冲刺2020年高考满分数学(理)纠错《专题06比较大小》(原卷版)
2020届高考考前大冲刺卷理科数学六 (含解析)
2020年高考考前45天大冲刺卷理 科 数 学（六）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请将答案填写在答题卷上。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}ln 0P x x =>，{}12Q x x =-<<，则P Q =I （ ） A ．()1,2-B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,22．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b （ ） A ．12B ．32-C ．12-D ．324．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个单位 B ．向右平移5π12个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是（ ） A ．存在00x ≤，0011x x +≥ B ．存在00x >，0011x x +< C ．任意0x >，11x x+< D ．任意0x ≤，11x x+≥ 6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A ．3.05B ．3.10C ．3.11D ．3.147．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2BCD ∠=， 若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（ ）A ．43πB ．23πC ．9πD ．4π8．函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-u u u r u u u r（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．14011．等腰直角OAB △内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB △的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OMMF的最大值为（ ） A ．33B ．63C ．33D ．26312．已知()()e e cos 2xxf x x x -+=+∈R ，[]1,4x ∀∈，()()ln 222f mx x f --≤-()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12112,22n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．112,1e 2n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1212,122n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．11ln 2,e 2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________．14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为________．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是_______．16．对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k =+∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立．则其中所有真命题的序号是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，,E F分别为棱,AB PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求二面角P EC D--的正切值．19．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评10030130对车辆状况不满意4030合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：2()P K k≥0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且4AB =，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()4,0Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M ．判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数()324x a x f x x =-++．（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围；（3）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为π(4,)3，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|21|2|1|f x x x =-++．（1）若存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤．答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}ln 01P x x x x =>=>Q ，{}12Q x x =-<<，{}()121,2P Q x x ∴=<<=I ，故选D ．2．【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-⋅-=--，1i z ∴=-+， 故选C ． 3．【答案】A【解析】221()(2)22312+⋅-=-+⋅=-+=a b a b a b a b ，故选A ． 4．【答案】B【解析】因为πsin26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以由 4π6πx x ϕ++=-，知ππ5π6412ϕ=--=-， 即只需将cos2y x =的图像向右平移5π12个单位，故选B ． 5．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意0x >11x≥”的否定是：存在00x >011x <，故选B ． 6．【答案】C【解析】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为3601524︒=︒， 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⋅⋅⋅⋅︒=︒，所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ︒=⇒=︒≈，故选C ． 7．【答案】C【解析】因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，HB Q 、HC 、HD ⊂平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥， AHB AHC AHD ∴≅≅Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上， 由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =， 设球O 的半径为R ，则()2212R R =-+，所以32R =． 所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ． 8．【答案】D【解析】根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ． 9．【答案】B【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示：设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r，可得(0,2)N h -，由AFM AON △∽△，得2m c a h a-=（1）由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a-=+，即3c a =，所以离心率3ce a ==，故选B ．10．【答案】C【解析】第1次运行，211,0,0002n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，推出运行，输出100S =，故选C ． 11．【答案】C【解析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，由OA OB =，得22221122x y x y +=+，221212220x x px px ∴-=-=，即()()1212++20x x x x p -=，10x >Q ，20x >，20p >，12x x ∴=，即A ，B 关于x 轴对称，∴直线OA 的方程为tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x py p=⎧⎨=⎩，故4AB p =，212442OAB S p p p ∴=⨯⨯=△，AOB Q △的面积为16，2P ∴=，焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >， 设M 到准线1x =-的距离等于d ，则()2241OM MO m mMFdm +==+，令1m t +=，1t >，则2114233333OMMF t ⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（当且仅当3t =时，等号成立）． 故OM MF 的最大值为233，故选C ．12．【答案】B【解析】函数()e e cos 2x x f x x -+=+的定义域为R ，()()()()e e e e cos cos 22x x x xf x x x f x x --++-=+-=+=∈R Q ，()e e cos 2x xf x x -+∴=+为R 上的偶函数，又()e e sin 2x xf x x --'=-，()e e 1cos cos 1cos 022x x f x x x x -+''=-≥⋅=-≥，()e e sin 2x xf x x --'∴=-在R 上单调递增，又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，()e e cos 2x xf x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤， 由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，[]1,4x ∴∀∈，141nx nxm x x+≤≤恒成立， 令()11nxg x x =，则()121ln x g x x -'=， 当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增； 当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，()()()1111最大值极大值g x g x g e e∴===，令()24ln x g x x +=，()()22214ln 3ln x xg x x x-++'==-， []1,4x ∈Q ，ln 30x ∴+>，故()223ln 0xg x x +'=-<，()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴====+，11212n m e ∴≤≤+，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】132【解析】因为62()x x-的展开式的通项公式为6216C (2)r r r r T x -+=-，令624r -=，得1r =；令622r -=，得2r =，所以()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为2211662C (2)(1)C (2)132-+--=，故答案为132． 14．【答案】1-【解析】作出不等式组210220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立10220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得01x y =⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()0,1，平移直线2z x y =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线在x 轴上的截距最小， 此时，目标函数2z x y =-取到最小值，且最小值为min 2011z =⨯-=-， 故答案为1-． 15．【答案3【解析】由2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=及正弦定理， 得22(2cos cos )sin sin sin A C B B C -=， 显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=， 即222cos sin cos 1A C C =+=，得1cos 2A =， 又(0,π)A ∈，所以3sin 2A =．由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积1133sin 322S bc A bc bc ==⨯=≤， 故ABC △的面积的最大值是3，故答案为3． 16．【答案】①③④ 【解析】对于①，如图：任取[)12,0,x x ∈+∞，当[]12,0,2x x ∈，()()1212sin πsin π2f x f x x x -=-≤，当()2,x ∈+∞，11()(2)sin π22nf x f x n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()*n ∈N ，[)12,0,x x ∴∈+∞，()()122f x f x -≤，恒成立，故①正确；对于②，1()(2)2f x f x =-Q ，1(2)()2kf x k f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ()*()2(2)k f x f x k k ∴=+∈N ，故②错误；对于③，()()ln 1f x x =-的零点的个数问题， 分别画出()y f x =和()ln 1y x =-的图像，如图：()y f x =Q 和()ln 1y x =-图像由三个交点，()()ln 1f x x =∴-的零点的个数为3，故③正确；对于④，设(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ，()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩Q ，max 1()2k f x ∴=，()k ∈N ，令()2g x x=在(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ， 可得()min 11g x k =+， 当0k =时，[]0,2x ∈，max ()1f x =，()min 1g x =，()max min ()f x g x ∴≤，Q 若任意2x >，不等式()2f x x ≤恒成立， 即()max min ()f x g x ≤，可得1112k k ≥+， 求证：当1k ³，1112k k ≥+，化简可得21k k ≥+， 设函数()21kT k k =--，则()2ln 210kT k '=-≥，∴当1k ³时，()T k 单调递增，可得()(1)0T k T ≥=，()210k T k k ∴=--≥，21kk ∴≥+，即1112k k ≥+， 综上所述，对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立，故④正确， 故答案为①③④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =-或11n a =；（2）21n nS n =+． 【解析】（1）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++，化简得2163a d d =，若0d =，11n a =； 若0d ≠，12a d =②， 由①②可得11a =，2d =，所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a =． （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111112335212122121n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L L ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、，GF Q 为PDC △的中位线，GF CD ∴∥且12GF CD =，又AE CD ∥且12AE CD =，GF AE ∴∥且GF AE =，∴EFGA 是平行四边形，则EF AG ∥，又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，EF ∴∥面PAD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =连OB 交CE 于M ，可得EBC OAB Rt Rt △≌△，MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．连接PM ，又PO EC ⊥，可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，在EBC Rt △中，5BE BC BM CE ⋅==，5OM OB BM =-=，∴tan PO PMO OM ∠==P EC D --． 19．【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）分布列见解析，EX =1.8（元）． 【解析】（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()()222220030001200200181406070130146713n ad bc K a b c d a c b d --⨯===++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<， 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系． （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310．X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121331C 21010P X ==⨯=⨯， ()212131372C 5102100P X ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭⨯，()121113C 255P X ⨯==⨯=， ()2114525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯34 1.8525+⨯+⨯=（元）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，()4,3P ±．