计算传热学第5讲离散方程的求解、加速及注意事项
计算传热学_高等教育-实验设计
坐标系不同，控制方程的形式不尽相同
必要的简化与化简
2.1 控制方程
传热的三种模式（Modes of heat transfer)
热传导（Thermal conduction) 热对流（Thermal advection)
对流换热（Convection heat transfer) 辐射换热（Radiation heat transfer)
数值方法
分析解法与实验研究
分析解法
成本最低 结果最理想 影响因素表达清楚 缺点：局限与非常简单的问题 成本较低：数值实验 适用范围宽 缺点：可靠性差，表达困难 可靠 成本高
数值方法
实验研究
将三种方法有 机结合，互为 补充，必然会 取得相得益彰 的效果
第2讲
传热问题的数学描述
1) 2)
将上面的数学模型无量纲化，并给出其分析解； 取β=1， 就 PeL=(ρuL)/Γ=1、10、100 三种情况分别用三点中心差分格式、迎风格式、幂律格式和 QUICK 格式进行计算，并与分析解比较（计算时节点数目可取为 10 ~ 20） ； 3) 改变参数β，譬如取β=10，重复 2）中的计算； 分析 2）和 3）中得到的结果，对各种格式进行比较。
Tf h A B
Tf h
δ
δ
计算传热学习题之三
考虑下述一维稳态对流-扩散问题,
d d dU ( ρuU ) = (Γ )+s dx dx dx U x=0 = U 0 U
x=L
= UL
其中 u 是流速，Γ和ρ均为常数，而 s 是 x 的单值函数，
s = 0.5 β U 0 −U L L
离散方程的误差与物理特性分析
O(x4 )
5/6/2
差分格式的相容性
4/4
将上述展开式代入差分方程：
Tin1 Tin1 T n O(t 2 )
2t
t i
T n i1
Tn i 1
T n1 i
T n1 i
x2
2T x 2
n
O(x2 )
2T t 2
n
t 2 x2
i
i
T t
n i
a
2T x 2
n i
O(x
2
,
t
2
,
截断误差 在用泰勒展开式推导差分表达式时，仅使用了展开 式的前几项，因此会产生误差，该误差即为截断误 差，以空间步长和时间步长的同阶无穷小来表示。
离散方程的精确解是指在离散方程的求解过程中不 引入任何舍入误差的解。
5/6/1
离散方程的误差类型
3/4
离散误差 离散误差是指网格节点上离散方程的精确解 i偏 离该点上相应的微分方程精确解 i 的值，记为i ， 即 i i i 。
2
5/6/3
初值的稳定性
4/36
当N为偶数时
Cm
=
1 N
1
N 1
j=1
m j1
j
2 i
e
N 1 ，m
N 1
2、、N 1
2
显然，Cm 与Cm共轭。
与其相对应的正余弦形式的傅里叶变换为：
j =a0
N 1
m =1
2
am
cos
mj N
1
bm
sin
mj N 1
其中
Cm
O
(t 3 )
T n1 i
Tin
T t
杨世铭《传热学》考研考点讲义
辐㊀射㊀传㊀热
一 热辐射的基本概念 １ ． 电磁波谱 ２ ． 吸收、 反射、 透射 ３ ． 黑体的概念和作用 ４ ． 黑体辐射的基本定律 Ｓ ｔ ｅ ｆ ａ ｎ － Ｂ ｏ ｌ ｔ ｚ ｍ ａ ｎ ｎ 定律 Ｐ ｌ ａ ｎ ｃ ｋ 定律㊀㊀㊀ Ｗｉ ｅ ｎ 位移定律 Ｌ ａ ｍ ｂ ｅ ｒ ｔ 定律 ５ ． 实际物体的辐射吸收特性 漫射表面 灰体的概念 基尔霍夫定律 实际物体表面简化的可行性 ６ ． 温室效应 二 辐射传热的计算 １ ． 角系数 ２ ． 投入辐射、 有效辐射 ３ ． 任意两表面之间辐射传热 ４ ． 多表面系统辐射传热 表面辐射热阻和空间辐射热阻 画网络图的方法 表面净辐射传热量和任意两表面之间的辐射传热量 两种特殊情形 黑体、 重辐射面 ５ ． 遮热板 遮热板的工作原理 遮热板的应用： 如何进一步提高遮热板的遮热效果， 提高测温精度
换㊀热㊀器
一 传热过程的分析和计算 传热过程 总传热系数
㊀４
杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路
①传热过程的辨析 圆筒壁 ＼ 肋壁的传热 ②总传热系数的计算㊀㊀ 通过平壁 ＼ 强化传热的突破口㊀㊀ 强化传热应从热阻最大的环节入手 临界热绝缘直径 二 换热器的型式及平均温差 换热器的定义、 型式、 特点 简单顺流和逆流的平均温差的计算 简单顺流和逆流的定性温度分布 其它复杂流动布置的平均温差的计算 三 换热器的热计算 设计计算和校核计算 利用平均温差法进行换热器的设计计算 ①所依据的方程㊀㊀ ②步骤 １ ． Ｔ Ｕ法 －Ｎ ①有关概念㊀㊀㊀ ②与平均温差法比较 ２ ． 污垢热阻 二、 杨世铭《 传热学》 考点精讲及复习思路课程安排 第一章 概论— — —１讲 第二章 稳态热传导— — —３讲 第三章 非稳态热传导— — —２讲 第四章 热传导问题的数值解法— — —２讲 第五章 对流传热的理论基础— — —２讲 第六章 单相对流传热的实验关联式— — —２讲 第七章 相变对流传热— — —２讲 第八章 热辐射基本定律和辐射特性— — —２讲 第九章 辐射传热的计算— — —２讲 第十章 传热过程分析与换热器的热计算— — —２讲 第十一章 传质学简介 三、 考试题型 名词解释 如： １ ． 大容器沸腾； ２ ． 流动边界层； ３ ． 辐射传热； ４ ． 传热过程； ５ ． 稳态温度场； 填空 如： 第一类边界条件是㊀㊀㊀㊀㊀㊀。
