15-成像系统2-透镜的点扩散函数
光学成像系统的传递函数
xi 2 y i 2 x0 2 y 0 2 1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) 2 exp jk exp jk 2 d 2 d d0di i 0 k 1 1 1 2 2 P ( x, y ) exp j x y 2 di d0 f xi x0 y i y 0 exp jk x y dxdy d i d 0 d i d 0
已知物面分布
小面元叠加 （加权函 成像系统 数） 加权函数
非相干叠加，即强度叠 加（非相干光照的）
x x0 , y y0
点扩散函数（脉冲 响应）
hx0 , y0 ; xi , yi
一、 透镜的点扩散函数
假定紧靠物体后的复振幅分布 为
1 1 1 d0 di f
~ U0 , L x0 , y0 d d
U0 , hxi 2 M
x0 ~ U 0 M
~ y , 0 M
x0 , yi ~ y0 d~ x0 d~ y0 hxi ~
1 成像系统的黑箱模型
物平面 入瞳平面 出瞳平面 像平面
菲涅尔衍射 二、分类
黑箱模型
菲涅尔衍射
衍射受限系统：物面上任一点源发出的发散球面波投 射到入瞳被变换为出瞳上的会聚球面波。 有像差系统：偏离理想球面波。
2、衍射受限系统的点扩散函数
2 xi Mx0 x yi My0 y dxdy h( x0 , y 0 ; xi , y i ) K P( x, y ) exp j d i
光学信息技术原理及应用课后重点习题答案
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = ，系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bf Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零，（1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ 1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
点扩散函数法在人眼成像质量分析中的特征
第 １ ０卷第 ４期
２０ ０ ８年 ７月
眼
视
光
学
杂
志
Ｖｏ １ ｏ ４ ｌ ＯＮ ．
Ｃｈｎ ｓ ｏ ｒ ａ ｆ ｔｍｅｒ ｉｅｅＪ ｕ ｌｏ ｏ ｔｙ＆ Ｏｐ ｔａｍｏｏ ｙ ｎ Ｏｐ ｈｈ ｌ ｌｇ
Ｊ１２ ０ ｕ． ０ ８
点扩散 函数法在人 眼成像质量分析 中的特征
个点 ，分别 等 同 于对 数 视 力表 ４０ ５ １的 １ ．～ ． ２个 点 ，针 对 Ｐ Ｆ Ｓ
分 析 系统 中的 ＭＴ Ｆ参 数 进 行 比较 和 统 计 学分 析 。 结 果 ①
ｏ ｔｍ ｔ Ｃｉｉ ｐ ｅｒ ｏ ｙ ｌ ｃ Ｅ ｅ Ｈ ｓｉｌ ｏ Ｗｅｚｏ Ｍｅｉａ ｎ ｙ ｏ ｔ ｆ ｐａ ｎｈ１ ２ ｄｌ ｃ
接 采 用 屈 光 系统 ＭＴ Ｆ曲 线 表 达 人 眼 的 成 像 特 征 ． 该 曲 线 ＭＴ Ｆ值 从 低 频 至 中频 迅 速 下 降 ． 高频 趋 向缓 和 至 零 ． 量 并 定
客 观 地 表 达 了人 眼 成 像 质 量从 低 频 至 高 频 的 改 变 。② 左 、 右
眼 的 ＭＴ Ｆ表 达 具有 镜 像 对 称性 。⑧ 个体 之 间 ＭＴ Ｆ值 差 异 大
Ｃ ｌ ｇ ， Ｗｅ ｚ ｏ ｈ ｎ ｏｌ ｅ ｅ ｎ ｈ ｕ Ｃ ｉ ａ，３ ５ ２ ２０７
Ｐ Ｆ反 映 的 是 光 强 度 大 小 和 位 置 的 偏 差 。 Ｐ Ｆ 分 析 系统 可 直 Ｓ Ｓ
［ ｂｔ ｃ］ Ｏ ｊｃ ｖ Ｔ ｎｅ ｉ ｔ ｔ ｍ ｇ ｇ ｃａ ｃ ｒｔ ｓ Ａ ｓ ａｔ ｒ ｂｅ ｉ ｔ ｅ ｏ ｉ ｓｇ ｅ ｈ ｉ ａｉ ｈｒ ｔ ｉｉ ｖ ｔａ ｅ ｎ ａ ｅｓｃ
散焦模糊图像点扩散函数参数估计-2019年文档
散焦模糊图像点扩散函数参数估计散焦模糊是因调焦不准确而造成的图像模糊，并丢失了一些重要的高频成分，而这些高频成分恰恰蕴含着图像中最重要的信息，使得人们对图像的辨识能力下降。
散焦模糊广泛存在于图像应用的各个领域，它造成的图像信息丢失，严重影响了应用效果，制约了这些领域的进一步发展。
因此，对散焦模糊点扩散函数参数的估计方法进行研究有着重要的实用价值和意义。
对散焦模糊点扩散函数参数估计的研究是图像复原的一个重要研究领域，并已提出多种估计散焦模糊PSF参数的算法，这些方法大概可分为三类：（1）基于空域的参数估计。
（2）基于变换域的参数估计。
（3）基于迭代技术的参数估计。
随着人工神经网络和遗传算法等新兴技术的出现，人们将其应用到图像处理领域，提出了基于这些知识的参数估计算法。
基于以上的理论研究，本文提出了一种新的估计散焦模糊点扩散函数参数的方法。
2 散焦模糊理论分析2.1 散焦模糊点扩散函数通过对成像的原理和过程的分析，通常认为成像系统具有空间移不变行，因此一幅降质图像的降质过程在空间域可用如下过程来表示：（2-1）式中g（x，y）为降质图像，f（x，y）为原始清晰图像，h （x，y）为点扩散函数，即成像系统对点光源的响应，n（x，y）表示加性噪声，*表示二维卷积操作。
