【附20套高考模拟试题】2020届河南省高考数学模拟试卷含答案
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，则|z|=()A. √55B. √525C. 125D. 153.CPI是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1月−7月的CPI同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2月与2017年2月相比较，叫同比；2018年2月与2018年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是()A. 2018年1月−7月CPI有涨有跌B. 2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳C. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月CPI涨幅最大D. 2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI有涨有跌4.已知命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018，则￢p为()A. ∃x0∈[0,+∞)，使得x02019<x02018B. ∀x∈[0,+∞)，使得x2019≥x2018C. ∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018D. ∀x∈(−∞,0)，使得x02019<x020185.已知向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为()A. 0B. 2C. −2D. 2或−26.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于()A. 12B. 1C. 2D. 47. 已知x 与y 之间的一组数据如右表，根据表中提供的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.8x +0.5，那么t 的值为x 2 4 6 8 y345tA. 5B. 6C. 7D. 88. 已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，则这个三棱锥的体积是( )A. 13cm 3B. 23cm 3C. 43cm 3D. 83cm 39. 在区域{x +y −√2≤0x −y +√2≥0y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A. π8B. π6C. π4D. π210. 函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则φ等于( )A. π6B. −π6C. π3D. −π311. 有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P ，Q ，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是( )A. 第一张，第三张B. 第一张，第四张C. 第二张，第四张D. 第二张，第三张12. 已知f(x)=x 2+ax +3ln x 在(1,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2√6]B. [−2√6,+∞)C. (−∞,√62]D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)在(1,f(1))处的切线方程为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为______．15.△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=15，则sin∠BAC= ______ ．16.A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中∠BAC=π2,AB=AC,AD⊥平面ABC，AD=2，BC=√6，则该球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{2a n}的公比为2，且a4+a32=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求数列{1(2a n−1)(2n−1)}的前n项和S n．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，D，E分别为BC，CC1的中点，AA1=AC=AB=2，BC=3．(Ⅰ)证明：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)求三棱锥E−A1BC的体积．19.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度(单位：cm).经统计，高度均在区间[20,50]内，将其按[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm 的树苗为优质树苗．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2√3,√3)且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求弦长|AB|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 2+2x ，g(x)=xe x ．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x ∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=4，M 为曲线C 2上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={0,2,4}，所以A∩B={0,2}．故选B．2.答案：D解析：解：复数z满足z(3−4i)=1(i是虚数单位)，可得|z(3−4i)|=1，即|z||3−4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=1，5故选：D．直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：解：对于A：2018年1月−7月CPI有4，7月涨有2，3，5，6，跌，故A正确；对于B：2018年2月−7月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，涨跌幅均在±0.1，0.2，故B正确；对于C：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，1月涨幅2.5，其值最大，故C正确；对于D：2018年1月−7月分别与2017年1月一7月相比较，CPI全部上涨，故D错误．故选：D．根据同比和环比的概念逐项分析可得．本题考查统计图的应用，属中档题．4.答案：C解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，为基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题命题p：对∀x∈(−∞,0)，x2019<x2018为全称命题，则命题的否定为：∃x0∈(−∞,0)，使得x02019≥x02018，故选：C．5.答案：C解析：解：∵a⃗=(1,−1),b⃗ =(m,2)，且a⃗//b⃗ ，∴1×2−(−1)×m=0，解得m=−2故选：C由向量的平行可得1×2−(−1)×m=0，解方程可得．本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．6.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．利用双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，可得b1=2，即可求出b的值．解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，∴b1=2，∴b=2，故选：C．7.答案：B解析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论，本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．解：由题意，x=2+4+6+84=5，y=3+4+5+t4=12+t4，代入线性回归方程ŷ=0.8x+0.5，可得12+t4=0.8×5+0.5，解得t=6．故选B．8.答案：C解析：【试题解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，且BD=DC=1，AD=2，面PBC⊥面ABC，PD=2为棱锥的高，所以V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×2×2×2=43cm3．故选C．俯视图是等腰三角形，且内部有一条实线，该实线是三棱锥的一条侧棱在地面上的垂直投影，所以棱锥顶点在底面的射影为底面三角形一边的中点，结合正视和左视图即可还原得到原图形，底面积可求，高已知，则体积可求．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是由三视图还原得到原几何体，由三视图得原几何体的方法是，先看俯视图，结合正视图和左视图．此题是基础题．9.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则B(−√2,0)，C(√2,0)，A(0,√2)，则△ABC的面积S=12×√2×2√2=2，点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=12×π×12=π2，则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为π22=π4，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得π3+φ=kπ，k∈Z，由此根据|φ|<π2求得φ的值．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得π3+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<π2得φ=−π3，故选：D．11.答案：B解析：解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的单调性.属于一般题．先对函数进行求导，然后根据二次函数的性质可列不等式，进而求得a的范围．解：由题意得f′(x)=2x+a+3x =2x2+ax+3x≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔g(x)=2x2+ax+3≥0在(1,+∞)上恒成立，⇔Δ=a2−24≤0或{−a4≤1, g(1)≥0⇔−2√6≤a≤2√6或a≥−4，综上实数a的取值范围为a≥−2√6．故选B．13.答案：2x+y−2=0解析：解：函数f(x)=(x+1)lnx−4(x−1)的导数为f′(x)=lnx+x+1x−4，可得在(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=ln1+2−4=−2，切点为(1,0)，则在(1,f(1))处的切线方程为y−0=−2(x−1)，即为2x+y−2=0．故答案为：2x+y−2=0．求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．本题考查函数导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．14.答案：x24−y23=1解析：解：由题得，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c=√7：且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca⇒a=2.⇒b2=c2−a2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．先利用双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在做关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a 最大，而双曲线中c 最大．15.答案：√155解析：解：设AC =b ，AB =c ，BM =a 3，MC =2a 3，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得：a3sin∠BAM=csin∠AMB ，代入解得：sin∠AMB =3c5a ，cosβ=cos(π2−∠AMC)=sin∠AMC =sin(π−∠AMC)=sin∠AMB =3c5a ， 在RT △ACM 中，cosβ=AC AM =√(23a)+b ，√(23a)+b =3c5a ，由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，化简整理得：(2a 2−3b 2)2=0， a =√62b ，c =√102b ， 在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√6b2√10b 2=√155． 故答案为：√155．在△ABM 中，由正弦定理可知，sin∠AMB =3c 5a，进而可得cosβ=3c5a ，在RT △ACM 中，还可得cosβ=√(23a)2+b 2，建立等式后可得a =√62b ，c =√102b ，在RT △ABC 中，sin∠BAC =a c=√155． 本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．16.答案：10π解析：解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心F 、E 连线的中点O 与A 的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=√3，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=12BC=√62，∴球半径AO=√32+1=√52．所求球的表面积S=4π(√52)2=60π．故答案为：10π画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：(1)依题意可得：2a n+12a n=2a n+1−a n=2，则a n+1−a n=1，从而数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a4+a32=a1+3+(a1+2)2=21，∴a1=2或a1=−7，当a1=2时，a n=n+1，当a1=−7时，a n=n−8.(2)因为a1>0，所以a n=n+1，1(2a n−1)(2n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，则S n=12(1−13+13−1 5+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查数列的基本运算，等差数列的通项公式以及裂项相消法求和．(1)由等比数列的概念得到{a n}为等差数列，由通项公式求得{a n}的通项；(2)直接对通项裂项，由裂项相消法求和即可．18.答案：(Ⅰ)证明：设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，∵D为BC的中点，∴OD是△A1CB的中位线，∴OD//A1B，∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，∴A1B//平面ADC1；(Ⅱ)解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BB1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD，又BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BCE，∴AD⊥平面BCE，又AD=√AB2−BD2=√72，S△BCE=12×3×1=32．∴V E−A1BC=V A1−EBC=13S△EBC⋅AD=13×32×√72=√74．解析：本题考查线面平行的判定，考查多面体体积的求法，属于中档题．(Ⅰ)设A1C与AC1相交于O点，连接OD，则O为A1C的中点，由三角形中位线定理可得OD//A1B，再由线面平行的判定可得A1B//平面ADC1；(Ⅱ)由题意得到AD⊥BC和BB1⊥AD，进而证明AD⊥平面BCE.由勾股定理求得AD，再求出三角形BEC的面积，由等体积法求三棱锥E−A1BC的体积．19.答案：解：(1)根据概率的性质可得：(a+3a+0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a=0.01．(2)2×2列联表如下：K2=100×(5×25−20×50)255×45×25×75，≈16.50>10.828．所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．解析：本题考查了独立性检验，属于中档题．(1)根据概率的性质可得：(a +3a +0.04+0.07+0.04+a)×5=1，解得a =0.01； (2)根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．20.答案：解：(1)由题意知c a =12,(2√3)2a 2+(√3)2b2=1，又因为c 2+b 2=a 2，解得a 2=16，b 2=12．则椭圆标准方程为x 216+y 212=1；(2)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形， 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：P(4,0)，A(2,3)，B(2,−3)或者P(−4,0)，A(−2,3)，B(−2,−3)， 此时|AB|=6，②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)， 将直线y =kx +m 代入C 的方程得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 故x 1+x 2=−8km3+4k 2,x 1x 2=4m 2−483+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2， 则x 0=−8km 3+4k ，y 0=y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m 3+4k 2，即P(−8km 3+4k ,6m3+4k )， 因为P 在椭圆上，有(−8km 3+4k 2)216+(6m 3+4k 2)212=1，化简得m 2=3+4k 2，验证，△=64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−12)=144m 2>0， 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2=−8k m,x 1x 2=4m 2−483+4k 2=4m 2−48m 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，即14<14+14(3+4k 2)≤13，得6<|AB|≤4√3， 综上可得，弦长|AB|的取值范围为[6,4√3]．解析：(1)根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆的标准方程； (2)由题意可知四边形OAPB 为平行四边形，设直线l 过A 、B 两点，对直线l 的斜率分情况讨论，若直线l 垂直于x 轴此时|AB|=6，若直线l 不垂直于x 轴，设l ：y =kx +m(m ≠0)，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P(−8km3+4k 2,6m3+4k 2)，代入椭圆方程得到m 2=3+4k 2，再利用弦长公式求出|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=12√1+k 2|m|=12√1+k 23+4k 2=12√14+14(3+4k 2)，因为3+4k 2≥3，则0<13+4k 2≤13，解得6<|AB|≤4√3．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 23.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2， 所以实数m 的最大值M =2； ( 2)由(1)知a 2+b 2=2， 又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号， 又∵√ab a+b≤12，∴ab a+b ≤√ab2②，当且仅当a =b 时取等号，由①②得aba+b ≤12， 所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．。
【附20套高考模拟试题】2020届河南省开封高中高考数学模拟试卷含答案
（Ⅰ）因为 底面 ， 平面 ，所以
又因为正方形 中， ，
所以 平面
又因为 平面 ，所以
因为 分别是 、 的中点，所以
所以
（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知， ， ， 两两垂直，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，设 ，
， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
，解得
设直线 与平面 所成角为 ，则
1.设复数 ，则复数 的共轭复数的模为( )
A． B．1C．2D．
2.设全集 ，函数 的定义域为M，则 为( )
A. B. C. D.
3．偶函数 在 上单调递减，则 的大小关系是( )
A B C D不能确定
4．已知 为等差数列且公差 ，其首项 ，且 成等比数列， 为 的前 项和， ，则 的值为( )
设 ，则由题意知 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，令 ，则 ， ，
所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，
由题意： ，所以 .
