2.3分布函数的定义及性质

一. 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次 品，在其中取三次，每次任取一只，作不放 回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （1） 求 X 的分布函数， （2）画出分布函数的图 形。
X 0,1,2 解： X的所有可能取值为：
3 22 C13 P{ X 0} 3 35 C15 1 2 C13 C2 1 P{ X 2} 3 C15 35 2 1 C13 C2 12 P{ X 1} 3 C15 35
对任意实数 x， P ( X x ) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x)
( x )
为 X 的分布函数 , 记作 F (x)=
P( X x)
x
注:
o X
x X
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 ( , x ] 内的
引进微积分来研究随机试验
连续型随机变量能否如同离散型随机变量用分 布律一样来处理呢？ 在处理实际问题中, 常常关心的是一个随机变 量 X 落入某个区间 ( a , b]内的概率.
参军青年关心的是他的身高是否达到标准 误差、元件的寿命等 · · x 注意到概率关系 a b P ( a X b ) P ( X b) P ( X a )
X 1 x 2, pk
1
2
3
2 x 3, x 3.
1 4
1 2
1 4
注: 一条阶梯形的曲线,
由 F ( x ) P{ X x } ,
得
1 1 1 P{ X } F ( ) , 4 2 2
X
pk
1 ,1 1 1x 2, 1 4 F ( x4 ) 2 4 3 , 2 x 3, 4 1, x 3.
解 当 当
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
x X0

x X1

2
x
X
0
1
2
pk 1 3 1 6 1 2
1 x < 2 时， 1 1 1 F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 3 6 2 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
当
0
1

x x x X2 X

故
x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 x2 1,
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
下面我们从图形上来看一下. 1 y
12 13
0
O
16
O
1
2
x
一般地
F ( ) lim F ( x ) 0
x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.
例2 设r.v X的分布函数为 F(x ) A B arctan x ,x R 求A=?, B=? 解
π F(-∞) = A + B(- ) = 0, 2 π F(+∞) = A + B(+ ) = 1, 2
F x2 F x1 P x1 X x2 0
(2) 0 F ( x ) 1
且
F x 0 F ( ) xlim
F ( ) lim F x 1
x
(3) F(x) 右连续，即
x x0
lim F ( x ) F ( x0 )
当 x 0 时,
当 x 2 时,
P{ X 0} P{ X 1} 34 35 F ( x) 1
故
x0 0, 22 , 0 x1 35 F ( x) 34 , 1 x 2 35 x2 1,
二. 一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1、2、 3、4、5、6，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最小号码，写出随机 变量 X 的分布律及分布函数。
F ( x ) P( X x), x
o X x X x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.
二、分布函数的性质 (1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x x1 F x2 ;
X 1,2,3,4 解：X的所有可能取值为： 2 2 1 C5 C 3 4 P{ X 1} 3 P{ X 2} 3 C6 2 C 6 10
2 C3 3 P{ X 3} 3 C 6 20 2 C2 1 P{ X 4} 3 C 6 20
3 1 P{ X 1} P{ X 2} 2 10 3 1 P{ X 3} P{ X 4} 20 20 F ( x ) P{ X x }
· a
· x b
7) P (a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b 0) F (a 0)
·
a
b
x
8) P (a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b 0) F (a )
· a
b
x
9) P ( a X b ) P ( X b ) P ( X a )
Ex
作业： 教材习题
练习题
一. 设在 15 只同类型零件中有 3 只是次 品，在其中取三次，每次任取一只，作不放 回抽样，以 X 表示取出次品的只数， （1） 求 X 的分布函数， （2）画出分布函数的图 形。
二. 一袋中有 6 只乒乓球，编号为 1、2、 3、4、5、6，在其中同时取三只，以 X 表 示取出的三只球中的最小号码，写出随机 变量 X 的分布律及分布函数。
A=1/2, B=1/π.
例3
已知随机变量 X 的分布函数为
x0 0, 1 , 0 x 1 3 F ( x) 1 , 1 x 2 2 x2 1,
求 P ( X 1), P (1 X 2). 解 P ( X 1) P ( X 1) P ( X 1)
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
pk x x
k
四、小结
1.分布函数定义和性质 2.离散型随机变量的分布函数与分布律的互化
题型
1. 利用分布函数的性质来判断一个函数 是否是分布函数或定参数
2. 离散型随机变量的分布函数及分布律 的相互转换，并用于求相应的概率(常 用分布律来就概率)
P (1 X 2) P ( X 2) P ( X 1) F (2) F (1 0)
1 2 1 3 3
离散或连续型随机变量分布函数的求法……
三. 离散型随机变量的分布函数
例1 设 随机变量 X 的分布律为 0 1 2 X
pk 1 3 1 6 1 2 求 X 的分布函数 F (x) .
§2.3 分布函数的定义及性质
一、随机分布函数的定义 二、分布函数的性质
三、离散型随机变量的分布函数 四、小结
回顾 引入随机变量的目的 量化随机事件 9种形式：
{ X x} { X x} { X x} { X x} { X x}
{ x1 X x2 } { x1 X x2 } { x1 X x2 } { x1 X x2 }
x 1, 0, P{ X 1}, 1 x 2, 得 F ( x) P{ X 1} P{ X 2}, 2 x 3, x 3. 1,
0, 1 , 4 即 F ( x) 3 , 4 1, x 1,
22 P{ X 0} 35
12 P{ X 1} 35
1 P{ X 2} 35
F(x) = P(X x)
F ( x ) P{ X x } 0 当 0 x 1 时, F ( x ) P{ X x } P{ X 0} 22 35 当 1 x 2 时, F ( x ) P { X x }
F (b) F (a 0)
·
a
· x b
例1 设有函数 F(x)
sin x 0 x F ( x) 0 其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 解 注意到函数 F(x)在 [ 2 , ] 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 或者
注：如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件, 也可以 用来定分布函数中的待定参数.
(4)分布函数求各种事件的概率
1) P ( X a ) F (a ) 2) P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a ) 3) P ( X a ) F (a 0) lim P ( X x )
x a
xa
x
4) P ( X a ) 1 P( X a ) 1 F (a 0) 5) P ( X a ) P( X a ) P( X a ) F (a ) F (a 0)
· a
x
6) P(a X b) P( X b) P( X a ) F (b) F (a )
设离散型 r .v X 的分布律是