在上述表达式中，通常假设噪声为高斯白噪声，尤其是在噪声不明显的情况下，可忽略。
那么在上式中，点扩散函数就是惟一未知项。
在散焦模糊点扩散函数的几种模型中，由于圆盘模型只需估计出散焦半径便可计算出PSF，在计算上更容易、更简便，因此在参数估计时通常选用圆盘模型。
其表达式如下所示：（2-2）其中，r表示散焦半径，决定了散焦模糊的程度，即是参数估计方法所需要估计的参数。
2.2 阶跃边缘图像中的边缘对应着相邻的两个类型区域的分界线，表示一个区域的结束和另一个区域的开始。
设s（y）为一条沿x轴的理想阶跃边缘，可用下式来表示：（2-3）系统对s（y）的响应称为边缘扩散函数。
15-成像系统2-透镜的点扩散函数
仍为物体的F.T., 但 仍为物体的 1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值 x =xf /λ(q−d0), 频谱面取值f 仍有二次位相因子 fy = yf /λ (q−d0), 随距离 0 而变 通过调整 0, 可改变频谱的尺度 随距离d 而变. 通过调整d =0时 结果与物在透镜前相同， 当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都 是等价的。 是等价的。
∞
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
1.物在透镜前 讨论 物在透镜前:讨论 物在透镜前
(1). d0=f, 输入平面位于透镜前焦面: , 输入平面位于透镜前焦面:
x y U ( x, y ) = c′ ∫ ∫ t ( x0 , y0 ) exp − j 2π λf x0 + λf y0 dx0 dy0 −∞ = c'
∞
{t ( x0 , y0 )} f
x=
x y , fy= λf λf
= c' T ( f x , f y )
fx =
x y , fy= λf λf
只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分 只要照明光源和观察平面满足共轭关系， 布是物函数的准确的傅里叶变换。 布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置 坐标的关系始终为 fx=x/λf, fy=y/λf. 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时， 当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时， q=f，这时观察平面位于透镜后焦面。 ，这时观察平面位于透镜后焦面。
点扩散函数和光学传递函数
点扩散函数和光学传递函数
点扩散函数和光学传递函数是光学系统中常用的两个函数，它们分别描述了光学系统中的点源扩散和光学信号的传递过程。
点扩散函数是指在光学系统中，一个点源发出的光线经过系统后，形成的像点的分布函数。
它描述了光学系统中的点源扩散现象，即一个点源在成像平面上不是一个点，而是一个模糊的圆形区域。
点扩散函数的形式与光学系统的结构有关，通常可以通过计算光学系统的传递函数得到。
光学传递函数是指在光学系统中，一个光学信号经过系统后，输出信号与输入信号之间的关系。
它描述了光学信号在光学系统中的传递过程，包括光线的传播、衍射、反射等。
光学传递函数的形式与光学系统的结构和光学信号的特性有关，通常可以通过计算光学系统的传递函数得到。
点扩散函数和光学传递函数在光学系统的设计和优化中起着重要的作用。
通过分析点扩散函数和光学传递函数，可以确定光学系统的分辨率、灵敏度、动态范围等性能指标，从而优化光学系统的设计。
此外，点扩散函数和光学传递函数还可以用于图像处理和恢复中，例如去模糊、去噪等。
点扩散函数和光学传递函数是光学系统中重要的函数，它们描述了光学系统中的点源扩散和光学信号的传递过程，对光学系统的设计
和优化具有重要的作用。
光学成像系统的频率特性
1 U x, y 2 qd0
0 p
k t x0 , y0 exp j x y dx0 dy0 dx ' dy ' 2
式中
由于我们需要的是输入面和观察面的关系， 所以先对x’，y’积分。 k U p exp j x y dx ' dy '
通过透镜后的场分布为：
2 2 x ' y ' ' U l x ', y ' U l x ', y ' P x ', y ' exp jk 2 f
其中P为光瞳函数 观察面上及光源的共轭面上的场分布为：
x x ' 2 y y ' 2 x '2 y '2 U l x, y U l x ', y ' exp jk exp jk dx ' dy ' j q 2f 2q p 1
当一单位振幅平面波垂直照明p1时
U1 ( x, y) 1
k 2 2 U 1 ( x, y) U1 ( x, y )t ( x, y) exp[ j ( x y )] 2f
'
P2平面的复振幅分布则为：