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
传热学绪论的难点、要点和求解方法
一． 基本知识点
1．传热学：研究由温差引起的热量传递规律的科学。 2．热量传递的基本方式 （1）导热：由于微观粒子的无规则运动产生的热量传递现象。物体各部分之间无宏观相对 位移。 导热的热量传递方程由傅立叶定律表示，对于一维导热问题
A t x
AT 4
实际物体
AT 4
3．传热过程和传热系数 (1)传热过程 将热量由壁面一侧流体传递到壁面另一侧流体的过程称为传热过程。 通常传热过程中三年中 传递方式都存在。 （2）传热过程计算 传热方程式
Ak (t f 1 t f 2 )
传热系数
k
1 1 1 h1 h2
负号表示热量传递方向与温度梯度方向相反。 导热是物质固有的本质，因而导热系数是物性参数。通常金属导热系数最高，液体次之，气 体最差。 （2）热对流 对流是指由于流体的宏观运动， 从而流体各部分之间发生相对位移、 冷热混合所引起的热量 传递现象。 对流只发生在流体中。流体中同时存在不规则热运动，因而对流必然伴随导热现象。 对流分为自然对流和受迫对流，本质区别是引起流动的原因。 对流换热是指运动的流体与相接触固体壁面之间的由于存在温差而引起的热量传递现象。 对 流换热机理与紧靠壁面的薄膜层的热传递有关，实质是对流与导热的联合作用。 对流换热基本公式为牛顿冷却公式
、换热面几何形状等有关。 （3）热辐射 物体通过电磁波传递能量的方式为辐射，因热的原因发出辐射的现象为热辐射。 热辐射的波段是指 0.1μm－100μm。物体具有温度就具有热辐射能力。 热辐射不需要介质，可以在真空中传播。 能量转换过程：热能－辐射能－热能黑体的辐射能计算公式采用斯蒂芬－波尔兹曼定律
传热系数不仅与流体物性相关，还与换热过程有关。 3．热阻 热量传递的阻力。分为传热热阻、导热热阻、对流换热热阻和辐射换热热阻。
传热学知识点总结
传热学知识点总结传热学知识点总结传热学，是研究热量传递规律的科学，是研究由温差引起的热能传递规律的科学。
大约在上世纪30年代，传热学形成了独立的学科。
以下是小编整理的传热学知识点总结，欢迎阅读！第一章§1-1 “三个W”§1-2 热量传递的三种基本方式§1-3 传热过程和传热系数要求：通过本章的学习，读者应对热量传递的三种基本方式、传热过程及热阻的概念有所了解，并能进行简单的计算，能对工程实际中简单的传热问题进行分析（有哪些热量传递方式和环节）。
作为绪论，本章对全书的主要内容作了初步概括但没有深化，具体更深入的讨论在随后的章节中体现。
本章重点：1.传热学研究的基本问题物体内部温度分布的计算方法热量的传递速率增强或削弱热传递速率的方法2.热量传递的三种基本方式(1).导热：依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递。
传热学重点研究的是在宏观温差作用下所发生的热量传递。
傅立叶导热公式：(2).对流换热：当流体流过物体表面时所发生的热量传递过程。
牛顿冷却公式：(3).辐射换热：任何一个处于绝对零度以上的物体都具有发射热辐射和吸收热辐射的能力，辐射换热就是这两个过程共同作用的结果。
由于电磁波只能直线传播，所以只有两个物体相互看得见的部分才能发生辐射换热。
黑体热辐射公式：实际物体热辐射：3.传热过程及传热系数：热量从固壁一侧的流体通过固壁传向另一侧流体的过程。
最简单的传热过程由三个环节串联组成。
4.传热学研究的基础傅立叶定律能量守恒定律+ 牛顿冷却公式 + 质量动量守恒定律四次方定律本章难点1.对三种传热形式关系的理解各种方式热量传递的机理不同，但却可以（串联或并联）同时存在于一个传热现象中。
2.热阻概念的理解严格讲热阻只适用于一维热量传递过程，且在传递过程中热量不能有任何形式的损耗。
思考题：1.冬天经太阳晒过的棉被盖起来很暖和，经过拍打以后，效果更加明显。
为什么？2.试分析室内暖气片的散热过程。
第四版传热学第五、六,七 八 章习题解答
第五章复习题1、试用简明的语言说明热边界层的概念。
答：在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，而在此薄层之外，流体的温度梯度几乎为零，固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。
