-用尺规作图(作线段的垂直平分线)
2020中考数学总复习：垂直平分线、角平分线及尺规作图(结合2019中考真题)
图20-10
∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=5+3=8.
三角形三边的垂直平分线相交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等
考点二 角平分线
从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角,这条射线 定义
叫做这个角的平分线
角平 分线
定 角平分线上的点到角的两边的距离③ 相等 ,
理
即∠���������1���
= ⊥
∠2 ������������,������������
图20-9
[答案] C
[解析]由作法得 BD 平分∠ABC,∴A 选项的结论正确;∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,∴∠ABD=30°=∠A,∴AD=BD,∴B 选项的结论正确; ∵∠CBD=12∠ABC=30°,∴BD=2CD,∴D 选项的结论正确;∴AD=2CD, ∴S△ABD=2S△CBD,∴C 选项的结论错误.故选 C.
垂直平分线、角平分线及尺规作图
考点一 线段的垂直平分线
定义 性质 判定 实质 构成 拓展
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离① 相等 与一条线段两个端点距离② 相等 的点,在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合
D,则∠CBD的度数为 ( B )
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
图20-3
3.[2018·包头一模]已知:在△ABC中,BC>AB>AC.根据图20-4中的作图痕迹及作 法,下列结论一定成立的是 ( B ) A.AP⊥BC B.∠APC=2∠ABC C.AP=CP D.BP=CP
关于线段垂直平分线的尺规作图-冀教版八年级数学上册教案
关于线段垂直平分线的尺规作图-冀教版八年级数学上册教案一、教学目标1.知道线段垂直平分线的定义和性质；2.掌握线段垂直平分线的尺规作图方法；3.进一步培养学生的几何思维能力和操作技能，提高其解决实际问题的能力。
二、教学重难点重点：线段垂直平分线的定义和性质，尺规作图方法。
难点：实际问题的应用。
三、教学内容及过程1. 线段垂直平分线的定义和性质1.定义：若在一条线段的中点上，作一条与这条线段垂直的直线，这条直线称为该线段的垂直平分线。
2.性质：线段的垂直平分线经过该线段的中点，并且与该线段垂直。
2. 尺规作图方法1.线段垂直平分线的尺规作图方法：–步骤1：以该线段的一个端点为圆心，以另一个端点为半径画一个圆；–步骤2：以上述圆上的一个点为圆心，以同样的半径再画一个圆；–步骤3：计算圆的内切角的一半，以内切角的一半为直角，以圆上的两个点分别为直角的一对腰，作一条垂直平分线即可。
3. 实际问题的应用例子：已知一条线段AB，如何在AB上找到一点C，使得C到A的距离等于C到B的距离，即AC=BC？解法：根据线段垂直平分线的定义和性质，线段AB的中垂线上的所有点都满足AC=BC的条件，因此，可以尺规作图找到AB的中点D，然后在中点D上作垂直平分线，垂直平分线与AB的交点就是满足条件的点C。
4. 总结与反思通过这一节课的学习，同学们学会了线段垂直平分线的定义和性质，并掌握了尺规作图的方法。
在实际问题的应用中，同学们积极思考，勇于挑战，不断探索，取得了很好的效果。
同时，在教学过程中，老师注重启发式教学，引导学生自主发现，这样既能增强学生的兴趣，又能提高他们的自主学习和解决问题的能力。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
线段的垂直平分线
A E B
D
C
小结
1.线段的垂直平分线的作法
2.线段垂直平分线的性质定理
作业：
必做题：练习1,2,3 选做题：这个性质定理的逆命题是什么？ 它是否成立？试着自己探究探究。
1 ∵以点A,B为圆心，大于 2
AB长为 在△AMO和△BMO中， AM=BM ∵ ∠AMO=∠BMO MO=MO ∴△AMO≌△BMO（SAS） ∴∠AOM=∠BOM=90° AO=BO 故MN是线段AB的垂直平分线。
∴AM=BM=AN=BN 在△AMN和△BMN中， AM=BM ∵ AN=BN MN=MN ∴△AMN≌△BMN（SSS） ∴∠AMO=∠BMO
思考2：在直线MN上任意取一点P，连接PA 与PB，请大家测量一下PA与PB的长度，看 一看它们之间有什么关系？
PA=PB
小组讨论： 你们选取的P点的位置相同吗？如果不同， 你们能找到什么规律？
规律：线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等。
已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且 MN⊥AB,P是MN上任意一点。 求证：PA=PB
2.已知：△ABC中，D在BC上，AB=AC,DB=DC,E是 AD上的一点。 求证：BE=CE
证明：
在△ABD和△ACD中， AB=AC ∵ DB=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC 即AD是BC的垂直平分线。 ∵E是AD上的一点 ∴BE=CE
③尺规作图法： 1 1.作出一条线段AB，分别以点A,B为圆心，大于 AB长为半径 2 （为什么？）画弧交于点M,N。 2.过点M,N作直线。 则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