f>0时，上式为一会聚球面波，表明平面波
经过正透镜后会聚于像方焦点。
f<0时，上式为一 发散球面波，表明平面波
x0 2 y0 2 A0 exp jk 2 p d0
在输入面上的光场为
2 2 x0 y0 A0t x0 , y0 exp jk 2 p d0
点扩散函数算psf计算mtf
点扩散函数算psf计算mtf
点扩散函数（PSF）是用来描述光学系统对点光源的响应的函数，而调制传递函数（MTF）则是用来描述光学系统对不同空间频率成分
的响应的函数。
PSF和MTF之间存在着密切的关系，可以通过PSF
来计算MTF。
首先，我们来看一下点扩散函数的计算。
点扩散函数通常可以
通过理论模型或者实验测量来获得。
在理论模型中，可以使用光学
系统的物理特性和传播函数来计算PSF。
在实际测量中，可以使用
一束非常小的点光源照射到光学系统中，然后观察在成像平面上得
到的光斑，通过对这个光斑的形状和大小进行分析，就可以得到PSF。
接下来，我们来讨论如何通过PSF来计算MTF。
MTF是描述光学
系统对不同空间频率成分的响应的函数，它可以通过对PSF进行傅
里叶变换来获得。
傅里叶变换可以将时域的函数（比如PSF）转换
为频域的函数（比如MTF）。
通过对PSF进行傅里叶变换，可以得
到系统的频率响应，即MTF。
在实际应用中，计算MTF还需要考虑到一些影响因素，比如光
学系统的非线性特性、噪声等。
因此，对于复杂的光学系统，计算MTF可能需要进行更加复杂的分析和模拟。
总之，点扩散函数和调制传递函数是描述光学系统性能的重要函数，它们之间存在着密切的关系。
通过计算光学系统的点扩散函数，可以进一步获得系统的调制传递函数，从而全面地了解光学系统的性能特征。
点扩散函数标准差
点扩散函数标准差1. 什么是点扩散函数？点扩散函数（Point Spread Function，简称PSF）是用于描述光学成像系统的物理特性的一个重要概念。
它描述了一个理想光源在成像系统中产生的图像。
光源的每一个点会经过光学系统的传输过程，形成一个光斑（或称为点扩散）在图像平面上。
点扩散函数则描述了这个光斑的形状和大小。
2. 点扩散函数的作用点扩散函数在物体成像中起着重要的作用。
它可以用来评估光学成像系统的分辨率、抗干扰能力和色散等性能指标。
理论上，点扩散函数是一个空间不变的函数，但实际上由于光学系统存在各种的畸变和非线性效应，所以点扩散函数也会发生变化。
3. 点扩散函数的标准差点扩散函数的标准差是评估点扩散函数形状和大小的指标之一。
标准差反映了光斑的离散程度，可以用来描述光斑的模糊情况。
3.1 计算点扩散函数的标准差计算点扩散函数的标准差需要先获得点扩散函数的离散表示。
对于一个二维图像，可以通过测量光斑的边缘位置来获得离散点扩散函数。
然后，根据离散点扩散函数的数据计算标准差。
标准差的计算公式如下：σ=√1N∑(x i−x‾)2Ni=1其中，σ代表标准差，N代表样本数，x i代表第i个样本，x‾代表样本均值。
3.2 点扩散函数标准差的意义点扩散函数标准差可以用来评估光学系统的成像质量。
标准差越小，表示光斑的离散程度越小，图像的清晰度越高；相反，标准差越大，表示光斑的离散程度越大，图像的模糊度越高。
4. 应用领域点扩散函数标准差广泛应用于图像质量评估、光学系统性能分析和光学设计等领域。
4.1 图像质量评估通过计算点扩散函数标准差，可以评估图像的清晰度。
在数字图像处理中，常常使用模糊度来表示图像清晰度的逆向指标，模糊度值与点扩散函数的标准差呈反比关系。
因此，点扩散函数标准差可以用来比较不同图像的清晰度，为图像质量评估提供依据。
4.2 光学系统性能分析点扩散函数标准差也可以作为评估光学系统成像质量的指标之一。
点扩散函数高斯拟合估计与遥感图像恢复
ges. First, a frequency-domain notch filter was adopted to remove noises in the remote sensing images. Then,
space remote sensing camera, the acquired images were restored to enhance the characteristic objects of ima-
过程在空间域可表示为原图像 f ( x, y ) 和退化函
为调制传递函数 ( MTF) 。 顾行发等人提出了模 ,此方法需要人工铺设模拟点光源的靶
[5]
标,适用性不强;陈强等人利用实验室测定的相机 实际运行环境和成像条件对 MTF 的影响; 张朋等 情况。 上述方法通过估算 MTF 在频域内对遥感 受到一定的限制。 数调节 MTF 曲线来进行图像恢复
明显的 垂 直 条 带 噪 声, 其 对 应 的 频 谱 图 为 图 2
( a) ;图 1( b) 是通过陷波滤波器进行去噪处理后 条带噪声,有效地改善了图像质量。
图像的边缘细节, 而噪声在图像中也表现为高频 成分,Leabharlann 复图像的同时会使噪声增大。 因此,在图
的图像,其对应的频谱图为图 2( b) 。 通过两图对
[4]
数和一个加性噪声项。 原始地物的图像经过成像 是降质的图像,存在着不同程度的模糊。