2、与完全的能量方程相比，边界层能量方程最重要的特点是什么？答：与完全的能量方程相比，它忽略了主流方向温度的次变化率σα22x A ，因此仅适用于边界层内，不适用整个流体。
3、式（5—4）与导热问题的第三类边界条件式（2—17）有什么区别？答：=∂∆∂-=yyt th λ（5—4）)()(f w t t h h t-=∂∂-λ （2—11）式（5—4）中的h 是未知量，而式（2—17）中的h 是作为已知的边界条件给出，此外（2—17）中的λ为固体导热系数而此式为流体导热系数，式（5—4）将用来导出一个包括h 的无量纲数，只是局部表面传热系数，而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。
4、式（5—4）表面，在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热，那么在对流换热中，流体的流动起什么作用？答：固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关，流动速度越大，边界层越薄，因此导热的热阻也就越小，因此起到影响传热大小5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容？既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解，那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义？答：对流换热问题完整的数字描述应包括：对流换热微分方程组及定解条件，定解条件包括，（1）初始条件 （2）边界条件 （速度、压力及温度）建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系，每一种关系都必须满足动量，能量和质量守恒关系，避免在研究遗漏某种物理因素。
基本概念与定性分析5-1 、对于流体外标平板的流动，试用数量级分析的方法，从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式：x xRe 1~δ解：对于流体外标平板的流动，其动量方程为：221xy u v dx d y u v x y u ∂+-=∂∂+∂∂ρρ 根据数量级的关系，主流方的数量级为1，y 方线的数量级为δ则有2211111111δρδδv +⨯-=⨯+⨯ 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级，那么，等式右侧也是数量级为1级， 为使等式是数量级为1，则v 必须是2δ量级。
大学课件_计算传热学_第五章非稳态问题的求解方法
第5章 非稳态问题的求解方法1.1 通用输运方程()()()()()t t f q Γv tφφρφρφφ,grad div div =++-=∂∂ ( 5-1 )5.1 显式Euler 方法考虑1D, 定速度，常物性，无源项的特例22xx u t ∂∂Γ+∂∂-=∂∂φρφφ ( 5-2 ) 时间向前，空间中心差分，得FD 与FV 相同形式代数方程()t x x u nin i n i n i n i nin i∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+Γ+∆--+=-+-++21111122φφφρφφφφ( 5-3 ) 可写成()ni n i n i n i c d c d d 1112221-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=φφφφ ( 5-4 ) 其中()xtu c and x t d ∆∆=∆Γ∆=2ρ ( 5-5 ) d 表示时间步长与特征扩散时间()Γ∆/2ξρ的比。
后者代表一个扰动由于扩散通过∆x 一段距离所需时间。
c 表示时间步长与特性对流传递时间x u ∆/的比。
后者代表一个扰动由于对流通过∆x 一段距离所需时间。
c 成为Courant number, 为CFD 中一个关键的参数。
此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。
方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。
用矩阵表示：n n A φφ=+1 ( 5-6 )观察函数：()∑---=-=in i ni n n 211φφφφε( 5-7 )如果系数矩阵A 的本征值中有大于1，则ε随着n 的增加而增加。
如果本征值全部小于1，则ε是递减的。
一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示ji n n j e ασφ= ( 5-8 )其中，α为波数，可取任意值。