【解析】（1）由4AB =，得2a =， 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形， 由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以AP MQ ∥，所以BQ BM ABBP=，所以12BM BP=． 设点()11,M x y ，()4,P t ， 过点M 作MH AB ⊥于H ，则有12BH BM BQBP==， 所以1BH =，所以()1,0H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±，所以()4,3P ±． 21．【答案】（1）40x y -+=；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析．【解析】（1）()324x a f x x x =-++Q ，()2321f x x ax '∴=-+，∴切线的斜率()10f '=，()04f =Q ，∴切线的方程为40y x -=-，即40x y -+=．（2）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln 0ax x +≤恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln xa x-≤恒成立． 令()22ln ,0xh x x x -=>，则()()322ln 1x h x x-'=．由()0h x '>，得x >()0h x '<，得0x <<．()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增，()min 1h x he∴===-，1a e ∴≤-， 故a 的取值范围为1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．（3）证明：当3a =时，()()32314x x x g x k =-+-+，1k <Q ，10k ∴->，当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x ∴在(],0-∞上单调递增． 又()04g =，()110g k -=-<，()()100g g ∴-<， 由零点存在定理可得函数()g x 在()1,0-上至少有一个零点，又()g x 在(],0-∞上单调递增，()g x ∴在(],0-∞上有且只有一个零点． 当0x >时，令()3234m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->．()()23632m x x x x x '∴=-=-，令()0m x '>，得2x >；令()0m x '<，得02x <<，()m x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()()()min 20,0m x m m x ∴==∴≥在()0,∞+上恒成立， ()0g x ∴>恒成立，即()g x 在()0,∞+上没有零点．综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2+． 【解析】（1）221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=， ∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当23π12θ=时，max 2S = 23．【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析．【解析】（1）()()212121213f x x x x x Q =-++≥--+=，Q 存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，235m m ∴+≤+，220m m ∴--≤，12m ∴-≤≤．（2）由（1）知max |2m =，332a b ∴+=，()()()23322232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，而223024b a b ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0a b L L ∴<+①()()33222a b a b a ab b ∴=+=+-+()()()()()()222331344a b a b ab a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=++-≥++-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()38a b ∴+≤，2a b ∴+≤L L ②由①②可得，02a b ∴<+≤．。
2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅱ数学(理)试题(解析版)
2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷ⅱ数学（理）试题一、单选题1．复数()2121i z i +=+的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】先将复数()2121i z i +=+进行化简，然后求出共轭复数，再判断对应点所在象限. 【详解】 ()()()()21212422121125i i i i z i i i +-+===++-， 4255z i ∴=-. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标，属于基础题. 2．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2|680,A x x x x Z =-+≤∈，则U A =（ ） A ．{}2,3,4B ．{}1,5,6C ．{}4,5,6D ．{}1,2,3【答案】B 【解析】解一元二次不等式并用列举法表示出集合A ，即可求得U A .【详解】 {}{}{}2|680,|24,2,3,4A x x x x Z x x x Z =-+≤∈=≤≤∈=，则{}U 1,5,6A =.故选：B【点睛】本题考查集合的补集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 3．某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分布()274,7N ，若该校高二学生有1000人参加这次测试，则估计其中成绩少于60分的人数约为（ ）参考数据：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．23B ．28C ．68D ．95【答案】A【解析】根据题意，结合参考数据，根据正态分布的概率求解，即可容易求得结果.【详解】由()220.9544P Z μσμσ-<<+=，得 ()()7414600.9544P X P X -<<74+14=<<88=，所以()()()1601600.02282P X P X P X ⎡⎤<=≥88=-<<88=⎣⎦， 从而成绩少于60分的人数约为10000.022822.823⨯=≈（人），故选：A ．【点睛】本题考查正态分布中3σ原则的使用，属基础题.4．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，则向量2a b +与b 的夹角是（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】由向量的坐标运算求得向量2a b +，再运用向量的数量积的坐标运算求得()20a b b +⋅=，可得选项.【详解】因为()21,3a b +=，()()213310a b b +⋅=⨯+⨯-=，所以向量2a b +与b 的夹角是90︒.故选：D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示 ，属于基础题.5．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若m β⊥，αβ⊥，则//m αC ．若//αβ．m γα=，n γβ=，则//m n D ．若m αβ=，n ⊂α，m n ⊥，则n β⊥【答案】C【解析】根据面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】因//m α，//m β，α与β可以相交，故A 错；因m 可能在α内，故B 错；因α与β不垂直时，n 与β不垂直，故D 错；根据面面平行的性质，即可由面面平行得到线线平行，故C 正确；故选：C ．【点睛】被难题考查面面平行、线面平行、线线平行以及线面垂直的判定，属综合基础题.6．函数()224,02,4,20x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨---≤≤⎪⎩的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数奇偶性的定义判断函数()f x 的奇偶性，再根据02x <≤时，()0f x ≥，可得答案.【详解】设20x -≤<，则02x <-≤，从而()()24f x x x f x -=--=；设02x <≤，则20x -≤-<，从而()(()2244f x x x x x f x -=---=-=； 又()()00f f -=．综上，对于22x -≤≤，都有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则可排除A 和B ； 又当02x <≤时，()0f x ≥，则可排除D ．故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.7．已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 和B 是C 上的两个动点，且AF AB ⊥，30ABF ∠=︒，设线段AB 的中点M 在l 上的射影为点N ，则MNAB=（ ） A ．12 BC ．1 D【答案】B【解析】根据题意，设=AF a ，得到2FB a =，AB =，设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 根据抛物线定义，以及梯形的性质，即可得出结果.【详解】如图，在直角三角形ABF 中，因为AF AB ⊥，30ABF ∠=︒， 设=AF a ，则2FB a =，AB =；设A ，B 在l 上的射影分别为点1A ，1B ， 则11232A BB AF BF MN A a a a +=+=+==，32MN a =，所以3aM AB N ==故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，属于常考题型.8．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，并且()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则ω的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，可得61,k k Z ω=+∈.由0>ω，可得k ∈N .对k 进行赋值，结合函数()f x 的单调性，即得答案.【详解】 由题意，3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的最大值，2362k ωππππ∴+=+，即61,k k Z ω=+∈． 0ω>，k ∴∈N ．当0k =时，1ω=，()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符合题意； 当1k =时，7ω=，()sin 76f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭符合题意. ω∴的最小值为7. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题.9．已知双曲线C :()222210,0x y b a b α-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 的右支上的一点，1PF 与y 轴交于M 点，且2PM PF =，290MPF ∠=︒．设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A ．322+B ．()212+C ．22+D ．222+ 【答案】C 【解析】利用双曲线定义，结合已知条件，列出方程，求得22c a，则问题得解. 【详解】根据题意，作图如下：设2PM PF n ==，则122MF MF n ==；在直角12PF F △中，2221221F F PF PF =+， 解得2222c +=， 又()12122a PF PF =-=， 所以22222c e a== 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线定义的应用，注意数形结合，属基础题. 10．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的数学期望是（ ）A ．80元B ．100元C ．120元D ．140元【答案】B【解析】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，根据古典概率公式求得随机变量每一个取值的概率，再由期望公式可得选项.【详解】设每位员工所获得的奖励额为X ，则X 的所有可能取值为80，120，则()23241802C P X C ===，()11312411202C C P X C ===， 所以员工所获得的奖励额的数学期望为()118012010022E X =⨯+⨯=（元）． 故选：B .【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．24πC ．36πD ．40π 【答案】D【解析】取PC 的中点O ，由题目分析可知球心位于O 点，根据题目中的几何条件解出底面边长BA ，AC ，然后求解球体的半径，得出外接球表面积.【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥；又BC PB ⊥，PA PB P =，所以BC ⊥平面PAB ，从而BC AB ⊥，所以AC 是ABC 外接圆的直径．设PC 的中点为O ，在直角PAC 中，有OA OP OC ==；在直角PBC 中，有OP OC OB ==，所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心．由三棱锥P ABC -的体积为6得：2111112633233ABC S PA AB BC AB BC AB ⨯=⨯⨯⨯=⨯==△， 此时218AB =，236AC =，所以22240PC PB AC =+=，从而三棱锥外接球的半径为10=R ，所以外接球的表面积为2440R ππ=， 故选：D ．【点睛】本题考查与球体结合的相关计算问题，考查椎体的外接球半径计算，难度一般.解答时，要根据题目条件确定出球心位置是解题的关键. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23sin c b A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A ．332B ．332+C ．23D ．23【答案】D【解析】根据余弦定理和23sin c b A =得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，进而得2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cos a c b b A =+-，结合23sin c b A =，得222212sin 223sin cos a b A b b b A A =+-⋅，解得22212sin 1232a A A b=+-， 即2274323a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当12A π=时，222max (23)743b a ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭． max max ()23b aλ==+.故选：D ．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.二、填空题 13．若x 、y 满足约束条件0,2,0,x y x y -≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为______．【答案】6．【解析】首先根据题意画出可行域，再根据z 的几何意义即可得到答案.【详解】满足约束条件的可行域如图所示：由2z x y =+，得到2y x z =-+，z 表示直线2y x z =-+的y 轴截距.当直线2y x z =-+过()2,2A 时，z 取得最大值，max 2226z =⨯+=.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.14．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则点Q 的纵坐标为______．【答案】725【解析】根据三角函数的定义，以及二倍角公式，即可求出结果.【详解】 由题意得，4cos 5α=，3sin 5α=， 将点P 沿单位圆绕原点O 按逆时针方向旋转90α+︒，得到点Q ，则290α+︒是以OQ 为终边的角，则点Q 的纵坐标为()2167sin 290cos 22cos 1212525ααα+︒==-=⨯-=． 故答案为：725. 【点睛】 本题主要考查三角函数的定义的应用，涉及二倍角公式与诱导公式，属于基础题型. 15．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此，分子是1的分数叫做埃及分数（也称为单位分数），如18，115，124，1100等都是埃及分数．现从12，13，14，15，…，120这19个分数中，找出3个不同的分数，使它们的和为12，则这3个分数的分母从小到大可以依次是______．（只写出一种情形即可）【答案】4，6，12．（答案不唯一）【解析】假设这三个分数的分母分别为x ，y ，z ()+,,x y z N ∈，若11112x y z ++=成立，则这三个数不能都小于16，取其中一个数为16，利用方程思想解出另外两数即可. 【详解】 设11112x y z ++=（2x y <<，x ，y ，z *∈N ），三个分数的和为12，平均值为16，三个分数不能都小于16（否则三个分数的和小于12），所以至少有一个是16，或15，或14，或13，若6x =，则1113y z +=，从而4y =，12z =；同理可得4，5，20；3，9，18；3，10，15等．【点睛】本题考查合情推理，属于基础题，只需要根据题目意思列出满足题目条件的方程组求解即可.三、双空题16．已知函数()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是______；若不等式()1x x a f x x+>-≥对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1y x =- []0,1．【解析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得1y x x =+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交，再作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，数形结合即可得解.