(人教版九年级下册)数学三边成比例的两个三角形相似课件
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新人教版九年级下数学27.2.1相似三角形的判定课件
小练习
AB BC AC 求证:∠BAD=∠CAE。 , 已知: AD DE AE
A
AB BC AC , 解:∵ AD DE AE
E
D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE
探究2
边S 角A 边S
AB BC 已知: A B B C k , 1 1 1 1
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。 (1)所有的等腰三角形都相似。 × √ (2)所有的等腰直角三角形都相似。 (3)所有的等边三角形都相似。√ (4)所有的直角三角形都相似。 × √ (5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 × √ (7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。 (8)相似的两个三角形一定大小不等。 ×
∠B =∠B1 . 求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C
B1
C1 你能证明吗?
知识要点
判定三角形相似的定理之二
边S 角A 边S
√
如果两个三角形的两组对应边的比相 两边对应成比例,且夹角相等, 等,并且相应的夹角相等,那么这两个三 角形相似。 两三角形相似。
A
A1
B C
即: 如果
AB BC k, A1B1 B1C1
A
A1
B C
即: 如果 ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
B1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
如果两个三角形有一个内角对应相等, 那么这两个三角形一定相似吗?
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
C
A
D
AB BC AC 求证:∠BAD=∠CAE。 , 已知: AD DE AE
A
AB BC AC , 解:∵ AD DE AE
E
D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE
探究2
边S 角A 边S
AB BC 已知: A B B C k , 1 1 1 1
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。 (1)所有的等腰三角形都相似。 × √ (2)所有的等腰直角三角形都相似。 (3)所有的等边三角形都相似。√ (4)所有的直角三角形都相似。 × √ (5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 × √ (7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。 (8)相似的两个三角形一定大小不等。 ×
∠B =∠B1 . 求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C
B1
C1 你能证明吗?
知识要点
判定三角形相似的定理之二
边S 角A 边S
√
如果两个三角形的两组对应边的比相 两边对应成比例,且夹角相等, 等,并且相应的夹角相等,那么这两个三 角形相似。 两三角形相似。
A
A1
B C
即: 如果
AB BC k, A1B1 B1C1
A
A1
B C
即: 如果 ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
B1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
如果两个三角形有一个内角对应相等, 那么这两个三角形一定相似吗?
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
C
A
D
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项:在解题过程中,要确保已知的三边长度是准 确的,避免因为数据不准确而导致错误。同时,要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四:综合应用举例
• 解题思路:综合运用相似三角形的性质和判定方法,解决 复杂的实际问题。
典型例题四:综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题,确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法;
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质,求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比,计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式,利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质,解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法, 如代数运算、方程求 解等,提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ,选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一:已知两边求第三边长度
解题思路:利用相似三角形的性质, 即对应边成比例,可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ;
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角;
注意事项:在解题过程中,要确保已 知的两边和夹角是对应的,避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二:已知两角求第三角大小
01
解题思路:根据三角形内角和为180°的性质,可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式;
02
解题步骤
对应角相等,对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
九年级数学人教版下册用三边关系判定三角形相似课件
AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm, A′B′= 12 cm,B′C′= 18 cm,A′C′=24 cm. 解: ∵ A B = 4 1 , B C 6 1 , A C = 8 1 ,
A B 1 23B C 1 83A C 2 43 ∴AB= BC AC.
AB BC AC
∴△ABC ∽△A'B'C'.
解:设另外两条边长分别是x cm和y cm(x<y),由题意得
4 2= 5 x= 6 y或 5 2= 4 x= 6 y或 6 2= 4 x= 5 y, 解得xy= =352,或xy= =18552,或xy= =5343,
因此另外两条边长应当分别是 5 cm和3 cm或 8 cm和 1 2 cm
2
5
5
儿童有无抱负,这无关紧要,可成年人则不可胸无大志。
贫 心穷志是要一 坚切 ,是艺 意术 趣1职 要)业 乐,的 。母每亲。个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小
有志登山顶,无志站山脚。
有志者自有千方百计,无志者只感千难万难。
正方形的顶点上),是相似三角形的为( ) 志不立,天下无可成之事。
【点拨】设小正方形的边长为 1,则“帅”“相”“兵”所在位置的格
点构成的三角形的三边长分别 2,2 5,4 2.“车”“炮”之间的距
离为 1,“炮”②之间的距离为 5,“车”②之间的距离为 2 2,
∵ 5 =2 25 4
22=12,∴“马”应该落在②处.