∙ 无条件发散：φn 无条件随n 增加→|σ|>1 ∙无条件稳定：φn 无条件随n 降低→|σ|<1代入差分方程，得到本征值为：()αασsin 2cos 21c i d +1-+= ( 5-9 )考虑特殊情况，∙ 无扩散：d=0, →σ >0, 无条件发散，充分条件∙无对流：c=0, →当cos α= -1时，σ最大，→d<1/2，无条件收敛，充分条件从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A 的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）d c d 2and 5.0<<( 5-10 )第一个条件要求()Γ∆<∆22x t ρ ( 5-11 )表示，每当∆x 减少一半，时间步长需减少到1/4. 第二个条件要求2Pe or2<<Γ∆cell xu ρ ( 5-12 )这同前述的用1D 稳态对流/扩散问题的CDS 要求是一致的。
传热学第五章导热问题数值解法
2 h∆y
=
h∆y 2 2 + λ t m ,n+1 + t m ,n−1 + 2(t m−1,n + Bi ⋅ t f ) 2(2 + Bi )
9
λ
tf
3）方程组的求解 ） 对应每个未知量（一个节点温度） 一条方程 一条方程（ 对应每个未知量（一个节点温度）→一条方程（一 个节点方程） 方程组有唯一解 个节点方程）→方程组有唯一解 解法：（ ：（1） 解法：（ ）矩阵法 （2）迭代法：高斯 赛德尔迭代 ）迭代法：高斯-赛德尔迭代
λ∆y
t m−1,n − t m ,n ∆x ∆x t m ,n−1 − t m ,n +λ + ∆y ⋅ h(t f − t m ,n ) = 0 2 ∆y ∆y ∆x t m ,n+1 − t m ,n +λ ∆y 2
如取正方形网络
∆x = ∆y
上式简化为： 上式简化为：
t m ,n =
2t m−1,n + t m ,n+1 + t m ,n−1 +
对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 还要把时间分割成许多间隔。 还要把时间分割成许多间隔。
4
2）有限元法 ）
把整个求解域离散成为有限个子域， 把整个求解域离散成为有限个子域，每一子域内运 用变分法， 用变分法，即利用与原问题中微分方程相等价的变 分原理来进行推导，从而使原问题的微分方程组退 分原理来进行推导， 化到代数联立方程组，得到数值解。 化到代数联立方程组，得到数值解。 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法， 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法，差分 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。有限 元法能够很好地适应复杂的几何形状、 元法能够很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料 特性和复杂的边界条件。 特性和复杂的边界条件。
计算传热学第5讲离散方程的求解、加速及注意事项
将方程（12）代入方程（11）
块修正法
ai, j (i*, j
i )
b ( * i1, j i1, j
i1)
c ( * i1, j i1, j
i1)
di, j1(
* i, j1
i ) ei, j1(i*, j1 i )
fi, j
整理后得到:
(ai, j di, j1 ei, j1)i bi1, j i1 ci1, j i1 gi, j
i, j
* i,j
i
(12)
块修正法
收敛时，必然有[参见方程（11）]，
a b c * i, j i, j
Байду номын сангаас
* i1, j i1, j
* i1, j i1, j
d e f *
*
i, j1 i, j1 i, j1 i, j1 i, j
(18)
于是，
g b c *
*
i, j
其中，
g b c *
*
i, j
i1, j i1, j i1, j i1, j
di, j1
e *
i, j 1
i, j1
*
i, j1
fi, j
ai, j
* i, j
(13) (14) (15)
块修正法
将方程（14）对j求和，
(ai, j di, j1 ei, j1)i b i1, j i1 c i1, j i1 gi, j
i1, j i1, j i1, j i1, j
从而，
d e * i, j1 i, j1
* i, j1 i, j1
fi, j
ai,
计算传热学 对流扩散方程的离散格式PPT资料(正式版)
6.1 同位网格上的SIMPLE算法
同位网格
Ø交错网格数据存储不方便 Ø同位网格变量均存储在节点上 Ø如何解决前面所述的两个问题？
6.1 同位网格上的SIMPLE算法