的图像对系统退化函数进行辨识,然后,根据估计
系统和大气发生了退化, 在图像的获取和传输过 程中又引入了大量噪声, 从而使最终获得的图像 若退化函数是线性空间不变的, 则图像退化
很多成果,退化函数估计是其中的一个重要研究 扩散函数 ( PSF) ,PSF 傅里叶变换的归一化模值
[物理]光学成像系统的传递函数
![[物理]光学成像系统的传递函数](https://img.taocdn.com/s3/m/b97cf5f076a20029bc642d25.png)
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp( jkd0 ) , y0 y0 ) exp jk dUl ( x0 ' , y0 ' ; x, y) d ( x0 x0 dx0 dy0 jd 0 2d 0
物像平面的共 2 2 xi2 y i2 x0 轭关系满足高 y0 1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) 2 exp jk exp jk 2d i 2d 0 斯公式 d0di
弃去常数位相因子,有:
k 1 1 1 2 xi x0 y i y 0 2 P ( x , y ) exp j ( x y ) exp jk x y dxdy 2 di d0 f d i d 0 d i d 0
2 ~ ~ P ( x , y ) exp j [( x x ) x ( y y ) y ] dxdy i 0 i 0 d i
§3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
~ ~ 于是，hxo , yo ; xi , yi 可以写成 hxi xo , yi yo
) 2 ( y y0 )2 ( x x0 exp[ jkd 0 ] exp jk jd 0 2 d 0
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可写成: dUl ( x0 , y0 ; x, y) 1 exp jk jd 0 2d 0
1 ~ ~ h( x i x 0 , y i y 0 ) 2 d0di
点扩散函数的物理意义
点扩散函数的物理意义
点扩散函数是指在一个点源处发出的光线经过一个透镜或者其他光学元件后，在成像平面上所形成的强度分布。
它在光学成像中扮演着重要的角色，可以用来描述成像系统的分辨率和像差等性能指标。
点扩散函数的物理意义可以从以下几个方面来解释：
1. 分辨率：点扩散函数的大小和形状可以反映出成像系统的分辨率。
在理想情况下，点扩散函数应该是一个非常小的圆形，但是由于光学元件的像差等因素的影响，点扩散函数会变得更大或者呈现出不规则的形状。
因此，通过分析点扩散函数的形态，可以评估成像系统的分辨率，从而确定成像系统是否满足实际需求。
2. 像差：点扩散函数还可以用来描述成像系统的像差。
像差是指成像系统在成像过程中产生的误差，导致成像结果与实际情况不符。
常见的像差包括球差、色差、畸变等。
通过分析点扩散函数的形态和大小，可以确定成像系统的像差类型和程度，从而采取相应的校正措施，提高成像质量。
3. 光学设计：点扩散函数还可以用来指导光学系统的设计。
通过对点扩散函数的分析，可以确定透镜的形状、曲率半径、折射率等参数，从而优化光学系统的性能。
例如，通过调整透镜的曲率半径和折射率，可以减小球差和色差，提高成像质量。
总之，点扩散函数在光学成像中具有重要的物理意义，可以用来评估成像系统的分辨率、像差和光学设计等方面的性能。
基于空变成像系统点扩散函数测量方法的研究
基于空变成像系统点扩散函数测量方法的研究航天学院：姜艳超 指导教师：王治乐摘 要：点扩散函数（PSF ） 是描述成像系统信息传递能力的一个重要指标，它反映了物面上的点光源经过光学系统后的扩散程度。
本文针对本课题提出了两套测量方案：基于直边刀口像调制传递函数（MTF ）提取方法的间接测量法和点源成像直接测量法。
在间接测量法中，主要对实验条件和实验空变性的充分体现方法进行了研究；在直接测量法中，对一长焦镜头的PSF 分布进行了测量，主要以半高宽（FWHM ）为指标，定量地评价了镜头的空间变化性。
关键词：空变系统；点扩散函数；半高宽Abstract: Point spread function （PSF ） is an important index that describes the transferring ability of imaging system, and itreflects the spread extent of point light source in object plane when it passes through the optical system. To research the PSF in the space variant optical system, we introduce two measurement methods that are indirect measurement