水文频率计算
水文频率计算拟合度
水文频率计算拟合度水文频率计算是流域水文学的一项重要研究内容，通过对历史水文数据进行统计分析，可以得出不同概率的洪水或干旱事件的发生频率，为流域防洪和水资源管理提供科学依据。
而水文频率计算的核心问题就是如何确定概率分布模型以及模型参数的拟合度，本文将就这一问题进行探讨。
一、概率分布模型的选择水文频率计算基于概率分析思想，选择适当的概率分布模型是关键。
常用的概率分布模型包括正态分布、对数正态分布、皮尔逊三型分布、广义极值分布等。
一般来说，根据观测数据的分布特征选择合适的概率分布模型，可通过对数据进行直方图分析、QQ图、PP图等图表方法进行判断。
如果数据分布接近正态分布，则适合使用正态分布模型；如果数据分布偏左，则可以考虑使用对数正态分布模型；如果数据分布呈现单峰或双峰，而且峰值在中心，则可以考虑使用皮尔逊三型分布模型；如果数据分布呈现右偏或左偏，而且峰值靠边，就需要选择广义极值分布模型等。
二、概率分布模型参数的拟合度概率分布模型的拟合度直接关系到水文频率计算结果的准确性，所以在确定概率分布模型之后，就需要进一步确定模型参数的拟合度。
目前，比较常用的方法包括极大似然估计法、贝叶斯推断法、矩估计法等。
1. 极大似然估计法极大似然估计法是一种经典的参数估计方法，简单易行，而且适用范围广。
该方法的核心是最大化似然函数，使其等于实际观测值的概率。
具体来说，就是根据观测数据，推导出满足该数据分布的最大似然函数，找到最优参数组合，从而得到概率分布模型的参数。
常见的方法包括Box-Cox变换、L-曲线、最大似然估计法等。
2. 贝叶斯推断法贝叶斯推断法基于贝叶斯定理，将模型参数视为一个随机变量，其分布反映了参数取值的不确定性。
在求解模型参数时，需要利用先验知识，通过对后验分布进行采样取得模型参数。
相对于极大似然估计法来说，贝叶斯推断法更加灵活，可以处理数据不均匀、缺失、重复等问题。
3. 矩估计法矩估计法是一种非常简单的参数估计方法，其核心是利用样本矩去逼近理论矩，确定概率分布模型的参数。
《水文频率计算》课件
计算方法分类
参数法
基于概率分布函数（如正态分布、皮 尔逊分布等）拟合水文数据，通过参 数估计和检验确定分布参数。
非参数法
不假定水文数据的概率分布，而是通 过数据驱动的方法（如核密度估计、 最近邻插值等）对水文数据进行概率 密度估计。
计算步骤与流程
数据收集与整理
收集历史水文数据，并进行数据清洗和整理 ，确保数据质量和完整性。
雨量站
通过雨量站收集降雨数据，包 括降雨量、降雨强度等。
水文站
水文站监测河流、湖泊等水体 的水位、流量、流速等数据。
地下水观测井
观测地下水位和水质数据。
遥感技术
利用卫星遥感技术获取大范围 的水文数据。
数据整理与预处理
01
数据筛选
剔除异常值和不合理数据，确保数 据质量。
数据插值
对缺失数据进行插值处理，以获得 完整的时间序列数据。
水资源管理
02
利用软件对水文数据进行处理和分析，为水资源管理提供科学
依据。
农业灌溉
03
利用软件对农田灌溉用水量进行监测和分析，合理安排灌溉计
划，提高灌溉效率。
THANKS 感谢观看
确定概率分布
根据数据特征选择合适的概率分布函数。
参数估计
利用历史数据估计概率分布函数的参数。
拟合检验
对拟合的分布进行统计检验，确保符合所选概率分 布。
计算频率
根据拟合的分布计算不同重现期（或概率）下的 水文值。
结果应用
将计算结果应用于实际工作，如洪水预警、水资源规划 等。
02 水文数据收集与整理
数据来源与采集
通过比较不同频率曲线，可以分析不同地区或不同时间尺度下水 文数据的统计特征和变化规律，为水资源管理和决策提供依据。
水文频率计算适线法
。
从图中可以看出，正偏情况下，当Cs愈大：
图
(1) 均值（即图中k=1）对应的频率愈小，频率曲线的中部愈向左偏
4 -
(2) 上段愈陡，下段愈平缓
6
-
3
偏
态
系
数
c
s
对
频
率
曲
线
的
影
响
2020/11/12
6
图 偏态系数Cs对频率曲线的影响
2020/11/12
7
2020/11/12
8
[例] 矩法和权函数法统计参数估计结果比较
19
2、是非题 2.1 水文频率计算中配线时，增大Cv可以使频率曲线变陡。
2.2 给经验频率点据选配一条理论频率曲线，目的之一是便于频率曲线的 外延。
2.3 某水文变量频率曲线，当 Cs不变，增加Cv值时，则该线呈反时针方向 转动。
2.4 某水文变量频率曲线， 当 Cv不变，增大Cs值时，则该线两端上抬， 中部下降。
4.6 水文频率计算适线法
内容提要 目估适线法 优化适线法
学习要求 1. 掌握目估适线法的作法和基本步骤 2. 掌握统计参数的变化对频率曲线的影响 3. 了解优化适线法的基本原理和作法
1
适线法(或称配线法)是以经验频率点据为基础, 在一定的适线准则下, 求解 与经验点据拟合最优的理论频率曲线的统计参数，并以此来估计水文要素总 体的统计规律 适线法是我国估计水文频率曲线统计参数的主要方法 适线法主要有两大类, 即目估适线法和优化适线法
-3.2
10.24
-0.007
0.02
11
641.5
-24.9 620.01 -0.057
1.42
20105水文统计频率分布与计算
则可导出：
xN axn l