同位网格动量方程的离散形式6. 同位网格上的SIMPLE算法
同位网格 在这里引入了1-deta压差
以上方程可以求解，但是比较复杂
计算传热学 对流扩散方程的离 散格式
主要内容
原始变量法 两个问题 交错网格 交错网格的压力修正方法 同位网格的压力修正方法
6.1 原始变量法
原始变量—非原始变量 基于密度—基于压力 耦合求解—分层求解
6.1 原始变量法
6.1 两个问题
压差
如何求解压力
6.1 两个问题
压差
6.1 两个问题
1 同位网格上的界SIM面PLE上算法的速度如何处理呢？
同位网格的压力修正方法 交错网格的压力修正方法
在这里引入了1-deta压差
6.1 同位网格上的SIMPLE算法
同位网格
Ø同位网格的SIMPLE算法思想与交错网格相同 Øu’，v‘，p’的关系类似于交错网格 Øue，uw等的表达式中的系数需要插值
6.1 压力修正方法
压力修正法的基本思想
u假定压力场，P* u利用压力场求解动量离散方程，得出u*，v* u利用连续方程构造相应的方法，改进压力场，要求改进的 压力场能够满足连续性方程，修正值 p’,u’,v’ uu*+u’,v*+v’,p*+p’作为新的解，开始下一层次的计算 ü如何获得p’？ ü如何在p‘的基础上获得u‘，v’
6.1 压力修正方法
压力修正法的基本思想
ü如何获得p’？ ü如何在p‘的基础上获得u‘，v’ 只有一个连续方程，因此，只能求解一个变量，需要把u’， v’转换成p‘的形式
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
Pe x T T0 exp( cux / k ) 1 exp( L ) 1 TL T0 exp( cuL / k ) 1 exp( Pe ) 1
贝克立数 Pe
cuL
k
cuAT
kA T L
对流传热量/导热量
TL
1
纯导热 P e 0 上游信息对流到下游， 纯对流 下游信息无法通过扩 P e
Pe 10
aE Pe DE aE (1 0.1Pe )5 Pe DE aE (1 0.1Pe )5 DE aE 0 DE
10 Pe 0
0 Pe 10
Pe 10
(f)
aE [| 0, (1 0.1| Pe |)5 |] [| 0, Pe |] De 讨论
而
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
上述若对任何成立必得根据对称特性可以说明为什么前面讨论格式特性只研究函数ab系数性质的含义根据对称及和差特性我们仅须知道红线的值即在0105中心迎风混合指数乘方10迎风指数乘方中心混合54关于假扩散的讨论原始的假扩散概念一维非稳态对流方程纯对流没有扩散差分格式没有考虑非常数源项的影响
传热学-导热数值计算
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值，该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解。
1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm,n 1 ) 4
一阶
4.2.2 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守
恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理
现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依 据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
x y
tm , n
y
2x 2 qw x 1 3x 2 (2tm 1,n 2tm ,n 1 tm ,n 1 tm 1,n ) 6 2
讨论关于边界热流密度的三种情况： （1）绝热边界
即令上式 qw 0 即可。
（2）qw 值不为零
流入元体，qw 取正，流出元体，qw 取负 （3）对流边界 此时 qw h(t f tm,n ) ，将此表达式代入上述方程，并 将此项中的
tm , n 1 (tm 1,n tm 1,n tm ,n 1 tm ,n 1 ) 4
（4） 设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭
代解法，传热问题的有限差分法中主要采用
迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温
度场预先设定一个解，这个解称为初场，并
在求解过程中不断改进。
4.1.2 物理问题的数值求解过程
计算传热学
如当 ac<0
异号， ∂ 2φ ∂x 2
=
a
∂ 2φ ∂y 2
，波动方程
• 抛物型方程: b2 − 4ac = 0 , 过该点有一条实的特征线
如当 ac=0