由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
易知在 中， ，从而 ，
所以直线 与平面 所成的角为 .
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【解析】
【分析】
（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】
（1）设数列{an}的公差为d，
2020年河南省高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4，5，6}，集合A={0,1，3，5}，B={2,3，6}，则A∪(C U B)=()A. {3}B. {0,1，3，4}C. {0,1，3，4，5}D. {0,1，2，3，5，6}2.设z=21+i+2i，则z−的虚部是()A. 2B. 1C. −2D. −13.在等比数列{a n}中，a1=1，q=2，a n=16，则n等于()A. 3B. 4C. 5D. 64.椭圆x2m2+y23−m=1的一个焦点为(0,1)，则m的值为()A. 1B. −1±√172C. −2或1D. 以上均不对5.已知向量a→与b→满足|a⃗|=|b⃗ |=2，且b⃗ ⊥(2a⃗+b⃗ )，则向量a→与b→的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a3=4，S6=10，则a5=()A. 2B. 169C. 209D. 737.函数f(x)=cos2(34π−x)−12在下列区间单调递增的为()A. (0,π4) B. (0,π2) C. (π6,π3) D. (π4,π2)8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. π+412B. π+13C. π+1D. π+449.命题p：∀x>0，x2−2x+1>0；命题q：∃x0>0，x02−2x0+1≤0，下列选项真命题的是()A. ￢p∧qB. p∧qC. p∨￢qD. ￢p∧￢q10.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y=f(x)是减函数，若|x1|<|x2|，则()A. f (x 1)−f (x 2)<0B. f (x 1)−f (x 2)>0C. f (x 1)+f (x 2)<0D. f (x 1)+f (x 2)>011. 设点(a,b)是区域{x +y −4≤0x >0y >0内的任意一点，则使函数f(x)=ax 2−2bx +3在区间[12,+∞)上是增函数的概率为( )A. 13B. 23 C. 12 D. 1412. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段BC 1的中点，则A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为( )A. √22B. √63C. √32D. √53二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．14. 如图所示的程序框图，若输入a =2，b =−1，c =5，则输出结果为__________．15. 已知直线y =kx 是曲线y =ln x 的切线，则k 的值为__________． 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，左顶点为A ，过点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则双曲线的离心率为______. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(b +c)2−a 2=tan75°bc(Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若a =2，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (Ⅲ)若b =2，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．18.自2018年河北省进行高考改革后，高中生的生涯规划教育显得特别重要．某市组织全体教师举行了一次“生涯规划知识竞赛”.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60,65]，第二组[65,70)…第八组[95,100]，得到的频率分布直方图如图．(1)若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x−y|≤5的事件的概率；(2)为了奖励教师，该市决定给测试成绩在[90,100]内的教师发放奖金，其中测试成绩在[90,95]内的教师可获得奖金5000元，测试成绩在[95,100]内的教师可获得奖金10000元，现在对这50人成绩在[90,100]内的教师中随机抽取3人进行回访，求此3人获得奖金的总和X(单位：元)的分布列和数学期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：CB⊥PD；(Ⅱ)求二面角C−PB−A的余弦值．20.已知焦点为F的抛物线C：x2=2py(p>0)过点M(2,m)，且|MF|=2．(1)求p，m；(2)过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．21.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)−2x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的−1<x <0，都有f(x)<(a −2)x ，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −1)2+y 2=1，圆C 2：(x −3)2+y 2=9.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)设曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数且t ≠0)，C 3与圆C 1，C 2分别交于A ，B ，求S △ABC 2的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(1)解不等式f(x)+x >0；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2a 2−5a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的运算.先求补集再求并集．【解答】解：C U B={0,1,4,5}，所以A∪(C U B)={0,1,4,5}∪{0,1，3，5}={0，1，3，4，5}．故选C．2.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等比数列通项公式的运用，运用等比数列通项公式求所在项，考查了对公式的逆用能力，属于基础题．【解答】解：根据a1=1，q=2，得到等比数列通项公式为a n=2n−1，∴根据a n=2n−1=16，解得：n=5，故选C．4.答案：C解析：解：由题意，3−m−m2=1，∴m2+m−2=0，∴m=−2或1．故选C．椭圆的焦点在y轴上，利用几何量之间的关系建立方程，可求m的值．本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆几何量之间的关系，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．由题意可得2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=0，求得cosα=−1，可得向量a⃗与b⃗ 的夹角的值．2【解答】解：又b⃗ ⊥(2a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(2a⃗+b⃗ )=0，即2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=0．∵|a⃗|=|b⃗ |=2，∴2×2×2×cos<a⃗，b⃗ >+4=0，，解得cos<a⃗，b⃗ >=−12∴<a⃗，b⃗ >=2π，3，即向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，属于基础题．根据题意，利用等差数列的性质可得3a2=4，3(a2+a5)=10即可得出答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=4，∴3a2=4，即a2=4，3∵S6=10，∴6(a1+a6)2=3(a2+a5)=10，∴a5=2．故选A．7.答案：D解析：解：f(x)=cos2(34π−x)−12=2cos2(3π4−x)−12=12cos(3π2−2x)=−12sin2x，由2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，k∈Z，即函数单调递增区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z，当k=0时，函数的单调递增区间为[π4,3π4]，∵(π4,π2)⊆[π4，3π4]，∴∵(π4,π2)是函数的一个单调递增区间，故选：D．根据条件化简函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查三角函数单调区间的求解，结合三角函数的倍角公式进行化简，以及利用三角函数的单调性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1．∴该几何体的体积为14×13π×12×1+13×1×1=π+412．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1.再由锥体的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：A解析： 【分析】本题考查全称特称命题及复合命题的真假判定，属于一般题． 【解答】解：由题命题p ：x 2−2x +1=(x −1)2，当x =1时，命题不成立，故p 为假命题，命题q 中，当x =1时，满足条件，故，命题q 为真命题， 故选A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)是减函数， ∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∵|x 1|<|x 2|，∴f(|x 1|)<f(|x 2|)， ∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴f(|x 1|)=f(x 1)，f(|x 2|)=f(x 2)， ∴f(x 1)<f(x 2)，即f(x 1)−f(x 2)<0， 故选A ．由偶函数与单调性的关系和条件，判断出f(x)在(0,+∞)是增函数，由单调性得f(|x 1|)<f(|x 2|)，再利用偶函数的定义得到答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系的应用，考查分析、解决问题的能力，转化思想．11.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图 若f(x)=ax 2−2bx +3在区间[12,+∞)上是增函数， 则{a >0−−2b 2a =b a ≤12，即{a >0a −2b ≥0，则A(0,4)，B(4,0)，由{a +b −4=0a −2b =0得{a =83b =43， 即C(83,43)，则△OBC 的面积S =12×4×43=83． △OAB 的面积S =12×4×4=8．则使函数f(x)=ax2−2bx+3在区间[12,+∞)上是增函数的概率P=S△OBCS△OAB=838=13，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，求出函数f(x)=ax2−2bx+3在区间[12,+∞)上是增函数的等价条件，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的概率公式，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积是解决本题的关键．12.答案：B解析：【分析】本题考查线面角，属于基础题．找出A1P与平面BCC1B1所成的角为∠A1PB1，然后通过求出结果．【解答】解：设该正方体的棱长为1，连接B1P，则A1P与平面BCC1B1所成的角为∠A1PB1，设∠A1PB1=θ，则．故选B．13.答案：32解析：【分析】本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．【解答】解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．14.答案：−1解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法.该程序框图的功能是找出三个数中最小的数，所以逐一比较两数的大小即可，属于基础题．【解答】解：因为a=2，b=−1，c=5，所以根据程序框图可知，先令x=a，即x=2，再比较x与b的大小，因为x>b，所以令x=b，即x=−1，然后比较x与c的大小，因为x<c，所以直接输出x，故输出结果为−1．故答案为−1．15.答案：1e解析：【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y′=1，x设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为1m ，所以曲线在点(m,lnm)处的切线方程为： y −lnm =1m(x −m)．它过原点，∴−lnm =−1，解得m =e ，∴k =1e故答案为1e ．16.答案：2解析：解：右焦点为F 2(c,0)，左顶点为A(−a,0)， 令x =c ，可得y =±b √c 2a2−1=±b 2a，可设P(c,b 2a)，Q(c,−b 2a)，由AP ⊥AQ ，可得三角形APQ 为等腰直角三角形， 可得|AF 2|=12|PQ|， 即a +c =b 2a =c 2−a 2a，解得c =2a ，e =c a=2．故答案为：2．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质，化简运算能力，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)因为：tan75°=tan(45°+30°)=1+√331−√33=2+√3，所以：(b +c)2−a 2=tan75°bc ，展开后得：a 2=b 2+c 2−√3bc故cosA =√32，即A =30°…(4分)(II)由a =2，A =30°，得△ABC 外接圆直径2R =4，且点A 在优弧上任意运动． 由图：AD ⊥BC 于点D ，设有向线段BD 长为x ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x ， 由图可知：x ∈[−1,3]，故BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−2,6]…(8分) (III)设线段AC 中点为D ，AC =2，由图可知|BD|∈[12,+∞)．由：BA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=|BD|2−1，所以：BA ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−34,+∞).…(12分)解析：(Ⅰ)由已知得到tan75°，得到a 2=b 2+c 2−√3bc ，利用余弦定理解得；(Ⅱ)由a =2，A =30°，得△ABC 外接圆直径2R =4，且点A 在优弧上任意运动．设有向线段BD 长为x ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x ，由x 范围求得；(Ⅲ)设线段AC 中点为D ，由图可知|BD|∈[12,+∞).而BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BD 表示得到所求． 本题考查了余弦定理的运用、向量的数量积范围等知识，属于中档题．18.