N a n l
xN 1ja1xj N naj inl1xi
C v1 x N 1 1 ja 1xjx2N n lai n l 1xix2
式中，xj 特大洪水，j＝1，2，…，a；xi 一般洪水i＝ℓ＋1，ℓ
＋2，…，n。 由于Cs属于高阶矩，直接计算的误差较大，故一般参考附近地
1867 1852 1832 1921
1921
1949 1903
1949
1832
1903
N2=141
1935
N1=70
n=33
1972
10
解：据调查从1832～1972年，有调查期N2＝141年
1867年
独立样本法
统一样本法
PM21
1 0.0071 1411
1852年 1832年
PM22
2 0.0141 1411
同独立样本法
PM23
3 0.0 1411
2
1
1
1921年
PM24
14 0.0 411 Nhomakorabea2
82
11
据调查期从1903～1972，有调查期N1＝70年
独立样本法
统一样本法
1921年 已被抽到上面排序
1949年
2
PM12 0.0282(10.028)2
PM12
0.0282 701
21 0.042
7011
其中 ,PMa
a N1
7
Q(m3/s)
a项特大洪水 M=1,2,...,a
实测期内特大洪水，l 项
PM
PMa
... ...
实测一般洪水，n – l 项 m = l + 1, l + 2, ..., n
工程1_水文频率分析计算(P-Ⅲ型曲线)
计算说明书━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━工程名称：工程1计算类型：水文频率分析计算(P-Ⅲ型曲线)一、计算原理1.适用范围本程序可一次完成一个水文系列频率计算的全部工作，对连续系列和不连续系列均为适用。
本程序完成的工作内容包括：系列排队、计算经验频率及统计参数值、通过优选P-Ⅲ型曲线的参数Cv、Cs值进行适线或用目估法适线、绘制频率曲线图、计算所采用的频率曲线的各设计频率下的设计值等。
为满足工程的实际需要，本程序除可用优选统计参数的方法适线外，还可用目估适线法进行适线。
因为本程序在用优选法适线时，对各经验点据是给以等权重的处理。
而当需要对各点据给以非等权重的处理时（如：设计洪水中要求多照顾首几项洪水；在年径流计算时要多照顾末端；或由于基本资料精度差等），单用优选法就不合适，此时可改用目估适线法。
为了减少目估适线时的盲目性，实际使用时，一般采用优选与目估适线相结合的方法，即先用优选法选出一条通过点群中心的频率曲线。
在此基础上再用目估的方法对优选出的参数Cv、Cs做少许调整，重新适线，以达到对各点据给以不同权重的目的，获得满意的结果。
2.计算方法和公式3.规范规程(1)《水利水电工程设计洪水计算规范》（SL44-2006）(2)《水利水电工程水文计算规范》（SL278-2002）4.参考文献(1)《水利水电工程设计洪水计算手册》水利部长江水利委员会水文局水利部南京水文水资源研究所主编,1995年10月(2)《工程水文学》(第三版)武汉大学叶守泽,河海大学詹道江合编,中国水利水电出版社,2000年10月(3)《最优化理论与算法》(第二版)陈宝林编著,清华大学出版社,2005年10月(4)《水利水电工程设计计算程序集 A-3 水文频率计算程序》作者马明（新疆水利水电勘测设计院）(5)《Visual Basic常用数值算法集》何光渝编著,科学出版社,2002年(6)《科学与工程数值算法〔Visual Basic版〕》周长发编著,清华大学出版社,2002年二、基本数据连续系列项数n=33序位系列值编号1 1952 114.002 1953 118.003 1954 116.004 1955 105.005 1956 122.006 1957 88.807 1958 141.008 1959 132.009 1960 107.0010 1961 94.8011 1962 94.0012 1963 113.0013 1964 114.0014 1965 101.0015 1966 104.0016 1967 92.8017 1968 97.1018 1969 116.0019 1970 122.0020 1971 145.0021 1972 119.0022 1973 111.0023 1974 83.1024 1975 93.5025 1976 104.0026 1977 88.5027 1978 95.3028 1979 92.5029 1980 115.0030 1981 94.5031 1982 107.0032 1983 90.9033 1984 89.10三、计算结果1.