， ∂φ = a ∂2φ ，非稳态导热 ∂t ∂y 2
• 椭圆型方程: b2 − 4ac < 0 , 过该点无实的特征线
2
如当
ac>0
同号，
∂ 2φ ∂x 2
4
iv. 频谱法（spectral schemes） v. 边界元法(boundary element methods) vi. 分区自动化(cellular automata) 不同的方法影响精度，求解问题的难度，编程和调试的难度，计算的速度。 精度越高，涉及的网点就越多，系数矩阵就越大，需要的内存就越高，由此 不得不使用粗网格，结果反而影响精度。目前一般二阶精度为最佳选择。
5
1.2.4 空间区域的离散化
i. 计算区域(domain)
ii. 网格(grid)
iii. 网格线(grid line)
iv. 格子（cell）
v. 节点(grid pointer，node, center node) • 计算节点（computational node, FDM） • 节点（FVM）
vi. 控制容积(control volume，CV)
vii. 界面(face)
1.2.5 数值网格（numerical grid）
i. 结构化网格(structured grid)或称规则网格(regular grid) • 网格线：自己不交，以其它线只交一次。 • 节点可用一组坐标下标唯一表示， 例（i,j,k） • 相邻节点坐标用 ±1 表示 优点：使用广泛 缺点：只适合几何简单的计算区域
计算传热学程序介绍
计算传热学程序介绍计算传热学是用计算的方法研究热传递过程，给出刻画这些过程的状态量的数值大小，并据此来认识热传递过程及其变化规律，实际上计算传热学是一种近似方法，其基础是数值方法是离散化的近似算法，通过求解非连续的（分析解是连续的）区域代表点上待求变量的近似值。
本课程计算传热学程序的核心是用一系列的点代表连续的求解区域，本程序求解的核心是用离散的变量代替连续的变量。
计算传热学程序计算方法的计算步骤如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧ 积分法级数展开法方程离散化内节点法外节点法区域离散化能量守恒动量守恒质量守恒数学模型物理模型计算传热学步骤控制容积多项项拟合T aylor 计算方法首先提出问题——流动性质（内流、外流；层流、湍流；单相流、多项流；可压、不可压……），确定流体属性（牛顿流体：液体、单组分气体、多组分气体、化学反应气体；非牛顿流体）；然后分析问题——建模——N-S 方程（连续性假设），Boltzmann 方程（稀薄气体流动），各类本构方程与封闭模型； 根据分析结果解决问题——差分格式的构造/选择，程序的具体编写/软件的选用，后处理的完成；最后形成成果说明——文字，提交报告。
本课程计算传热学程序采用二维椭圆型流动和传热问题通用计算程序为基础研究计算传热学程序的计算方法，该程序具有以下特点：1. 采用原始变量法，即以速度U 、V 及压力P 作为直接求解的变量2. 守恒型的差分格式，离散方程系对守恒型的控制方程通过对控制容积作积分而得出的，无论网格疏密程度如何，均满足在计算区域内守恒的条件；3. 采用区域离散化方法B ，即先定控制体界面、再定节点位置4. 采用交叉网格，速度U 、V 与其他变量分别存储于三套网格系统中；5.不同的项在空间离散化过程中去不同的型线假设，源项采用局部线性化方法；扩散——对流项采用乘方格式（但很容易转化为中心差分、迎风差分或混合格式）；街面上的扩散系数采用调和平均法，而密度与流速则用线性插值；6.不稳态问题采用全隐格式，以保证在任何时间步长下均可获得具有物理意义的解；7.边界条件采用附加源项法处理；8.耦合的流速与压力采用SIMPLE算法来求解；9.迭代式的求解方法，对非线性问题，整个求解过程具有迭代性质；对于代数方程也采用迭代法求解；10.采用交替方向先迭代法求解代数方程并补以块修正技术以促进收敛。
2020年高中物理竞赛传热学基础05边界层积分方程组的求解和比拟理论共26张 课件
? 2t ?y2
?
0
则有
，因?t而? 0在 ?x
? ? ? ?t u ?t dy?
0 ?x
?t v ?t dy ? 0 ?y
?t
0
a
? 2t ?y2
dy
（b）
其中
? ? ? ?t v ?t dy ? vt ?t ?
0 ?y
0
?t t ?v dy ? 0 ?y
v?t t?
?
?t t ?v dy 0 ?y
则平均对流换热系数 hm 为:
hm
?
?
l
??0.332?? u?
?? ? ?
? ??1 2
1
xc x 2 dx ?
?0
0.0296?? u?
??
? ??4 5 l
? xc
1? x3 dx?
??
? ? Num
?
0.664
Re1c
2?
0.037(Re 4
5?
Re
4 c
5)
?Pr1 3
如果取 Rec ? 5，? 1则05 上式变为：
cf
?
?w
1 2
?
u
?
