3－ 3】若函数 y＝ f(x)的反函数图象过点(1,5) ，则函数 y＝ f(x)的图象必过点 () A． (5,1) B． (1,5) C． (1,1) D ． (5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝ x 对称，而点 (1,5) 关于直线 y＝ x 的对称点为(5,1)，所以函数 y＝ f(x)的图象必经过点(5,1)．答案： A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝ n 或图象过点 (m， n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如loga m＝ n，这时先把对数式 logam＝ n 化为指数式的形式a n＝ m，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m＝ k n(k＞ 0，且k≠1) ，1 1则解得 a＝ k＞ 0．还可以直接写出a m n，再利用指数幂的运算性质化简m n．例如：解方程－2 1loga 4＝－ 2，则 a＝ 4，由于4221 ．又 a＞ 0，所以 a1，所以a．当2 21 1 11然，也可以直接写出a 4 2，再利用指数幂的运算性质，得a 4 2(22) 22 1．【例 4－ 1】已知 f(e x) ＝x，则f(5)＝ ( )2A ． e 5B ． 5eC ． ln 5D ． log 5 e解析： (方法一 )令 t ＝ e x，则 x ＝ ln t ，所以 f(t)＝ lnt ，即 f(x)＝ ln x ．所以 f(5) ＝ ln5 ．(方法二 )令 e x＝ 5，则 x ＝ ln 5 ，所以 f(5) ＝ ln5 ．答案： C【例 4－ 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ，试求 f(3)的值．9分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 ， ∴f 1 log a 1 2． ∴ a 2＝ 1．99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x ． ∴ a ＝3．∴ f(x)＝ log 19 3 31 1 ∴ f(3)＝log 1 3 log 1＝－ 1．33 3【例 4－ 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ，且 f(b)＝ 1，试求 b的值．2解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，则它的反函数为y ＝ a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，由条件知 a 2＝ 9 1 1＝ 32，从而 a ＝ 3．于是 f(x)＝ log 3 3 ，解得 b＝ 3 2 3 ． x ，则 f(b)＝ log b ＝25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ，＋∞ )．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 一般地，判断类似于 y ＝ loga f(x)的定义域时，应首先保证 f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于 1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例 5】求下列函数的定义域．(1)y ＝ log 5(1－ x)； (2) y ＝ log(2x － 1)(5x － 4)；(3) y log 0.5 (4 x 3) ．分析： 利用对数函数 y ＝ log ax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)的定义求解． 解： (1)要使函数有意义，则 1－ x ＞ 0，解得 x ＜ 1， 所以函数 y ＝ log5(1 － x)的定义域是 { x|x ＜ 1} ．5x 4>0,(2)要使函数有意义，则2x 1>0, 解得 x ＞ 4且 x ≠1，2x 1 1, 5所以函数 y ＝ log(2x － 1)(5x －4) 的定义域是4 ,1 (1，＋∞ )． 54x 3 0, 解得 3＜ x ≤ 1，(3)要使函数有意义，则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 ．46．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝ loga f(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y＝ logau， u＝ f(x)这两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u 的取值范围；④利用 y＝ logau 的单调性求解．(3)对于函数 y＝ f(log ax)(a＞ 0，且 a≠ 1) ，可利用换元法，设loga x＝ t，则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a＞ 0，且 a≠1) 的值域．注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 )，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例 6－ 1】求下列函数的值域：(1)y ＝ log 2(x 2＋ 4) ； (2) y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) ．2解： (1) ∵ x 2＋ 4≥ 4， ∴ log 2(x 2＋ 4)≥ log 24＝2．∴ 函数 y ＝ log 2(x 2＋ 4)的值域为 [2 ，＋ ∞ )．(2)设 u ＝ 3＋ 2x－ x2，则 u ＝－ (x － 1)2 ＋ 4≤4． ∵ u ＞0， ∴ 0＜ u ≤ 4． 又 y ＝ log 1 u 在 (0，＋∞ )上为减函数，∴ log 1 u ≥－2．2 2∴函数 y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) 的值域为 [－ 2，＋∞ )．2 ，求 y ＝ [f(x)] 2 ＋f(x 2)的最大值及相应的【例 6－ 2】已知 f(x)＝ 2＋ log 3x ， x [1,3] x 的值．分析： 先确定 y ＝ [f (x)] 2 ＋ f(x 2)的定义域，然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解： ∵ f(x)＝ 2＋ log 3 x ， x[1,3] ，∴ y ＝ [f(x)] 2 ＋ f(x 2)＝ (log 3x)2＋ 6log 3 x ＋ 6 且定义域为 [1,3] ．令 t ＝ log 3x(x [1,3]) ．∵ t ＝ log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数， ∴ 0≤t ≤ 1．从而要求 y ＝ [f(x)] 2＋ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值，只需求 y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在区间 [0,1]上的最大值即可． ∵ y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在 [－ 3，＋ ∞ )上是增函数，∴ 当 t ＝ 1，即 x ＝ 3 时， y max ＝ 1＋ 6＋ 6＝ 13．综上可知，当 x ＝ 3 时， y ＝ [ f(x)] 2＋ f(x 2)的最大值为 13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ，即对任意的 a ＞ 0，且 a ≠ 1 都有 loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数 y ＝ b ＋ kloga f(x)(k ，b 均为常数，且 k ≠ 0)，令f(x)＝ 1，解方程得 x ＝ m ，则该函数恒过定点 (m ， b)．方程 f (x) ＝0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y ＝ log a(x ＋ b)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y ＝ loga x ＋b(a ＞0，且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 当 x>0时，两函数图象相同函数 y ＝ loga |x|(a ＞ 0，且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时，将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y ＝ |logax|(a ＞ 0，---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7－ 1】若函数 y ＝ log a(x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ，c的值分别为 __________ ．