统计参数值：均值 Xa=106.694均方差 S=15.308变差系数Cv=0.143偏态系数Cs=0.708Cs/Cv=4.934经验频率值表序位系列值频率(%)编号1 1971 145.000 2.9412 1958 141.000 5.8823 1959 132.000 8.8244 1970 122.000 11.7655 1956 122.000 14.7066 1972 119.000 17.6477 1953 118.000 20.5888 1969 116.000 23.5299 1954 116.000 26.47110 1980 115.000 29.41211 1964 114.000 32.35312 1952 114.000 35.29413 1963 113.000 38.23514 1973 111.000 41.17615 1960 107.000 44.11816 1982 107.000 47.05917 1955 105.000 50.00018 1966 104.000 52.94119 1976 104.000 55.88220 1965 101.000 58.82421 1968 97.100 61.76522 1978 95.300 64.70623 1961 94.800 67.64724 1981 94.500 70.58825 1962 94.000 73.52926 1975 93.500 76.47127 1967 92.800 79.41228 1979 92.500 82.35329 1983 90.900 85.29430 1984 89.100 88.23531 1957 88.800 91.17632 1977 88.500 94.11833 1974 83.100 97.0592.优选P-Ⅲ型曲线的参数Cv、Cs值(离差平方和准则)：离差平方和S=148.063Xa=107.218Cv=0.157Cs=1.053Cs/Cv=6.7113.理论频率曲线设计值(目估适线)：Xa=107.218Cv=0.157Cs=1.053Cs/Cv=6.711理论频率曲线设计值表频率P(%) 模比系数Kp 设计值Xp B 绝对误差δXp 相对误差δ'Xp(%)0.01 1.954 209.467 11.46 33.551 16.017 0.1 1.723 184.710 8.09 23.694 12.828 0.2 1.651 177.039 7.06 20.665 11.6730.5 1.555 166.681 5.71 16.734 10.0401 1.480 158.636 4.72 13.822 8.7132 1.402 150.357 3.77 11.053 7.3513 1.356 145.388 3.13 9.166 6.3045 1.296 138.942 2.74 8.038 5.78510 1.210 129.76620 1.118 119.84630 1.058 113.48140 1.012 108.54250 0.973 104.32160 0.937 100.48370 0.903 96.77280 0.867 92.92090 0.825 88.42995 0.796 85.39297 0.781 83.71999 0.757 81.12299.9 0.728 78.104四、图形结果────────────────────────────────────────────────────────计算软件：SGGH-Tools 2011 计算者：校核者：计算日期：2020/8/24。
水文频率计算上机
示例：水文频率计算中采用的海森机率格纸是一种特殊的坐标系统,其纵坐标为均匀分格的常规数学坐标,横坐标与频率值(下侧概率)的标准正态分布分位数有关。
由于标准正态分布分位数在P=50%处为零,而海森机率格纸在P=0.01%时的横坐标值为零,因此海森机率格纸横坐标值计算公式可表示为:LP=-U0.01%+UP式中,LP为海森机率格纸中频率P对应的横坐标值;UP为频率P对应的标准正态分布分位数;U0.01%为频率P=0.01%对应的标准正态分布分位数。
标准正态分布分位数可以用Excel软件中的内置函数NORMSINV(P)直接计算,结果的精度可达到±3×10-7。
函数NORMSINV为返回累积标准正态分布对应的自变量,该函数的详细说明和用法可参考Excel软件的帮助。
一、海森机率格纸纵向网格线的绘制海森机率格纸的横向网格线为均匀分布,可直接由Excel软件的图表功能自动生成,而纵向网格线不能直接由Excel软件的图表功能自动生成,因为海森机率格纸要求的纵向网格线是不均匀的。
纵向网格线的绘制可以通过向图表中添加一个系列的XY散点图来完成,下面以某站流量频率计算用海森机率格纸的绘制为例进行介绍,具体方法如下:1、设置纵坐标的最大值与最小值(如图1所示)新建Excel工作簿,将工作表“Sheet3”重命名为“流量机率格纸数据点”。
在本工作表D2单元格中输入“1800”,设置纵坐标最大值为1800,在D3单元格中输入“0”,设置纵坐标最小值为0。
注意:针对不同的研究对象,应选择合适的纵坐标最大值。
2、计算海森机率格纸中频率P对应的横坐标值LP(如图1所示)图1(1)在“流量机率格纸数据点”工作表A6、A7单元格中分别输入“0.01”,在A8、A9单元格中分别输入“0.02”……,依此类推,在A列后续单元格中输入海森机率格纸纵向网格线对应的频率值,直至最后在A234、A235单元格中分别输入“99.99”。
工程水文学公式范文
工程水文学公式范文1.降雨量计算公式：- 平均降雨强度（Ia）：Ia = P / T，其中P是降雨量（mm），T是降雨时间（h）。