【详解】由题意()10f =，()21ln xf x x-'=，()11f '=， 所以曲线1ln xy x-=在点()1,0处的切线方程为1y x =-； 由1y x x x=+>，且随着x 的增加，1x x +与x 的取值不断接近，所以1y x x=+的图象与直线y x =无限接近但永远不能相交； 令()()ln 1x h x x x =--，则()221ln x x h x x--'=， 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，结合()10h =可得()0h x ≥即ln 1xx x≥-， 在坐标系中作出函数1y x =-及()ln xf x x=的图象，如图所示，由图可知，曲线y x a =-的最低点(),0a 必须在以()0,0和()1,0为端点的线段上运动，所以01a ≤≤，故a 的取值范围是[]0,1．故答案为：1y x =-；[]0,1. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及作函数图象，考查了函数图象的应用及数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．已知公比为正数的等比数列{}n a 的首项12a =，且满足()12343n n n a a a n --=+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 是否成等差数列？并说明理由． 【答案】（1）212n na -=；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）设公比为q （0q >），代入已知条件可求出q 的值，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意求出数列{}n b 以及前n 项和n s ，判断4222k k S S S ++-是否为0，可得出结果. 【详解】解：（1）设公比为q （0q >），则22n n a q a -=，12n n a qa --=， 代入1234n n n a a a --=+，得222224n n n q a qa a ---=+，因为20n a -≠，得2340q q --=，结合0q >，解得4q =． 又12a =，所以数列{}n a 的通项公式为：121242n n n a --=⨯=.（2）2log 21n n b a n ==-，则数列{}n b 是以1为首项、2为公差的等差数列， 所以()2122n n n S n n -=+⨯=．()()()22224222422222k k S S S k k k ++-=+-+=-，若2k ≠，则()2220k ->，即4222k k S S S ++>，所以，若2k ≠，则4S ，2k S +，2k S 不能组成等差数列． 【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查数列基本量的运算，考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于中档题.18．市场调查员在当地一个水果批发市场收集了某短季节性水果自从上市以来，连续第x 天每公斤的销售价格y （单位：元）的一组数据，得到如下统计表：（1）根据表中和题后所给出的统计数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）设第x 天的销售量P （单位：吨）与x 近似地满足：0.2510.5P x =+，试预测：该产品投放市场第几天的销售收入最高？附：①对于一组数据（1u ，1v ），（2u ，2v ），…，（n u ，n v ），其回归直线ˆˆv u βα=+的斜率和截距的最小二乘估衣计分别为()()()121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． ②参考统计量：9.7+9.6+9.5+9.5+8.8+8.6+8.6+8.5+82=81，()92160i i x x =-=∑，()()9112iii x x yy =--=-∑．【答案】（1）0.210y x =-+；（2）第4天.【解析】（1）先计算,x y 的平均数，再利用公式，结合已知数据，即可求得结果； （2）根据（1）中所求方程，建立销售收入与天数之间的函数关系，即可求得结果. 【详解】（1）设y 与x 的线性回归方程为ˆˆˆybx a =+， 12345678959x ++++++++==，8199y ==，()()()9192112ˆ0.260iii i i x x y y bx x ==---===--∑∑， ˆˆ90.2510ay bx =-=+⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为0.210y x =-+．（2）设第x 天的销售收入为()Q x 元，对应的销售量0.2510.5x +吨， 即为()10000.2510.5x +公斤则()()()()210000.2510.50.210504105800Q x x x x =+-+=--+，当4x =时，()()max 4105800Q x Q ==．所以该产品投放市场第4天的销售收入最高，且最高可达105800元． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解，以及用回归方程对总体进行估计，属综合基础题. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥上底面ABCD ，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，4AB =．（1）在棱PD 上是否存在点E ，使得//PB 平面EAC ？并说明理由． （2）若E 为棱PD 的中点，求二面角C AE D --的余弦值． 【答案】（1）存在，理由见解析；（2）1111. 【解析】（1）E 为PD 中点时满足题意，根据线线平行，即可证明；（2）以AD 中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面的法向量，即可求得夹角的余弦值. 【详解】（1）当E 为PD 的中点时，//PB 平面EAC ，证明如下 连结AC ，BD 相交于点F ，因为F 为BD 的中点，E 为PD 的中点， 所以//EF PB ，又PB ⊄平面EAC ，EF ⊂平面EAC ， 所以//PB 平面EAC ．所以在棱PD 上存在PD 的中点E ，使得//PB 平面EAC ．（2）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 则OP AD ⊥，OM AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以OP ⊥平面ABCD ，即OM ，OD ，OP 两两垂直.以OM ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：()002P ,,，()0,2,0A -，()4,2,0C ，()0,1,1E ．因为OM OD ⊥，OM OP ⊥， 所以OM ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量为1n ()1,0,0OM ==；()0,3,1AE =，()4,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为2n ()222,,x y z =，则111130,440,y z x y +=⎧⎨+=⎩取1x =，可得2n ()1,1,3=-．故cos 21122111cos ,11n n n n n n ⋅=== 故二面角C AE D --的平面角的余弦值为1111．【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的求解，涉及空间向量的应用，属中档题. 20．已知函数()ln 2f x a x x a =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设点A （1x ，()1f x ）和B （2x ，()2f x ）是曲线()y f x =上不同的两点，且()()12f x f x =，若12ak x x <+恒成立，求正数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(]0,2. 【解析】（1）求函数导数()a xf x x-'=，讨论0a ≤和0a >即可得解； （2）由条件得1212ln ln x x a x x -=-，代入12ak x x <+，整理得1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+，设()121x t t x =>，研究()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+的函数单调性即可得解. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a xf x x x-'=-=． 若0a ≤，()0f x '<，则()f x 在()0,∞+上为减函数；若0a >，当0x a <<时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数， 综上，0a ≤时，()f x 在()0,∞+上为减函数，0a >时，()f x 在()0,a 上为增函数，在(),a +∞上为减函数．（2）不妨设120x x >>，由（1）可知，0a >，由1122ln 2ln 2a x x a a x x a -+=-+， 得1212ln ln x x a x x -=-．由12ak x x <+，得121212ln ln x x k x x x x -⋅<+-，即1211221ln 01x x xk x x x -⋅-<+． 设()121x t t x =>，()()1ln 11t g t k t t t -=⋅->+，则()()()()2222112111t k t kg t t t t t --+'=-=-++． 记()()()22111h t t k t t =--+>，()()241442k k k ∆=--=-．（i ）当02k <≤时，0∆≤，则()0h t ≥恒成立，从而()()()201h t g t t t '=-≤+，所以()g t 在()1,+∞上是减函数，于是()()10g t g <=，此时适合题意． （ii ）当2k >时，对称轴方程为1t k =-，且()1420h k =-<， 又()2410h k k =+>，所以()h t 在()1,k -+∞内只有一个零点0t ， 所以存在()01,2t k k ∈-，使得()00h t =， 所以当01t t <<时，()0h t <，从而()()()201h t g t t t '=>+，所以()g t 在()01,t 上是增函数，于是当()01,t t ∈时，()()10g t g >=，此时不适合题意． 综上，正数k 的取值范围是(]0,2． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查了换元的思想，解题的关键是设()121x t t x =>，属于难题. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :2212x y +=，过1C 上的一点P （0x ，0y ）（000x y ≠）的直线l 的方程为0022x x y y +=．（1）设直线l 和OP 的斜率分别为k 和1k ，求证：1k k ⋅为定值；（2）设直线l 与椭圆2C :22142x y +=交于M 、N 两点，试求OP MN ⋅的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）根据题意，求得1,k k ，通过计算即可证明；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式，求得,MN OP 关于0y 的函数关系式，利用基本不等式求其最值即可. 【详解】（1）由题意，得002x k y =-，010y k x =，则00100122x y k k y x ⋅=-⋅=-， 所以1k k ⋅为定值．（2）由()00,P x y 在1C 上，得220022x y +=，即220022x y =-，所以OP === 由00222224x x y y x y +=⎧⎨+=⎩消去y ，并结合220022x y +=x+2%=2整理，得22002240x x x y -+-=．由点P 在2C 的内部，得>0∆；设()11,M x y ，()22,N x y N （x2，y2），则1202x x x +=，212024x x y =-，所以MN =====所以22232OP MN +⋅=≤⨯=．=即2012y =时，()max3OP MN ⋅=．【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，以及范围问题，涉及韦达定理，以及基本不等式，属综合中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3sin 2ρθβ+=（β为常数，02πβ<<）．（1）当6πβ=时，判定直线l 与圆C 的位置关系； （2）设直线l 分别与射线0θ=（0ρ≥）、3πθ=（0ρ≥）、23πθ=（0ρ≥）交于点P 、Q 、R ，求证：111OP OR OQ+=． 【答案】（1）直线l 与C 相切；（2）证明见解析.【解析】（1）首先得到直线和圆的直角坐标方程，再求圆心到直线的距离，即可得到直线与圆的位置关系. （2）首先将0θ=、3πθ=、23πθ=分别代入()3sin 2ρθβ+=，从而得到OP ，OQ ，OR ，再利用三角函数的性质化简即可证明.【详解】 （1）当6πβ=时，直线l 的极坐标方程为3sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，13sin cos 222+=ρθρθ. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得l的直角坐标方程为3x +=． 圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， 因为圆心()1,0C 到直线l1=，所以直线l 与C 相切．（2）当0θ=，3πθ=，23πθ=时，32sin OP β=，32sin 3OQ πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322sin 3OR πβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 1122sin sin 33OP OR πββ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2121sin cos sin sin 322322βββββ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin 33OQπβ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 即证：111OP OR OQ+=. 【点睛】本题主要考查直线的极坐标方程，同时考查了圆的参数方程和直线与圆的位置关系，属于中档题.23．函数()12f x x x =-++，()21g x x ax =--（a ∈R ）．（1）求()7f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]4,3-；（2）[]3,0-.【解析】（1）分类讨论得函数()f x 的解析式，再分段求解不等式可得答案. （2）由（1）知， ()3f x =，根据不等式恒成立的思想得231x ax ≥--在[]2,1-上恒成立．可求得a 的取值范围. 【详解】解：（1）()12f x x x =-++，所以()21,2,3,21,21, 1.x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以解不等式组2172x x --≤⎧⎨<-⎩或2137x -≤≤⎧⎨≤⎩或1217x x >⎧⎨+≤⎩，解得42x -≤<-或21x -≤≤或13x <≤，∴()7f x ≤的解集是[]4,3-（2）由（1）知，当21x -≤≤时，()3f x =，21 由()()f x g x ≥知，231x ax ≥--．故240x ax --≤在[]2,1-上恒成立.令()24h x x ax =--，则()()20,10,h h ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即4240,140,a a +-≤⎧⎨--≤⎩解得30a -≤≤，故a 的取值范围为[]3,0-.【点睛】本题考查分类讨论含绝对值符号的分段函数解析式，以及不等式的恒成立的问题，关键在于得出函数的最值，建立关于参数的不等式，属于中档题.。
2020年百校联考高考百日冲刺(理科)数学试卷(全国ⅱ卷) (Word 含解析)
2020年高考百日冲刺（理科）数学试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．632．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．53．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√234．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为（）A．x2+z2＝y2？B．x2+y2＝z2？C．y2+z2＝x2？D．x＝y？5．已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n＝（）A．1B．2C．6D．76．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．839．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ+110．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．182911．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．2√3B ．2√2C ．3D ．√612．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝xlg（√x2+a+x）是偶函数，则f（2x﹣1）≤f（x）的解集为．14．已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0，x≤2，kx−y+2≥0，目标函数z＝﹣2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是．15．已知点O（0，0），A（4，0），M是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ．则tanθ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°．∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19．直线l过点（4，0），且交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．63【分析】求出集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．解：∵集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25＝32，非空真子集个数为30．故选：A．2．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．5【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由z•（1+i）＝1+3i，得z=1+3i1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．