【答案】B
7.如图,正方形网格中有三个三角形,其中相似的是( B ) A.A 与 B B.A 与 C C.B 与 C D.A,B,C 都相似
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。
解:由勾股定理知AC= ,BC=2,AB=
A B 1 23B C 1 83A C 2 43 ∴AB= BC AC.
AB BC AC
∴△ABC ∽△A'B'C'.
解:设另外两条边长分别是x cm和y cm(x<y),由题意得
4 2= 5 x= 6 y或 5 2= 4 x= 6 y或 6 2= 4 x= 5 y, 解得xy= =352,或xy= =18552,或xy= =5343,
因此另外两条边长应当分别是 5 cm和3 cm或 8 cm和 1 2 cm
2
5
5
儿童有无抱负,这无关紧要,可成年人则不可胸无大志。
贫 心穷志是要一 坚切 ,是艺 意术 趣1职 要)业 乐,的 。母每亲。个网格中均有一个“格点三角形”(三角形的顶点在小
有志登山顶,无志站山脚。
有志者自有千方百计,无志者只感千难万难。
正方形的顶点上),是相似三角形的为( ) 志不立,天下无可成之事。
【点拨】设小正方形的边长为 1,则“帅”“相”“兵”所在位置的格
点构成的三角形的三边长分别 2,2 5,4 2.“车”“炮”之间的距
离为 1,“炮”②之间的距离为 5,“车”②之间的距离为 2 2,
∵ 5 =2 25 4
22=12,∴“马”应该落在②处.
【答案】B
7.如图,正方形网格中有三个三角形,其中相似的是( B ) A.A 与 B B.A 与 C C.B 与 C D.A,B,C 都相似
雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。
解:由勾股定理知AC= ,BC=2,AB=
人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】
A
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些?
方法1:通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2:平行于三角形一边的直线.
方法3:三边对应成比例.
方法4:两边成比例且夹角相等. 方法5:两角分别相等.
A
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些?
方法1:通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2:平行于三角形一边的直线.
方法3:三边对应成比例.
方法4:两边成比例且夹角相等. 方法5:两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗?
相似三角形的判别方法: 两角分别相等的两个三角形相似.
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的,那么它们是否 一定相似?
相似三角形的判别
用数学符号表示: ∵∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ,就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B=∠ADE) (或者∠C=∠AED)
2.如图,在□ABCD中,EF∥AB,
DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长.
人教版数学九年级下册27用角的关系判定三角形相似课件(56张)
那么,满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 吗?
事实上,这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C=90°, ∠C′=90°, AB AC ,
AB AC
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
分析:要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ,可设法证
巩固新知
1 底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等
腰三角形呢?证明你的结论.
解:底角相等的两个等腰三角形相似.已知:在△ABC中,AB=AC, 在△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且∠B=∠B′. 求证: △ABC∽△A′B′C′.证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C, 同理∠B′=∠C′.又∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似.已知:在 △ABC中,AB=AC,在△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且∠A=∠A′.求 证:△ABC∽△A′B′C′.证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B= ∠C,同理∠B′=∠C′.又∵∠B= 180- A ,∠B′= 180- A , ∠A=∠A′,∴∠B=∠B′.又∵∠A=∠2 A′,∴△ABC∽△2A′B′C′.
解:由题意,得∠D=∠C=90°.
①当 A D D P 时,△ADP∽△PCQ, PC CQ 1
等,两组直角边对应成比例,斜边和一直角边对应
D∠C.′=∵A9B0°=,10,AC=83,k∴由和勾股4定k理(k可是得BC正=6整. 数)为直角边的直角三角形一定与
直角三角形相似的判定定理:
Rt△ABC相似吗?为什么? ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
又∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.