思考1：为什么MN就是垂直平分 线呢？若MN交AB于点O，你能给 出证明吗？
尺规作图做垂线的做法
尺规作图做垂线的做法
用尺规做垂线的步骤如下：
1、用尺规作一条直线，在直线上任取两点A、B（A、B 不重合）。
2、分别以A、B两点为圆心，以大于AB长的一半为半径做两个等圆，得到两个交点C、D，且两个交点C、D到A、B等距（它们都是两个等圆的半径是相等的）。
3、连接这两个交点C和D两个交点的连线CD即为垂线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这两点的连线为这条线段的垂直平分线，即垂直）。
尺规作图基本方法，以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
1、通过两个已知点可作一直线。
2、已知圆心和半径可作一个圆。
3、若两已知直线相交，可求其交点。
4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
5、若两已知圆相交，可求其交点。
初中数学精品教案：尺规作图-线段的垂直平分线-
16.2线段的垂直平分线（三）—尺规作图教学设计说明一、内容和内容解析；本节课是冀教版义务教育课程标准教科书八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》的第二节的第三课时，是在学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；在掌握了基本做法后，再来探究如何运用作线段的垂直平分线的方法过一个点作已知线段的垂线；并以作线段的垂直平分线为载体提高学生尺规作图的能力．因而探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线是本节课内容的核心所在．也是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用．其目的是加深对线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解；同时本节课探究作图的思维方式及作图的步骤和方法又是对下一节研究角平分线又是对下一节利用尺规作一个角的平分线的铺垫，起着承上启下的作用．是轴对称的重要组成部分．所以本节课的教学重点是探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线．二、目标和目标解析：1．让学生亲身经历用直尺和圆规作线段的垂直平分线和过一点作已知直线垂线的探究过程；使学生熟练掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与步骤的能力；3．培养学生使用“执果索因”的方法探究问题的能力和发展学生的逻辑思维；在实际动手操作中体验几何探究的乐趣，培养学生科学的学习态度．三、教学问题诊断分析：学生在本节课之前已经学习了全等三角形的知识，在本章还学习了线段的垂直平分线性质定理及逆定理，已经具备了用尺规作线段的垂直平分线的理论基础；此前还学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，学生已经具备了操作尺规的基本技能．尽管如此，由于学生不能根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理借助圆规找到符合条件的两个点（这两个点必须在已知线段的垂直平分线上），进而由两点确定一条直线，这将成为教与学中遇到的第一个障碍．在授课过程中需要教师帮助学生做好思维的准备，首先让学生回顾线段的垂直平分线性质定理及其逆定理和前面学习的基本尺规作图，同时还要给学生充分的思考和探究的时间．在学生充分思考和动手实践后，在小组内交流，不拘泥于单一简单的做法，引导学生尝试不同的做法，力求让学生理解用尺规作线段的垂直平分线的本质．在掌握了线段的垂直平分线的做法后，探究如何过一点作已知直线的垂线，学生很难推理出垂线产生的条件，即使学生想到将其转化为作线段的垂直平分线，但学生一时很难找到合适的线段，所以这个问题成为本节课教学中的第二个障碍，同时也是本节课的教学难点．教学过程中先让学生独立思考，动手实践后，发现一部分学生无法顺利突破难点，教师再给予及时的提示：已知点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在已知直线l上，只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题．如何找到这条线段呢？只要找到这条线段的两个端点即可．引导学生使用“执果索因”的方法探究，只要考虑到点P也在这条线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，此题难点就此突破．四、教学支持条件分析：首先，在探究如何用尺规作线段的垂直平分线的教学过程中，需要给予学生足够的理论支持和构建典型的数学几何模型，所以教师借助多媒体帮助学生回顾线段的垂直平分线性质定理及逆定理，尤其是数学几何模型的出现，帮助学生理顺了数学思维，为学生寻找已知线段的垂直平分线确立了目标——线段的垂直平分线上的两个点，进而可由两点确定直线．其次，在探究出多种方法作线段的垂直平分线后，教师借助多媒体将三种不同的方法同时呈现在学生面前，学生潜意识里会对此进行比较，发现其中的数学规律，进而得到解决问题的实质——寻找符合条件的各个点．再次，在学生探究如何过一点作已知直线的垂线遇到困难时，教师又适时的借助多媒体在直线上呈现符合条件的不同线段，帮助学生更有效的进行数学思维，打开思路，为顺利突破本节课的难点起到了关键性的作用．最后，在回顾本节课主要内容时，又借助多媒体依次呈现典型的几何模型，帮助学生理顺本节课的数学知识和数学方法，发现其中的数学规律和必然联系．五、教学过程设计：（一）引入前面我们学习了线段的垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理．