3．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√23【分析】利用两角和与差公式直接求解．解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−1 3．故选：B．4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．x 2+z 2＝y 2？B ．x 2+y 2＝z 2？C ．y 2+z 2＝x 2？D ．x ＝y ？【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．解：由题知，AC ＝x ，AB ＝y ，BC ＝z ， 由勾股定理可知x 2+z 2＝y 2． 故选：A ．5．已知袋中有3个红球，n 个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n ＝（ ） A ．1B ．2C ．6D ．7【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果． 解：袋中有3个红球，n 个白球， 有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p =33+n ×n 3+n +n 3+n ×33+n =1225， 解得n ＝2． 故选：B ．6．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点【分析】根据两圆外切得到QF 1＝4+r ；再结合双曲线的定义即可求解结论． 解：如图；因为以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切， ∴QF 1＝4+r ；∵QF 1﹣QF 2＝2a ⇒QF 1＝2a +QF 2＝4+QF 2； ∴r ＝QF 2；故圆Q 过双曲线C 的右焦点； 故选：A ．7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√2【分析】根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB →⋅CA →=0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO →=λCB →+μCA →两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案．解：△ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB →⋅CA →=0，||2=λ2CB →2+2λμCB →⋅CA →+μ2CA →=16λ2+9μ2，∵λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2， ∴2﹣4λ＞0，解得λ＜12， ∴0＜λ＜12．||2=16λ2+9μ2＝16λ2+（2﹣4λ）2=32(λ−14)2+2，∴||2≥2， ∴CO 的最小值为√2． 故选：C ．8．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．83【分析】首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6， 整理得：x =kω6−π6（k ∈Z ）， 由于f （x ）在（π，4π3）上单调， 所以{k 0πω−π6≤π(k 0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω＞0，所以{k 0＞067k 0≤23(k 0+1)，解得0＜k 0≤72．所以k 0＝1，2，3，当k 0＝3时，ω的最大值为83． 故选：D ． 9．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ2+1【分析】设点C （x ，y ），利用条件BF →=λFC →可得{x =(1+λ)λcy =−b λ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值．解：设C （x ，y ），根据BF →=λFC →可得：{c =λ(x −c)−b =λy，则{x =(1+λ)λcy =−b λ，因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．10．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．1829【分析】（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，可得3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．利用（1+2x ）5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5k k+1．代入即可得出．解：（1+2x ）n ＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，则3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．∴（1+2x ）5的通项公式T k +1=∁5k （2x ）k ＝2k ∁5k x k ，∴a k ＝2k ∁5k，∴a kk+1=2k ∁5k k+1． 则a 01+a 12+a 23+⋯+a nn+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A．2√3B．2√2C．3D．√6【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB＝CD=√5，AC=2√2，BC＝1，BD=√6，AD＝3．最长的棱的长度为3．故选：C．12．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2【分析】∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，分离参数a，可转化为∃x∈（0，+∞），使得a≥xe x﹣x﹣lnx成立．构造函数g（x）＝xe x﹣x﹣lnx（x＞0），利用导数法可求得g（x）min，从而可得答案．解：∵f （x ）=a+lnxx，g （x ）＝e x ﹣1（e 为自然对数的底数），∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）≥g （x ）成立， 即∃x ∈（0，+∞），使得a+lnx x≥e x ﹣1成立，即∃x ∈（0，+∞），使得a ≥xe x ﹣x ﹣lnx 成立． 令g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx （x ＞0）， 则a ≥g （x ）min ，∵g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x（x ＞0）， ∴g ″（x ）＝（2+x ）e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增， 又g ′（13）=43e 13−4＜0，g ′（1）＝2e ﹣2＞0，∴∃x 0∈（13，1）使得g ′（x 0）＝0，此时g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx 取得极小值，也是最小值．令g ′（x 0）＝0，则（1+x 0）e x 0=1+x0x 0，即e x 0=1x 0．∴g （x 0）＝x 0e x 0−x 0﹣lnx 0＝1﹣x 0﹣ln e −x 0=1，即g （x ）min ＝1， ∴a ≥1，∴实数a 的最小值为1， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f （x ）＝xlg （√x 2+a +x ）是偶函数，则f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集为 [13，1] ．【分析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数，g （0）＝0，解得a ＝1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集．解：∵f （x ）为偶函数，y ＝x 为奇函数， ∴g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数， ∴g （0）＝0，解得a ＝1，对0＜x 1＜x 2，可知0＜g （x 1）＜g （x 2），故0＜x 1g （x 1）＜x 2g （x 2）， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴f （2x ﹣1）≤f （x ）等价于|2x ﹣1|≤|x |，即（2x ﹣1）2≤x 2，解得13≤x ≤1，即f （2x﹣1）≤f （x ）的解集为[13，1]． 故答案为：[13，1]．14．已知x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2，则实数k 的取值范围是 （﹣1，2] ．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k 的取值范围．解：x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，表示的可行域如图：目标函数化为y ＝2x +z ，z ＝2时，可知：最优解在直线2x ﹣y +2＝0上，而（0，2）在可行域内，且满足2x ﹣y +2＝0．故可知：实数k 的取值范围是（﹣1，2]． 故答案为：（﹣1，2]．15．已知点O （0，0），A （4，0），M 是圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为13．【分析】由题意画出图形，通过图形得到|OM |的最小值与|AM |的最大值，则答案可求． 解：如图，由图可知，当M 为（1，0）时，|OM |最小为1，|AM |最大为3． 则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ．则tan θ＝√7777． 【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos ∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．解：如图；DE ⊥面ACE ，∠EAB ＝45°，∠EBD ＝30°； 由题可得：AE ＝DE ＝60；AB ＝BC ＝80； ∴EB =DEtan30°=60√3； ∴cos ∠EAB=AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB =AE 2+AC 2−EC22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC ＝20√77；∴tan θ=2077=3√7777； 故答案为：3√7777．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }满足a 1=13，a 2=415，且数列{√a n4a n −1}是等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【分析】（1）先由题设条件求√an 4a n −1，再求出a n ；（2）由（1）中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ． 解：（1）由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√a n 4a n −1}是等差数列，且首项为1，公差d ＝1，∴√an 4a n −1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[（11−13）+（13−15）+…+（12n−1−12n+1）]=n 4+18−116n+8． 18．四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝1，BC ∥AD ，∠PAD ＝90°．∠PBA 为锐角，平面PBA ⊥平面PBD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．解：（1）证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，则BC ∥¯¯QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°． 又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥ABDB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则B(√32，12，0)，C(√32，32，0)，D （0，2，0），P （0，0，2）．由（1）的证明知：平面PAB 的法向量为BD →=(−√32，32，0)．设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅PD →=0m →⋅CD →=0即{2y −2z =0−√32x +12y =0． 令x =1⇒m =(1，√3，√3)，cos〈m →，BD →〉=m →⋅BD →|m →|⋅|BD →|=−√32+3√323⋅7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．19．直线l 过点（4，0），且交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A ，B 两点，∠AOB ＝90°． （1）求p ；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由∠AOB ＝90°，即OA →•OB →=0， 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，即有y 122p•y 222p+y 1y 2＝0，即y 1y 2＝﹣4p 2，设直线l 的方程为x ＝my +4，联立抛物线的方程y 2＝2px ，可得y 2﹣2pmy ﹣8p ＝0， 则y 1y 2＝﹣8p ＝﹣4p 2，可得p ＝2；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，代入抛物线的方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4ty +4＝0，则y M +y N ＝4t ，y M y N ＝4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M −x 0+y N −y 0x N −x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N =4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0＝±2．故Q （1，2）或（1，﹣2）．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【分析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x ＜a ，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a ＝16代入求解；（Ⅱ）根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2， 当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a30a ，x ≥a (x ∈N ∗)， 由a ＝16，得y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）；（Ⅱ）若出栏112只，则a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P （Y 1＝420）＝0.15，P （Y 1＝450）＝0.2，P （Y 1＝480）＝0.65， Y 1的分布列为：Y 1 420 450 480 P0.150.20.65E （Y 1）＝420×0.15+450×0.2+480×0.65＝465； 若出栏119只，则a ＝17，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17（x ∈N*）．记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P （Y 2＝417）＝0.15，P （Y 2＝448）＝0.2，P （Y 2＝479）＝0.25，P （Y 2＝510）＝0.4， Y 2的分布列为：Y 2 417 448 479 510 P0.150.20.250.4E （Y 2）＝417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4＝475.9．∵E （Y 1）＜E （Y 2），∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．【分析】（1）设M （x 0，y 0），分x 0≥0 和x 0＜0 两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在 x ＝x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；（2）结合（1）中得到的结论，分a ＝﹣e 、a ＜﹣e 、﹣e ＜a ≤1、a ＞1 四种情况讨论．解：（1）设M （x 0，y 0），则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②，由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e =ln 2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0， 对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx ，求导得φ′(x)=x 2e 2+1x ＞0， ∴φ（x ）为增函数，且φ（2e ）＝0，故x 0＝2e ；当x 0＜0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22； 综上，M 的坐标为（2e ，1）或(−ln22，−ln2)； （2）由（1）知，x 0＝2e 时，a =−e ，h(x)=x 24e2−ln(x −e)，则h′(x)=x2e2−1x−e ，h″(x)=12e 2+1(x−e)2＞0， 故h ′（x ）在定义域上单调递增，则易知h ′（x ）有唯一零点为x ＝2e ，则h （x ）≥h （2e ）＝0，故h （x ）有唯一零点；当a ＜﹣e 时，h(x)=x 24e2−ln(x +a)＞x 24e2−ln(x −e)≥0，h （x ）无零点；当﹣e ＜a ≤1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a在[0，+∞）上至多一个零点，h （x ）在（0，+∞）上至少两个零点，而h （0）＝﹣lna ≥0，h （2e ）＝1﹣ln （2e +a ）＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞， 故h （x ）在（0，2e ），（2e ，+∞）上各一个零点；当a ＞1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a满足h ′（0）＜0，h ′（2e ）＞0， 故在（0，2e ）上，h ′（x ）仅一个零点，设为m ，在（0，m ）上，h （x ）为减函数，在（m ，+∞）上，h （x ）为增函数，而h(0)=−1a ＜0，h(m)＜h(0)＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞，故仅在（m ，+∞）上有一个零点．综上可得，当a ＜﹣e 时，h （x ）无零点；当a ＝﹣e 或a ＞1时，h （x ）有1个零点；当﹣e ＜a ≤1时，h （x ）有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：√3x −y +1−2√3=0； 椭圆C 的直角坐标方程为：x 216+y 212=1．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：（3+sin 2φ）t 2+（12cos φ+8sin φ）t ﹣32＝0， 由题意得：t 1+t 2＝0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k =tanφ=−32， 所以直线l 的斜率为−32． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．【分析】（Ⅰ）．根据绝对值三角不等式，由f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|≥||=||，求得f（x）最小值，再由||≥3求解；（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a ＝0或4．再分类求解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥||=||，当且仅当（x﹣a）（x﹣2）≤0时取等号，故f（x）的最小值为||，∴||≥3⇔a≥5或a≤﹣1．（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a＝0或4．a＝0时，如图所示：不合题意，舍去；a＝4时，如图所示：由y＝x与y＝2x﹣6，解得：x＝6．即m＝6，综上，a＝4，m＝6．。