事实上,这两个直角三角形相似.下面我们给出证明. 如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∠C=90°, ∠C′=90°, AB AC ,
AB AC
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
分析:要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ,可设法证
巩固新知
1 底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等
腰三角形呢?证明你的结论.
解:底角相等的两个等腰三角形相似.已知:在△ABC中,AB=AC, 在△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且∠B=∠B′. 求证: △ABC∽△A′B′C′.证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C, 同理∠B′=∠C′.又∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 顶角相等的两个等腰三角形相似.已知:在 △ABC中,AB=AC,在△A′B′C′中,A′B′=A′C′,且∠A=∠A′.求 证:△ABC∽△A′B′C′.证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B= ∠C,同理∠B′=∠C′.又∵∠B= 180- A ,∠B′= 180- A , ∠A=∠A′,∴∠B=∠B′.又∵∠A=∠2 A′,∴△ABC∽△2A′B′C′.
解:由题意,得∠D=∠C=90°.
①当 A D D P 时,△ADP∽△PCQ, PC CQ 1
等,两组直角边对应成比例,斜边和一直角边对应
D∠C.′=∵A9B0°=,10,AC=83,k∴由和勾股4定k理(k可是得BC正=6整. 数)为直角边的直角三角形一定与
直角三角形相似的判定定理:
Rt△ABC相似吗?为什么? ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
又∵∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.
相似三角形的判定(三边对应成比例)(第四课时)课件
相似三角形对应边的比值 称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等, 对应边成比例,面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角角定理
如果两个三角形对应的三个角 分别相等,则这两个三角形相
似。
边边角定理
如果两个三角形对应的两边和 夹角分别相等,则这两个三角 形相似。
三边对应成比例定理
如果两个三角形三边对应成比 例,则这两个三角形相似。
03
课堂练习与解析
基础练习题
总结词:巩固基础
练习一:已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5,三角形DEF的三边长分别为6、8、10, 判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
练习二:已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,三角形DEF的三边长分别为ma、mb、 mc (m为正实数),判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
判定定理的应用
通过判定定理可以判断两个三 角形是否相似,也可以证明两
个三角形相似。
02
三边对应成比例的判ຫໍສະໝຸດ 方 法判定定理的推导已知两个三角形ABC和A'B'C',如果AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C',则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
证明:由于AB/A'B' = BC/B'C',根据相似三角形的性质,角B = 角B'。同理,由于AC/A'C' = BC/B'C',角C = 角C'。因此, 三角形ABC与三角形A'B'C'在角B、角C和角B'、角C'上分别相等,根据相似三角形的定义,三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等, 对应边成比例,面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角角定理
如果两个三角形对应的三个角 分别相等,则这两个三角形相
似。
边边角定理
如果两个三角形对应的两边和 夹角分别相等,则这两个三角 形相似。
三边对应成比例定理
如果两个三角形三边对应成比 例,则这两个三角形相似。
03
课堂练习与解析
基础练习题
总结词:巩固基础
练习一:已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5,三角形DEF的三边长分别为6、8、10, 判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
练习二:已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,三角形DEF的三边长分别为ma、mb、 mc (m为正实数),判断三角形ABC与三角形DEF是否相似。
判定定理的应用
通过判定定理可以判断两个三 角形是否相似,也可以证明两
个三角形相似。
02
三边对应成比例的判ຫໍສະໝຸດ 方 法判定定理的推导已知两个三角形ABC和A'B'C',如果AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C',则三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
证明:由于AB/A'B' = BC/B'C',根据相似三角形的性质,角B = 角B'。同理,由于AC/A'C' = BC/B'C',角C = 角C'。因此, 三角形ABC与三角形A'B'C'在角B、角C和角B'、角C'上分别相等,根据相似三角形的定义,三角形ABC与三角形A'B'C'相似。
人教版_《相似三角形的判定》PPT经典课件1
AD AE DE AD AE DE 如图,直线 a∥b∥c,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可以得出图中对应成比例的线段. A.AC=AB=BC B.AB=AC=BC 可以将 DE 平移到BC 边上去
∵DE是⊙O的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB, 要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ,我们需要证明什么? 12.如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,连接DE,
△ADE 与△ABC 之间有什么关系?平行移动DE 的位置,结论还成立吗?