- 年最大降雨量（Pmax）：Pmax = (P / T) * 365，其中P是降雨量（mm），T是降雨时间（h）。
2.面雨量计算公式：- 面平均降雨强度（Im）：Im = P / A，其中P是降雨量（mm），A 是面积（km^2）。
- 面平均降雨量（Ia）：Ia = (P / A) * 1000，其中P是降雨量（mm），A是面积（km^2）。
3.洪水频率计算公式：- 洪峰流量计算公式（Qp）：Qp = C * A^B，其中Qp是洪峰流量（m^3/s），C和B是常数，A是汇流面积（km^2）。
-设计频率计算公式：P=1/(1-(1/T))，其中P是设计频率（%），T 是重现期（年）。
4.壁面径流计算公式：- 尼曼公式：Q = C * A * I * S，其中Q是径流流量（m^3/s），C 是径流系数，A是壁面面积（km^2），I是坡度（m/m），S是单位面积平均降雨量（mm/h）。
-基因斯特拉法（GIUH）公式：Q(t)=K*R(t)*h(t)*I(t)，其中Q(t)是时刻t的径流量（m^3/s），K是单位过滤时间和流速的关系系数，R(t)是径流生成函数，h(t)是单位面积的历时洪流函数，I(t)是引起径流的均匀坡度过程。
5.土壤水分计算公式：-含水量计算公式：θ=(Vw/Vt)*100，其中θ是土壤含水量（%），Vw是土壤含水量体积（m^3），Vt是土壤总体积（m^3）。
- 不透水面积计算公式：A = (Pi - θ) * At，其中A是不透水面积（m^2），Pi是降雨量强度（mm/h），θ是土壤含水量（%），At是雨滴时间（h）。
6.蒸发计算公式：- 定性方法公式：E = C * P，其中E是蒸发量（mm），C是蒸发系数，P是降雨量（mm）。
- 量化方法公式：E = K * (Ts - T)，其中E是蒸发量（mm），K是蒸发系数，Ts是水面表温度（℃），T是空气温度（℃）。
《水文频率计算 》课件
参数方法
讨论参数统计方法，如极大 似然估计和最大似然估计。
比较与选择
对比非参数方法和参数方法 的优缺点，为选择合适的方 法提供指导。
常见参数分布的介绍
正态分布
详细介绍正态分布及其在水文 频率计算中的应用。
对数正态分布
解释对数正态分布的特点和使 用场景。
威布尔分布
探讨威布尔分布和极值分布之 间的联系。
次大洪水和常年洪水的频率分析方法
1
次大洪水
解释次大洪水的概念，并介绍常用的分析方法。
2
常年洪水
探讨常年洪水的频率分析方法，如平均流量法和频率分析图。
3
工程设计
讨论次大洪水和常年洪水在工程设计中的应用，如排水系统和河道改造。
非参数方法与参数方法的比较
非参数方法
介绍非参数统计方法，如经 验分布函数和核密度估计。
频率分析
学习如何进行频率分析，从极 值分布中估计流域的洪水频率。
案例分析
通过实际案例演示极值分布和 频率分析的应用。
设计洪水的频率分析方法
雨量观测
介绍设计洪水频率分析的基本数 据要求，包括雨量观测和水文站 数据。
水工结构
探讨设计洪水频率分析与水工结 构设计的关系，如水坝和排水系 统。
水文模型
使用水文模型进行设计洪水频率 分析，并预测极端气候事件。
结合实际的水文频率计算方法
案例分析
结合实际案例，演示如何进行 水文频率计算，并解读分析结 果。
工程设计
探讨如何将水文频率计算方法 应用于工程设计，确保工程的 安全可靠性。
效果评估
评估水文频率计算方法的准确 性和可靠性，及其在实际工程 中的实际应用成效。
水文频率计算
007第七章 水文频率计算1110.ppt
在x近=曲线当度在为a0线α曲曲β相当密点2=的线 线切，2α度处时起呈的>，右曲与2，点铃起右端时线x并轴型点端以C，呈在S相，，以x铃=C轴该切左起x2S型轴为1点<，端点/，2为渐2处右，截斜在1渐近与/端密止率2起线，
以x轴为渐近线
x
4 CS 2
铃形比较符合实际
结合水文随机变量物理性质，从理论上讲，在水文中应用 P-Ⅲ型分布时，三参数应满足以下二个关系：
0.04 3.807 3.619 3.357 3.148 2.927 2.613 2.356 2.075 1.898 …
0.06 3.849 3.657 3.389 3.176 2.951 2.632 2.37 2.086 1.906 …
0.08 3.892 3.695 3.422 3.205 2.976 2.651 2.385 2.096 1.914 …
1, P-Ⅲ型分布频率计算
(1) P-Ⅲ型分布的密度曲线形状
f
(x)
(
)
(x
a0 )
1e
( x a0
)
x a0
式中a0,, 0为参数。
E(X )
a0，
D( X
)
2
2
。
CV
a0
CS
2。
由此，三个原始参数，，a0可以用
基本参数E(X ),CV ,CS表示如下
a0
EX
(1
2CV CS
当 Cs 0, ，此时 为标准化正体分布∴结论是对的
x EX,由于x与是严格单调函数，故
f
f
x
x
dx
d
EX a e 1 EX a
2
EX
a
简析水文频率计算中各参数的意义
简析水文频率计算中各参数的意义水文频率计算是工程水文计算中的重要环节之一，我国水文统计中应用最广泛的有正态分布型和皮尔逊Ⅲ型分布型两种。
而皮尔逊Ⅲ型水文频率曲线在我国水文频率计算中应用最为普遍。
现就水文频率计算中出现的参数做一下解释。