专题20 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(解析版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D 【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D.2．设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； ③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确. 故选：C . 4．函数()()1ln 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()1ln 1xxe xf x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x xx xe x e xf x f x e e ------===-++,所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项, 故选:B.5．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．21232c k q x x RB ．21232c k q x x R - C ．2123c k q x x R D ．2123c k q x x R- 【答案】B 【解析】根据题意，221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+--⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R ≈-， 故选：B6．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 【答案】A 【解析】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .7．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．9D ．不能确定【答案】C 【解析】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为332=6， 设球的半径为R ，可得(()22236R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(2341184236333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．9．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B 【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py = 集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =， 所以抛物线方程24x y =， 故焦点坐标是()0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m . 故选：B10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．11．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =在[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】()112sin 2,sin 2214sin cos 12sin 212sin 21,sin 22x x f x x x x x x ⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩， 作出()f x 在[],ππ-上的图象（先作出2sin 2y x =-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin 2y x =-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.12．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 6P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时6 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件24010220x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y=+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+， 当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=． 故答案为：514．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则此数列的公比q =____________. 【答案】1-或2± 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为q ，425S S =，∴1q ≠， ∴()()421115111a q a q qq--=--，化简可得()()22140qq--=，解得1q =-或2q =±. 故答案为：1-或2±.15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 16．过双曲线2221(0)x y a a -=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a +--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以5c =，离心率5e =.故答案为：5 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =； （2）在BCD 中，2DBC BCD ∠=∠，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =， 解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 22BCDSBC BD CBD =⋅⋅∠=. 18．如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．（1）证明：AC ⊥平面CDE ．（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）1919． 【解析】（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：1AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为菱形，可知12AM AD =， 在ACD 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =，//AF DE ，90DAF ∠=︒，所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ．（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，z 轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．因为()1,1,0F ，13,0,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0E -，()1,0,0A ，33,0,22CA ⎛=- ⎝⎭，()2,2,0AE =-，33,1,2CF ⎛= ⎝⎭． 设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330220x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3n =．设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ，则331522sin 1045CF n CF nθ+-⋅===⨯⋅， 所以19tan θ=．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221x ya b+=（0ab>>）的离心率是e，定义直线bye=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为23y=±，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：223x y+=的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）22143x y+=；（2）在，证明见解析.【解析】（1）由题意得：23b abe c==，24a=，又222a b c=+，联立以上可得：24a=，23b=，21c=.∴椭圆C的方程为22143x y+=；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为23y=±，不妨取23y=，设(),23P x（x≠），则23OPk=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为023y x=，当3=x时，过P点的圆的切线方程为3x=过原点且与OP垂直的直线方程为12y x=-，联立312xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得：33,2A⎫-⎪⎪⎭，代入椭圆方程成立；同理可得，当0x =时，点A 在椭圆上；当0x ≠时，联立223412y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1A ⎛⎫，2A ⎛⎫⎝， 1PA所在直线方程为()()20060x x y --=.此时原点O 到该直线的距离d ==∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上. 综上可得，点A 在椭圆C 上.20．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()0g x kx b k =+>，当0a =时，若对任意的()0,x ∈+∞，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】（1）()()212120ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a<时，若()0f x '>，解得0x <<若()0f x '<，解得x >所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）因为()2g x x ≤，所以20x kx b --≥，0k >，故240k b ∆=+≤，即24k b ≤-，又因为()()21ef x g x -≤，所以2ln 10e x kx b ---≤. 设()2ln 10x e x kx b ϕ=---≤，()2ex k xϕ'=-， 当20,e x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当2,e x k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减. 故()max 2222ln 212ln 10e ex e e b e b k k k ϕϕ⎛⎫==---=--≤ ⎪⎝⎭，所以22ln 1e b k -≤，所以有222ln 14k e b k -≤≤-. 由题知，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立的充要条件是不等式222ln 14k e k -≤-有解，将该不等式化为222ln 104k e k--+≥，令2kt =，则22ln 10t e t -++≥有解. 设()22ln 1h t t e t =-++，()22e h t t t'=-+，可知()h t 在区间(上单调递增，在区间)+∞单调递减，又()10h =，10h=>，()2210h e e e =-++<，所以()22ln 1h x t e t =-++在区间)e 内存在唯一零点0t，故不等式22ln 10t e t -++≥的解集为01t t ≤≤，即012kt ≤≤，故k 的最小值为2. 21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，(1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）16p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--：记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656n n n -=+++=-． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。
2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(一)解析版
2020年高考冲刺模拟卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．45．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为48．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2011．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A 1B C D ．4-12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值为__________.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2AB ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…；（3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈， 证明:20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考冲刺模拟卷（一）数学（理）解析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，112224C C C =23，故选C. 4．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．4【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ==-==，所以413413278d a a b q b =-=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得92d q =⎧⎨=-⎩，因此212166a a d b b q =+=⎧⎨==⎩，所以221a b =.故选B. 5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n +的值 【答案】C【解析】试题分析：初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，，给定正整数n ，当k n =时，最后一次进入循环体，则有：011222S =++++L12n n -++，1k n =+，退出循环体，输出S =(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+，故选C ．6．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系设(,)P x y ，()()(),,0,,0,A B a C a - 则()()(),,,,PA x y PB a x y PC a x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v,所以()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r()()(),,x y a x y a x y =--⋅---+--⎡⎤⎣⎦()()2,2x y x y =--⋅--2222x y =+-22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以最小值为232a -，所以选B.7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 8．（2019·江西南昌十中高三期中（文））已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④ 【答案】D【解析】对①,当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足.故①正确.对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确.对④,当截面为正六边形时面积最大,为64⨯=故④正确.