解析： ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ，∴ 将 (3,2)代入 y ＝ loga (x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，得 2＝ loga(3＋ b)＋ c ． 又 ∵ 当 a ＞ 0，且 a ≠ 1 时，log a 1＝ 0 恒成立，∴ c ＝ 2． ∴ loga (3＋ b)＝ 0．∴ b ＝－ 2．答案： － 2,2【例 7－ 2】作出函数 y ＝ |log 2(x ＋ 1)|＋2 的图象．解： (第一步 )作函数 y ＝ log 2x 的图象，如图 ① ；(第二步 )将函数 y ＝ log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度， 得函数 y ＝ log 2(x ＋ 1)的图象，如图 ② ；(第三步 )将函数 y ＝ log2(x ＋ 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换， 得函数 y ＝ |log2 (x ＋1)|的图象，如图 ③ ；(第四步 )将函数 y ＝ |log2 (x ＋ 1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度， 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象，如图④ ．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数 (是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论．【例 8－ 1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)logaπ， loga3.141 ．分析： (1) 构造函数 y＝ log 3x，利用其单调性比较；(2) 分别比较与的大小； (3) 分类讨论底数的取值范围．解： (1)因为函数 y＝ log 3x 在 (0 ，＋∞ )上是增函数，所以 f(1.9)＜ f (2)．所以 log31.9 ＜ log32．(2)因为 log 23＞ log21＝ 0， log0.32＜ log0.31＝ 0，所以 log23＞ log 0.32．(3)当 a＞ 1 时，函数 y＝ loga x 在定义域上是增函数，则有 logaπ＞ log a3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时，函数 y＝ log a x 在定义域上是减函数，则有 log aπ＜ log a3.141 ．综上所得，当 a＞ 1 时， log aπ＞ loga3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时， log aπ＜ log a3.141 ．【例 8－ 2】若 a2＞ b＞ a＞ 1，试比较 log aa， logb b， logb a， log a b 的大小．b a分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵ b＞a＞ 1，∴ 0＜a＜ 1．b∴log a a＜ 0， loga b＞ log aa＝ 1， logb1＜ logb a＜ log bb，即 0＜ logba＜ 1．b第 6 页共 10 页由于 1＜ b＜ b ， ∴ 0＜ log b b＜ 1．由 log b a－ logb b＝ log b a 2， a a ab 2 ＞ b ＞ 1， ∴ a 2∵a ＞ 1．b ∴ log b a 2log b b ＞ 0，即 log b a ＞ a b ∴ logab ＞ logb a ＞log bb ＞ log a a a b．． 9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当 a ＞ 0，且 a ≠ 1时，有① logaf (x)＝ loga g(x) f(x)＝g(x)(f(x) ＞0， g(x)＞0) ；②当 a ＞ 1 时， logaf(x)＞loga g(x) f(x)＞ g( x)(f(x)＞ 0， g(x)＞ 0)；③当 0＜ a ＜ 1 时， log af(x)＞ log ag(x) f(x)＜ g(x)(f(x)＞0， g(x)＞ 0) ．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如 loga f(x)＞ log ag(x)的不等式， 借助函数 y ＝ log ax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a ＞ 1 与 0＜ a ＜ 1 两种情况讨论．②形如 loga f(x)＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 y ＝ logax的单调性求解．③形如 loga b g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用f(x)＞log 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如 f(log ax)＞ 0 的不等式，可用换元法 (令 t ＝ log ax)，先解 f( t)＞ 0，得到 t 的取值范围．然后再解 x 的范围．【例 9－ 1】解下列不等式： (1) log1xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x ＋ 1)＞ logx (3－ x)．x>0,解： (1)由已知，得4 x>0, 解得 0＜ x ＜ 2． x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0＜ x ＜ 2} ． (2)当 x ＞ 1 时，有当 0＜ x ＜ 1 时，有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1＜ x ＜3； 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0＜ x ＜ 2．3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或．x 0<x<31<x<3【例 9－ 2】若log a 23 2＜ 1，求 a 的取值范围．2 22＜ 1，即 loga 1 2解：∵log a＜ 1，∴ － 1＜log a log alog aa ．3 3 a 3(1)∵当 a ＞ 1 时， y＝ log ax 为增函数，∴ 1 2 a ．∴ a＞3，结合 a＞ 1，可知 a＞3．a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ loga x 为减函数， ∴ > >a ．∴ a ＜ 20＜ a ＜ 1，知 0＜ a＜ 2a 3，结合 ．3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2，或 a> 3． 3 210．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键： 一是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时， 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性； 三是注意其定义 域．(2)关于形如 y ＝ loga f(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝ logaf(x)的单调性与函数 u ＝ f(x)(f(x)＞ 0)的单调性， 当 a ＞ 1 时相同， 当 0＜ a ＜ 1 时相反．例如：求函数y ＝ log2 (3 －2x)的单调区间． 分析： 首先确定函数的定义域，函数y ＝ log2(3－ 2x)是由对数函数 y ＝ log 2u 和一次函数 u ＝3 － 2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 u ＝ 3－ 2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝ log2 u 的单调性考虑．解： 由 3－ 2x ＞ 0，解得函数 y ＝ log2(3 － 2x)的定义域是－ ∞ ， 3． 2设 u ＝ 3－2x ， x3 － ∞ ， 2 ， ∵ u ＝ 3－ 2x 在 － ∞ ， 3上是减函数，且 y ＝ log 2u 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，2∴ 函数 y ＝ log 2(3 － 2x)在 － ∞ ， 3上是减函数．