答案：解：(1)由直方图知第6组频率为0.016×5=0.08，第8组频率为0.008×5=0.04， 故第6组有4人，第8组有2人，从这6人中随机抽取2人，有C 62=15种情况，其中满足|x −y|≤5的2人必须来自同一组，共有C 42+C 22=7种情况，故满足|x −y|≤5的事件的概率为715；(2)由直方图知第7组频率为1−(0.008×2+0.016×2+0.04×2+0.06)×5=0.06， 故第7组共有3人，由(1)知第8组有2人，则从这5人中随机抽取3人，此3人获得奖金总和X(单位：元)的所有取值为15000，20000，25000， P(X =15000)=C 33C 53=110，P(X =20000)=C 32C 21C 53=35， P(X =25000)=C 31C 22C 53=310，所以随机变量X 的分布列为10+20000×35+25000×310=21000(元)．解析：本题考查频率分布直方图，古典概型的计算与应用及离散型随机变量分布列和期望，考查计算能力和分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图求出第6组有4人，第8组有2人，再故典概型计算满足|x −y|≤5的事件的概率即可；(2)由频率分布直方图求出第7组的人数3人，由(1)知第8组有2人，从这5人中随机抽取3人，此3人获得奖金总和X(单位：元)的所有取值为15000，20000，25000，由古典概型计算概率写出分布列，根据分布列求出数学期望．19.答案：(I)证明：连接AC ，BD ，设交点为O ，连接OP ， 则O 是BD 的中点，∵PA =PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC ， 又∵平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ∩平面ABCD =AC ，∴PO ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥PO ．∵AB =2AD =2，∠DAB =60°， ∴BD =√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BD ，又BC//AD ， ∴BC ⊥BD ，又PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD =O ， ∴BC ⊥平面PBD ，又PD ⊂平面PBD ， ∴BC ⊥PD ．(II)解：OA =√AD 2+OD 2=√72，∴PO =√PA 2−OA 2=32．以D 为原点，以DA ，DB ，及平面ABCD 过D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D −xyz ， 则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)抛物线C：x2=2py的焦点F(0,p2)，准线方程为y=−p2，由题意可得4=2pm，2=m+p2得m=1，p=2；(2)由y=x24得y′=x2，所以切线的斜率为1，切线方程为y=x−1，得N(0,−1)，由M(2,1)，F(0,1)，所以△MFN的面积是12×2×(1+1)=2．解析：(1)求得抛物线的焦点F，准线方程，运用抛物线的定义和点满足抛物线方程，解方程即可得到所求值；(2)求得y=x24的导数，可得切线的斜率，即有切线的方程，运用三角形的面积公式可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查切线的方程的求法，以及三角形的面积，考查运算能力，属于基础题．21.答案：解：(1)由题意知，f(x)的定义域是(−1,+∞)，f′(x)=2x+ax+1−2=2x2+a−2x+1．当a≥2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增．当a<2时，方程2x2+a−2=0的两根分别为x1=−√1−a2，x2=√1−a2，x1<x2，若0<a<2，则−√1−a2>−1，令f′(x)>0，则−1<x<−√1−a2，或x>√1−a2，令f′(x)<0，则−√1−a2<x<√1−a2；若a≤0，则−√1−a2⩽−1<√1−a2，令f′(x)>0，则x>√1−a2，令f′(x)<0，则−1<x<√1−a2．综上，当a≥2时，f(x)在(−1,+∞)上单调递增；当0<a<2时，f(x)在(−1,−√1−a2)，上单调递增，在(−√1−a2,√1−a2)上单调递减；当a≤0时，f(x)在(−1,√1−a2)上单调递减，在上单调递增．(2)令g(x)=f(x)−(a−2)x=x2+aln(x+1)−ax，因为对任意的−1<x<0，f(x)<(a−2)x恒成立，所以对任意的−1<x<0，g(x)<0恒成立．g′(x)=2x+ax+1−a=2x2+(2−a)xx+1=2x(x+1)−axx+1=2x(x+1−a2)x+1，当a≥2时，2−a≤0，又−1<x<0，所以(2−a)x≥0，所以g′(x)>0，g(x)在(−1,0)上是增函数，g(x)<g(0)=0，符合题意．当a≤0时，因为−1<x<0，所以−ax≤0，2x(x+1)<0，于是g′(x)=2x(x+1)−axx+1<0，g(x)在(−1,0)上是减函数，g(x)>g(0)=0，不符合题意．当0<a<2时，0<1−a2<1，令g′(x)=2x(x+1−a 2 )x+1<0，则a2−1<x<0，g(x)在(a2−1,0)上是减函数，所以当a2−1<x<0时，g(x)>g(0)=0，不符合题意．综上，a的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性与最值的关系，考查函数恒成立问题，考查转化思想的应用，属于中档题．(1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数f(x)的单调区间：(2)构造辅助函数，分类讨论，利用导数与函数单调性及最值的关系，即可求得g(x)的最值，根据函数恒成立即可求得a的取值范围．22.答案：解：(1)∵圆C1：(x−1)2+y2=1，∴x2+y2−2x=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：C1：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−2ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ；∵圆C2：(x−3)2+y2=9．∴C2：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−6ρcosθ+9=9，∴C2的极坐标方程ρ=6cosθ.…(4分)(2)依题意得|AB|=6cosα−2cosα=4cosα，−π2<α<π2，C2(3,0)到直线AB的距离d=3|sinα|，∴S△ABC2=12×d×|AB|=3|sin2α|，故当α=±π4时，S△ABC2取得最大值3.…(10分)解析：(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1，C2的极坐标方程．(2)依题意得|AB|=6cosα−2cosα=4cosα，−π2<α<π2，C2(3,0)到直线AB的距离d=3|sinα|，由此能求出S△ABC2的最大值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：解：(1)不等式f(x)+x>0可化为|x−1|+x>|x+2|．当x<−2时，−(x−1)+x>−(x+2)，解得x>−3，即−3<x<−2；当−2≤x≤1时，−(x−1)+x>x+2，解得−2≤x<−1；当x>1时，x−1+x>x+2，解得x>3，即x>3．综上所述，不等式f(x)+x>0解集为(−3,−1)∪(3,+∞)．(2)由不等式f(x)≤2a2−5a的解集为R，可得|x−1|−|x+2|≤2a2−5a对任意的x∈R恒成立．∵|x−1|−|x+2|≤3．∴3≤2a2−5a，即2a2−5a−3≥0，，或a≥3．解得a≤−12]∪[3,+∞)．∴实数a的取值范围是(−∞,−12解析：本题考查了绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题，属于中档题．(1)原不等式可化为|x−1|+x>|x+2|，当x<−2时，解得−(x−1)+x>−(x+2)；当−2≤x≤1时，解−(x−1)+x>x+2；当x>1时，解x−1+x>x+2.由此可以求解．(2)由不等式f(x)≤2a2−5a可得|x−1|−|x+2|≤2a2−5a.可得3≤2a2−5a，解得a≤−1，或2a≥3．。
2020年河南省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年河南省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(含解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=12AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.6185.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.1046.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)={e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，若f(a)≥1，则a的取值范围是（）A.[1, 2)B.[1, +∞)C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞)8.若x，y满足约束条件{2x+y≥2y−x≤2x−2≤0，则yx+2的取值范围为（）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1]9.已知数列{a n}中，a1=12，a n+1＝1−1an，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A.n≤2 015B.n≤2 018C.n≤2 020D.n≤2 02110.已知△ABC的内角A=π3，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设AO→=mAB→+nAC→，则m+n的值为（）A.1118B.1 C.718D.211.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√212.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−7816.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________•三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM⋅k ON=54，求证：点(m, k)在定圆上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；(Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n(n≥2)．(i)求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值．2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)【解答】集合A＝(y|y＝2x, x>0}＝{y|y>1}＝(1, +∞)，B＝{x|ylog2(x−2)}＝{x|x−2>0}＝{x|x>2}，则∁R B＝{x|x≤2}＝(−∞, 2]，∴A∩(∁R B)＝(−∞, 2]．2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】由(1+√3i)z＝1+i，得z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=1+√34+1−√34i，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为(1+√34,1−√34)，在第四象限角．3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减【解答】∵f(x)＝sin4x−cos4x＝sin2x−cos2x＝−cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f(−x)＝−cos(−2x)＝−cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f(x)＝cos2x在[π4, π2]上单调递减，故f(x)＝−cos2x在[π4, π2]上单调递增．4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：AB＝(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=121，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618【解答】由勾股定理可得：AC=√22+12=√5，CD＝1，则AD=√5−1≈1.236，则AE＝1.236，BE＝2−AE＝0.764，所以0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型可知：=0.236，使得BE≤AF≤AE的概率约为1.236−0.76425.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.104【解答】等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，×13(b1+b13)＝13b7＝13×4＝52．则S13=126.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”与“m // α”相互推不出．∴“m // n ”是“m // α”的既不充分也不必要条件． 故选D .7.已知函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2 ，若f(a)≥1，则a 的取值范围是（ ） A.[1, 2) B.[1, +∞) C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞) 【解答】函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，若f(a)≥1，可得：{a <2e a−1≥1 或{a ≥2log 3(a 2−1)≥1 ，{a <2e a−1≥1 ，可得：1≤a <2； {a ≥2log 3(a 2−1)≥1 解得a ≥2． 综上a ≥1．8.若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 ，则yx+2的取值范围为（ ）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1] 【解答】作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 的可行域如图：△ABC ，yx+2表示区域内的点与点(−2, 0)连线的斜率， 联方程组{x =22x +y =2可解得B(2, −2)，同理可得A(2, 4)，当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12， 当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1． 则yx+2的取值范围：[−12, 1]．9.已知数列{a n }中，a 1=12，a n+1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A.n ≤2 015B.n ≤2 018C.n ≤2 020D.n ≤2 021【解答】因为a 1=12，a n+1＝1−1a n，所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12,−1,2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2，10.