? 0.646 Re?x1 2
平均摩擦系数： c fm ? 1.292 Re?x1 2
上面求解动量积分方程获得的是近似解，
而求解动量微分方程可以获得 ? x and c f 的精确解，分别为：
? ? 5.0
x Rex
? ? 4.64
x Re x
c f ? 0.664 Re?x1 2
两个方程，4个未知量：u, t, ?, ?t 。要使方 程组封闭，还必须补充两个有关这4个未知
计算传热学第节求解代数方程组
[ A([T ])][T ] [b([T ])] [T ] [ A*([T ])][T ] [b *([T ])]
[T ]k1 [ A* ([T ]k )][T ]k [b * ([T ]k )]
lim[T ]n [T ]*
n
计算传热学第节求解代数方程组Sun Jining 2008 @ BUAA
Gauss-Seidel ADI迭代格式 aPTPk+1/2=aETEk+1/2 +aWTWk+1/2 +aNTNk +aSTSk+1/2 + b aPTPk+1=aETEk+1 +aWTWk+1/2 +aNTNk+1 +aSTSk+1 + b
4 求解代数方程组
n=0 n=1 n=2 n=3
计算传热学第节求解代数方程组Sun Jining 2008 @ BUAA
计算传热学第节求解代数方程组Sun Jining 2008 @ BUAA
12
迭代求解方法
4 求解代数方程组
计算传热学第节求解代数方程组Sun Jining 2008 @ BUAA
13
对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根 公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。 它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正 根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要 求的结果。
u12 1
0
0
a1n
a2 n
ain
ann
u1 j u2 j
1
0
u1n
u2n
u
jn
1
A LU
令
则
A LU
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i )
b ( * i1, j i1, j
i1)
c ( * i1, j i1, j
i1)
di, j1(
* i, j1
i ) ei, j1(i*, j1 i )
fi, j
整理后得到:
(ai, j di, j1 ei, j1)i bi1, j i1 ci1, j i1 gi, j
aSS aPP aNN b''
(9)
b'' b aWW aEE
(10)
显然，它给出了竖直线之间的迭代。
扫描方向
扫描方向
线迭代法－说明
交替方向法(ADI, Alternative Direction Iteration) 特点：
增加了直接求解的份额 加速了边界信息的传递速度 大幅度地提高了收敛速度（与点迭代相比） 程序仍然相对简单 内存占用增加不多 属于必须掌握的方法
2nd
1st
扫描方向
3rd
2nd
线迭代法－说明
程序中扫描方向的设计
最佳方案：每个坐标方向上各进行来回两次扫描 简化方案：每个坐标方向上各进行一次扫描
对坐标系进行调整，起始线：确定信息
y
3rd
y
2nd
2nd 2nd
1st
1st
x
3rd
2nd
x
5.4.2 多重网格法
Multi-grid method的依据
线迭代法－说明
分类
Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 松弛迭代 系数一定要采用Jacobi迭代，否则
扩散系数计算的不一致 导致违反流的相容性原则 迭代过程发散
线迭代法－说明
扫描方向与扫描起始线
对收敛速度的影响比较大
有确定信息的边界作为扫描起始线 扫描方向：对着边界信息较确定的边界 各边界信息量相同时：“短路径”原则
陶文铨《数值传热学》
第4章第4.4节 第7章
5.1 离散化方程的求解必须讲求方法
离散化代数方程的求解
不论何种方法 不论问题的性质如何 且一般是非线性的 具有基本重要性 不可或缺
离散化方程的求解必须讲求方法
直接方法（或精确解法）direct solution
j
j
j
j
令，
Bi (ai, j di, j1 ei, j1)
j
Ai bi1, j
j
Ci ci1, j
j
Di gi, j
j
(16)
块修正法
于是有，
Bii Aii1 Cii1 Di (17)
i 2,3,4,......,N 1
多重网格法
实际操作时：
先由密到疏，再由疏到密
细网格：衰减误差的短波分量 粗网格：衰减误差的长波分量
迭代：控制迭代次数，监视迭代误差
尽可能采用直接法求解
最细层次网格上的迭代：控制迭代精度，监 视迭代次数
多重网格法
两层网格之间：
有尽可能多的“继承关系” 减少插值（由细到粗） 简化由粗到细网格的插值 （插值方法在这里是关键技术）
(1) (2) (3)
(3a)
几个基本事实
离散化方程的形式