2∴ 函数 y ＝ log2(3 － 2x)的单调减区间是－ ∞ ，3．2【例 10－ 1】求函数 y ＝ log a (a － a x)的单调区间．t ＝ a － a x递减． 解： (1)若 a ＞ 1，则函数 y ＝ log a t 递增，且函数又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜a ，∴ x ＜ 1． ∴ 函数 y ＝ log a (a － a x)在 (－∞ ， 1)上递减．(2)若 0＜ a ＜ 1，则函数 y ＝ log at 递减，且函数 t ＝ a－ a x递增．又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜ a ，∴x ＞ 1．∴ 函数 y ＝ loga(a － a x)在 (1，＋ ∞ )上递减．综上所述，函数y ＝ loga (a － a x)在其定义域上递减．析规律判断函数 y ＝ log af(x)的单调性的方法 函数 y ＝ log af(x)可看成是 y ＝ logau与 u ＝ f(x) 两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即 “ 定义域优先 ”．【例 10－ 2】已知 f(x)＝ log 1 (x 2－ ax － a)在 , 1 上是增函数，求 a 的取值范围．22解：, 1 是函数 f(x)的递增区间，说明 , 1是函数 u ＝ x 2－ ax － a 的递减区间，2 2 由于是对数函数，还需保证真数大于0．令 u(x)＝ x 2－ ax － a ， ∵ f(x)＝log 1 u(x) 在, 1 上是增函数， 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数，且u(x)＞ 0 在, 1 上恒成立．22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴－ 1≤ a ≤ 1．2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 ．211． 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1) 求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(－ x)与 f(x)或－ f(x)是否相等； (2) 当 f(－ x)＝ f(x)时，此函数是偶函数；当 f(－ x)＝－ f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4) 当 f(－ x)≠ f(x)且 f(－x)≠－ f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝log a ( x 2 1＋ x) (x R ， a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的奇偶性． 解： ∵ f(－ x)＋ f(x)＝＝ log a ( x 2 1 x) ＋ log a ( x 21＋x) )＝log a (x 2 ＋ 1－ x 2)＝ log a 1＝ 0，∴f(－ x)＝－ f(x)． ∴ f(x)为奇函数．【例 11】已知函数 f(x)＝ 1 x loga 1 (a ＞ 0，且 a ≠1) ．x(1) 求函数 f(x)的定义域； (2) 判断函数 f(x)的奇偶性； (3) 求使 f(x)＞ 0 的 x 的取值范围．分析： 对于第 (2) 问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第 (3) 问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解： (1)由 1x＞ 0，得－ 1＜ x ＜1，1 x故函数 f(x)的定义域为 (－1,1) ．1 x ＝ 1 x＝－ f(x)，(2)∵ f(－ x)＝log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，∴ 函数 f(x)是奇函数．(3)当 a＞ 1 时，由log a1x＞ 0＝ loga1，得1x＞ 1，解得 0＜ x＜ 1；当 0＜ a＜ 1 时，1x 1 x由 log a1x＞ 0＝ loga1，得0＜ 1x＜ 1，解得－ 1＜ x＜0．1 x 1 x故当 a＞ 1 时， x 的取值范围是 { x|0＜ x＜ 1} ；当 0＜ a ＜ 1 时， x 的取值范围是 { x|－ 1＜x＜ 0} ．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；第 9 页共 10 页(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论． 由此看， 直接给定参数待定的函数模型时， 利用待定系数法的思想， 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题． 代入法、 方 程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历 史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱 )．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(单位： km/s) 关于燃料重量 x(单位：吨 ) 的函数关系式为y ＝ kln(m ＋ x)－kln( 2m )＋4ln 2( k ≠ 0)，其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和． 当燃料重量为 (e － 1)m 吨时， 火箭的最大速度是 4km/s ．(1)求 y ＝f(x)；(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 )，火箭的最大速度为 8 km/s ，求装载的燃料重量 (e ＝ 2.7，精确到0.1) ．解： (1)由题意得当 x ＝(e － 1)m 时， y ＝ 4， 则 4＝ kln[ m ＋ (e － 1)m]－ kln( 2m )＋ 4ln 2 ，解得 k＝ 8． 所以 y ＝ 8ln(m ＋ x)－ 8ln(2m )＋ 4ln 2 ，即 y ＝ 8ln m x． m(2)由于 m ＋ x ＝ 479.8，则 m ＝479.8 － x ，479.8 ，解得 x ≈302.1． 令8 8ln479.8x 302.1 吨． 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。
高中数学北师大版必修一：3.5.3《对数函数的图像和性质》课件
[解析]
由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log1 (3＋2x－x2)的
2
定义域是{x|－1<x<3}． 设 u＝3＋2x－x2(－1<x<3)，又设－1<x1<x2≤1，则 u1<u2， 从而 log1 u1>log1 u2， 即 y1>y2， 故函数 y＝log1 (3＋2x－x2)在区
知能自主梳理
对数函数的图像与性质
[答案] 0)
(0，＋∞)
R 增函数 (－∞，0]
减函数
(1,0)
(－∞，
[0，＋∞)
(0，＋∞)
思路方法技巧
对数函数的图像
[例 1] 作出下列函数的图像：
(1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝lgx＋1； (3)y＝|log2x|；(4)y＝log2|x|； (5)y＝log2|x－1|. [分析] 根据对数函数的图像作出变换后的图像．
3
[方法总结] 比较两个对数值的大小，常用的三种方法：
3 若 loga4<1，则 a 的取值范围是________． 3 [答案] (0， )∪(1，＋∞) 4 3 3 [解析] loga <1⇔loga <logaa. 4 4 3 当 a>1 时，4<a，∴a>1. 3 3 当 0<a<1 时，4>a，∴0<a<4. 3 ∴a 的取值范围是(0， )∪(1，＋∞). 4
1
＝loga x的比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)．
2
①当a1>a2>1时，曲线y1比y2的图像(在第一象限内)上升 得慢．即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2.而在第一象限 内，图像越靠近x轴的对数函数的底数越大． ②当0<a2<a1<1时，曲线y1比y2的图像(在第四象限内)下 降得快．即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2即在第四象限 内，图像越靠近x轴的对数函数的底数越小．
对数函数 对数函数的图像和性质
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
对数函数图像与性质
A.
