上海市高二数学上学期期末考试

201６学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷

(考试时间:1２0分钟 满分:150分 ）

一.填空题（１--6每小题4分,7--12每小题5分,共５4分） 1.已知复数i

i z +=

2(i 为虚数单位），则=||z ．

２．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).

３.抛物线2

4y x =的焦点坐标为 .

4.6

2x ⎛

- ⎝

的展开式中的常数项的值是 .

５.已知实数x 、y 满足不等式组5

2600

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩,则34z x y =+的最大值是 ．

６．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232

=+-a x x 的一个根,则实数

=a .

7.已知21,F F 为双曲线C:12

2

=-y x 的左右焦点,点P 在双曲线Ｃ上,1260F PF ∠=︒,则

=⋅||||21PF PF ．

8.某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2

名，则不同的安排方案种数为 .

9. 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ

θ

=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数),直线l 的方程为320x y -+=,则曲

线C 上到直线l

距离为

10

的点的个数为______＿＿____. 10.已知抛物线y x 32=上的两点Ａ、B 的横坐标恰是关于x 的方程02

=++q px x （,p q 是

常数)的两个实根,则直线AB 的方程是 .

11．在ABC ∆中,

AB 边上的中线2CO =，若动点

P 满足221

sin cos 2

AP AB AC

θθ=⋅+⋅()

R θ∈,

则

()PA PB PC +⋅的

最

小

值

是 .

12．已知椭圆C:)0(1

22

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆Ｃ上任一点，M

＝||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。Ｍ的最大值为 ．

二.选择题(每小题5分,共20分） １３. 已知复数满足2|43|=

-+i z ,则|1|-z 的取值范围是( ）.

（A ）⎡⎣（B ）⎡⎣(Ｃ）⎡⎣(D ）⎡⎣

14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边,且ac b =2

，那么直线

0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（ ）.

（Ａ）平行 （B ）垂直(C)相交但不垂直 (D)重合

1５.O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ,则ABC ∆的形状是（ ）．

(A)等腰三角形 （B ）等腰直角三角形 (Ｃ）直角三角形 (D ）等边三角形

16.若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是( ）．

（A)2

10x y +-= (B)10x =

（C)22

10x y x x +---= (D)2

310x xy -+=

三.解答题（14分+1４分＋14分+16分＋18分，共７６分） 17.(本题满分14分)

设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线,

)(2

5|2|R m m z ∈=-,求z 和m 的值．

18．（本题满分14分，第1小题满分６分，第2小题满分8分)

已知2||=

a ,1||=

b ,a 与b

的夹角为︒135.

（1)求

)2()(b a b a -⋅+的值; （2)若k 为实数,求||b k a

+的最小值.

.

ﻬ１９．(本题满分１4分, 第１小题满分６分,第２小题满分8分）

（1）一条光线通过点()1,2-P ,被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ,求反射光线所在的直线方程;

(2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是

02=-y x 和01=-+y x ,求边BC 所在直线方程.

20.（本题满分１6分，第1小题满分4分,第２小题满分６分,第3小题满分6分）

已知点21,F F 为双曲线C :)0(122

2

>=-b b

y x 的左、右焦点,过2F 作垂直于x 轴的直线，在

x 轴上方交双曲线C 于点M ,且1230MF F ∠=︒,圆O 的方程是222b y x =+.

(1)求双曲线C 的方程;

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值;

(3)过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．

ﻮ２1.（本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分）

教材曾有介绍：圆2

22r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。我们将其结

论推广：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b y

y a x x ,在解

本题时可以直接应用。已知，直线03=+-y x 与椭圆E :12

22=+y a

x （1>a )有且只有一

个公共点． (1)求a 的值；

（２）设O 为坐标原点,过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．

①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ,求证：21k k 为定值. ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．

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（考试时间：1２0分钟 满分：150分 ）