故选D. 10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】数列{}n a 的通项公式21021(3)(7)n a n n n n =-+-=---,当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <,n S 最大值为6S 或7Sm S 最小值为2S 或3S ,n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++= ,故选B.11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A1B．2C．12D．4-【答案】A【解析】连结1'A F ，1AF ，由'A 与A 关于原点O 对称，且1F 与2F 关于原点O 对称，可知四边形12'AF A F 为平行四边形，又22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，即22'F A F A ⊥可知四边形12'AF A F 为矩形，1,AO OF ∴=又160AOF ∠=︒，11,AF OF c ∴==同理有2AF =，由椭圆的定义可得2c a =，1c e a ∴===.故选A. 12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1xx x x x x e ee e x x ---==≥-+,故313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-,即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-,当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值为____________.【答案】8【解析】由双曲线221y x k-=得其中一个焦点为)，其中一条渐近线方程为y =，所以焦点=，所以8k =.故答案为8.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x -⋅--⋅--'==,因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立,所以1sin a x ≥,因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<,所以a 的取值范围是[2,)+∞.15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响. 【答案】15【解析】记t 小时后热带风暴中心到达点B 位置，在OAB V 中，600km OA =,20km AB t =,45OAB ︒∠=,根据余弦定理得222600400260020OB t t =+-⨯⨯令22450OB „，即2415750t -+„，解得151522t+剟,15(h)=.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4时，其外接球的表面积为____________. 【答案】6π【解析】如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=.sin()3h AM AMD a π=-∠=,313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==解得a =32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠=则21cos 22cos 13θθ=-=-,解得tan θ=∴22tan OO O M θ==球O 的半径2R ==,所求外接球的表面积为246S R ππ==.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）()()112tanA tanB ++=Q ,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2c RsinC ==2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =++(22ab ab ≥=+，当且仅当a=b时，“=”成立,ab ∴≤，ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=，ABC ∆面积的最大值为12.18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db，则()0C ，，()002P ，，，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，)0Bb -，，∴()2PC =-u u u r ，，2 ,3BE b ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，2 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=， ∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r，，，),0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则20m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则20203n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取 1,n ⎛= ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r，故b =∴( 1,n =-r，()DP =u u u r ，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2222y x =②．①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-， 亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= ,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=．同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.【解析】（1）依题意101380.0ii x==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知 363254b =，即101102211036325410i ii i i x y x yb x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =.②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈ 故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.【解析】(1)由已知，有()()'ecos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减;当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…. (3)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 且()e cos n yn n f y y ==()()22ecos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得0n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<=⎪⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-„()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--„.所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. （1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.【解析】（1）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）， 又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=， ∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=. （2）由（1）得，设()2cos A αα，圆2C 的圆心()5,0M ，则||AM ===[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM = 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=； 当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++， 又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<， 所以a 的取值范围为()2,3-.。
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷) 数学(理)含答案
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)数学(理科)注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|2x>6}，B＝{x|2x<32}，则A∩B＝A.(3，4)B.(4，5)C.(3，＋∞)D.(3，5)2.复数2iii--(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“2a>8”是“a2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x等于A.4B.5C.6D.75.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a ＝10，a ·b ＝510，且(b －a)·(b ＋a)＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.12B.2C.5D.10 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝l ，c 3，且2sin(B ＋C)cosC ＝1－2cosAsinC ，则△ABC 的面积是A.3B.12C.3或3D.14或1210.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点，若MF 2＝F 1F 2，且2MF 1＝NF 1，则双曲线C 的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为20π，则该正方体的棱长为A.5B.25C.26D.612.设函数f(x)的定义域为R ，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e －3x 的解集是 A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考考前大冲刺卷 理科数学(三)
2020年高考大冲刺卷 理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|13}M x x =-<<，2{|lg(1)}N x y x ==-，则M N =I （ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|13}x x <<D ．{|11}x x -<≤2．已知复数z 满足(12i)|34i |z ⋅+=-(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是(“同比"指与去年同月相比)（ ）A ．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B ．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C ．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D ．从两图来看2019年1至4月中的同-个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 5．下列说法正确的是（ ） A ．若“p q ∨”为真命题，则“p q ∨”为真命题 B ．命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定是“00x ∃≤，0010x e x --≤” C ．命题若“1x ≥，则11x ≤”的逆否命题为真命题 D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 6．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B c C -=⋅，则角C 的取值范围为（ ） A ．ππ(,)86 B ．π(0,)6 C ．ππ(,)62 D ．ππ(,)82 7．已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，若12⋅=a b ，则()()+⋅-a b b c 的最大值是（ ） A ．13+ B ．3 C ．332+ D ．1232+ 8．我国传统的房屋建筑中，常会出现-些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ） A ．331π- B ．π3324- C ．332π- D ．π324- 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+．若对任意的[1,2]x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(0,2)(,6)-∞-U C ．(2,0)- D ．(2,0)(6,)-+∞U 10．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M (异于P ，F )，与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-uuu r uuu r (O 为坐标原点)，则C 的离心率为（ ）此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号A ．2B ．3C ．4D ．5 11．已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，1()2f x =在区间[0,π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间(0,π)上存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=；②()f x 在区间(0,π)有且仅有1个最大值点；③()f x 在区间π(0,)15上单调递增；④ω的取值范围是115[,)62．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④12．设函数1()(ln 2)xe f x t x x x x =+--恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A ．{}(1,)2e+∞U B ．{}[1,)3e+∞U C ．{,}[1,)23ee+∞U D ．[1,)+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式52()x x -的展开式中2x -的系数是 ．14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_______种，(用数字填写答案)15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ．直线NF 交y 轴于点D ．则||MD =_______．16．在四面体ABCD 中，CA CB =，DA DB =，6AB =，8CD =，AB ⊂平面α，l ⊥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当四面体以AB 为轴旋转时，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，3a 是1a 与9a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列*24(1)()41n n a b n n =-∈-N ，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若21|1|2020n P +<， 求正整数n 的最小值． 18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90DBC ∠=︒，2BC DE =，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点． （1）证明：DF AC ⊥； （2）求二面角B AD E --的正弦值．19．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中,x y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ， 使得||||TP TQ =，若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2()cos 2x g x ax x x =+-．（1）当0x ≥时，总有2()2x f x mx ≤+，求m 的最小值；（2）对于[0,1]中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xoy ，以坐标原点o 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 21ρθ=，直线l的参数方程为x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数)． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点P的直角坐标为(0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB +．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1|2|2|()f x x x x =-+-∈R ，记()f x 的最小值m ．（1）解不等式()5f x ≤；（2）若23a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．2020年高考大冲刺卷 理 科 数 学（三）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．答案： C 解：2{|}{|111}0N x x x x x ==-><->或，|13}{M N x x =<<I ，故选C ．2．答案：D解：12i (12i 5)5((1122i)i)12i z ++--===-，对应的点位于第四象限，故选D ．3．答案：B解：0.30.40.30.3>，即b c >，而0.30.30.44()()10.33ab ==>，即a b >，∴a b c >>，故选B ．4．答案：C解：由图表易知，故选C ．5．