如果已知一条线段，你如何作出这条线段的垂直平分线呢？图1 图2 图3 前面我们利用直尺和圆规作出了一条线段等于已知线段，还作出了一个角等于已知角，现在我们能利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线吗？（二）探究一已知：线段AB ．求作：线段AB 的垂直平分线．小组交流：1．你是怎么想的？2．你是怎么做的？3．你作图的理由是什么？给学生足够的时间去独立思考，动手操作．虽然大部分学生能作出线段AB 的垂直平分线，但方法单一，而且不能理解尺规作出线段的垂直平分线的实质．然后小组内交流，充分交流后利用实物投影展示不同的做法．通过不同做法的展示，让学生归纳推理相出其中的数学规律，发现问题的实质．推理思路：1．找到符合条件的两个点即可：两点确定一条直线；2．既然是线段垂直平分线上的点，必然满足到线段两端点的距离相等．作法一：如图1所示，（1）分别以点A 、B 为圆心，a （ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的两侧画弧；分别交于点C 、D ；（2）连接CD ；直线CD 即为所求．作法二：如图2所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的上方画弧；交于点M；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的下方画弧，交于点N；（2）连接MN；直线MN即为所求．作法三：如图3所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB）为半径在线段AB的上方画弧；交于点E；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的上方画弧，交于点F；（2）连接EF；直线EF即为所求．从中任取一种画法，来解释一下为什么这条直线是线段AB的垂直平分线．如图4，第一种方法：从线段的垂直平分线定义的角度，利用三角形全等给予证明．第二种方法使用线段垂直平分线性质定理的逆定理给予证明．以上三种作图方法都是正确的，后两种得到的点采用半径不同，而第一种采用半径相同的作法，因此比较容易操作，以后，我们一般采用第一种方法做线段的垂直平分线．教师规范做法，并写出规范的作图语言．（三）探究二已知：直线l 和直线l 外一点P（或直线l 上一点P ）.求作：经过点P，且垂直于l 的直线.大部分学生思考后无法解决，然后进行小组内合作探究.图4在相当一部分学生仍旧不能解决时，教师给予适当的提示：点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在直线l上，我们只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题了．然后再让学生思考，合作交流探究．学生小组合作探究后，相当一部分学生得以解决，选择两位具有典型做法的学生上台板演，并讲解．点P在直线l外：经老师提示，因为点P在所求线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，因此，以P为圆心适当长度为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段CD就是我们要找的线段．然后再分别以C、D为圆心，以a（a ＞12 CD）为半径画弧，两弧交于点E，连接PE．PE就是我们要作的直线．点P在直线l上：以P为圆心，任意长为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段C、D就是我们要找的线段．在按照作线段的垂直平分线的作法，很容易就找到了符合条件的直线．提升：无论点P的位置在哪儿，我们都找到了一条合适的线段，将此题转化为做线段的垂直平分线，进而作出了已知直线的垂线．拓展：利用作线段的垂直平分线的方法可以作出一个直角，如果给定边长还可以能作一个直角三角形．（四）实际应用为进一步打造“宜居河北”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．这里的尺规作图帮助我们找到了垂直平分线，还帮助我们找到了线段的中点．作垂直，找中点就是我们这种作法的重要作用．（五）回顾与反思通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟呢？1．利用尺规作已知线段的垂直平分线；2．利用尺规作已知直线的垂线、作直角、直角三角形，以及找中点；3．尺规作图中直尺和圆规的基本作用．六、目标检测设计：为检测学生对本节课知识的掌握情况，在教学过程中我设计了两个问题．目标检测一：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①此题从正反两个方面考察线段垂直平分线性质定理及逆定理，其目的是检验学生对这两条定理的的掌握情况，即对尺规作垂直平分线方法理论依据的考察．检验了学生对本课所学知识的掌握情况．目标检测二：已知：线段a,b求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。
16.2尺规作图线段垂直平分线
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 到线段两端距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
人教版八年级上册 13.1.3 尺规作图垂直平分线 课件(共22张PPT)
有符合条件的点，标出点C的位置。
E
分析：根据题意可知，所求的点C既在
l2Βιβλιοθήκη AB的垂直平分线上，又在两公路夹角
的平分线上，作出两者的交点即为所求。
特别注意两公路夹角的平分线有两条。 A●
●