一、 均值1、设某水文变量的观测系列为1x 、2x 、…、n x ，则其均值为：∑==+++=n i i n x n n x x x x 1211均值表示系列的平均情况，可以说明这一系列总水平的高低。
例如甲河多年平均流量s Q /m 15603=甲，乙河多年平均流量s Q /m 1.3223=乙，说明甲河的水资源比乙河丰富。
2、模比参数i K xx K i i =11121==+++=∑=ni i n K n n K K K K当我们把变量x 的系列用相对值即用模比系数K 的系列表示时，则均值等于1，这是水文统计中的一个重要特征。
二、 均方差均值能反映系列中各变量的平均情况，但不能反映系列中变量值集中和离散的程度。
均方差(δ)就是表示随机变量与分布中心x 离散程度的参数。
nx x ni i21)(∑=-=δ从式中可以看出，如果变量取值i x 距离x 较远，则δ大，即此变量分布较散，如果i x 离x 较近，则δ小，变量分布比较集中。
三、 变差系数均方差不能说明均值不相等系列的离散程度，为了克服以均方差衡量系列离散程度的这种缺点，数理统计中用均方差与均值之比作为衡量系列相对离散程度的一个参数，成为变差系数（v C ），又称为离差系数或离势系数。
nKxC ni iv 21)1(∑=-==δ对水文现象来说，v C 的大小反映了河川径流在多年中的变化情况。
例如，由于南方河流流水量充沛，丰水年和枯水年的年径流相对来说变化较小，所以南方河流的v C 比北方河流一般要小。
四、 偏态系数变差系数只能反映系列的离散程度，它不能反映系列在均值两边的对称程度，在水文统计中，主要采用偏态系数s C 作为衡量系列不对称程度的参数。
水文频率计算方法
x1x3
13
（3-25）
Sf(Cs,P)
S表
附录C P-III曲线三点法 S 与 Cs 关系表
P368
P = 5 ~ 50 ~ 95%
求参步骤
√ 三点法：
① 据(3-25)式左端计算得S值，且已知P1,P2,P3,查 附录C,求得参数Cs；
② 据Cs查附录B
(3-24)式,求得
。
x,Cv ,Cs
2. 优化适线法
最小二乘估计法：
n
S(){ [xi f(Pi,)]2} i1
S(ˆ)minS()
S 0
(3-26) (3-27) (3-28)
End
水文频率计算方法
频率计算推求 xp
参数初估
适线法
一. 统计参数初估方法 1 矩法 2 经验关系法 3 三点法 4 权函数法 5 概率权重矩法
矩法
1.矩法
依据实测系列计算三个统计参数：x,Cv ,Cs
经验法
2. 经验关系法
x
1 n
n
xi
i1
Cv
(K i 1) 2
n 1
Cs初值：
设C 计s 暴 雨量( n
x
2
x (1 C v 2 )
x 3 x (1 C v 3 )
（3-22）
三点的取法： 1～59% 或 3～50～97% 或 5～50～95% 或 10～50～90%
参数计算公式
x 1x3 3x1 1 3
Cv
x1 1x3
x3 3x1
（3-23） （3-24）
x1x32x2 1322 =S 偏度系数
计算表 题 P66
p m 100% n 1
年最大洪峰流量 Q（m3/s)
2010-5水文统计-频率分布与计算
22/51
1）等概率公式
P
m 100% n
特点：样本最大(小)值成为总体的最大(小)值，因而不合理。 2）海森公式(平均公式)
m 0 .5 P 100% n
特点：样本最大项的重现期 T＝n/(1－0.5)＝2n，过分偏于不 安全。
23/51
3）数学期望公式(韦布公式)
m P 100% n 1
特点：假定样本系列各项的经验频率等于其同序号理论频率
的平均值，未必符合实际。 4）切哥达也夫公式(中值)
P
m 0 .3 100% n 0 .4
就发生一次，可能性不大。
1870 N
34/51
n
1992
于是，又在四川忠县长江北岸2km处的选溪山洞中调查到宋绍兴23年 （南宋赵构年号）即1153年发生过一次大洪水，该次洪水小于1870年， 还可以肯定自1153年以来1870年洪水为最大，则1870年洪水的重现 期应为 N＝1992－1153＋1＝840（年）。
0
E0
x
x
特点：两个参数α和μ；单峰，正偏，Cs>0；曲线起点座标为0，上端 趋于无限，并以x轴为渐近线。
12/51
分布函数：
F ( x) 1 exp[ e
( x )
]
用于拟合最大洪水、海洋波浪等的近似分布。
问题：归纳各个数字特征及其关系(x、б、Cv、Cs、CE、各 阶矩、特征函数等）。
而能提高系列的代表性，使计算结果更合理、准确。
第七章 水文频率计算
§7－3 P-Ⅲ型分布参数的估计
• P-Ⅲ型分布是我国水利水电工程水文计算规范 中推荐采用的分布,我国水文工作者对其参数估 计的方法作了大量研究,现行广泛采用的是适线 法。
一、适线法
适线法不是给出估计量的计算公式，而是由 实测样本直接推求参数的估计值。
（一）适线法的基本原理
设随机变量X的超过制分布函数P( X x) G(x;u10,L ,ul0 ) 的函数类型已知(本书沿用水文上的习惯,采用超过制分布 函数),其中的参数u10 ,L , ul0未知,待估计,又设x1, x2 ,L , xn为 X的一个容量为n的样本,现要利用这个样本通过适线法估计 参数u10 ,L , ul0的值。