已知△ABC 的内角A =π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC ，设AO →=mAB →+nAC →，则m +n 的值为（ ） A.1118 B.1C.718D.2【解答】由OA ＝OB ＝OC ，得：点O 是△ABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有：{AO →⋅AB →=18AO →⋅AC →=8 ， 即{(mAB →+nAC →)⋅AB →=18(mAB →+nAC →)⋅AC →=8，又AB ＝6，AC ＝4，AB →⋅AC →=12， 所以{6m +2n =33m +4n =2 ，解得：{m =49n =16，即m+n=49+16=1118，11.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√2【解答】P是双曲线x2a −y2b=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24√3，可得P的纵坐标y为：12×12×y=24√3，y＝4√3．直线PF2的斜率为−4√3，所以P的横坐标x满足：yx−6=−4√3，解得x＝5，则P(5, 4√3)，|PF1|=√(5+6)2+(4√3−0)2=13，|PF2|=√(5−6)2+(4√3−0)2=7，所以2a＝13−7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．12.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π【解答】如图，设△ABC的外接球球心为O′，其半径为r，球O的半径为R，由题意可知，(V1V2)max=√R2−r2√22=3，可得R=√3，∵2r=ACsin∠ABC =√3，∴r=√3，∴R =43， ∴S =4π×169=64π9，当球心O 在三棱锥P −ABC 外时， 结果不变．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种． 【解答】根据题意，分2种情况讨论：①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种；14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2． 【解答】正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，由基本不等式可得，1＝x 2+y 2≥2xy 当且仅当x ＝y =√22时取等号，所以，1x+1y ≥2√1xy ≥2√2．故当x =√22时，1x +1y 取得最小2√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−78 【解答】根据题意，f(x −1)为奇函数，则函数f(x)关于点(1, 0)对称，则有f(−x)＝−f(2+x)，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(−x)，则有f(x)＝−f(x +2)，变形可得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，f(292)＝f(16−32)＝f(−32)＝f(32)＝−f(12)＝−[1−(12)3]=−78；16.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________• 【解答】点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，F(p2, 0)，则M(p4, √2p2)，E(0, √2P)，cos∠EFO =OF EF=13，作NS 垂直y 轴与S ，NS ＝12−p2=(12+32p)cos∠EFO ， 解得p ＝8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值． 【解答】∵在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 依次成等差数列， ∴2B ＝A +C ， ∵A +B +C ＝180∘， ∴B ＝60∘，∵△ABC 的面积为3√3=12acsinB =√34ac ，∴ac ＝12，∵sinC ＝3sinA ，由正弦定理可得：c ＝3a ， ∴解得：a ＝2，c ＝6，∴由余弦定理得AC ＝b =2+c 2−2accosB =√4+36−2×2×6×12=2√7．因为D 为AC 边的中点， 所以：BD →=12(BA →+BC →)，两边平方，可得：BD →2=14(BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →)，可得：|BD →|2=14(c 2+a 2+2a ⋅c ⋅cosB)=14(c 2+a 2+a ⋅c)≥14(2ac +ac)=14×3×12＝9，解得BD ≥3，当且仅当a ＝c 时等号成立， 可得BD 的最小值为3．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值． 【解答】∵△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘， ∴Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AD ＝CD ， ∵点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， ∵PD ∩PB ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BDP ． 作CE ⊥BD ，垂足为E ，连结AE ， ∵Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AE ⊥BD ，AE ＝CE ，∠AEC 为二面角A −BD −C 的平面角， 由已知二面角A −BD −C 为120∘，∴∠AEC ＝120∘， 在等腰△AEC 中，由余弦定理得AC =√3AE ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∴AB =√3AE ， 在Rt △ABD 中，12×AE ×BD =12×AB ×AD ，∴BD =√3AD ，∵BD =√6，∴AD =√2，∵BD 2＝AB 2+AD 2，∴AB ＝2，∴AE =2√33，ED =√63，由上述可知BD ⊥平面AEC ，则平面AEC ⊥平面BCD ， 过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ，则AO ⊥平面BCD ， 连结OD ，则∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成角， 在Rt △AEO 中，∠AEO ＝60∘，∴AO ＝1，AE =2√33，sin∠ADO =AO AD =√22，∴直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为√22．19.已知椭圆C:x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l:y ＝kx +m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ⋅k ON =54，求证：点(m, k)在定圆上． 【解答】设焦距为2c ，由已知e =ca=√32，2b ＝2，a 2＝b 2+c 2．∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．证明：设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，依题意，△＝(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，化简得m 2<4k 2+1，①x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 若k OM ⋅k ON =54，则y 1y 2x1x 2=54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2，∴(4k2−5)⋅4(m2−1)4k2+1+4km⋅(−8km4k2+1)+4m2=0，即(4k2−5)(m2−1)−8k2m2+m2(4k2+1)＝0，化简得m2+k2=54，②由①②得0≤m2<65,120<k2≤54．∴点(m, k)在定圆x2+y2=54上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．【解答】当m＝1时，f(x)＝e x−lnx−1，所以f′(x)＝ex−1x所以f(1)＝e−1，f′(1)＝e−1．所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(e−1)＝(e−1)(x−1)．即y＝(e−1)x．当m>1时，f(x)＝me x−lnx−1≥e x−lnx−1．要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0．设g(x)＝e x−lnx−2，则g′(x)＝e x−1x．设ℎ(x)＝e x−1x ，则ℎ′(x)＝e x+1x>0，所以函数ℎ(x)＝g′(x)＝e x−1x在(0, +∞)上单调递增．因为g′(12)＝e12−2<0，g′(1)＝e−1>0，所以函数g′(x)＝e x−1x 在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈( 12, 1)．因为g′(x0)＝0时，所以e x0=1x，即lnx0＝−x0．当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0所以当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．故g(x)≥g(x0)＝e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m>1时，f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p <1)，某位患者在隔离之前，每天有a 位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X ≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X 的概率P(X)与a 、p 的关系式和X 的数学期望； (Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为E n (n ≥2)．(i)求数列{E n }的通项公式，并证明数列{E n }为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7） 【解答】（1）由题意X ∼B(a, p)，则P(X)=C a x p x(1−p)a−x ，EX ＝ap ．(2)(i)第n 天被感染人数为(1+ap)n−1，第n −1天被感染人数为(1+ap)n−2， 由题目中均值定义得：E n ＝(1+ap)n−1−(1+ap)n−2＝ap(1+ap)n−2． ∴E nEn−1=1+ap ，且E 1＝ap ，∴{E n }是以ap 为首项，1+ap 为公比的等比数列． (ii)令f(p)＝ln(1+p)−23p ，则f′(p)=1p+1−23=−2p+13(p+1)， ∴f(p)在(0, 12)上单调递增，在(12, 1)上单调递减，f(p)max ＝f(12)＝ln 23−13=ln3−ln2−13≈1.1−0.7−0.3＝0.1． 则当a ＝10，E n ＝10p(1+10p)n−2，E 6′＝10×0.1(1+10×0.1)4≈1.46，E 6＝10×0.5(1+10×0.5)4≈25.31，∵E 6>E 6′，∴戴口罩很有必要．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【解答】直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．可得直线l 的参数方程{x =12t y =√32t （t 为参数）．曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），可得普通方程：y ＝1−[1−2(x2)2]，化为：x 2＝2y ．把直线l 的参数方程{x =12ty =√32t （t 为参数）．化为普通方程：y =√3x ． 联立{y =√3xx 2=2y，解得：x ＝0，y ＝0．或x ＝2√3，y ＝6． ∴直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标为(0, 0)或(2√3, 6)． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值． 【解答】证明：依题意，−16≤x +y ≤16,−14≤x −y ≤14，设x +5y ＝m(x +y)+n(x −y)，解得m ＝3，n ＝−2，∴−12≤3(x +y)≤12，−12≤−2(x −y)≤12，∴−1≤3(x +y)−2(x −y)≤1，即−1≤x +5y ≤1， ∴|x +5y|≤1．依题意，{a +b +c +d =8−ea 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2， 又(a 2+b 2+c 2+d 2)(1+1+1+1)≥(a +b +c +d)2（当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号），即4(16−e 2)≥(8−e)2，解得0≤e ≤165，∴e 的最大值为165．。
2020年河南高考模拟题理数(附答案)
2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。
河南省2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。）
1．已知集合 U {1,2,3,4,5,6} ，集合 A {2,3} ，集合 B {3,5} ，则 A (CU B) =
∴ sin B C 2sinAcosA ，
∴ sinA 2sinAcosA .
∵A
0,
，∴ sinA
0 ，∴ cosA
1 ，∴ A
.
2
3
.（2）∵ ABC的面积为 3，∴ 1 bcsinA
3 bc
2
4
3 ，∴ bc 4 .
由 a 2， A
及 a 2 b 2 c2 2bccosA ，得 4 b2 c 2 4 ，∴ b2 c 2 8 .
m
（ x1， y1），（ x2 ，y2），…，（x m， y m），且 x i =2m，则 a=
i1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 等差数列 an 中， a4 10 且 a3 ， a6， a10 成等比数列，数列 an 前 20 项的和 S20 ____
3
又 bc 4 ，∴ b c 2
故其周长为 6 . 18. （ 1）证明：在左图中，∵四边形 ABCD 是菱形， DAB 60 ， M 是 AD 的中点， ∴ AD BM ， 故在右图中， A1M BM ， ∵平面 A1BM 平面 BCDM ，平面 A1BM 平面 BCDM BM ，
∴ A1M 平面 BCDM ， 又 BD 平面 BCDM ， 所以 A1M BD . （ 2）解：在左图中，∵四边形 ABCD 是菱形， AD BM ， AD ∥ BC ， ∴ BC BM ，且 BM 3 ，
2020年河南省高考数学(文科)模拟试卷(5) 含详细答案解析
-1 ?? ∴ =，
12 解得 x＝﹣ 2，
→
∴ |??|= √ (-1) 2 + (-2) 2 = √5．
D．5
故选： C．
4．（ 5 分）已知圆
C：x2+y2﹣ 10y+21 ＝ 0
与双曲线
??2 ??2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
-
??2 ??2 =
1(??＞0，?＞? 0) 的渐近线相切，
则该双曲线的离心率是（
）
A ．√2
5 B．
3
5 C．
2
D． √5
5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
）
A ．4
|0-5??|
5??