method based on straight knife-edge modulation transfer function （MTF ） extraction and direct measurement method based on point source forming image. In the first method, we mainly research the experimental conditions and the fully reflection of space variation. In the second method, we research the PSF distribution of a tele lens. We quantitatively evaluate the spatial variation of this lens with the help of full width half maximum （FWHM ）.Key words: space variant system PSF FWHM1 引 言随着科学技术的发展，图像处理技术得到越来越多研究者的重视。
第三章光学成像系统的传递函数-20150510
当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫 做点扩散函数或脉冲响应，通常用
h( x0 , y0 ; xi , yi )
表示
它表示物平面上（ x0,y0 ）点的单位脉冲通过成像系统后在像
平面上（ xi,yi ）点产生的光场分布。一般来说，它既是 （ x0,y0 ）的函数，又是(xi,yi）的函数。
U1 ( x, y)
k 1 exp j ( x 2 y 2 ) jd 0 2d 0
k 2 2 2 j ( x0 y0 ) exp j ( x0 x y0 y ) dx 0 dy 0 U 0 ( x0 , y0 ) exp 2d 0 d 0
是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶 变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳 的截取。 该式的傅里叶
d0 d0
d i
x d0
y d0
2
上式等于
1 d i d 0
2 2 G0 ( , ) exp j ( x i d 0 y i d 0 ) dd2 d 0 d i
2016/1/10
5
( x0 , y0 )
( xi , yi )
一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点 物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意
的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。
即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平 面上所有可能位置上的函数输入的脉冲响应。
k 1 k 1 1 2 2 exp j ( )( x 2 y 2 ) exp j ( x 0 y 0 ) f 2 d0 di 2 d0 2 2 exp j ( x0 x y0 y ) exp j ( x i x y i y ) dx 0 dy 0 dxdy d d 0 i
【信息光学课件】第三章 光学成像系统的传递函数 PDF版
x +y exp( jk ) 2d 0
2 0 2 0
jk x + y ≈ exp( ) 2 2d 0 M
2 i 2 i
1 h( x0 , y0 ; xi , yi ) = 2 p ( x , y ) ∫ ∫ λ d 0 d i −∞ xi x0 yi y 0 exp− jk[( + ) x + ( + ) y ] dxdy di d0 di d0
2
~ x0 U0 ( M
~ y0 , ) M
~ x0 ~ y0 理想像 U g ( xi , yi )与物 U 0 ( M , M ) 的分布形式 是一样的，只是在 xi , yi方向放大了M倍。
令
~ ~ ~ h ( xi − x0 , yi − y0 ) =
1 ~ ~ h ( x x , y y ) − − 0 0 i i 2 2 kλ d i
=
~ U g ( xi , yi ) ∗ h ( xi , yi )
−∞
3.2.1物理意义：物 U 0 ( x0 , y0 ) 通过衍射受 限系统后的像分布 U i ( xi , yi ) 是 U 0 ( x0 , y0 ) ~ 的理想像点 U g ( xi , yi ) 和点扩散函数h ( xi , yi ) 的卷积。 衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。
−∞
+∞
×
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ] exp[ jk 2d 0
dx0 dy0
= =