基本参数E( X ),CV ,CS表示如下
a0
E(X
)(1
2CV CS
)
4 CS 2
2
E( X )CV CS
X的分布函数为
F(x)
( )
x a0
(
x
a0
)
1
e
(
xa0
)dx
X的超过累积概率为
G(x) P(X x)
( )
x
(
x
a0
)
1
e
(
xa0
)
d
x
令 t x E(X )
则 x t E(X )
记
vk= E(Xk)=gk(u01,…,u02,u0l)
• 从方程组
可解出
•
•
• 以后在不造成混淆的情况下，随机变量与普通变 量不再严格按大小写作区分。
矩 法 例题
• 例：设（X1,X2 , … , Xn )为总体X的一个样本，求总体的 均值a , 及方差σ2的矩估计。
工程水文学同频率法计算
工程水文学同频率法计算工程水文学中的同频率法计算主要包括以下七个方面：1.洪水频率分析洪水频率分析是工程水文学中重要的一部分，主要用于研究洪水的频率和特征。
进行洪水频率分析时，首先需要收集历年的洪水数据，包括洪水的过程线、峰值流量、洪水总量等，然后根据这些数据确定洪水频率曲线。
洪水频率分析的主要步骤包括：数据收集、洪水过程线构建、洪水频率曲线拟合、洪水图表绘制等。
2.暴雨频率分析暴雨频率分析主要是用来研究暴雨的频率和特征。
进行暴雨频率分析时，需要收集历年的暴雨数据，包括暴雨的过程线、降雨量、降雨时间等，然后根据这些数据确定暴雨频率曲线。
暴雨频率分析的主要步骤包括：数据收集、暴雨过程线构建、暴雨频率曲线拟合、暴雨图表绘制等。
3.河流流量变化分析河流流量变化分析主要是用来研究河流流量的变化特征。
进行河流流量变化分析时，需要收集历年的河流流量数据，包括洪水期和非洪水期的流量值，然后根据这些数据确定河流流量变化曲线。
河流流量变化分析的主要步骤包括：数据收集、河流过程线构建、河流流量变化曲线拟合、河流图表绘制等。
4.水库调度模拟水库调度模拟主要是用来研究水库的调度过程和效果。
进行水库调度模拟时，需要收集历年的水库调度数据，包括入库流量、出库流量、水位等，然后根据这些数据模拟水库的调度过程。
水库调度模拟的主要步骤包括：数据收集、水库调度线构建、水库调度模型拟合、水库调度图表绘制等。
5.水位流量关系推求水位流量关系推求主要是用来研究水位和流量之间的关系。
进行水位流量关系推求时，需要收集历年的水位和流量数据，然后根据这些数据确定水位流量关系曲线。
水位流量关系推求的主要步骤包括：数据收集、水位流量关系构建、参数拟合、水位流量图表绘制等。
6.输水渠道水位流量推求输水渠道水位流量推求主要是用来研究输水渠道的水位和流量之间的关系。
进行输水渠道水位流量推求时，需要收集输水渠道的水位和流量数据，然后根据这些数据确定输水渠道水位流量关系曲线。
水文频率计算的误差原因分析及建议
可见，灌区内浅层地下水主要消耗于人工开采消耗，占总消耗量的５５％以上。
３．４．３浅层地下水量计算在合理埋深的条件下，计算灌区浅层含水层的储存量，其计算结果为Ｑ储存＝０．９亿ｍ３／ａ。
由此可见，灌区浅层地下水具有巨大的储存能力，同时具有良好的调节能力。
３．５结果分析３．５．１地下水位变化分析从位于灌区内邓李乡湾刘村６号观测井和龚店乡台马村１３号观测井地下水位埋深多年变化图来看，灌区内地下水位变化很小，埋深都是在２．０～４．０ｍ之间变动。
３．５．２结论一是白龟山灌溉补源占到灌区内浅层地下水补源总量的３７％，加上水库侧渗补源，白龟山水库对灌区地下水的补源占总补源量的５１％，对涵养区域地下水资源发挥了主导作用；二是灌区内地下水位长期稳定，埋深浅，与相近的甘江河南岸相比，地下水埋深高出８￣１０ｍ，为今后地下水开发利用提供了较好的前提条件；三是根据分析计算，区域内浅层地下水总量为０．９亿ｍ３／ａ，可采资源量为０．５９０亿ｍ３／ａ。
收稿日期：２０１２－０１－０６1.问题的提出１９７５年８月，河南省中南部的沙颍河、洪汝河等水系发生了特大暴雨，出现了建国以来罕见的特大洪水，导致了境内的板桥和石漫滩两座大型水库垮坝，给全省乃至全国水利界带来很大的震动和反思。
这次史称“７５·８”的特大暴雨洪水，刷新了许多水文要素国内实测系统值的记录。
洪水过后，河南水利界的反思之一就是对境内所有大型水库的规划指标进行了重新修订。
笔者通过比较发现，在规划频率不变的情况下，一些水库（如：板桥、薄山、陆浑等）的规划值修订前后发生了很大变化，这实际上是由于规划时进行水文频率计算的误差造成的。
水文频率计算的误差在教科书和水文规范中虽然没有提及，但在实际工作中却经常遇到。
2.频率计算概述水文频率计算是水文资料应用于国民经济其它行业规划时的最常用计算之一。
常用的经验频率公式为Ｐｍ＝ｍｎ＋１（其中ｎ为资料系列长度，ｍ为所选水文要素排序后的序号）。
水文频率计算适线法
5.改变参数，选
定Cv＝0.30， Cs＝0.75，查 表计算出各xP
值。
绘制频率曲线， 该线与经验点据 配合较好，取为 最后采用的频率 曲线。
配线法得到的成果仍具有抽样误差，而这种 误差目前还难以精确估算，因此对于工程上 最终采用的频率曲线及相应的统计参数，不 仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结 合水文现象的物理成因及地区规律进行综合 分析。