B 0
F l1
G
作法：
1 1连接AB分别以点A，B为圆心，以大于 2 AB的长为半径 作弧，两弧交于M，N两点。
2作直线MN。
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
A
B
M PN
l
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
作轴对称图形的对称轴
想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作
出这些对称轴呢？
l
作法：（1）找出五角星的一
对对称点A和B，连接AB． A
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的 对称轴.
课堂小结
尺规作图 属于基本作图之一，必须熟熟练掌握
线段的垂 直平分线 的有关作 图
作对称 轴的常 见方法
(1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线 的中点，然后作垂线
B
A
线段垂直平分线的画法
问题1：有时我们感觉一（两）个平面图形是轴 对称的，如何验证呢？
通过折叠，如果这（两）个 A
图形能够互相重合，则这 （两）个图形是轴对称的.
B
A′ B′
C C′
问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称 图形的对称轴吗？
能。根据轴对称图形性质.如果两个图形关于某 条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连 线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任 何一对对称点所连线段的垂直平分线.找到一对 对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就 可以得到这两个图形的对称轴了. 问题3:如何作出线段的垂直平分线?
尺规作图(画线段的垂直平分线)课件
应用2
解决几何问题：通过构造垂直平分 线，可以将复杂的几何问题转化为 简单的几何问题，从而方便求解。
应用3
设计图纸：在工程设计和建筑图纸 中，常常需要画出各种垂直平分线 ，以确保结构的稳定性和对称性。
03
尺规作线段垂直平分线的方法
确定线段的两个端点
总结词
确定线段两个端点是尺规作图的基础 ，需要使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。
详细描述
首先，使用圆规截取线段长度，并标 记出两个端点。确保这两个端点位于 同一直线上，并且距离适中，以便于 后续作图。
以线段中点为圆心，半长为半径画圆
总结词
以线段中点为圆心，半长为半径画圆是垂直平分线作图的关键步骤，需要使用 直尺和圆规进行操作。
详细描述
使用直尺和圆规，以线段的中点为圆心，线段长度的一半为半径画圆。这个圆 将通过线段的两个端点，并且与线段相切于中点。
在思考过程中，可以尝试使用其他工具或方法来作线段的垂 直平分线。例如，可以使用折纸法、三角形法等不同的方法 。通过比较不同方法的优缺点，可以更好地理解作图的本质 和原理。
总结与归纳作图过程中的注意事项
总结
总结归纳作图过程中的注意事项，有助于提高作图的准确性和效率。
在作图过程中，需要注意以下几点
首先，要确保使用的工具是准确和可靠的；其次，要遵循尺规作图的规则和步骤；最后，要认真检查和修正作图 结果。通过总结归纳这些注意事项，可以更好地掌握尺规作图的技巧和方法。
线段垂直平分线的性质
01
02
03
性质1
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
性质2
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的连线与垂直 平分线垂直。
线段的垂直平分线的作图
例2
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°， ∠C=45°． （1）作∠ABC的平分线BD，与AC交于点D； （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：△ABD为等 腰三角形．
A
B
C
典例精析,没有直接应用五个基本 尺规作图，比较复杂的作图题
时成立。 • 4.作好图后，下结论。 • 5.作图痕迹要清晰。
• 3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，将 △ABC沿BC翻折得到△A1BC．
（1）用直尺和圆规作出△A1BC；(保留作图 痕迹，不要求写作法和证明)
（2）请判断四边形AB A1C的形状，并证明
你例精析,没有直接应用五个基本 尺规作图，比较复杂的作图题
• 如图，已知在△ABC中，∠A＝90°。 • （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在
例3 如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于
点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个
货站P，使P到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺
规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹，写出
结论)．
A
O
实际作图
D
C
B
几何作图
例3的解答
E
G
P
则点P为所求作的货站位置
如何做好一道作图题
• 1.首先掌握好五个基本尺规作图 • 2.看清该题是直接作图还是间接作图题 • 3.间接作图题要综合考虑，满足多个条件同
置，并说明理由.