′ ) + ( y − y0 ′) ( x − x0 exp(ikd 0 ) ] exp[ jk 2d 0 jλ d 0
2 2
点扩散函数 阿贝极限
点扩散函数阿贝极限摘要：1.阿贝极限的概念2.阿贝极限与点扩散函数的关系3.点扩散函数的定义及性质4.阿贝极限的应用领域5.总结正文：1.阿贝极限的概念阿贝极限，又称为阿贝尔极限，是由德国物理学家恩斯特·阿贝在19 世纪末提出的一个物理学概念。
它主要描述了在光学系统中，光的传播受到衍射效应的影响，当光的波长与光圈尺寸相当时，衍射效应将变得明显。
这一现象被称为阿贝极限。
2.阿贝极限与点扩散函数的关系阿贝极限与点扩散函数密切相关。
点扩散函数，简称PSF（Point Spread Function），是用来描述光学系统对点光源成像质量的函数。
PSF 可以反映出光学系统对光的传播和成像过程中的衍射效应。
当阿贝极限条件满足时，PSF 的形状将发生明显的变化，从而影响成像质量。
3.点扩散函数的定义及性质点扩散函数是一种描述光学系统成像质量的数学函数，它表示一个点光源在经过光学系统成像后，其成像面上的亮度分布。
点扩散函数具有以下性质：（1）PSF 是距离的函数，即PSF 随物距的变化而变化。
（2）PSF 具有旋转对称性，即以点光源为中心旋转任意角度后，PSF 的形状不变。
（3）PSF 具有径向对称性，即以点光源为中心沿径向对称轴折叠后，PSF 的形状不变。
4.阿贝极限的应用领域阿贝极限在光学成像领域具有重要的应用价值。
在摄影、显微镜、望远镜等光学成像系统中，阿贝极限条件对于成像质量的影响至关重要。
了解阿贝极限有助于我们更好地设计和优化光学系统，提高成像质量。
此外，阿贝极限还在通信、照明、显示等领域有一定的应用。
5.总结阿贝极限是描述光学系统中光传播和成像质量的一个重要概念，与点扩散函数密切相关。
了解阿贝极限及其与点扩散函数的关系，有助于我们更好地分析和优化光学系统的成像质量。
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x’-y’
x0-y0
∑p
∑0
d0
f
xf-yf 强度分布:
2
S’
I(x,y)T(qxd0),(qyd0)
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都
是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
2
1
f1
f2
xf = f fx, yf = f fy
2>1
f2 > f1
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
3、透镜的孔径效应
透镜光瞳函数为P(x, y)
物体紧靠透镜：有效物函数为 t(x0,y0)P x0,y0
物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
Px0
yf
f
数学表达式：U(xf ,yf )c'T(fx, f )y fxxff ,fyyff
会聚球面波的 复振幅表达式
ex j) k e p z x j (z p (fx 2 fy 2 )
U ( x ,y ) ejx j z) k e p z x j( 2 k z ( p x 2 [ y 2 )] U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
输出面
d0
f
第三步：由x0-y0平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利 用 Fresnel衍射的F.T.表达式，注意 z=f-d0 ）：
U ( x ,y ) ex j) k e p z x j(k( p x 2 [ y 2 ) jz 2 z
] U '( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U(x,y)c
t(x0,y0)expj2xf
如果孔中心与光轴的距离为b,结果会如何？
3.01: 物体放在透镜前方，采用平面波垂直照明对物 体作傅里叶分析。设物体包含的最低空间频率为 20周/mm, 最高空间频率为200周/mm， 照明光波长为
=0.6mm。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成
分之间间隔50mm，透镜的焦距应取多大？
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under
Coherent Illumination
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ 函数时，通过透镜产生的像场
分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo,yo;xi,yi 表示。
透射光场的角谱代表物函数的频谱,
即含有向不同方向衍射的许多平面
波. 其中向 角方向衍射的平面波分
量经过透镜后聚焦到(0, yf)点.