全相关和零相关之间
直线相关
将对应的 xi 与 yi（ i = 1,2,…n ）对应
点绘在方格纸上，如果点据的平均趋势
线为直线，说明变量x与y为线性相关, 满足方程： y ＝ a ＋ bx
相关系数
y 倚 x 回归方程
X 倚y 回归方程
y 倚 x 回归方程
X 倚 y 回归方程
水文频率计算适线法
x
1200
W（X≥xi）＝i / n
1000
800 0
20
ห้องสมุดไป่ตู้
40
60
80
100 W（%）
某地年降雨量经验分布曲线
二、经验频率
如果用P（X≥xi）＝m/n 的经验分布曲
线估计总体分布曲线，存在不合理现象。
当m＝n时，最末项的频率为100%，样
本末项值为总体中的最小值，不符合事实。
水文上用期望值公式估计频率
作业4
某水库坝址处的年平均流量资料如表1 所列，现要求用适线法（Cs＝2Cv）推 求设计标准P＝90%的设计年径流量。
表1 某水库坝址处年平均流量表 单位：m3/s
年份 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 流量 11.9 7.78 10.0 9.64 14.4 4.73 7.83 10.4 10.2 10.9 年份 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 流量 12.6 10.3 15.1 7.24 11.3 11.7 8.42 16.9 6.82 5.74 年份 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 流量 15.6 10.7 5.15 7.27 13.1 7.72 6.42 12.9 13.2 9.49
水文频率计算方法
经验点 经验矩法配线
三点法配线
12000 8000 4000
0.1 1
Q50%
Q95%
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 99 频率P(％)
优化法
2. 优化适线法
最小二乘估计法：
n
S ( ) { [xi f (Pi , )]2} i 1
S(ˆ) min S( )
模比系数
Ki (5) 2.417 2.101 1.635 1.529 1.353
1.116 1.108 1.063 1.055 1.002
Ki－1
(6) 1.417 1.101 0.635 0.53 0.354 0.336 0.116 0.108 0.064 0.055 0.002
(Ki－1)2
(7) 2.0088 1.2119 0.4032 0.2803 0.1251 0.1129 0.0135 0.0115 0.0040 0.0030 4.4E-06
总计 295780 — 295780 26.00 0.00 6.2145
44.44
48.15
51.85
55.56
59.26
62.96
66.67
70.37
74.07
77.78
81.48
85.19
88.89
92.59
96.3
—
图
年最大洪峰流量Q（m3/s)
28000
24000
Q5%
20000
16000
Q1% = 31114 m3/s Q1% = 30450 m3/s
（经验法初估参数 ） （三点法初估参数）
计算表 题 P66
年份
最大流量
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《水文频率计算》
根据某水文现象的统计特性,利用现有水文资料,分析水文变量设计值与出现频率（或重现期）之间的定量关系的工作过程称为水文频率计算。
自然界的现象按发生情况可分成：必然事件，即在一定条件下必然会发生的事情，如降雨以后就要涨水是必然发生的；不可能事件，即在各条件实现之下永远不会发生的事情，如只在重力作用下的水由低处向高处流是不可能的；随机事件（也称偶然事件），即在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如每条河流每年出现一个流量的年最大值是必然的，但这个最大值可能是这个值也可能是那个值，它在数量上的出现是一种随机事件。
频率计算中是以1来表示必然事件出现的可能性（即百分之百出现）,以0表示不可能事件出现的可能性，随机事件出现的可能性介于0与1之间。
水文要素。
如降雨、流量等在量的出现方面都有随机性的特点，水文变量如年雨量、年最大洪峰流量、枯季最小流量等都属于随机事件，均可用频率分析方法来分析计算。
水文频率分析主要包括：利用现有水文资料组成样本系列，选择合适的频率曲线线型和估计它的统计参数，根据所绘制的频率曲线推求相应于各种频率（或重现期）的水文设计值。
样本系列。
无限个成因相同、相互独立的同类水文变量的集合称为该水文变量的总体。
这个总体是未知的，现有水文资料只是过去发生过的和今后可能发生的整个总体中的一个样本。
把现有水文资料
的水文变量按大小次序排列组成一个系列，称为样本系列，其中所含水文变量的项数（系列长度）叫做样本容量。
系列愈长，样本容量愈大。
水文频率分析就是通过样本系列的统计特征来估计其总体的统计特征，如各种统计参数、某水文变量的频率等。
因此，样本系列是水文频率分析的基础。