A
C
B
2. 如图, △ABC，在图中找一点O,使T 它到△ABC的三边距离都相等. 点O应 在何处？请在图中标出点O的位置，并 说明理由.
线段垂直平分线的作法
D
E
AK
B
.
F
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程．
A
P
O
B
.
【跟踪训练】
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出
n
这些对称轴．
A
B
作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
Байду номын сангаас（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五 条对称轴．
.
课堂小结
本节课你有什么收获？
.
布置作业 P65、66 习题13.1第6、9题．
.
只要我们找到一对对应 点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这 两个图形的对称轴了．
.
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线 的垂线？
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 1 D E 的长为半径作弧？ 2
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C
作线段的垂直平分线.
C
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：（1）分别以点A，B为圆心，
以大于 1 AB的长为半径作弧，
D
2
两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
结论：对于轴对称图形，只要 找到任意一组对应点，作出对
CD即为所求.
应点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴.
.
问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何 一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称 图形的对称轴如何来作呢？
尺规作图：角的平分线、线段垂直平分线
尺规作图：角的平分线、线段垂直平分线尺规作图是指用直尺和圆规作图，根据特定几何问题作出相应图形，这对培养大家动手能力和分析问题的能力非常有帮助。
必备工具：圆规、直尺、铅笔、橡皮1、作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。
作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线练：如图，在∠MON 的内部找一点P ，使得P 点到OM 、ON 距离相等.(不写作法，但是要保留作图痕迹)2、作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.求作：直线PQ 是线段MN 的垂直平分线.作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ.则直线PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。
练：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到运动员公寓A .B .C 的距离相等．（1）若三所运动员公寓A .B .C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置；(不写作法，但是要保留作图痕迹) （2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝ º.【操作】 3、某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 上建一个休息点M ，使他到A ，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点M 的位置；AB CN M B A O 4、如图，点A 是ON 上一点，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．(不写作法，但是要保留作图痕迹)5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
6、如图所示,已知∠AOB 和两点M 、N 画一点P,使得点P 到∠AOB 的两边距离相等,且PM=PN.7、如图所示,A,B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C,请你设计一个方案,使供水站的到两村庄的距离和最短写画法,但要保留作图痕迹，（预习课本获得答案）B O A N M A . . B l。
作线段的垂直平分线（课件）
确定线段的中点.
新知讲解
思考：结合线段垂直平分线的作法，如何过一点P作已知直线 l 的垂线呢？
分析：由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线 上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线 的垂线.
点P与已知直线1的位置关系有两种：点P在直线1上或点P在直线1外.
新知讲解
（1）点P在直线l 上：
新知讲解
想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线
作法：如图所示：
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 1
2
AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点； （2）作直线CD． CD 就是所求作的直线．
新知讲解
直线CD为什
么是线段AB的 想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平垂分直线平分线？
作法：①在直线l上点P的两旁分别截取线段 PA、PB，使PA＝PB；
②分别以A、B为圆心，以大于 1 AB的
2
长为半径画弧，两弧交于点C； ③过点C、P作直线CP. 则直线CP为所求作的直线.
新知讲解
（2）点P在直线l 外：
作法：①以P 为圆心，以大于点P 到直线l 的距离 的线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；
路边上，所以找到AB垂直平分线与
公路的交点即满足条件.
B
公路
公共汽车站
新知讲解
练习2：如图，作出△ABC的BC边上的高. A
答：线段AD就是所求作的BC边上的高.
C
D
B
课堂练习
1 1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 2 AB长
为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ D ） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
1.3用尺规作图作垂直平分线可用
(4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
图 24.4.9
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线.