答案：C解：“p q ∨”为真，则命题p ，q 有可能一真一假，则“p q ∧”为假，故A 错误；命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定应该是“00x ∃>，0010xe x --≤”，故B 错误；因命题“若1x ≥，则11x ≤”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C 正确；因21560x x x =-⇒--=，但25601x x x --=⇒=-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故D 错误，故选C ．6．答案：A解：∵sin cos sin cos 2sin cos B C C B C C -=，∴sin()sin 2B C C -=，∴2B C C -=，∴3B C =，∴32πC <且42πB C C +=>，∴86ππC <<，故选A ．7．答案：C解：||1=a ，||1=b ，22||23+=⋅++=a b a a b b ，2()()()()||||3333222+⋅-=⋅+-+⋅=-+⋅≤++⋅-=+a b b c a b b a b c a b c a b c ， 当且仅当+a b 与c 反向时取等号，故选C ． 8．答案：B 解：先计算半片花瓣面积22260π3π3()360464R R R -=-， ∴22π312()(2π33)6S R R =-=-阴， 故所求概率为222(2π33)π33(2)424S R R R -==-阴，故选B ． 9．答案：D 解：依题意作出()f x 的图象，()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左(0)a >时或向右(0)a <时平移||a 个单位而得． 当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立； 当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[1,2]x ∈-）， 故(2,0)(6,)a ∈-+∞U ，故选D ． 10．答案：B 解：不妨设P 在第二象限，||FM m =，(0,)(0)H h h >， 由3HN OH =-uu u r uuu r ，知(0,2)N h -， 由AFM AON ~△△，得2m c a h a -=①， 由BOH BFM ~△△，得h a m c a =+②， ①②两式相乘，得12c a c a -=+，即3c a =，离心率为3，故选B ． 11．答案：B解：∵0,][πx ∈，∴,πππ[π]333x ωω+∈+， 令3πz x ω=+，则,ππ[π]33z ω∈+， 由题意，sin 12z =在,ππ[π]33ω+上只能有两解5π6z =和13π6z =， ∴13ππ17ππ636ω≤+<， 因为在,ππ[π]33z ω∈+上必有sin π3πsin 222-=，故在(0,)π上存在12,x x 满足122()()f x f x =-；①成立；2πz =对应的x （显然在0,][π上）一定是最大值点， 因52πz =对应的x 值有可能在0,][π上，故②结论错误； 解得11562ω≤<，所以④成立； 当(0,15)πx ∈时，,πππ[]3153z ω∈+， 由于11562ω≤<，故,,πππππ[][]315332z ω∈+⊆，此时sin y z =是增函数，从而()f x 在(0,15π)上单调递增，所以③成立，综上，①③④成立，故选B ．12．答案：D 解：求导得21()[(21)]x x f x e x t x -'=-+有两个零点等价于函数()(21)x x e x t ϕ=-+有一个不等于1的零点，分离参数得21xe t x =+， 令()(0)21xe h x x x =>+，221()(21)x x h x e x -'=+，()h x 在1(0,)2递减，在1(,)2+∞递增，显然在12x =取得最小值2，作()h x 的图像，并作y t =的图象，注意到(0)1h =，(1)13e h =<，（原定义域0x >，这里为方便讨论，考虑(0)h ）， 当1t ≥时，直线y t =与()21x e h x x =+只有一个交点，即x ϕ（）只有一个零点（该零点值大于1）；当2t =时，21()[(21)]x x f x e x t x -'=-+在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点； 当3e t =时，函数(21)x x e x t ϕ=-+（）有两个不同零点（其中一个零点等于1）， 但此时21()[(21)]x x f x e x t x -'=-+在1x =两侧附近同号，使得1x =不是极值点不合， 故选D ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：80-解：展开式通项5352552C ()C (2)r r r r r r x x ---=-， 依题意5322r -=-，得3r =，2x -的系数是335C (2)80-=-． 14．答案：240 解：依题意，先选出一个重灾区（有14C 种选法），分配有两个医疗队，有25C 种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法， 所以不同的分配方案数共有123453C C A 240=． 15．答案：解：设准线l 与x 轴交于E ．易知(1,0)F ， 由抛物线定义知||||MN MF =，由于60NMF ∠=︒，所以NMF △为等边三角形， 三角形边长为||2||4NM FE ==， 又OD 是FEN △的中位线，MD就是该等边三角形的高，||MD =．16．答案：4[0,]5 解：取AC 中点G ，易证AB CD ^， 又GE CD ∥，GF AB ∥，∴GE GF ^，得5EF =． 当四面体绕AB 旋转时，由GF AB ∥，即EF 绕GF 旋转，故EF 与直线l 所成角的范围为[90,90]GFE ?邪，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是4[0,]5．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1）n a n =，*n ∈N ；（2）505．解：（1）∵2193a a a ⋅=，∴1a d =，∵31336S a d =+=，∴11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，综上n a n =，*n ∈N ．（2）由（1）可知24()4111(1)(1)2121n n n b nn n n =-=-+-+-，所以111111111111335572321212121n P n n n n n =--++--+--++=-+---++L ，所以24112019|1|412020n P n n +=<⇒>+，故n 的最小值为505．18．答案：（1）证明见解析；（2）30．解：（1）取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，因为GF BC ∥，且12GF BC =，又因为DE BC ∥，且12DE BC =，故GF DE ∥，且GF DE =，即四边形GFDE 为平行四边形，故GE DF ∥， ∵CE AE =，∴GE AC ⊥， 又GE DF ∥，则DF AC ⊥． （2）∵平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC =，DB BC ⊥， ∴DB ⊥平面ABC ， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴DB AC ⊥， 又DF AC ⊥，∵BD DF D =I ，BD ，DF ⊂平面ABD ， ∴AC ⊥平面ABD ，∴AC AB ⊥， ∵2AB AC ==，∴22BC =，2DE =， 取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则OE DB ∥， ∵DB ⊥平面ABC ∴OE ⊥平面ABC ，故OE BC ⊥，OE OA ⊥， ∵AB AC =，OA BC ⊥， 所以可以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系， ∵3CE AE ==，∴1OE =， 则(0,2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -， (2,2,1)AD =-u u u r ，(2,0,1)AE =-u u u r ，(2,2,0)CA =uu r ， 则(2,2,0)CA =uu r 为平面ABD 的一个法向量， 设平面ADE 的一个法向量为(),,x y z =n ， 则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r n n ，即22020x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则2z =，0y =，则(1,0,2)=n ， 设二面角B AD E --为θ，则6|cos ||cos ,|||||CA CA CA θ⋅=<>==⨯uu r uu r uu r n n n ， 故二面角B AD E --的正弦值为306． 19．答案：（1）4x =，2y =；（2）列联表如下，没有90%的把握认为；（3）13156．解：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为1n ，2n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩，所以12534x =--=，8332y =--=．（2）列联表如下：2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．（3）X 的可能取值为0,1,2,3，则3111323338C C C C 19(0)C 56P X +===， 212112213332232338C C C C C C C C 3(1)C 7P X +++===，2121233338C C C C 3(2)C 14P X +===，3338C 1(3)C 56P X ===，所以1931311310123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．答案：（1）22143x y +=；（2）存在，33[U ．解：（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △3所以222121232c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入22143x y +=，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，线段PQ 的中点为00(),N x y ， ∴212024234x x k x k +==+，120023(1)234y y k y k x k +-==-=+，即22243(,)3434k k N k k -++． 因为||||TP TQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥， 则1TN PQ k k ⋅=-，即2223431443k t k k k k --+⋅=-+，所以213434k t k k k ==++， 当0k >时，因为3443k k +≥3t ∈； 当0k <时，因为3443k k +≤-，所以3[t ∈， 综上，存在点T ，使得||||TP TQ =，且t 的取值范围为33[(0,1212-U ． 21．答案：（1）1；（2）[2,)+∞． 解：（1）令2()(1)ln(1)2x x mx x x ϕ=+-++，()ln(1)1x x m x ϕ'=+-+-， 1()101x x ϕ''=->+， ∴()x ϕ'在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-， 若1m ≥，()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，即1m ≥满足条件， 若1m <，(0)10m ϕ=-<，()x ϕ存在单调递减区间0[0,]x ， 又∵(0)0ϕ=， 所以存在0x 使得0()0x ϕ<与已知条件矛盾，所以1m ≥，m 的最小值为1． （2）由（1）知22x f x x ≤+（），如果22x x g x +≤（），则必有()()f x g x ≤成立． 令2()()()2x h x g x x =-+，则()(1)cos (1cos )h x a x x x x a x =--=--， ()(1cos )0h x x a x =--≥，则1cos 0a x --≥，1cos a x ≥+，2a ≥． 若()0h x ≥，必有()f x ()g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立， 下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立．令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x =-=++-，1()ln(1)f x x '=+， 当0x >时，1()ln(1)0f x x '=+>，1()f x 在区间[0,1]上单调递增，故11()(0)0f x f ≥=，即1()()0f x f x x =-≥，故()x f x ≤．2()()()(1)cos (1cos )22x xg x f x g x x a x x x x a x -≤-=-+-=-+-，令()1cos 2x t x a x =-+-，1()sin 02t x x '=+>，()t x 在[0,1]上单调递增，(0)20t a =-<，则一定存在区间(0,)m （其中01m <<），当(0,)x m ∈时，()0t x <，则()()()0g x f x xt x -≤<，故()()f x g x ≤不恒成立． 综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞．22．答案：（1）22:1C x y -=，30l y -+=；（2解：（1）由2cos 21ρθ=，得222cos sin 1ρθρθ-=，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=，由x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去t30y -+=， 所以直线l30y -+=． （2）点(P 在直线l 上，设直线l的参数方程为122x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（m 为参数），设点A ，B 对应的参数分别为1m ，2m ，将直线l 的参数方程代入221x y -=，得240m +-=，∴12m m +=-，124m m ⋅=-，∴1212121212||||||11||||||||2m m m m PA PB m m m m +-+====． 23．答案：（1）10[0,]3；（2）114． 解：（1）53,1()3,1235,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩， 不等式()5f x ≤等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩或3552x x -≤⎧⎨>⎩，解得1003x ≤≤， 即不等式的解集为10[0,]3． （2）()|1|2|2|1f x x x x =-+-≥，当且仅当2x =时，等号成立． ∴1m =，∴231a b c ++=，2222221()14a b c a b c ++=++，211149(23)1414a b c ++≥++=， 当且仅当114a =，17b =，314c =时，等号成立， ∴222a b c ++的最小值为114．。
专题06 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国III卷)(理)(解析版)
1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
百师联盟2020届高三冲刺卷(三)全国I卷数学(理)试卷及解析
百师联盟2020届高三冲刺卷（三）全国I 卷数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)注意事项：1、答卷关,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数,则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 0 D. ±1【答案】A 【解析】将复数化简为z m ni =+的形式,若复数z 为纯虚数,则0m =,且0n ≠,可解得a 的值. 【详解】()()()()1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 22a a a az ----+===-++-, 因为复数z 是纯虚数,故102a-=,102a +-≠, 解得1a =. 故选：A.2.已知集合{}22|1A x x y =+=,集合{|B y y ==,则A B =（ ）A. []1,1-B. []0,1C. []1,0-D. ()1,1-【答案】B 【解析】根据圆的性质,函数的值域,结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】集合{}{}22|1|11A x x y x x =+==-≤≤,集合{}{}||0B y y x y y ===≥,所以[]0,1A B =. 故选：B3.在等比数列{}n a 中,561a a =,899a a =,则410a a 等于（ ） A. 9 B. 3± C. 3- D. 3【答案】D 【解析】根据等比数列的下标的性质进行求解即可【详解】由等比数列性质,得()256894109a a a a a a ⋅==,因为2641040a a a q ⋅=⋅>,解得4103a a =.故选：D4.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】本题可通过排除法找函数图像,先判断原函数是否具有奇偶性,再利用特殊值法可得出正确的选项.【详解】因为()()f x f x ≠-,()()f x f x ≠--, 所以函数()f x 为非奇非偶函数,排除选项B,C ；又因为1e 202f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 故选：A .5.刘徽是我国古代伟大的数学家,他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝,他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积,如图,从正六边形开始,依次将边数增倍,使误差逐渐减小,当圆内接正三百六十边形时,由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒【答案】D【解析】圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成,腰长与圆的半径相等,利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等,计算π的近似值.【详解】设圆的半径为1,当圆内接正三百六十边形时,每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1,顶角为1︒的等腰三角形,则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S=⨯⨯⨯︒⨯=︒,圆的面积为π,用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积,即有180sin1π︒=.故选：D.6.