A
D
E
B
C
通过度量,我发现△ADE∽△ABC,且
只要DE∥BC,这个结论恒成立.
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ,
理解相似三角形的概念。
我们需要证明什么? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长,它们的边长是否对应成比例?
些成比例线段?
把图中的部分线擦去,得到新的图形,刚刚所说的线段
是否仍然成比例?
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
B1 A1
A2(B2)
A3
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线),所得的对应线段成比例.
巩固新知
C AB//CD AB//CD//EF
AB//CD//EF
合作探究
新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 人教版 · 数学· 九年级(下)
分别度量△ADE 与△ABC 的边长,它们的边长是否对应成比例?
∵ 四边形DFCE为平行四边形,
7.(2019·贺州)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,
几何语言: 由前面的结论,我们可以得到什么?还需证明什么?
∵DE是⊙O的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB, 要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ,我们需要证明什么? 12.如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,连接DE,
△ADE 与△ABC 之间有什么关系?平行移动DE 的位置,结论还成立吗?
A
D
E
B
C
通过度量,我发现△ADE∽△ABC,且
只要DE∥BC,这个结论恒成立.
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ,
理解相似三角形的概念。
我们需要证明什么? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长,它们的边长是否对应成比例?
些成比例线段?
把图中的部分线擦去,得到新的图形,刚刚所说的线段
是否仍然成比例?
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
B1 A1
A2(B2)
A3
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线),所得的对应线段成比例.
巩固新知
C AB//CD AB//CD//EF
AB//CD//EF
合作探究
新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 人教版 · 数学· 九年级(下)
分别度量△ADE 与△ABC 的边长,它们的边长是否对应成比例?
∵ 四边形DFCE为平行四边形,
7.(2019·贺州)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,
几何语言: 由前面的结论,我们可以得到什么?还需证明什么?
人教版数学九年级下册《 三边成比例的两个三角形相似》PPT课件
例 2 判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
C
3
3.5
4
A
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解:在 △ABC 中,AB > BC > CA;
在 △DEF 中,DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6,EF 2.1 0.6,FD 1.8 0.6,
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
∴ BC 2 = AB 2-AC 2 = ( 2 A′B′ )2-( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2-4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2-A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴
BC=2B′C′,BB'CC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
巩固练习
如图,△ABC中,点 D,E,F 分别是 AB,BC,CA
的中点,求证:△ABC∽△EFD.
证明:∵△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,
CA的中点,
∴
DE
1 2
AC,DF
1 2
BC,EF
=
1 2
AB,
∴
DE AC
DF BC
=
EF AB
=
1, 2
∴ △ABC∽△EFD.
探究新知
考点 3 利用三角形相似说明角相等
AB BC AC
D
E
又
AB A' B'
BC B' C'
AC A' C'
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳: 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言:
∵
AB A' B'
AC A' C
'
,∠A=∠A′,
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′,如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′, 这两个三角形一定会相似吗?
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°,∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图,△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形,AD =
AE,AB = AC,∠DAB =∠CAE. 求证:△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证:△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明:在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D, 使 A′D = AB.过点 D 作 DE∥B′C′, D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′,∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A' =40°,A'B' =16, A'C' =30 ,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理 由.
人教版数学九年级下册第二十七章第二节相似三角形的判定(第三课时)课件
例2. 已知:如图,∠ABD=∠C,AD=2, AC=8,求AB.
解: ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
在Rt△ABC的斜边AB上有一点P(点 P与点A,B不重合),过点P作直线 截得的三角形与△ABC相似,想一 想满足条件的直线共有多少条?试 画出图形并简要说明理由. 思考:若三角形为任意三角形,点P 为三角形任意一边上的点,则这样 的直线有几条? 我们来试一试…
相 似
三个内角对应相等.
三个内角对应相等的两个三 角形一定相似吗?