4 3 1 C14 3, 3 , 5 ,10 O
C3
1
B. 3, 4 , 1 , 3 3 10 5
C. 4 , 3, 3 , 1 3 5 10
D. 4 , 3, 1 , 3 3 10 5
C1
X
学习心得与总结
本堂课你学到了哪些知识？
•对数函数的定义 •对数函数图象作法 ·对数函数性质
你的困惑和疑问？
例：如图所示的曲线是 对数函数 y log a x的图像，已知 a从
3，4 ，3，1 中取值， 3 5 10
A 则相应曲线 C1,C2 ,C3,C4的a值依次为（）
Y
C2
对数函数图像记忆口诀 两只喇叭花手中拿，（1,0）点处把花扎； 若是底数小于1，左上穿点渐右下 若是底数大于1，左下穿点渐右上 绕点旋转底变化，顺时方向底变大 可用直线y=1来切，自左到右a变大
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
学案第四题上填表：
a＞1
图 y x =1
象 O
y l oga x (a 1)
(1,0)
X
0＜a＜1
y x =1
(1,0)
O
X
y l oga x (0 a 1)
性
定义域 : 值域:
( 0,+∞) R
质
过定点: (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
作图步骤: ①列表, 2
②描点, ③用平滑曲线连接。
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
动动手：学案第三题作y=log2x图象
列X
... 1/2 1
表 y=log2x ... -1 0 y
对数函数的概念与图像
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与
性质
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
y log2 x和y log1 x 的图象。
作图步骤:
2
①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与
性质
作y=log2x图象
m
n
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a
的取值变化图象如何变化？有规律吗？
y 规律：在x轴 2 x 上方图象自左 1 11 向右底数越来 4 2 0 越大！ 1 2 3 4 -1 -2
y log2 x
y log3 x
x
y log1 x
y l og1 x
2
x | x 0
（2） y loga (4 x)
解 : 由4 x 0 得
x4
的定义域是 x | x 4
∴函数 y loga (4 x)
练习
1.求下列函数的定义域： （1） y
log5 (1 x)
(,1) (0,1) (1,)
1 （2 ） y log2 x
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结
比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 比较两个同底对数值的大小时: １.观察底数是大于1还是小于1；
y loga x (0 a 1)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21---对数函数的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________． 解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二 对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)． 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <b B.a <b <c C ．b <c <aD.c <a <b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)(3)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，n ＝4x ，则log 4m ＝________；满足log n m >1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c <b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________． 解析：由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， 所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <c B.b <a <c C ．b <c <aD.c <a <b解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1， 根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1， 当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去， 当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根． 设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18， 解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。
对数函数及其性质 课件
∴x>52， x≥3，
∴x≥3.
故原函数的定义域为{x|x≥3}．
x>0， (2)函数中的 x 需满足log4x－1≥0，
2x－1≠0，
x>0， 即x≥4，
x≠12，
∴x≥4.故原函数的定义域为{x|x≥4}．
(3)函数中的 x 需满足32xx－ －21>>00， ， 2x－1≠1，
x>23， 即x>12，
3x>0， 所以3－x>0，
lg y>0，
即0<x<3， y>1.
又 lg(lg y)＝lg(3x)＋lg (3－x)＝lg[3x(3－x)]，所以 lg y＝ 3x(3－x)，所以 y＝103x(3－x)．
因为 0<x<3，所以 3x(3－x)＝－3x－322＋247∈0，247，
所以 y＝103x(3－x)∈
2．对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握．
3．掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质，还要结合指数函数的图象和性质来对比掌 握．
错解：因为lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，① 所以lg y＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x)(x∈R，y>0)．
错因分析：错解没有注意到对数函数的定义域，即表达 式①成立的前提为33x－>x0>，0.
正解：因为 lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
x≠1，
∴x>23且 x≠1.
故原函数的定义域为xx>23且x≠1 .
题型二 对数函数的图象 【例2】 已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的( )
对数函数的图象及性质
解得65<x<3.
2x＋3<5x－6
②当 0<a<1 时，2x＋3>0
，
5x－6>0
解得 x>3.
综 上 所 得 ， 当 a>1 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为
x65
<x<3；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x>3}．
与对数函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝log(x－1)(3－x)；(2)y＝ log2x＋1－1；
一．中真数不是自变量x，不是对数函数； 二．中对数式后减1，∴不是对数函数； 三．中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数．
1．下列函数是对数函O 数N E的是( )
A．y＝log32x
1B．y＝log3x2
C．y＝log13x 答案：D．yC＝log131x
对数概念的理解 求下列各式中 x 的范围． (1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(x2＋1)(－3x＋8)．
4解.求下析列：函数的(值1)域∵． x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
(又1)y＝f(loxg)2＝(x2lo－g42xx＋6在)；(0，＋∞)上是增函数， (∴2)yl＝olgog2(2x(x22－－44xx－＋5)．6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)． (2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9， ∴x2－4x－5 能取得所有正实数． ∴函数 y＝log2(x2－4x－5)的值域是 R.