即 √ ?2?+??2 =
= 2， ??
?? 5 解得 = ，
?? 2
即双曲线的离心率是
e=
5 2
．
故选： C． 5．（ 5 分）数列 { an} 满足 2an+1＝ an+an+2，且 a2，a4038 是函数 f（ x）＝ x2﹣ 8x+3 的两个零点，
则 a2020 的值为（
3 2
，
0)
时， f（ x）＝ log 2（﹣ 3x+1），则 f（ 2020 ）＝（
）
A ．4
B ．log27
C． 2
D．﹣ 2
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D. ，2.已知复数为复数单位，则A. B. C. D.3.2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是A. 月工资增长率最高的为8月份B. 该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C. 由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D. 该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4.已知，则为A. B.C. D.5.已知向量，，若，则实数a的值为A. 3B. 1C.D.6.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.7.某种商品的广告费支出x与销售额单位：万元之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，y x mx24568y3040m5070455055608.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是A. 2B.C.D.9.记不等式组，表示的平面区域为D，不等式表示的平面区域为E，在区域D内任取一点P，则点P在区域E外的概率为A. B. C. D.10.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则A. B. C. D.11.现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是填写字母A. HB. JC. KD. P12.已知函数，若在上有解，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则函数在处的切线方程为______．14.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则______．15.在中，点D是边AC上的点．且，，，则______．16.已知A，B，C，D是球O的球面上四个不同的点，若且平面平面ABC，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；数列满足，，求证：．18.如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点P为线段的中点，点Q为线段的中点．在线段上是否存在点M，使得平面？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．求三棱锥的体积．19.2019年12月1日起郑州市施行郑州市城市生活垃圾分类管理办法，郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代．为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解，积极参与到垃圾分类的行动中，某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训．为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度，社区居委会随机选取了40名辖区成员，将他们分成两组，每组20人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据辖区成员的评分满分100分绘制了如图所示的茎叶图．根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高，并说明理由．求这40名辖区成员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级．利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意；根据茎叶图填写下面的列联表．基本满意非常满意总计线上培训线下培训总计并根据列联表判断能否有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异？附：，其中．20.已知椭圆C：，点A、B、P均在椭圆C上，，点B与点A关于原点对称，的最大值为．求椭圆C的标准方程；若，求外接圆的半径R的值．21.已知函数．当时，求的最小值；若函数在上存在极值点，求实数a的取值范围．22.已知在平面直角坐标系内，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．把曲线C和直线l化为直角坐标方程；过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A，B两点，射线上另有一点M满足，求点M的轨迹方程写成直角坐标形式的普通方程．23.已知函数．求函数的最大值M；已知，，，求的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，或，．故选：B．求出集合B，由此能求出．本题考查交集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：复数，则．故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D错误，故选：C．根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：因为，是全称命题，故为：，；故选：A．5.答案：B解析：解：根据题意，向量，，若，则有，解可得；故选：B．根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，注意向量坐标的定义，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程方程为，又由其过点，则有，解可得，则其方程为：，其标准方程为：，故选：B．根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．7.答案：D解析：【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点属于基础题．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，，关于x的线性回归方程为，，，，．故选：D．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为，底面三角形边长，高；该三棱锥的最长棱是．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9.答案：B解析：解：画出区域D和圆，如图示：；；；；区域D的面积是：，圆的部分面积是：，点P落在圆外的概率是：，故选：B．先画出满足条件的平面区域，分别求出区域D的面积和圆外的部分面积，从而求出满足条件的概率P的值．本题考查了简单的线性规划问题，考查了概率问题，是一道基础题．10.答案：A解析：解：函数的图象向左平移个单位，得的图象，所以函数；又函数是偶函数，所以，；所以，；则．故选：A．由函数图象平移得出函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性求出的值，从而求得．本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，考查了推理与计算能力，是基础题．11.答案：C解析：解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知灰1；白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰．则灰4只能在K位置，白，白，白，灰．故选：C．根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于较难的题目．12.答案：A解析：解：根据题意，函数，函数，其导数，在R上为增函数，函数，在R上为增函数，则函数在R上为增函数；又由，即在上有解，即存在使得，有解，进而可得存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；要满足存在使得，有解，则直线的斜率；故实数a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得为R上的增函数，结合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及数形结合的解题思想方法，曲线导数的几何意义，属于综合题13.答案：解析：解：，，，故切线方程为：，即．故答案为：．先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14.答案：12解析：解：抛物线的焦点是，椭圆的一个焦点是，由，得．故答案为：12．求出抛物线的焦点，椭圆的焦点，利用相等求出p．本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．15.答案：2解析：解：由题意可设，，中由余弦定理可得，，，，，中，由正弦定理可得，，，，则，故答案为：2．在中由余弦定理可求cos A，然后结合同角平方关系可求sin A，在中由正弦定理可求BC，即可得解的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式，属于基础题．16.答案：解析：解：如图所示，取BC中点G，连接AG，DG，则，，分别取与的外心E，F，并过E，F分别作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，由得，正方形OEGF的边长为，则，四面体的外接球的半径，球O的表面积为．故答案为：．取BC中点G，连接AG，DG，分别取与的外心E，F，并过E，F分别作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，然后根据勾股定理即可求出球的半径，进而得解．本题考查球的表面积的计算，通过几何体的特征，找到球心位置是解题的关键，考查学生的空间立体感和计算能力，属于中档题．17.答案：解：数列为公差d不为0的等差数列，，即为，，，成等比数列，可得，即，化为，解得，，则；证明：，，可得，则，所以．解析：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；由数列的恒等式，结合等差数列的求和公式，可得，，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质即可得证．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查数列恒等式的运用和数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：存在线段的中点M，使得平面．证明如下：点P为线段的中点，点Q为线段的中点，，又平面，平面，平面，取的中点M，连接BM，，则，同理平面，又，平面平面．又平面，平面；由为正三角形，知为正三角形，又，，可得，，，．，，即，则．又，平面，平面又，．，平面，又平面，．．解析：由点P为线段的中点，点Q为线段的中点，可得，得到平面，取的中点M，得，同理平面，再由面面平行的判定可得平面平面，进一步得到平面；由已知求解三角形证明平面，得到，求出三角形的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：由茎叶图可知，线上培训的满意的评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，线下培训的满意的评分在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，故可以认为线下培训的满意的评分比线上培训的满意的评分更高，因此，辖区成员对于线下培训的满意度更高．由茎叶图知，．参加线上培训满意的调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意，频率为．又本次培训共200名学员参加，则对线上培训非常满意的学员约有人；列联表如下：基本满意非常满意总计线上培训14620线下培训61420总计202040于是的观测值．由于，没有的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异．解析：直接由茎叶图分析线上培训与线下培训的数据得结论；由茎叶图结合中位数公式求．求出线上培训非常满意的频率，乘以200得对线上培训非常满意的学员人数；结合茎叶图填写列联表，再求出的观测值k，结合临界值表得结论．本题考查茎叶图，考查独立性检验，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：设，则，；又，由对称性知，所以，，所以．注意到，所以时上式取得最大值，即代入得，．所以椭圆C的标准方程为：．由对称性，不妨设点P在直线AB的右上方，因为，所以．注意到，所以，即直线PO：将代入椭圆方程，解得所以，，．设圆心为D，则；由勾股定理：，即．解析：设，根据点A、B、P均在椭圆C上，代入椭圆方程，得的取值范围以及与，与的关系式，再根据的最大值为，求得，的值，从而求得椭圆C的标准方程．由对称性，不妨设点P在直线AB的右上方，因为，所以PO是弦AB的垂直平分线，联立直线PO与椭圆方程求得点P的坐标，圆心D在直线PO上，则；由勾股定理：，解得R即可．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程的求法，用到方程思想和转化的思想方法，属于中档题．21.答案：解：由已知得当时，，令，则，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，故，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，；，令，当时，，又因为，故，此时在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增，又，在上存在唯一零点，设为，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，当时，函数在上存在极值点，综上所述，a的取值范围为．解析：求导后可得，令，利用导数可知函数恒成立，由此可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而得到最小值；分及讨论，当时，无极值；当时，利用导数可知满足题意，进而得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为转换为直角坐标方程为，整理得．曲线C的直角坐标方程转换为极坐标方程为，直线l的直角坐标方程转换为极坐标方程为，设，，，由于M满足，所以，整理得，所以，转换为直角坐标方程为，即．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数．所以函数的最大值；，令，，由题意可得：，，，所以，当且仅当时代号成立，此时，，所以的最大值为：．解析：化简函数的解析式，然后求解函数的最大值即可．化简表达式，通过转化，结合基本不等式求解最大值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
【附20套高考模拟试题】2020届河南南阳市高考数学模拟试卷含答案
19．（1）
；（2）见解析
【解析】
【分析】 （1）利用点差可求
，从而得到直线 的方程.
（2）设
，设
，
，
，联立直线方程和抛物线方程后消元可得
，利用
及韦达定理可以得到
【详解】
（1）设 ， 两点坐标分别为
，
，当 恰为 的中点时，
显然
，故
，又
，故
恒成立，故求得
.