探究4
与同伴合作,一人先画△ABC, 另一人再画△A′B′C′,使得 ∠A= ∠A′, ∠B= ∠B′.比较 你们所画的两个三角形, ∠C= ∠C′ 吗?对应边之比 改变这两个三角形 AB , AC , BC AB边的大小,而不改 AC BC 相等吗?这样的两个三角形相 似吗?
课堂小结
相似图形三角形的判定方法:
通过定义 (三边对应成比例,三角相等) 平行于三角形一边的直线 三边对应成比 (SSS) 两边对应成比例且夹角相等(SAS) 两角对应相等 (AA) 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 (HL)
再
见
你能证明吗?
角A 角A 边 S 角A 角A 边 S 已知: ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
求证:△ABC∽△A1B1C1.
A
角 A 角 A
A1
B
C
B1
C1
思考
H L
已知: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1,
解: ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
在Rt△ABC的斜边AB上有一点P(点 P与点A,B不重合),过点P作直线 截得的三角形与△ABC相似,想一 想满足条件的直线共有多少条?试 画出图形并简要说明理由. 思考:若三角形为任意三角形,点P 为三角形任意一边上的点,则这样 的直线有几条? 我们来试一试…
相 似
三个内角对应相等.
三个内角对应相等的两个三 角形一定相似吗?
探究4
与同伴合作,一人先画△ABC, 另一人再画△A′B′C′,使得 ∠A= ∠A′, ∠B= ∠B′.比较 你们所画的两个三角形, ∠C= ∠C′ 吗?对应边之比 改变这两个三角形 AB , AC , BC AB边的大小,而不改 AC BC 相等吗?这样的两个三角形相 似吗?
课堂小结
相似图形三角形的判定方法:
通过定义 (三边对应成比例,三角相等) 平行于三角形一边的直线 三边对应成比 (SSS) 两边对应成比例且夹角相等(SAS) 两角对应相等 (AA) 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 (HL)
再
见
你能证明吗?
角A 角A 边 S 角A 角A 边 S 已知: ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
求证:△ABC∽△A1B1C1.
A
角 A 角 A
A1
B
C
B1
C1
思考
H L
已知: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1,
人教版九年级下册数学精品教学课件 第二十七章 相似 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′,使
∠A =∠A′, AB AC k. 量出 BC 及 B′C′ 的长,它
A' B' A' C'
们的比值等于 k 吗?再量一量两个三角形另外的两个
角,你有什么发现?△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系?
∴ AD = AE,AB = AC.
∴ AD AE . AB AC
D E
又 ∵∠DAB =∠CAE,
B
C
∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE,
即∠DAE =∠BAC.∴△ABC∽△ADE.
例3 如图,D,E 分别是 △ABC 的边 AC,AB 上的点,
AE = 1.5,AC = 2,BC = 3,且 AD 3 ,求 DE 的长. AB 4
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′,∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB, AB AC , A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A, ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
典例精析
例 1 根据下列条件,判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相
课件_人教版[九下]数学_三边成比例的两个三角形相似PPT课件_优秀版
= ∠DAE -∠DAC,
第2课时 三边成比例的两个三角形相似 ∴△ABC∽△A′B′C′ .
要运用三边成比例判断相似,
∴
,
.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理:
学习目标
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法,并能进
解:不相似.理由如下: ∵ A A B B 1 5 51 3,B B C C =2 7 11 3,A A C C = 2 8 3, ∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例, ∴不相似.
2. 如图,在大小为4×4的正方形网格中,有两个三 角形,它们是否相似?请说明理由.
解:相似, 图①中的三角形三边分别为 2 ,2 , 1 0 ;
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
任意画一个 △ABC ,再画一个 △A′B′C′,使它的各 边长都是原来△ABC 的各边长的k倍,动手量一量这两 个三角形的角,它们分别相等吗?这两个三角形相似吗?
A′
A
B
C B′
C′
A′
A
三边成比例的两个三角形相似.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理:
注意:计算时最长边与最长边对应,最短边与最短边对应.
- ∵
AB=5 cm ,BC =7 cm ,AC =8 cm,
,
DE > EF > FD.
