15-成像系统2-透镜的点扩散函数

§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
U (x,y)cex jk p 2 x 2 f y d 2 0 T (fx,fy)fx(fx 0d 0),fy(fy 0d 0)
对于球面波照明，得到：
U (x ,y ) c 'e x j2 (p q k d 0 )(x 2 y 2 ) T (q x d 0 ), (q y d 0 )
∴
T (fx ,0 )2 I 0 2 s2 iL n x f 1 4 c s2 iL n (fx c f0 ) 1 4 s2 iL n (fx c f0 )
q =f
将
fx

(
xf f
d0 )
代入,并取

=0.6mm:
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
2
1
f1
f2
xf = f fx, yf = f fy
2>1
f2 > f1
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
3、透镜的孔径效应
透镜光瞳函数为P(x, y)
物体紧靠透镜：有效物函数为 t(x0,y0)P x0,y0
物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
Px0
单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。
复振幅分布：U (x ,y ) c 'e x j2 (p q k d 0 )(x 2 y 2 ) T (q x d 0 ), (q y d 0 )
f0=100, (q-d0) =3.610-3
I0
-0.36 -3.610-3 0 3.610-3
0.36
xf
作业
3.00: 一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前
焦面上，孔中心位于透镜的光轴。用波长为 的单色
平面波垂直入射照明，求透镜后焦面上的光场复振幅 分布和光强度分布。
xf-yf
∑p
∑0
S’
d0
f
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可 不考虑透镜孔径的效应。
x’-y’
x0-y0
xf-yf 强度分布:
∑p
∑0
d0
f
S’
2
I(x,y)T(qxd0),(qyd0)
T (fx ,fy ) L 2 2 fx ,fy 1 2fx f0 ,fy 1 2fx f0 ,fy s i L n x sfc i L n y
强度分布:I(x,y)T(qxd0),(qyd0)2
沿fx轴: T (fx ,0 ) I0 si L n x f1 2 c si L ( n fx c f0 ) 1 2 si L ( n fx c f0 )
∵f0>>1/L,
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都
是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
T(fx,fy)I0 sinLcxfsinLcyf1 2sinLc(fxf0)sinLcyf 1 2sinLc(fxf0)sinLcyf
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
∑p
d0
∑0: 输入面
f
z
S’
输出面
第一步：直接写出∑0 前表面的光场分布：
U (x0,y0)f 1d0ex p j2(fk d0)(x02y02)
第二步：写出∑0后 表面的光场分布：
U '(x 0 ,y 0 )f 1 d 0e x jp 2 (fk d 0 )(x 0 2 y 0 2 ) t(x 0 ,y 0 )

yf
f
数学表达式：U(xf ,yf )c'T(fx, f )y fxxff ,fyyff
会聚球面波的 复振幅表达式
ex j) k e p z x j (z p (fx 2 fy 2 )
U ( x ,y ) ejx j z) k e p z x j( 2 k z ( p x 2 [ y 2 )] U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
输出面
d0
f
第三步：由x0-y0平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利 用 Fresnel衍射的F.T.表达式，注意 z=f-d0 ）：
U ( x ,y ) ex j) k e p z x j(k( p x 2 [ y 2 ) jz 2 z
] U '( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under
Coherent Illumination
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ 函数时，通过透镜产生的像场
分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo,yo;xi,yi 表示。
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
将
fx
xf
代入,并取 =0.6mm:
( f d0)
I ( x f) I 0 2 s2 i L n ( f x fc d 0 ) 1 4 s2 i L n x f ( ( f c f d d 0 ) 0 ) f 0 1 4 s2 i L n x f ( ( f c f d d 0 ) 0 ) f 0
x0
y
f
y0dx0dy0

c
t(x0,y0) fxxf ,fyyf
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息.
物平面上任一小 面元的光振动
x’-y’
x0-y0
∑p
∑0
d0
f
xf-yf 强度分布:
2
S’
I(x,y)T(qxd0),(qyd0)
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 tLf0==11c0m0周, /cm
透射光场的角谱代表物函数的频谱,
即含有向不同方向衍射的许多平面
波. 其中向 角方向衍射的平面波分
量经过透镜后聚焦到(0, yf)点.
由几何关系易见:
后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为
yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅
= fcosb (近轴近似) 和位相.
如果孔中心与光轴的距离为b,结果会如何？
3.01: 物体放在透镜前方，采用平面波垂直照明对物 体作傅里叶分析。设物体包含的最低空间频率为 20周/mm, 最高空间频率为200周/mm， 照明光波长为
=0.6mm。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成
分之间间隔50mm，透镜的焦距应取多大？
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空 间频率分量
x0 fx2
xf fx2> fx1
fx1
f
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
F.T.
F.T.
频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
变换的尺度问题
对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦距而变
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
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§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时

U(x,y)c

t(x0,y0)expj2xf
透镜的复振 幅透过率：
t(x透,y)镜的exF. pTj.[性k质(x2y2)]
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，
用波长为 的单色平面波垂直入射
物函数t(x0,y0)的准 确的傅里叶变换
照明，在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面 空间坐标 xf, yf 的关系：
fx

xf
f
,
fy
方向余弦
推广之, 任意 (xf, yf)点的复振幅, 对应空频
此平面波分量的空频
为 (fx =xf /f, fy = yf /f) 的平面波分量的振
幅和位相.
fy = cosb = yf /f
∴ 透镜的后焦面是物体的频谱面. #
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U '(x0,y0)cex 透jp 2 镜( x’前f-k y|后’d 0 平)(面x02y02) t(x0,y0)
P1 | P2
x0- y0
x-y
Ul’
t (x0,y0)
z
x, y
S’
∑p
∑0: 输入面
t(x,y)1 21co 2fs 0x0re x c L 0 tre y c L 0 t
假定L=1cm, f0=100周/cm, =0.6mm。 画出焦平面上沿 xf 轴的强
度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个
零点之间）的数值。
x’-y’ x0-y0
菲涅耳衍射的F.T. 表达式（空域）
U(xf ,yf )c'T(fx, f )y fxxff ,fyyff
U(x,y)a z0exjp k)e (zxpj2kz(x2y2)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2.物在透镜后方,平面波照明
x’-y’
透镜前|后平面
P1 | P2

q qd0
,
y0
q qd0

x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t(x0,y0)Px0
q qd0,y0
qqd0
d0 q
在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。
物在透镜前: 投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。
例题
单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为80cm 的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦 型振幅光栅，其复振幅透过率为