对于一维问题，它是一个三对角方程，TDMA法 对于多维问题：
大型稀疏系数矩阵 不能形成“对角”方程
对角方程：高效的求解方法
聪明的节点编号：“对角方程”
几个基本事实
迭代法是近似法
理论上：给出任意指定精度的近似解
迭代法的收敛速度
问题的性质 结点数目增加，收敛速度迅速降低 Recall：数值解的精度与子区域的大小有关
实际问题：结点数目非常大
为什么节点数增加，收敛速度下降？
边界条件信息向区域内部的传递速度
节点多了，层次多了，“路径” 长了，收敛速度慢了！
特别提示
加速边界信息的传递，必然会提高收敛 速度
迭代解，即，
P
(0) P
[P
(0) P
]
(1 )P(0) P
(4)
从方程（1）中解出P代入（4），有，
P (1)P(0) 来自anb aPnb
b aP
(5)
松弛法（Relaxation method)
是松弛因子， relaxation factor
b' b aSS aNN
(8)
方程（7）形式上变为一维问题
线迭代法
说明： 形式上变为一维问题
b’中的S和N是未知的：上次迭代值
在同一条线上求解 逐线求解，直到覆盖整个求解区域。
扫 描 方 向
扫 描 方 向
线迭代法
当然，将方程（2） 还可以这样改写，
复杂问题一般用亚松弛
公式(5):点迭代（stepwise iteration)
程序简单 收敛速度慢 计算机速度的提高：点迭代的可能性
松弛法（Relaxation method)
松弛法的基本思想：具有重要意义
点迭代 线迭代 源项等的处理：对于强源项问题，
S S (0) [S S (0) ]
未知数个数巨大 计算工作量太大，根本得不到解 舍入误差（round-off error)
得不到“精确解” 精确解法的结果往往是错误的
只能采用迭代法（iteration method）
在数值传热学中：基本重要性
普通迭代法
效率低 收敛速度慢 采用加速收敛方法（acceleration methods）
j
0
Di gi, j 0
j
块修正法
所以，方程（17）当迭代收敛时有0解：
Bii Aii1 Cii1 Di (17)
Di gi, j 0
j
当迭代没有收敛时，利用方程（17）和 方程（12）可以得到更好的试探值
块修正法
说明：
它不是一种独立的解法 它只能提供“较好”的迭代试探值 程序的复杂化 为了提高试探值的精度，可以采用多块修正
求解上述方程，得到修正量，代入方
程（12），得到新的迭代值。
i, j
* i,j
i
(12)
块修正法
收敛时，必然有[参见方程（11）]，
a b c * i, j i, j
* i1, j i1, j
* i1, j i1, j
d e f *
法
也就是多重网格法
5.4.4 TDMA的扩展
增加直接求解的份额可以提高收敛速度 沿边界逐层构造方程组进行求解
影响收敛速度的关键因素：边界信息的传递 节点数目增加，收敛速度降低
节点数目增加，边界到内部的相对路径增加，层 次增多
网格加密不利于误差矢量长波分量的衰减
方案:
在粗网格上求解：加速边界相息的传递 在密网格上求解：得到满足精度要求的解
多重网格法
由疏到密的过程
多重网格法
由密到疏的过程
0 < < 2 =1: Gauss-Seidel 迭代法 <1: 亚松弛（Under relaxation）～ >1: 超松弛（Over relaxation）～
松弛法（Relaxation method)
最佳松弛因子opt:
获得最快的收敛速度 不能事先预测
对于扩散型问题：超松弛可以加速收敛 亚松弛：改善收敛特性，抑制发散
收敛速度与迭代顺序有关 设定边界条件时一定要慎重
确定的待求变量数值
几个基本事实
三对角方程：可以高效直接求解
直接解法可以一次性传递边界信息 迭代过程中要尽可能多地采用直接法
5.3 基本迭代法－松弛法
松弛法（Relaxation method)
用上次迭代值（0）和本次迭代值构造本轮
其中，
g b c *
*
i, j
i1, j i1, j i1, j i1, j
di, j1
e *
i, j 1
i, j1
*
i, j1
fi, j
ai, j
* i, j
(13) (14) (15)
块修正法
将方程（14）对j求和，
(ai, j di, j1 ei, j1)i b i1, j i1 c i1, j i1 gi, j
i, j
* i,j
i
(12)
i 1,2,3, ......, N j 1,2,3,.... .., M
这相当于假定i,j （j＝1,2,3,…,M）这M个 待求变量可以在上次迭代值*i,j的基础上
加上同一个修正值得到。
将方程（12）代入方程（11）
块修正法
ai, j (i*, j
*
i, j1 i, j1 i, j1 i, j1 i, j
(18)
于是，
g b c *
*
i, j
i1, j i1, j i1, j i1, j
从而，
d e * i, j1 i, j1
* i, j1 i, j1
fi, j
ai,
*
j i,
计算传热学第5讲
离散方程的求解 Solution of Difference
Equations
本讲内容：