如=由DE∠图此D4>∴, 我AEE△们FA-A得>BB′∠F到CCDD利中C.A′C用,=,2三点2边D=判,B定E′,4三CF角(分′形,别A相是似′B BA的B定,′'理C B2C:-,'C AA′1C′2 )A='B4'B′CA′ '2C='.( 2 B′C′ )2.
人教版九年级数学下册相似三角形全章课件
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
A A′
B
B′ C
C′
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
【例】在△ABC和△A′B′C′中,已知:AB=6cm,BC= 8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′ =30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似.
A C
B
D
P2 P3
P1 P4
E
P5 F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理,
得
, ,BC=5;
,,
.
∵
,∴ △ABC∽△DEF.
(2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.
A C
B
P3 E
D P1 P2
P4
P5 F
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,
△P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
4.(成都中考)如图,已知线段AB∥CD,AD与B
C相交于点K,E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC,
求 的值;
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE= AD时,猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明.再探究:当AE= AD (n>2),而其余
MN∥AB交BC于N,量得MN=38cm,则AB的长为 152c . m
2.如图,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC, (1)请找出图中所有的相似三角形;
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
(2)如果AD=1,DB=3,那么DG:BC=_1_:_4__. A
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(1)AB=3, BC=4, AC=6.
否
DE=6, EF=8, DF=9.
(2)AB=4, BC=8, AC=10. 是 DE=20, EF=16, DF=8.
(3) AB=12, BC=15, AC=24.
否
DE=16, EF=20, DF=30.
(注意:大对大,小对小,中对中.)
例2 如图,在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中,
解:
AB A' B '
4 1 12 3
BC B'C '
6 18
1 3
AC A'C '
8 21
AB BC AC A'B' B'C ' A'C '
∴△ABC与△A´B´C´不相似.
2.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么三角形相似.
设1个小方格的边长为1,则
∴△ABC∽△EFD.
课堂小结
利用三边判定两个三角形相似
三边成比例 的两个三角
形相似
相似三角形的判定定理的运用
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前言
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A
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
AB 4, BC 10, AC 2; AB AC BC 2 2.
AB AC BC 1 △ ABC与△ ABC相似.
C
A′
B′
C′
3.如图,△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点,求证:△ABC∽△EFD. 证明:∵△ABC中,点D、E、F分 别是AB、BC、CA的中点,
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, A
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∵ DE∥BC ,∴△ADE∽△ABC.
D
∵A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA, B
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解:在△ABC 中,AB>BC>CA,在△DEF中,DE>EF>FD.
∴ △ABC∽ △DEF.
方法归纳
判定三角形相似的方法之一:如果题中给出了两个三角形 的三边的长,分别算出三条对应边的比值,看是否相等, 计算时最长边与最长边对应,最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
A
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°, ∴∠CAE=20°.
C
D E
当堂练习
1.根据下列条件,判断△ABC与△A´B´C´是否相似:
AB=4cm ,BC =6cm ,AC =8cm,A´B´=12cm ,
B´C´=18cm ,A´C´=21cm.
∴DE:BC=B′C′:BC, EA:CA=C′A′:CA.
A′
因此DE=B′C′, EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′,
B′ ∴△A′B′C′∽△ABC.
E C
C′
归纳
由此得到三角形的判定定理:
三边成比例的两个三角形相似.
典例精析
例1 判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
C
3
3.5
D
E
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法,我们能不能通过三边
来判定两个三角形相似呢?
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题:在下面两个三角形中,若 A' B' B' C' A' C' ,
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′?. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'.
第二十七章
九年级数学下(RJ) 教学课件
相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理; 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.(重点、难点)
导入新课
回顾与思考
A
问题 如图,DE∥BC,△ADE∽△ABC?
∠C =∠C ′= 90°,且 A' B ' A'C ' 1 . AB AC 2
求证:△ A′B′C′∽△ABC.
证明:由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2
= 4A′B′2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 由此得出,BC=2B′C′,
从而 B 'C ' 1 A' B ' A'C ' .
BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
例3 如图,在△ABC和△ADE中,AB BC AC .
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解:∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).