由题目可获取以下主要信息：(1)中底数相同，真数不同；(2) 中底数不同，真数相同；(3)(4)中底数与真数各不相同.解答 本题可考虑利用对数函数的单调性或图象求解.
高一数学对数函数的图像和性质
例3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . 提示 : log aa＝1 提示: log a1＝0 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 log76＜log77＝1
⑵ ∵
log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。 在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代， 已知放射性物质的衰减服从指数规律：C（t）=C0 e –r t ， 其中t表示衰减的时间， C0 放射性物质的原始质量， C（t）表示经衰减了t年后剩余的质量。为了计算衰减的年代， 通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期， 14C的半衰期大约为5730年，由此可确定系数r。 人们又知道，放射性物质的衰减速度与质量成正比。 1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字样的木炭， 当时测定，其14C分子衰减速度为4.09个（g/min）, 而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为6.68个（g/min）, 请估算出Hammurbi 王朝所在年代。
思考交流 （1）根据下表的数据（精确到0.01）， 画出函数y=㏒2X y=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象， 说明三个函数图象的相同与不同之处。
x
y=㏒2X y=㏒3X
y=㏒5X
… …
0.5
1
1.5
2
3
4
…
1000
-1
0
0.58 1
1.58 2 1.26
… …
…
9.73 6.29
4.29
… …
解
14C的半衰期
为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r 解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数 C（t）=C0 e -0.000121 t 设发现Hammurbi 王朝木炭的时间（1950年）为t0年， 放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以 C（t0）/C0= 4.09/6.68 于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68 两边取自然对数，得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68, 解得 t0 ≈4050（年） 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。
2019-2020学年高中数学 第三章《第6课时 对数函数的图象与性质》导学案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章《第6课时 对数函数的图象与性质》导学案 苏教版必修11.理解对数函数的概念和意义.2.能画出对数函数的图象.3.初步掌握对数函数的性质并会简单应用.随着计算机技术的迅速发展,互联网、智能手机的普及,人们已经进入到了信息化时代,任何一个事件都可以快速的传播,比如微博、微信等通讯平台都可以快速的传播信息,假设某人在微博发布了一条信息,一分钟后经人转载变成了两条,两分钟后变成了4条,依次类推,当该条信息经转载达到了一百万条以上时所用的时间是多少?问题1:(1)假设该人发布的信息经转载达到了x 条时所用的时间是y 分钟,则y 关于x 的函数解析式为 .(2)已知log25≈2.322,则当x=106时,y 的近似值为 (取整数值),所以该信息发布经过 分钟以后,转载的数量达到了一百万条.问题2:对数函数的概念及判断方法我们把函数 叫作对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R.只有形如 的函数才叫作对数函数.即对数符号前面的系数为 ,底数 ,真数是x 的形式,否则就不是对数函数.如:y=loga(x+1),y=logax+1等函数,它们都是由对数函数变化而得到的,都不是对数函数.问题3:对数函数有哪些性质,请填写下列表格.y=logax(a>1) y=logax(0<a<1)图象性 质 定义域:值域:单调性在(0,+∞)上是单调性在(0,+∞)上是 y 取值与x 取值的关系: y 取值与x 取值的关系:当0<x<1时,; 当x>1时,当0<x<1时,; 当x>1时,问题4:函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.观察图象,注意变化规律:(1)上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图象向右越靠近x轴;当0<a<1时,a越小,图象向右越靠近x轴.(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为.2.下列函数中,定义域相同的一组是.①y=ax与y=logax(a>0且a≠1);②y=x与y=;③y=lg x与y=lg;④y=x2与y=lg x2.3.函数y=loga(2x-b)恒过定点(2,0),则b=.4.已知对数函数y=log2x,x∈{0.25,1,2,4},求值域.对数函数的图象(1)已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=lo x,y=lo x,y=lo x,y=lo x的图象,则a1,a2,a3,a4的大小关系是.(2)函数y=lg(x+1)的图象大致是.利用对数函数的性质比较大小比较下列各组中两个值的大小:(1)log23.5与log26.4;(2)log0.81.6与log0.82.7;(3)logm3与logmπ(m>0,m≠1);(4)log45与log32.与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域:(1)y=log2;(2)y=log3(2x-1)+;(3)y=log(x+1)(16-4x).函数y=loga(x+2)+3(a>0且a≠1)的图象过定点.(1)log43,log34,lo的大小顺序为.(2)若a2>b>a>1,试比较loga,logb,logba,logab的大小.求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=logx(2-x).1.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为.2.下列四组函数中,表示同一函数的是.①y=x-1与y=;②y=与y=;③y=4lg x与y=21g x2;④y=lg x-2与y=lg .3.已知对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1),则f()=;若f(m)=2,则m=.4.已知函数f(x)=lg(kx),g(x)=lg(x+1).求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域.