用样本系列去推估容量很大或无限的总体的情况，会产生因抽样而引起的误差，这就是抽样误差。
水文统计分析中所估计出的各种数值（如频率、分析中的各个参数、相关系数等）都有抽样误差。
样本的容量越大误差越小，否则误差越大。
抽样误差分析方法有两种：①解析法。
用统计原理推求出抽样误差的公式，按公式求得抽样误差值。
例如,均值的均方（抽样）误差值为，其中Cv为所研究变量系列的离差系数,n为系列的长度或样本容量。
②统计试验法。
即生成很长的资料系列，来研究样本容量一定时统计分析中各种数值的抽样误差。
经验频率。
样本系列中某水文变量x大于或等于一定数值xm(即x≥xm)的可能性大小即为频率,一般用符号pm｛x≥xm｝来表示，其值在0与1之间。
例如,某河段年最大洪峰流量系列中,出现流量Q≥1000米3/秒的可能性为百分之一，则称Q≥1000米3/秒的频率等于1％。
设系列共有n项，其中第m项xm的频率Pm常用下列公式来计算：<BR>水文频率分析中，称上式为经验频率公式，而Pm亦称为系列中第m 项的经验频率。
经验频率在绘制频率曲线的适线法中应用。
重现期。
指某水文变量的取值(x≥xm)在很长时期内平均多少
年出现一次。
重现期(T)与频率(P)的关系对下列两种情况有不同的表示方法：①当研究防洪治涝的暴雨、洪水时,采用设计频率P<50％,则T＝1/P(年)。
例如，当P=1％时，得T=100年，称为百年一遇的暴雨或洪水。
②当考虑兴利或枯水问题时，采用设计频率P>50％，则T=1/(1-P)（年）。
例如,当灌溉的设计频率P=80％时，得T=5年，称为5年一遇的枯水。
象暴雨或洪水那样的水文现象并无固定的周期，所谓百年一遇是指大于或等于这样的洪水在很长时期内平均每百年出现一次，而不能理解为恰好每隔百年出现一次。
对于具体的100年来说，超过这种洪水可能不止一次，也可能一次都不出现，而只是说明长时期内平均每年出现的可能性为1％。
统计参数。
资料系列的数量水平和变化幅度等情况的综合特征值称为统计参数。
绘制频率曲线，除了需掌握系列各项的经验频率之外，还须了解系列的统计参数。
水文频率分析中，常用三个统计参数，即均值（算术平均值的简称）塣(zheng.4)、离差系数Cv (也称变差系数)和偏差系数Cs。
均值是集中表示系列数量级大小或水平高低的指标，例如对降雨系列，均值大的表示雨量充沛，反之表示雨量稀少。
离差系数表示系列中各项值对其均值的相对离散程度的指标，它是系列均方差与均值之比。
如果离差系数Cv较大，即系列的离散程度较大，亦即系列中各项的值对均值离散较大，如果Cv较小，则系列的离散程度较小，亦即系列各项的值同均值相差较小。
偏差系数是表示系列中各项的值偏于均值左右的情况的相对指标。
如果大于均值的各项值占优势称为正偏(Cs>0)；若小于均值的各项值占优势称为负偏
(Cs<0)；当大于均值和小于均值的各项值都不偏时称为对称(Cs=0)。
频率曲线。
把水文变量和频率表达成一定的数学关系式并将它画成图形，即为频率曲线。
其线型常用的有：Γ分布或皮尔孙Ⅲ型分布曲线,极值Ⅰ型分布或贡贝尔分布曲线，对数正态分布曲线,对数Γ分布或对数皮尔孙Ⅲ型分布曲线等。
频率曲线常画在概率格纸上。
这种格纸的纵坐标为均匀分格或对数分格，表示水文变量；横坐标按某种概率分布（一般取正态分布）分格，表示频率。
将水文变量同其相应的经验频率关系(称为经验频率点)点绘在概率格纸上，用一定的配线准则，可以配出一条频率曲线。
从20世纪60年代以后，中国一般采用皮尔孙Ⅲ型曲线。
有时（如在初估时），也有用目估方法通过经验频率点的点群中心徒手绘制频率曲线的
频率曲线的绘制方法。
每种频率曲线均含有一定个数的统计参数,一般有三个,即均值、离差系数和偏差系数。
在频率曲线线型选定之后，就要估计这些参数。
有了这些参数，就可以绘出频率曲线。
统计参数的估计方法常用下列几种：①适线法。
在概率格纸上用频率曲线去配合样本系列的经验频率点据，取用配合较佳时的统计曲线。
这种方法常用的有目估适线法和优化适线法。
目估适线法是通过工作者的目测，以他认为曲线与点据配合较佳时的曲线为准;这种方法具有一定的任意性,不同工作者会得到不同的结果，但它能照顾精度较高或占重要位置的点据。
优化适线法要用一定形式的目标函数，使其最小而得，最小二乘法和离差绝对值之和最小法属于此类；这种方法可以避免适线的任意性，在统计试验法中应用较好，而在实测资料的分
析中，难以照顾精度较高或占重要地位的点据。
②矩法。
是用头几阶矩来估计频率曲线统计参数的方法，矩的阶数同统计参数的个数相同。
③极大似然法。
是使估出的统计参数代入频率曲线的密度函数中，得到系列中各水文值对应的频率密度之乘积为最大。
中国主要采用适线法。
成果合理性检查。
现有的水文观测资料一般较短，至多百年左右。
在推求千年一遇或万年一遇水文设计值（如千年一遇或万年一遇的洪峰流量）时，必须把频率曲线外延，外延愈远，估计所得的水文设计值的误差愈大。
因此，水文频率分析时，要求尽可能地调查历史上发生过的大洪水，参证审查后加入频率分析。
同时，必须对频率分析成果在时间上（单站各长短时段）和空间上（情况相似的地区上）作合理性分析。
例如，相同频率时短时段的水文值不能大于长时段的水文值，相邻站同类水文系列的统计参数不能相差太大等。