则直线 的方程为
（2）假设存在定点 ，设
，当直线 斜率存在时，设
0 且不等于1的常数），则点 C 的运动轨迹为（ ）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知球的表面积为 8 ，此球面上有 A, B,C 三点，且 AB AC 2, BC 2 ，则球心到平面 ABC 的
A，B，O 为坐标原点，求△ OAB 的面积的最小值．
18．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆 C 的长
轴长为直径的圆与直线 x y 2 0 相切．
( 1 ) 求椭圆 C 的标准方程；
( 2 ) 设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 E，
a2019＜1
11．在 ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别是 a,b, c ，若 (a b)(sinA sinB)
c(sin C 3 sin B) ，则角 A 等于
2
5
A． 6 B． 3 C． 3 D． 6
【数学】河南省2020届高三普通高等学校招生模拟考试试题(理)(解析版)
【解析】P是双曲线 1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，
△PF1F2的面积为24 ，可得P的纵坐标y为： ，y＝4 ．直线PF2的斜率为﹣4 ，
所以P的横坐标x满足： ，解得x＝5，则P（5，4 ），
|PF1| 13，
|PF2| 7，
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】当 时，
若 时， 与 的关系可能是 ，也可能是 ，即 不一定成立，故 为假命题；
若 时， 与 的关系可能是 ，也可能是 与 异面，即 不一定成立，故 也为假命题；
故 是 的既不充分又不必要条件
故选：D
7.已知函数 若 ，则 的取值范围是
A. B.
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】由 ，得：点 是 的外心，
又外心是中垂线的交点，则有： ，
即 ，
又 ， ， ，
所以 ，解得： ，
即 ，
故选： ．
11.已知 是双曲线 上一点，且在 轴上方， ， 分别是双曲线的左、右焦点， ，直线 的斜率为 ， 的面积为 ，则双曲线的离心率为
A. 3B. 2C. D.
【答案】50
【解析】先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有 种选法,丙同学有 种选法,共有 种选法；
若甲同学选了马,则乙同学有 种选法,丙同学有 种选法,共有 种选法．
故三位同学的选法共有 （种）
14.已知正数 满足 ，则当 ________时， 取得最小值，最小值为________．
【答案】(1). (2).
所以2a＝13﹣7，a＝3，
所以双曲线的离心率为：e 2．
故选B．
2020年高考模拟试卷河南平顶山市、许昌市、济源市高考(理科)数学一模测试试卷 含答案
2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．103．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．68．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5412．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝＝．故选：D．2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min＝﹣3+k＝2，解得k＝5，∴y＝3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max＝3+5＝8，故选：C．3．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期相当于函数y＝sin的最小正周期与函数y＝cos3x的最小正周期的最小公倍数．故答案为6π．故选：C．5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝【分析】通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q＝．故选：D．6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）【分析】对a分情况讨论，分别得到对数不等式，再利用对数函数的性质即可得到关于a的不等式，解出a的范围即可．解：①当a＞0时，﹣a＜0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，∴，又a＞0，∴解得：a＞，②当a＜0时，﹣a＞0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，又a＜0，解得：，故选：A．7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：由题意可得，，则2a+b＝（2a+b）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且，即a＝b＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x ＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为＝，化简可得＝，即为a＝3c，可得e＝＝．另解：由△AMF∽△AEO，可得＝，由△BOH∽△BFM，可得＝＝，即有＝即a＝3c，可得e＝＝．故选：A．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．解：由题意，可取a＝1，b＝﹣1，c2＝﹣1，c＝i，d＝﹣i，或c＝﹣i，d＝i，所以b+c+d ＝﹣1+i+﹣i＝﹣1，故选：B．10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，分析可知AF⊥平面BCD，进而得到∠ACF为直线AC与平面BCD 的所成角，由此转化到三角形中求解．解：取BD，CD的中点分别为O，E，连接OE，取OE的中点F，连接CF，AF，由AB＝AD，且O为BD中点可知OA⊥BD，又在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，∴，∴BD2+BC2＝CD2，则BC⊥BD，∴OE⊥BD，又OA⊥BD，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又，，∴，∴．故选：B．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种，故选：B．12．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．【分析】当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，所以k＞0，构造函数g（x）＝f（x）﹣kx2，利用导数求出函数g（x）的最小值小于0即可．解：①当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，②当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，∴g'（x）＝1﹣＝﹣，令g'（x）＝0，可得x1＝0，x2＝＞﹣1，（i）当k时，，g'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）＝0，∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，（ii）当0＜k＜时，x2＝＞0，在（0，）上，g'（x）＞0，g（x）单调递增；在（，+∞）上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，因此存在使得g（x0）≥g（0）＝0，可得，即f（x0），与题矛盾，∴综上所述，k时，对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．【分析】利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和满足y≤的点构成的区域的面积后再求它们的比值，解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S1＝1，满足y≤所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S2＝，∴在区域内随机取一个点P，则能满足y≤的概率P＝，故答案为：14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．【分析】由正弦定理，角化边得a2＝b2+c2+cb，再利用余弦定理即可求出结果．解：∵2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，∴由正弦定理，角化边得：2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，整理得：a2＝b2+c2+cb，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，故答案为：．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为x2＝4y．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程与抛物线联立求出A，B的坐标，再由三角形OAB的垂心为抛物线的焦点可得AF⊥OB，可得a，b之间的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出离心率；两个曲线在第一象限仅有一个交点可得相切，由a的值及a，b的关系求出b的值，用判别式等于0求出p的值，进而写出抛物线的方程．解：由题意可得抛物线的焦点F（0，），双曲线的渐近线的方程为：y＝x，，可得x＝，y＝，设交点A（，），B（，），因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以AF⊥OB，即＝0，即（，）•（，）＝0，整理可得：4b2＝5a2，即b2＝，所以离心率e＝＝＝＝；联立双曲线与抛物线的方程可得：，a＝，所以b2＝＝整理可得：4y2﹣10py+25＝0，由题意可得△＝100p2﹣4×4×25＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，故答案分别为：，x2＝4y．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE～△ACF可得：，即r＝，∴圆锥的体积V＝πr2h＝＝[（h﹣2）++4]≥．当且仅当h﹣2＝2即h＝4时取等号．∴该圆锥体积的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】本题第（1）题对递推数列进行变形之后可得a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1），即可发现数列{a n+1﹣a n}是等比数列．且可计算出a n+1﹣a n＝2n，然后运用累加法可得数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法和分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：依题意，当n≥2时，由a n+1＝3a n﹣2a n﹣1，可得a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1＝2（a n﹣a n﹣1）．∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴数列{a n+1﹣a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1﹣a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．则a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝22，…a n﹣a n﹣1＝2n﹣1．各项相加，可得a n﹣a1＝2+22+…+2n﹣1，∴a n＝1+2+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣1．∴a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）a n＝（n+1）（2n﹣1）＝（n+1）•2n﹣（n+1）．构造数列{c n}：令c n＝（n+1）•2n，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n＝c1+c2+…+c n＝2•21+3•22+…+（n+1）•2n，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+﹣（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n﹣＝n•2n+1﹣．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【分析】（1）设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．由已知证明EF⊥侧面AC1．可得截面AEC1⊥侧面AC1；（2）由已知求解△AEC1的面积与△B1EC1的面积，再由A到平面B1BCC1的距离为，然后利用等积法求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA1＝A1B1＝1，∴，，∴△AEC1的面积为．又∵A到平面B1BCC1的距离为，△B1EC1的面积为．设B1到平面AEC1的距离为d，∵，∴，∴．即，B1到平面AEC1的距离为．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【分析】（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望．解：（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．∵，，∴．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知，又．∴X的概率分布为：X﹣115P因此，EX＝．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，求解即可．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．求出n，然后求解，得到直线PQ的方程．（ⅱ）当PQ与x 轴垂直时，推出直线PQ的方程．解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知，．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，∴，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，，∴，因此，直线PQ的方程为．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为或x＝3．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的最值情况即可；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则只需a ≤F（x）min即可，利用导数得到函数F（x）在x＝x0时取得最小值，其中x0∈（0，1），且，所以a≤1．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，时，f（x）取得最大值，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则，令G（x）＝x2e x+lnx，则，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于，所以，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴，即lnx0＝﹣x0，所以，，因此，a≤1，所以a的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）∵，∴，∴x＜﹣1或x≥1．∵，∴C的直角坐标方程为．∵，∴，∴，∴直线l的直角坐标方程为．（2）由（1）可设l的参数方程为（t为参数），代入C的方程得：，其两根t1，t2满足，．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，分类讨论解不等式即可；（2）变形可得，构造函数即可得解．解：（1）当a＝1时，原不等式可化为|x|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）＜0．（*）（ⅰ）当x＜0时，（*）化为，（x﹣2）（x2+x﹣1）＞0，所以，；（ⅱ）当0≤x≤2时，（*）化为（x﹣2）（x2+3x+1）＜0，所以，0≤x＜2；（ⅲ）当x＞2时，（*）化为（x﹣2）（x2+x﹣1）＜0，所以，无解；综上，a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为．（2）当x∈（2，+∞），原不等式f（x）＜0化为：|a|x（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）（x+1）＜0，∴．由于函数在x∈（2，+∞）上是减函数，∴．∴∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，必须使．因此，．。
河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷
河南省2020届高三普通高等学校招生理数模拟考试试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={y|y=2x,x>0}，B={x|y=log2(x−2)}，则A∩(∁R B)=（）A．[0,1)B．(1,2)C．(1,2]D．[2,+∞)2．（2分）已知复数z满足(1+√3i)z=1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2分）已知函数f(x)=sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的最大值为2C．f(x)的图像关于y轴对称D．f(x)在区间[π4，π2]上单调递减4．（2分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝12AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：√5≈2.236）A．0.236B．0.382C．0.472D．0.6185．（2分）已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=（）A．26B．52C．78D．1046．（2分）已知两条直线a,b和平面α，若b⊂α，则a//b是a//α的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（2分）已知函数f(x)={e x−1,x<2,log3(x2−1),x≥2,若f(a)≥1，则a的取值范围是（）A ．[1,2)B ．[1,+∞)C ．[2,+∞)D ．(−∞,−2]∪[1,+∞)8．（2分）若 x ， y 满足约束条件 {2x +y ≥2,y −x ≤2,x −2≤0, 则 yx+2 的取值范围为（ ）A ．[−12,1]B ．(−∞,−12]∪[1,+∞)C ．[0,1]D ．[12,1]9．（2分）已知数列 {a n } 中， a 1=12， a n+1=1−1a n ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2012B ．n ≤2015C ．n ≤2017D ．n ≤201810．（2分）已知 ΔABC 中， A =60° ， AB =6 ， AC =4 ， O 为 ΔABC 所在平面上一点，且满足 OA =OB =OC .设 AO⇀=λAB ⇀+μAC ⇀ ，则 λ+μ 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1118D ．71111．（2分）已知 P 是双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 上一点，且在 x 轴上方， F 1 ， F 2 分别是双曲线的左、右焦点， |F 1F 2|=12 ，直线 PF 2 的斜率为 −4√3 ， ΔPF 1F 2 的面积为 24√3 ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．√3D ．√212．（2分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点， ∠ABC =60∘ ， AC =2 ，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为 V 1 ，三棱锥O 一ABC 的体积为 V 2 ，若 V1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为 ( ) A ．16π9B ．64π9C ．3π2D ．6π二、填空题 (共4题；共9分)13．（1分）中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意,则选法有种．14．（2分）已知正数x,y满足x2+y2=1，则当x=时，1x+1y取得最小值，最小值为．15．（5分）已知函数f(x)是定义域为(−∞,+∞)的偶函数，且f(x−1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x3，则f(292)=．16．（1分）已知点E在y轴上，点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|=12，则p=．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知ΔABC的面积为3√3，且内角A、B、C依次成等差数列.（1）（5分）若sinC=3sinA，求边AC的长；（2）（5分）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.18．（10分）如图,在三棱锥A−BCD中, △ABC是等边三角形, ∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP．（1）（5分）证明:平面ACD⊥平面BDP;（2）（5分）若BD=√6,且二面角A−BD−C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（10分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2.（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，若k OM⋅k ON=54，求证：点(m,k)在定圆上.20．（10分）已知函数f(x)=me x−lnx−1.（1）（5分）当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）（5分）若m∈(1,+∞)，求证：f(x)>1.21．（10分）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）（5分）求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；（2）（5分）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n(n≥2).（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′=ln(1+p)−23p，当p′取最大值时，计算此时p′所对应的E6′值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取a=10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6,ln3≈1.1,ln2≈0.7,13≈0.3,23≈0.7）22．（10分）在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为{x=2sinαy=1−cos2α,（α为参数）．（1）（5分）请写出直线l的参数方程;（2）（5分）求直线l与曲线C交点P的直角坐标．23．（10分）回答下面问题（1）（5分）已知x,y∈R,且|x+y|≤16, |x−y|≤14,求证：|x+5y|≤1．（2）（5分）已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意易得：A=(1，+∞)，B=(2，+∞)∴∁R B=(−∞,2],∴A∩(∁R B)=(1,2],故答案为：C【分析】化简集合A，B，利用交并补运算得到结果2．【答案】D【解析】【解答】由(1+√3i)z=1+i，得z=1+i1+3i=(1+i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=1+√3+(1−√3)i1+3=1+√34+1−√34i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1+√34，1−√34），在第四象限．故答案为：D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．3．【答案】C【解析】【解答】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[ π4，π2]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[ π4，π2]上单调递增．故答案为：C．【分析】利用余弦型函数的图象与性质逐一判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】由勾股定理可得：AC＝√5≈2.236，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝√5−1≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝1.236−0.7642=0.236，故答案为：A．【分析】由勾股定理可得：AC＝√5≈2.236，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为1.236−0.7642＝0.236．5．【答案】B【解析】【解答】设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a11=4a7，∴a72=4a7≠0，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列，且b7=a7．∴S13=13×(a1+a13)2=13b7=13a7=52故答案为：B．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比性质可得a72=4a7，即b7=a7，再结合S13= 13b7，即可得到结果.6．【答案】D【解析】【解答】当b⊂α时，若a//b时，a与α的关系可能是a//α，也可能是a⊂α，即a//α不一定成立，故a//b⇒a//α为假命题；若a//α时，a与b的关系可能是a//b，也可能是a与b异面，即a//b不一定成立，故a//α⇒a//b也为假命题；故a//b是a//α的既不充分又不必要条件故答案为：D【分析】先判断a//b⇒a//α与a//α⇒a//b的真假，然后利用充要条件的定义，得到a//b与a//α的关系．7．【答案】B【解析】【解答】∵f(x)={e x−1,x<2,log3(x2−1),x≥2,，f(a)≥1∴{a<2e a−1≥1或{a≥2log3(a2−1)≥1即{a<2a−1≥0或{a≥2a2−1≥3即1≤a<2或a≥2∴a的取值范围是[1,+∞)故答案为：B【分析】依题意，对a分a <2,与a ≥2讨论，再解相应的不等式即可．8．【答案】A【解析】【解答】作出x，y满足约束条件{2x+y≥2y−x≤2x−2≤0的可行域如图：△ABC，yx+2表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组{x=22x+y=2可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：−22+2=−12，当直线经过点A时，M取最大值42+2=1．则yx+2的取值范围：[ −12，1]．故答案为：A．【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．9．【答案】C【解析】【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A =12，n＝1；第1次循环，A＝1﹣2＝﹣1，n＝1+1＝2；第2次循环，A＝1+1＝2，n＝2+1＝3；第3次循环，A＝1 −12=12，n＝3+1＝4；…所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件． 分析选项中的条件，满足题意的C ． 故答案为：C ．【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时求出满足题意的选项即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：由 OA =OB =OC ，得：点 O 是 ΔABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有： {AO ⇀·AB ⇀=18AO ⇀·AC ⇀=8， 即 {(λAB⇀+μAC ⇀)·AB ⇀=18(λAB ⇀+μAC ⇀)·AC ⇀=8 ， 又 AB =6 ， AC =4 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 ， 所以 {6λ+2μ=33λ+4μ=2 ，解得： {λ=49μ=16， 即 λ+μ=49+16=1118，故答案为： C ．【分析】由由 OA =OB =OC ，得：点 O 是 ΔABC 的外心，由向量的投影的概念可得：{AO ⇀·AB ⇀=18AO ⇀·AC ⇀=8 ，再代入运算 {6λ+2μ=33λ+4μ=2 ，即可 11．【答案】B【解析】【解答】P 是双曲线 x 2a 2−y 2b2= 1（a ＞0，b ＞0）上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，c ＝6，△PF 1F 2的面积为24 √3 ，可得P 的纵坐标y 为： 12×12×y =24√3 ，y ＝4 √3 ．直线PF 2的斜率为﹣4 √3 ，所以P 的横坐标x 满足： yx−6=−4√3 ，解得x ＝5，则P （5，4 √3 ），|PF 1| =√(5+6)2+(4√3−0)2= 13， |PF 2| =√(5−6)2+(4√3−0)2= 7， 所以2a ＝13﹣7，a ＝3，所以双曲线的离心率为：e =ca = 2．故答案为：B ．【分析】利用三角形的面积求出P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出P 的横坐标，然后求解a ，c ，然后求解双曲线的离心率即可．12．【答案】B【解析】【解答】由题意，设 ΔABC 的外接圆圆心为 O′ ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且|OO′|=d依题意可知 (V 1V 2)max=R+d d =3 ，即 R =2d ，显然 R 2=d 2+r 2 ，故 R =2√3 ，又由 2r =AC sin∠ABC =3 ，故 r =3，∴球 O 的表面积为 4πR 2=163πr 2=649π ，故答案为：B.【分析】设 ΔABC 的外接圆圆心为 O′ ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且 |OO′|=d ，根据体积比求得 R =2d ，利用球的性质，得 R =23 ，再由三角形的性质，求得 r =23，利用球的表面积公式，即可求解．13．【答案】50【解析】【解答】解:先分类,若甲同学选了牛,则乙同学有 2 种选法,丙同学有 10 种选法,共有 C 21⋅C 101=20 种选法；若甲同学选了马,则乙同学有 3 种选法,丙同学有 10 种选法,共有 C 31⋅C 101=30 种选法．故三位同学的选法共有 20+30=50 （种）【分析】先分情况甲选牛共有 C 21⋅C 101=20 ,甲选马有 C 31⋅C 101=30 ,得出结果若14．【答案】√22；2√2【解析】【解答】解:由基本不等式可得 x 2+y 2≥2xy ,当且仅当 x =y 时等号成立． ∵ 正数 x,y 满足 x 2+y 2=1 , ∴xy ≤12,当且仅当 x =y =√22时等号成立． ∴1x +1y ≥2√1xy ≥2√2 ,当且仅当 x =y =√22时等号成立, ∴1x +1y 的最小值为 2√2 ．故答案为:(1). √22(2). 2√2【分析】先根据基本不等式得 x 2+y 2≥2xy ,结合 x 2+y 2=1 得 xy ≤12,再由基本不等式得 1x +1y >2√1xy ≥2√2 ,最后检验 x =y =√22时成立即可. 15．【答案】−78【解析】【解答】因为 f(x −1) 为奇函数，所以 f(−x −1)=−f(x −1)∴f(−x −2)=−f(x)又因为 f(x) 是定义域为 (−∞,+∞) 的偶函数，所以 f(−x)=f(x) 即 f(−x −2)=−f(−x)∴f(x −2)=−f(x) 所以 f(x) 的周期 T =4因为 f(292)=f(12+52)=f(52)=−f(52−2)=−f(12)f(12)=1−(12)2=78所以 f(292)=−78故答案为 −78【分析】由题意 f(x) 的周期 T =4 ，再利用函数的性质可得所求结果.16．【答案】8【解析】【解答】设 E(0,b) ，又 F(p 2,0) ，因为 M 为 EF 的中点，所以点 M 的坐标为 (p 4,y) ，则 y 2=2p ×p 4=p 22 ，即 M(p 4,√22p) ，又由 0+b 2=√22p ，则 b =√2p ，即 E(0,√2p) ，直线 EF 的方程为 y =−2√2x +√2p ，代入 y 2=2px ，得 4x 2−5px +p 2=0 ， 设 N(x,y) ，则 x +p 4=54p，解得 x =p ， 由抛物线的定义得： |NF|=p +p2=12 ，解得： p =8 。