(2013年·江西卷)函数y=ln(1-x)的定义域为().A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]考题变式(我来改编):第6课时对数函数的图象与性质知识体系梳理问题1:(1)y=log2x(2)2020问题2:y=logax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1,x>0)1大于0且不为1问题3:(0,+∞)R增函数减函数y<0y>0y>0y<0基础学习交流1.y=log2x设此对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),∵对数函数的图象过点M(16,4),∴4=loga16,a4=16,又a>0,∴a=2,∴此对数函数为y=log2x.2.③由函数的解析式可知,只有③中两函数的定义域相同.3.3由题意知2×2-b=1,∴b=3.4.解:当x=0.25时,y=log20.25=log2=-2;当x=1时,y=log21=0;当x=2时,y=log22=1;当x=4时,y=log24=2.所以,值域为{-2,0,1,2}.重点难点探究探究一:【解析】(1)作直线y=1,其与C1,C2,C3,C4的图象的交点的横坐标分别为a1,a2,a3,a4,由图可知a3<a4<a1<a2.(2)y=lg(x+1)的图象是由y=lg x的图象向左平移1个单位获得的,故③正确.【答案】(1)a3<a4<a1<a2(2)③【小结】1.直线y=1与对数函数的图象交点的横坐标就是底数a的值,在第一象限内对数函数的底数越小,图象越靠近y轴.2.对数函数的图象的平移规律与指数函数的相同,即“上加下减,左加右减”.探究二:【解析】(1)∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且3.5<6.4,∴log23.5<log26.4.(2)∵函数y=log0.8x在(0,+∞)上是减函数,且1.6<2.7,∴log0.81.6>log0.82.7.(3)当m>1时,函数y=logmx在(0,+∞)上是增函数,又3<π,∴logm3<logmπ;当0<m<1时,函数y=logmx在(0,+∞)上是减函数,又3<π,∴logm3>logmπ.(4)∵log45>log44=1,log32<log33=1,∴log45>log32.【小结】同底的对数,可利用对数函数的单调性比较两对数值的大小;对底数m的大小不确定时,应按m>1和0<m<1两种情况分别比较;当底数不同时,可借助中间量比较.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,则>0,即4x-3>0,x>,所以函数的定义域是{x|x>}.(2)要使函数有意义,则即∴x>,且x≠1.故所求函数的定义域是(,1)∪(1,+∞).(3)要使函数有意义,则即∴-1<x<2且x≠0.故所求函数的定义域是{x|-1<x<2,且x≠0}.【小结】(1)求函数的定义域,就是求自变量的取值范围,求解过程应当考虑以下几个方面:①分母不能为零;②根指数为偶数时,被开方数非负;③对数的真数大于零,底数大于零且不为1.(2)本题中对数式担当了一定的“角色”(分母),因此对于使得函数式成立的每一个条件都要考虑全面,将所有条件列出后取其交集.思维拓展应用应用一:(-1,3)y=loga(x+2)+3的图象是由y=logax的图象左移2个单位,再上移3个单位获得的,故定点由(1,0)变为(-1,3).应用二:(1)log34>log43>lo(1)∵log34>1,0<log43<1,lo=lo()-1=-1,∴log34>log43>lo.(2)∵b>a>1,∴0<<1.∴loga<0,logb∈(0,1),logba∈(0,1),logab>1.又a>>1,且b>1,∴logb<logba,故有loga<logb<logba<logab.应用三:(1)由得∴x>-1且x≠999,∴函数的定义域为{x|x>-1且x≠999}.(2)由得∴0<x<2,且x≠1,∴函数的定义域为{x|0<x<2,且x≠1}.基础智能检测1.[2,+∞)当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2.2.④①中y==|x-1|,两个函数的解析式不同,不表示同一函数;②中y=的定义域是[1,+∞),y=的定义域是(1,+∞),定义域不同,不表示同一函数;③中y=4lg x的定义域是(0,+∞),y=2l g x2的定义域是{x|x≠0},定义域不同,不表示同一函数;④中两个函数的定义域都是(0,+∞),且y=lg=lg x-2,解析式也相同,表示同一函数.3.-1a2∵f(x)=logax,∴f()=logaa-1=-1;若f(m)=2,即logam=2,∴m=a2.4.解:依题意,有即∴若k>0,则函数h(x)的定义域是(0,+∞);若k<0,则函数h(x)的定义域是(-1,0).全新视角拓展B∵∴0≤x<1.思维导图构建减增(0,+∞)R(0,1)。
对数函数中底数的变化对函数图象的影响
对数函数中底数的变化对函数图象的影响陕西汉中市405学校侯有岐723312一、规律总结1、在同一坐标系中,多个对数函数底数的变化规律是（如图（1））:直线1=x的右边区域内,在x轴的上方,对数函数的图象越靠近x轴,底数越大,且底数均大于1.在x轴的下方,对数函数的图象越靠近x轴,底数越小,且底数均在)1,0(之间.图中的对数函数的底数dcba,,,的大小关系是:dcba<<<<<10.2、在实际操作中,可以看图象与直线1=y交点的位置,交点的横坐标越大,底数就越大.因为底数的对数是1,即1log==aya,所以可作直线1=y,它与各个图象相交,如上图,设它与①、②、③、④的交点分别为A、B、C、D,则A、B、C、D的横坐标就是各对数函数的底数,分别为d c b a.,,,再根据单调性,所以可得:dcba<<<<<10.二、应用举例例：比较3log2.0和3log5.0的大小.分析:根据多个对数函数图象在同一坐标系中的相互位置关系,利用图象即可直观地比较对数值的大小.O解析: 在同一坐标系内画出 x y 2.0log = 与 x y 5.0log =的图象, 再作直线 3=x ,如图 （2）,观察得 : 3log 2.0>3log 5.0.点评: 把对数看作对数函数的值,在同 一坐标系中画出他们所对应函数的图象,即可直观地看出大小关系,这是数形结合思想魅力xy 12345-1-2-3-4-512345-1-2-3-4-5-6-7-8-9。
对数函数的图像及其性质
2
1 11 42
0 1 23 4
y log2 x
x
补充性质1： 2 底数互为倒 数的两个对 数函数的图 象关于x轴对
称。
-1
形
-2
y log 1 x
2
数
x …1 1
42
y log x 2
…
-2
-1
1 2 4…
0 1 2…
y log x 1
…
2
1
0 -1 -2 …
2
3.由此已知函数 y lo的g2图x 象，你能画出 y lo的g 1图x 象吗？
y
y loga x A.0 c d 1 a b
y=1
y logb x B.0 b a 1 d c
x
O
y logc x C.0 d c 1 b a
y logd x D.0 a b 1 d c
形数
探究（三）：对数函数的图象与性质的应用
例2. 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 和 log 28.5 (2) log 0.31.8 和 log 0.32.7
置
3. 预习课本P73，了解反函数的概念.