由几何关系易见:
后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为
yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅
= fcosb (近轴近似) 和位相.
x’-y’
x0-y0
xf-yf 强度分布:
∑p
∑0
d0
f
S’
2
I(x,y)T(qxd0),(qyd0)
T (fx ,fy ) L 2 2 fx ,fy 1 2fx f0 ,fy 1 2fx f0 ,fy s i L n x sfc i L n y
xf-yf
∑p
∑0
S’
d0
f
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可 不考虑透镜孔径的效应。
菲涅耳衍射的F.T. 表达式（空域）
U(xf ,yf )c'T(fx, f )y fxxff ,fyyff
U(x,y)a z0exjp k)e (zxpj2kz(x2y2)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面
P1 | P2
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 t
假定L=1cm, f0=100周/cm, =0.6mm。 画出焦平面上沿 xf 轴的强
度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个
零点之间）的数值。
x’-y’ x0-y0
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空 间频率分量
x0 fx2
xf fx2> fx1
fx1
f
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
F.T.
F.T.
频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
变换的尺度问题
对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦距而变
单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。
复振幅分布：U (x ,y ) c 'e x j2 (p q k d 0 )(x 2 y 2 ) T (q x d 0 ), (q y d 0 )
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U '(x0,y0)cex 透jp 2 镜( x’前f-k y|后’d 0 平)(面x02y02) t(x0,y0)
P1 | P2
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
z
x, y
S’
∑p
∑0: 输入面
f0=100, (q-d0) =3.610-3
I0
-0.36 -3.610-3 0 3.610-3
0.36
xf
作业
3.00: 一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前
焦面上，孔中心位于透镜的光轴。用波长为 的单色
平面波垂直入射照明，求透镜后焦面上的光场复振幅 分布和光强度分布。
x0
y
f
y0dx0dy0
c
t(x0,y0) fxxf ,fyyf
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息.
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
将
fx
xf
代入,并取 =0.6mm:
( f d0)
I ( x f) I 0 2 s2 i L n ( f x fc d 0 ) 1 4 s2 i L n x f ( ( f c f d d 0 ) 0 ) f 0 1 4 s2 i L n x f ( ( f c f d d 0 ) 0 ) f 0
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
U (x,y)cex jk p 2 x 2 f y d 2 0 T (fx,fy)fx(fx 0d 0),fy(fy 0d 0)
对于球面波照明，得到：
U (x ,y ) c 'e x j2 (p q k d 0 )(x 2 y 2 ) T (q x d 0 ), (q y d 0 )
∴
T (fx ,0 )2 I 0 2 s2 iL n x f 1 4 c s2 iL n (fx c f0 ) 1 4 s2 iL n (fx c f0 )
q =f
将
fx
(
xf f
d0 )
代入,并取
=0.6mm:
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
∑p
d0
∑0: 输入面
f
z
S’
输出面
第一步：直接写出∑0 前表面的光场分布：