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x =n 2,n ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 1=4，则公差d 等于( )A. −2B. 1C. 53D. 3 3. 已知a,b ∈R ，复数z =a −bi ，则z 2=( )A. a 2+b 2−2abiB. a 2−b 2−2abiC. a 2−b 2D. a 2+b 24. 对于任意事件M 和N ，有( ) A. P(M +N)=P(M)+P(N)B. P(M +N)>P(M)+P(N)C. P(M +N)<P(M)+P(N)D. P(M +N)≤P(M)+P(N) 5. 若双曲线x 2m −y 2=1的一条渐近线为x −2y =0，则实数m =( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该锥体的表面积为( )A. 3+3√2+√3B. 3+2√2+√3C. 3+√2+3√3D. 3+3√2+2√37. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若20a BC⃗⃗⃗⃗⃗ +15b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 最小角的正弦值为( )A. 45B. 34C. 35D. √748. 函数f(x)=ln|x−1||1−x|的图象大致为( )A. B. C. D.9. 设不等式组{x −2y ≤0x −y +2≥0x ≥0表示的平面区域为Ω.则( )A. 原点O 在Ω内B. Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D. 若点P(x 0,y 0)∈Ω，则x 0+y 0≠010. 已知三棱锥S −ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且SA =SB =SC =1，AB =BC =AC =√2，则球的表面积为( )A. 12πB. 8πC. 4πD. 3π 11. 函数f (x )=4x −2x 的零点所在的区间是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,32)D. (32,2)12. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l:y =√3(x −1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB|=163，则p = ( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=x −√1−x 的最大值是__________．14. 函数f(x)=√3sin(2x +π3)的图象在区间(0,π2)上的对称轴方程为______．15. 若α=20∘，β=25∘，则(1+tanα)(1+tanβ)=________．16. 已知等比数列{a n }为递增数列，设其前n 项和为S n ，若a 2=2，S 3=7，则a 5的值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，(Ⅰ)求总体数据落在[2,10)内的概率；(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，求总体数据的平均数．18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为accosB，BC的中点为D．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)若c=2，asinA=5csinC，求AD的长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．20.已知函数f(x)=12ax2−(a+1)x+ln x．(1)当a=1时，求y=f(x)的图象在x=2处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)的极大值为−54，求a的值．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63，坐标原点到直线l：y=bx+2的距离为√2，(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E(−1,0)？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|x|+|x +1|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R +，函数f(x)的最小值为m ，若a +b +c =m ，求证：ab +bc +ac ≤13．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：A解析：解：由题意和等差数列的求和公式可得d=3×4+3d=6，S3=3a1+3×22解得d=−2故选：A．由题意和等差数列的求和公式可得的方程，解方程即可．本题考查等差数列的求和公式，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了复数的运算，属于基础题．解：∵a,b∈R，复数z=a−bi，∴z2=(a−bi)2=a2−b2−2abi 故选B．4.答案：D解析：本题主要考查任意事件间的关系及其运算概念，属于基础题．分类讨论，当M和N互斥和不互斥时，可得其规律的关系，综合可得．解：当M和N是互斥事件时，P(M+N)=P(M)+P(N);当M和N不是互斥事件时，P(M+N)<P(M)+P(N)．综上可得P(M+N)≤P(M)+P(N)．故选D．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可．解：若双曲线x2m−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，可得1√m =12，解得m=4，故选：B．6.答案：A解析：本题主要考查空间几何体三视图，属中档题.先根据三视图还原几何体，然后求表面积即可．解：根据三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉右上角一个三棱锥得到，由条件可知，ΔABC为等腰直角三角形，直角边长为√2，B1C=√22+(√2)2=√6，∴S ΔA 1B 1C =12×√2×√6=√3，S ΔB 1BC =12×√2×2=√2，S ΔA 1AC =12×2×2=2，S ΔABC =12×√2×√2=1，S ▱A 1B 1BA =√2×2=2√2．所以表面积为3√2+√3+3．故选A ．7.答案：C解析：本题考查平面向量基本定理与余定理的综合应用，属于中档题．依题意，可得(20a −15b)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12c −20a)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，继而得b =43a ，c =53a ，a 最小，角A 最小，利用余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(4a 3)2+(5a 3)2−a 22×4a 3×5a 3=45，从而可得sin A 的值． 解：∵20a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴20a(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+15b CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12c AB ⃗⃗⃗⃗⃗=(20a −15b)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(12c −20a)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∵向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为不共线向量，∴20a −15b =0且12c −20a =0，∴b =43a ，c =53a ，a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边， ∴a 最小，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =(4a 3)2+(5a 3)2−a 22×4a 3×5a 3=45， ∴sinA =√1−cos 2A =35． 故选：C ． 8.答案：D解析：解：f(x)=ln|x−1||1−x|的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于x =1对称，排除B ，C ， 取特殊值，当x =12时，f(x)=2ln 12<0，故选：D ．求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．9.答案：A解析：解：不等式组{x −2y ≤0x −y +2≥0x ≥0表示的可行域如图：显然O 在可行域内部．故选：A ．画出约束条件的可行域，判断选项的正误即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．10.答案：D解析：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积，本题的突破口在三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体与三棱锥有相同的外接球．由题意一个三棱锥S −ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积． 解：三棱锥S −ABC 中，SA =SB =SC =1，AB =BC =AC =√2，∴共顶点S 的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：√3，半径为√32， 外接球的表面积为：4π×(√32)2=3π． 故选：D ．11.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)=4x −2x ，分析易得函数f(x)为减函数， 且f(12)=8−√2>0， f(1)=4−2=2>0， f(32)=83−√8<0， f(2)=2−4=−2<0，则函数f(x)=4x −2x 的零点所在区间是(1,32)； 故选：C ．根据题意，分析可得函数f(x)为减函数，依次计算f(12)、f(1)、f(32)、f(2)的值，由函数零点判定定理分析可得答案．本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．12.答案：C解析：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求． 解：由题意联立有{y 2=2pxy =√3(x −1)⇒3x2−(6+2p)x +3=0 ∴x 1+x 2=6+2p 3，x 1x 2=1，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(6+2p 3)2−4=163，求得p =2． 故选C ．13.答案：1解析：因为函数f(x)的定义域为(−∞,1]且在(−∞,1]上单调递增，所以f(x)max =f(1)=1． 先求出函数的定义域，判断函数在定义域上单调递增，利用单调性可以求出最值．14.答案：x =π12解析：解：对于函数f(x)=√3sin(2x+π3)的图象，令2x+π3=kπ+π2，求得x=kπ2+π12，k∈Z，令k=0，可得函数在区间(0,π2)上的对称轴方程为x=π12，故答案为：x=π12．由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的图象在区间(0,π2)上的对称轴方程．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．15.答案：2解析：本题主要考查两角和的正切公式，属于容易题．根据两角和的正切公式即可求解．解：因为α=20°，β=25°，所以tan(α+β)=tan45°=1，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan(α+β)(1−tanαtanβ)+tanαtanβ=1+1−tanαtanβ+tanαtanβ=2．故答案为2．16.答案：16解析：本题主要考查等比数列的通项公式、数列的增减性，考查考生的运算求解能力．属于中档题.利用等比数列计算a1与q，在利用递增数列得q=2计算a5.解：设等比数列{a n}的公比为q，则由题意得{a1q=2,a1+a1q+a1q2=7,得{a1=4,q=12或{a1=1,q=2,因为数列{a n}为递增数列，所以{a1=1,q=2,所以a5=a1q4=16．故答案为16．17.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得总体数据落在[2,10)内的频率为：(0.02+0.08)×4=0.4，∴总体数据落在[2,10)内的概率为0.4．(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，总体数据的平均数为：4×0.02×4+8×0.08×4+12×0.09×4+16×0.03×4+20×0.03×4=11.52．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出总体数据落在[2,10)内的概率．(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，能求出总体数据的平均数．本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意，△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=accosB，得sinB=2cosB，①∵0<B<π，∴sinB>0，∴cosB>0，又sin2B+cos2B=1，②①代入②得cos2B=15，∴cosB=√5=√55；(Ⅱ)由asinA=5csinC及正弦定理得a2=5c2，∵c=2，∴a=2√5，BD=12a=√5，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2−2BD⋅c⋅cosB=4+5−2√5×2×1√5=5，∴AD=√5．解析：(Ⅰ)由△ABC的面积公式，利用同角的三角函数关系，即可求出cos B的值；(Ⅱ)由题意，利用正弦、余弦定理，即可求出AD的值．本题考查了三角函数求值以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．19.答案：证明：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点． ∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离： d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√3=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：由题知f′(x)=ax −a −1+1x =ax 2−(a+1)x+1x =(ax−1)(x−1)x，x >0．(1)当a =1时，f(x)=12x 2−2x +lnx ，f′(x)=(x−1)2x，f(2)=ln2−2，f′(2)=12，所以y =f(x)的图象在x =2处的切线方程为y −(ln2−2)=12(x −2)， 即x −2y +2ln2−6=0.(2)因为a >0，由f′(x)=0得x =1或x =1a .①当1a =1，即a =1时，f′(x)≥0(当且仅当x =1时取等号)，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，不合题意；②当1a >1，即0<a<1时，x∈(0,1)时，f(x)>0，x∈(1,1a)时，f(x)<0，x∈(1a,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,1)单调递增，在(1,1a )单调递减，在(1a,+∞)单调递增；所以当x=1时，f(x)有极大值，由题意f(1)=−a2−1=−54，解得a=12．③当1a <1，即a>1时，x∈(0,1a)时，f(x)>0，x∈(1a,1)时，f(x)<0，x∈(1,+∞)时，f(x)>0，所以f(x)在(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；所以当x=1a时，f(x)有极大值，由题意f(1a )=−12a−lna−1=−54，即lna+12a−14=0．记g(x)=lnx+12x −14，x≥1，g′(x)=1x −12x2=2x−12x2>0，所以g(x)在[1,+∞)单调递增，因为a>1，所以g(a)>g(1)=12−14=14>0，所以方程g(a)=lna+12a −14=0无解．综上，实数a的取值为12．解析：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，属于难题．(1)由导数的几何意义，先求出切线的斜率k=f′(2)，再写出切线的点斜式方程，化为一般式即可．(2)讨论a的范围，利用导数判断函数的单调性，由f(x)的极大值为−54，可求得a的值．21.答案：解：(1)直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为√2．∴√b2+1=√2∴b=1∵椭圆的离心率e =√63∴a 2−1a 2=(√63)2，∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2 ∵EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ， ∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0 ∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k1+3k 2)+5=0解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E ．解析：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0， 由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12ty =√32t(t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数)所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1， 则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号， 即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。