选做题：习题2.2 B组第2题，第4题．
祝同学们 学习进步!
例3. 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过pH刻画的,pH的计算公 式为pH =-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子 的浓度,单位是摩尔/升.
(2)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变 化关系。
解：（2）根据对数函数的性质，在(0,+∞)上，随着[H+] 的增大， lg[H+]增大，从而-lg[H+]减少，即pH减 少．所以，溶液中氢离子的浓度越大， pH就越小，即 溶液的酸性越强．
对数函数的图像及性质
教学过程一、课堂导入一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。
大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年。
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？ 其实，考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p ，利用P t 215730log估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数；而这种函数就是我们今天要研究的对数函数，我们赶快来学习吧。
二、复习预习1.对数的概念：2.对数式与指数式的互化：,01log =a （a 0＝1⇔log a 1＝0）；1log =a a （a 1＝a ⇔1log =a a ） 3. 对数的运算法则：log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M M N N =-b b a n a log n log =4.对数的换底公式a N N m m a log log log =，）（0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a三、知识讲解考点1对数函数的定义1、定义：形如 x y a log = ，)10(≠>a a 且的函数叫做对数函数2、正确理解对数函数的概念(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y ＝2log 2x ，y ＝log 2x 2等都不是对数函数，只有x y a log =)10(≠>a a 且才是对数函数．(2)由于指数函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数x y a =的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点考点2对数函数的图象与性质考点3 函数x y a log =)10(≠>a a 且的底数变化对图象位置的影响 观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a >1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0<a <1时，a 越小，图象向右越靠近x 轴．也就是说，不论a 取何值，在第一象限内，a 值越大，图象靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大考点4 对数函数性质的运用利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接判断；(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；(3)若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为同底，再进行比较；（4）若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，-1等进行比较．四、例题精析【例题1】【题干】已知函数f(x)＝1的定义域为集合M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为1－x集合N，则M∩N等于()．A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．{|1}1x<->或x x【答案】C【解析】由题意得，M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，所以M∩N＝{x|－1<x<1}．故选C【例题2】【题干】函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()．【答案】C【解析】由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)【例题3】【题干】求下列函数的定义域：(1)y＝log333x＋4；(2)y＝log(x－1)(3－x)【答案】(1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞;(2) (1,2)∪(2,3) 【解析】(1)∵33x ＋4>0，∴x >－43，∴函数y ＝log 333x ＋4的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞. (2)∵⎩⎨⎧ 3－x >0，x －1>0，x －1≠1，∴⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2， ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3)．【例题4】【题干】不等式(5＋x)< (1－x)的解集为________【答案】{x|－2<x<1} 【解析】原不等式等价于⎩⎨⎧ 5＋x>0，1－x>0，5＋x>1－x.解得－2<x<1.∴原不等式的解集为{x|－2<x<1}五、课堂运用【基础】1、若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()．A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定【答案】A【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝log a4＝log a22＝2log a2，即log a2＝1，解得a＝2.故所求对数函数的解析式为y＝log2x.故选A.2、函数f (x )＝lg 4－x x －3的定义域为________．【答案】{x |x <4，且x ≠3}【解析】⎩⎨⎧4－x >0，x －3≠0，解得x <4，且x ≠3， 所以定义域为{x |x <4，且x ≠3}3、函数f(x)＝1－log a(2－x)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．【答案】(1,1)【解析】当x＝1时，不管a为何值，f(1)＝1是定值，∴f(x)过定点(1,1)【巩固】1、已知log m7<log n7<0，则m，n,0,1间的大小关系是________．【答案】0<n<m<1.【解析】∵log m7<log n7<0，∴0>log7m>log7n.