图 24.4.7
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
以点A为圆心，以大于 AB一半的长为 图 24.4.7 半径，在AB的一侧画弧；以点B为圆 心，以同样的长为半径，在AB的同 一侧画弧，两弧的交点记为C，则点 C是线段AB垂直平分线上的一点．利 用类似的方法确定另一点D．
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线. 作法：(1)以点图 A为圆心，以大于 AB一 24.4.7 半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径 画弧，两弧的交点记为C、D； (3)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
1.画一个直角三角形，使其直边分 别等于已知的两条线段.
第一章等腰三角形
1.3线段的垂直平分线 尺规作图
作已知线段的 垂直平分线
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
我们已熟悉尺规的四个基本作图：画 线段，画角．画角平分线、画线段的 垂线，那么利用尺规还能解决什么作 图问题呢？ 画线段的垂直平分线；
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
图 24.4.8
2014年3月2日星期日8 时51分27秒
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D；
尺规作图(画线段的垂直平分线)课件
方法，确保其精度，以获
得最优的作图效果。
实例演练
线段 AB BC
垂直平分线 CD EF
总结
本课程的重点
本课程介绍了尺规作图中画出线段垂直平分线的方 法与技巧，以及注意事项，着重强调了作图精度和 作图时间。
尺规作图的重要性
尺规作图是几何学中的基础重要部分，掌握尺规作 图可以更好地掌握几何形体的构造方法及其应用， 提高几何学习效果。
如何优化作图时间
注意时间的分配，合理计算，严 格遵守作图顺序，可有效提高作 图效率和精度。
注意事项
1 作图时要有耐心
耐心是画出完整作品的必 要条件，应养成细心、认 真、耐心的作图习惯。
2 注意纸张大小
3 使用尺规圆规时要注
意精度
在选择纸张的时候，要根
据作图的需要确定合适大
应注意尺规和圆规的使用
小和材质，避免出现误差。
尺规作图(画线段的垂直 平分线)
本课程将介绍尺规作图中如何画出线段的垂直平分线。探讨具体步骤、技巧、 注意事项等内容。体的构造有着重要的作用，而尺规作图便是 解决几何构造难题的有效方法。
为何需要学习尺规作图
尺规作图是几何学中的重要部分，通过学习尺规作 图能够更好地掌握几何形体的构造方法及其应用。
基本概念
尺规
又称直尺和圆规。由两个不同的量具组成，用于测量直线距离和绘制圆形等。
作图
指根据图形的描述，用尺规或圆规在纸面上画出几何图形构造的过程。
垂直平分线
指将线段垂直平分的一条直线。
具体步骤
1
1. 画出线段
用尺规在纸面上画出需要垂直平分的线段。
2
2. 作圆1
以其中一端为圆心，以该线段长为半径作圆。
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(2)以点B为圆心，以同样的长为半径 画弧，两弧的交点记为C、D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．1
想一想，做一做 你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便
于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
A
O
C. D.
B
练习
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线，
DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF
A
E F
B
D
C
1
补充练习： 如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
C A B
D
1
试一试
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
图24.4.8
能否利用画线段垂直平分线的方法解 决呢？试试看，完成整个作图．
-用尺规作图(作线段的垂直平分线)
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
1
试一试
图24.4.9
以C为圆心，任一线段的长为半径画 弧，交l于A、B两点，则C是线段AB 的中点．因此，过C画直线l的垂线 转化为画线段AB的垂直平分线．
1
试一试
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧;
(3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D；
B
L
高速公路
生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
·
B
C
问题探讨
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄 C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到 V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人 上下班的路程一样吗？
(4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
1
试一试
2.如图，如果点C不在直线l上，试和 同学讨论，应采取怎样的步骤，过点 C画出直线l的垂线？
图 24.4.10
1
试一试
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为 半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线另一侧画弧．
12.1 尺规作图
作已知线段的 垂直平分线
1
我们已熟悉尺规的四个基本作图：画 线段，画角．画角平分线、画线段的 垂线，那么利用尺规还能解决什么作 图问题呢？ 画线段的垂直平分线；
1
做一做
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线.
图
2 4 .4 .7
作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一 半的长为半径画弧；
(3)以点B为圆心，以CB长为半径在直 线另一侧画弧，交前一条弧于点D． (4)经过点C、D作直线CD．
则直线CD即为所求．
1பைடு நூலகம்
练习
2.画一个直角三角形，使其斜边和直 角边分别等于已知的两条线段.
(第4 题)
1
谢谢大家！