又y＝log7x在(0,1)内递增且函数值小于0，∴0<n<m<1.2、函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．【答案】C【解析】由对数函数y＝log2x过定点(1,0)可知，函数f(x)＝1＋log2x的图象过定点(1,1)，且是单调递增的．同理，函数g(x)＝21－x的图象过定点(1,1)，并且是单调递减的．观察函数图象可得选项C满足条件3、已知函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过点P ，则点P 坐标为________．【答案】(－2,0)【解析】当2x ＋1x －1＝1时，x ＝－2，所以恒过点(－2,0)【拔高】1、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f(－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．a<c<b B ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<b<a【答案】C【解析】a ＝f(－3)＝f(3)，b ＝f(log 312)＝f(log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0<log 32<1,1<43<3，∴3>43>log 32. ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a>c>b ，故选择C .2、判断函数f(x)＝lg(x2＋1－x)的奇偶性【答案】奇函数【解析】由x2＋1－x>0解得x∈R，故f(x)的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝lg(x2＋1＋x)，f(x)＝lg(x2＋1－x)∴f(－x)＋f(x)＝lg(x2＋1＋x)＋lg(x2＋1－x)＝lg(x2＋1＋x)(x2＋1－x)＝lg[(x2＋1)－x2]＝lg 1＝0. ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数3、若函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()．A.14 B.12C．2 D．4【答案】B【解析】当a>1时，a＋log a2＋1＝a，log a2＝－1，a＝12，与a>1矛盾；当0<a<1时，1＋a＋log a2＝a，∴log a2＝－1，a＝1 24、若log a 37<1，则a 的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，37∪(1，＋∞) 【解析】a>1时，此时log a 37<log a a ＝1，a>37，即a>1符合要求；当0<a<1时，log a 37<log a a ，∴0<a<37，即0<a<37符合要求；∴a>1或0<a<37.课程小结本次课主要学习了以下内容：1.对数函数的定义；2.对数函数图象及其性质；3.底数不同时对应函数图象的特征（1）当a>1时，底数a越大，图象越靠近x轴. （2）当底数互为倒数时，图象关于x轴对称．4.对数值比较大小的常。
对数函数的图象和性质
安徽黄口中学 ： 陈华武
抽象概括 y=logax(0<a≠1)在底数 在底数a>1及0<a<1 在底数 及 这两种情况下的图象和性质总结如表3-10 这两种情况下的图象和性质总结如表
a>1
3
3
0<a<1
2.5 2 1.5
2.5
2
1.5
图 象
1
-1
1
1-111源自0.50.50
-0.5
比较下列各题中两个数的大小： 例5 比较下列各题中两个数的大小： (1)㏒25.3, ㏒24.7 ㏒ (2) ㏒ 0.27,㏒0.29 ㏒ (3) ㏒3 ∏ ,㏒∏ 3 ㏒ (4) ㏒a 3.1,㏒a5.2 ㏒ (a>0,a≠1)
1）因为2>1，函数y=㏒ x是增函数 是增函数， 解（1）因为2>1，函数y=㏒2 x是增函数， 5.3>4.7,所以 所以 ㏒25.3>㏒24.7; ㏒ （2）因为 ）因为0<0.2<1，函数 ㏒0.2x是减函 ，函数y=㏒ 是减函 数，7<9,所以 所以 ㏒ 0.27>㏒0.29; ㏒
比较下列各组中两个值的大小: 例3 比较下列各组中两个值的大小 ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . log aa＝1 提示: log a1＝0 提示 : 提示 ＝ 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 ＞ ＝ log76＜log77＝1 ＜ ＝ ∴ log67＞log76 ＞ ∴ ⑵ ∵ log3π＞log31＝0 ＞ ＝ log20.8＜log21＝0 ＜ ＝ log3π＞log20.8 ＞
(3)因为函数 ㏒3x是增函数，∏>3 所以 因为函数y=㏒ 是增函数 是增函数， 因为函数 ㏒3 ∏ > ㏒3 3 =1, 同理1= 同理 ㏒∏∏>㏒∏3，所以 ㏒ ， ㏒3 ∏ >㏒∏ 3 ; ㏒ (4)(对数函数的增减性决定于对数的底数是 对数函数的增减性决定于对数的底数是 大于1还是小于 还是小于1.而已知条件中并未指出底 大于 还是小于 而已知条件中并未指出底 哪个大,因此需要对底数 进行讨论) 数a与1哪个大 因此需要对底数 进行讨论 与 哪个大 因此需要对底数a进行讨论 上为增函数， 当a>1时，函数 ㏒ax在(0, +∞)上为增函数， 时 函数y=㏒ 在 上为增函数 此时 , ㏒a 3.1<㏒a5.2 ㏒ 时函数y=㏒ 在 当0<a<1时函数 ㏒ax在(0, +∞)上为减函 时函数 上为减函 此时, 数，此时 ㏒a 3.1>㏒a5.2 ㏒
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对数函数中底数的变化对函数图象的影响
陕西汉中市405学校侯有岐 723312
一、规律总结
1、在同一坐标系中,多个对数函数底数的变化规律是（如图（1））:
直线1
=
x的右边区域内,
在x轴的上方,对数函数的图
象越靠近x轴,底数越大,且底
数均大于1.
在x轴的下方,对数函数
的图象越靠近x轴,底数越小,
且底数均在)1,0(之间.
图中的对数函数的底数
d
c
b
a,
,
,的大小关系是:d
c
b
a<
<
<
<
<1
0.
2、在实际操作中,可以看图象与直线1
=
y交点的位置,交点的横坐标越大,底数就越大.因为底数的对数是1,即1
log=
=a
y
a
,所以可作直线1
=
y,它与各个图象相交,如上图,设它与①、②、③、④的交点分别为A、B、C、D,则A、B、C、D的横坐标就是各对数函数的底数,分别为d c
b
a.
,
,,再根据单调性,所以可得:d
c
b
a<
<
<
<
<1
0.
二、应用举例
例：比较3
log
2.0和3
log
5.0
的大小.
分析:根据多个对数函数图象在同一坐标系中的相互位置关系,利用图象即可直观地比较对数值的大小.
O
解析: 在同一坐标系内画出 x y 2.0log = 与 x y 5.0log =的图象, 再作直线 3=x ,如图 （2）,观察得 : 3log 2.0>3log 5.0.
点评: 把对数看 作对数函数的值,在同 一坐标系中画出他们
所对应函数的图象,即可直观地看出大小关系,这是数形结合思想魅
力的体现.
x
y 1
2345-1-2-3-4
-512345-1
-2
-3
-4
-5-6-7-8-9。