实数x,y满足不等式组210,230,30x yx yx y-+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则22z x y=+的最小值为（）A.14B.3555D.15【答案】D【解析】在平面直角坐标系内,画出可行解域,根据目标函数的几何意义,结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,22z x y=+的几何含义为过原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方,易知原点到直线210x y -+=的距离()()22020115521d ⨯+⨯-+==+-,即原点到阴影区域的最小值,而215d =,则22z x y =+的最小值为15.故选：D7.若双曲线()222104y x a a -=>的渐近线与抛物线2112y x =+相切,则a =（ ）A. 2 2 C. 2 3【答案】A 【解析】根据导数的几何意义,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】可以设切点为2001,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由y x '=,所以切线方程为()2000112y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭,即200112y x x x =-+．因为已知双曲线的渐近线为2a ay x x b =±=±,所以200110,22x a x⎧-+=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩解得22a =故选：A8.二项式62x x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为（ ）A. 80B. 60C. 30D. 8【答案】B 【解析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的通项公式366221662C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 令36042r r -=⇒=,所以常数项4256C 260T =⋅=. 故选：B9.在平面直角坐标系中,x 轴负半轴上有4个点,y 轴负半轴上有3个点,将x 轴负半轴上这4个点和y 轴负半轴上这3个点连成12条线段,这12条线段在第三象限内的交点最多有（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个【答案】C 【解析】根据四边形的构造方法,结合组合的知识进行求解即可.【详解】易知x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形,则这个四边形唯一的对角线交点在第三象限,适合题意．而这样的四边形共有2243C C 18⋅=个,于是最多有18个交点.故选：C10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AB AA ==,2BC =,点P 为BC 中点,现有一只蚂蚁欲从点P 沿长方体的表面爬行到点1A 觅食,则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A. 2B. 3 510【答案】C 【解析】根据长方体展开的方式,结合勾股定理分类讨论求解即可.【详解】如图,将长方体1111ABCD A B C D -展开,由于两点之间线段最短,故点P 到点1A 应取直线段,图中路线①的长度221125d =+=,路线②的长度2224117d =+=,路线③的长度223215d =+=路线④的长度224125d =+=所以蚂蚁爬行的最短距离为5d =.故选：C11.已知()2,0P,曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且2a ≠）交于A ,B 两点,则PAB△的周长的最小值为（ ） A. 222- B. 232-C. 31-D. 21-【答案】B 【解析】化简曲线的方程,可利用抛物线定义将长度进行转化,得出PAB △的周长的最小值. 【详解】易知曲线C 是由两抛物线24x y =和24x y =-构成, 如图,设AB 与x 轴交于点D ,抛物线24x y =的焦点为F , 连接AF ,PF ,则()0,1F ,PAB △的周长()()()()22121231c AP AD AP AF PF =+=+-≥-=-,当F ,A ,P 的三点共线时取等号. 故选:B .12.在ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c 若sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C--=++且3ab =．则ABC 面积的最大值为（ ）A. 1B. 34C.12【答案】B 【解析】根据正弦定理、余弦定理,结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可【详解】因为sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C --=++,由正弦定理得,a c c bb c a c--=++,即2222a b c +=,由余弦定理 222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=,当且仅当222a b c ===,所以0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,sin 2C ≤,则113sin 2224ABC S ab C =≤=△, 所以ABC 面积的最大值34.故选：B二、填空题：本题共4小题．每小题5分,共20分．13.已知向量()1,1a =-,3,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭b ,若a b ⊥,则3+=a b __________. 【答案】2 【解析】利用两向量垂直数量积等于0得出b 的坐标,再计算出()3a b +的坐标,最后利用坐标计算3+a b.【详解】因为a b⊥,0n n -=⇒=, ()30,2a b +=,所以32a b +=.故答案为：2.14.若关于x 的不等3a x -<成立的必要不充分条件是25x -≤≤,则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,2 【解析】根据必要不充分条件的定义,结合集合间的关系、绝对值的不等式解法进行求解即可. 【详解】由3a x -<得,33a x a -<<+,依题意有集合{}|33x a x a -<<+是集合{}|25x x -≤≤的真子集,所以满足32,35,a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得12a ≤≤,则实数a 的取值范围是[]1,2．故答案为：[]1,215.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()f x =__________；把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象,则函数()()y f x g x =+最小值为__________．（第1空2分,第2空3分） 【答案】 (1). sin 26x (2). 1-【解析】根据正弦型函数的最小正周期公式和对称性可以求出()f x 的解析式,再利用正弦型函数图象的变换性质可以求出()y g x =的解析式,最后利用余弦型函数的性质,结合两角和的正弦公式和余弦公式求出最值.【详解】由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π, 得22T T ππ=⇒=,所以220,2T πωωω==>∴=,()()sin 2f x x ϕ=+,又其一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,即有5212k πϕπ⨯+=,k Z ∈,则56πk πϕ=-+,k Z ∈,又2πϕ<,所以6π=ϕ,()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()5sin 2cos 263ππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()()sin 2cos 263ππy f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos21x =≥-．故答案为：sin 26x；1-．16.己知函数()e x af x -=,1x ∃,2x R ∈,使()()()222121221,2F x x x f x x f x =-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则实数a的取值范围为__________． 【答案】[)0,+∞ 【解析】利用换元法,根据两点距离公式,导数的几何意义,结合存在性的定义、反函数的性质进行求解即可.【详解】令()2f x t =,则()2ln 0x t a t =+>,则()12,F x x 即为两点()()11,x f x ,(),ln t t a +的距离．设点(),1A a ,()1,B a ,因为()x af x e -'=,则函数()x a f x e -=在点A 处的切线斜率为()1f a '=,设函数()ln g x x a =+,则()1g x x'=,函数()g x 在点B 处的切线斜率为()11g '=,且1AB k =-,所以结合反函数的知识可得,AB 为()12,F x x 的最小值,所以由题意：当1a ≥时,函数()f x 与函数()g x 图象有交点,满足题意；当1a <时,函数()f x 与函数()g x 图象无交点,只须满足)1AB a -,解得01a ≤<；综上0a ≥． 故答案为：[)0,+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++的值； （2）若b =求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）58+；（2）6.【解析】（1）先利用同角三角函数基本关系式求出sin B ,再用降幂公式和正弦倍角化简结果,最后 代入求值；（2）利用余弦定理列出边的等量关系,再用基本不等式得出ac 的最大值. 【详解】（1）因为1cos 4B =,所以215sin 1cos 4B B =-=, 222sin sin 2sin 2sin cos cos 2sin cos 222A C πB BB B B B B +-+=+=+ 1cos 2sin cos 2B B B +=+111515154224++=+⨯⨯=； （2）由余弦定理知,22222132cos 22b ac a B a c ac ac =+-=+-≥,所以22433ac b ≤=,当且仅当233a c ==时取“=”, 则ABC 的面积1141515sin 223ABC S ac B =≤⨯⨯=△, 即ABC 面积的最大值为15. 18.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -中,1111111122A B A D B C C D ====,1113B D DD ==,点E ,F 分别1CC ,1A D 中点．（1）证明：EF ∥平面1111D C B A ； （2）求二面角111F A B D --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）37729【解析】（1）取11A D 中点G ,连接FG ,1C G ,根据三角形中位线定理,结合平行四边形的判定定理和性质定理,线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理,结合直棱柱的性质,建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：如图,取11A D 中点G ,连接FG ,1C G , 因为点F ,为1A D 中点, 所以11FGDD CC ,且112FG DD =, 因为点E 为1CC 中点,所以1111122EC CC DD FG ===,即1FG EC ∥,1FG EC =,所以四边形1FGC E 为平行四边形, 所以1EFC G ,因为1C G ⊂平面1111D C B A ,EF ⊄平面1111D C B A , 所以EF 平面1111D C B A（2）因为111C D =,11B D =112B C =,所以222111111C D B D B C +=,即111B C D △为直角三角形,所以1111B D C D ⊥,因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱, 所以111DD B D ⊥,111DD C D ⊥,以1D 为坐标原点,分别以11D B ,11D C ,1D D 为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,可得,()10,0,0D ,1A ⎫⎪⎪⎝⎭,)1B ,(D ,所以,442F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,113,,022A B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1,442A F ⎛=- ⎝⎭易知平面111A B D 的一个法向量()0,0,1m =,设平面11FA B 的一个法向量(),,n x y z =,则11100A B n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3130,2231330,442x y x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩可取13x =,则()13,3,13=-n ,以1D 为坐标原点,分别以11D B ,11D C ,1D D 为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系,由图可知二面角11F A B -为锐角,设二面角111F A B D --大小为θ,则377cos θ⋅==⋅m n m n ．19.已知点33,P ⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上,且椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点,若椭圆C 的弦AB 中点在线段OP （不含端点O ,P ）上,求OA OB ⋅取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）把点33,2P ⎫⎪⎪⎭的坐标代入椭圆的标准方程中,根据椭圆离心率公式,结合222a b c =+进行求解即可；（2）设出点,A B 的坐标,运用点差法求出直线AB 的斜率,设出直线AB 的方程,与椭圆方程联立,结合平面向量数量积的坐标表示公式和一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可.【详解】（1）由条件知223314a b+=,12c a =,结合222a b c =+解得2a =,3b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设点A ,B 的坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段OP 上,且12OPk =,所以()12122x x y y +=+,又2211143x y +=,2222143x y +=,两式相减得,()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=,易知120xx -≠,120y y +≠,所以()()121212123342x x y y x x y y +-=-=--+,即32AB k =-． 设AB 方程为32y x m =-+,代入22143x y +=并整理得223330x mx m -+-=．由()23120m ∆=->解得212m <,又由(1222x x m+=∈,所以0m << 韦达定理得12x x m +=,21233m x x -=,故121212123322OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222121239373934212m m x x m x x m --=+-++=．而0m <<所以OA OB ⋅的取值范围是3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.已知函数()()11e e 2xx f x a x a -=-∈R ． （1）若0x =为函数()f x 的极值点,求函数()f x 的值域；（2）是否存在a 值,使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立？若存在,求a 的取值范围；若不存在,说明理由．【答案】（1）2a e =；函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）2(0,)21e -.【解析】（1）根据函数极值的定义,结合导数的性质进行求解即可；（2）对原不等式进行变形,构造新函数,根据a 的正负性结合导数的性质分类讨论进行求解即可.【详解】（1）()()1'1111e e e e e 22x x x x xf x a x f x a x ---=-⇒=-+,由题意可知：()'100e 022f a a e =⇒-=⇒=,()'11112e e e (1)x x x x x f x x e e x +---=-+=-+,令2'2()1()210x x g x e x g x e =-+⇒=+>,所以()g x 是单调递增函数,而(0)0g =, 因此当0x >时,'()(0)0()0,()g x g f x f x >=⇒>单调递增,当0x <时,'()(0)0()0,()g x g f x f x <=⇒<单调递减,所以函数()f x 的最小值为()0f e =,因此函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）()1211e e 1(e )22(1)02x x x xf x ae a x ae a ex ae e ->-⇒->-⇒--->,设2()(e )22(1)x x g x a ex ae e =---,问题转化为当0x ≥时,()0>g x 恒成立. 当0a =时,()22x g x ex e =-+,显然有(1)220g e e =-+=,不符合题意； 当0a <时,当x →+∞时,22()(e )22(1)[2(1)],()x x x x xexg x a ex ae e e ae ae g x e =---=---∴→-∞,不符合题意； 当0a >时,'2()2(e )22(1)2(e 1)(e 1)x x x x g x a e ae e a =---=+-,当0x ≥时,'()0g x ≥,因此函数()g x 是单调递增函数,因此由0x ≥,可得()(0)(12)2g x g a e ≥=-+,所以当0x ≥时,函数()g x 的最小值为(12)2a e -+,要想在0x ≥时,()0>g x 恒成立,只需22(12)20,002121a e a a a e e -+>⇒<>∴<<--,综上所述：存在a 值,使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立,取值范围为：2(0,)21e -.21.2020年春节即将来临,某市一商家为了在春节期间更好地推销某种商品,决定分析2019年春节期间的销售情况以进行反馈调整,已知该商品去年日营销费用和日销售量的关系如下表所示：并随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查,得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小,并判断去年日销售量y 与日营销费用x 具有哪种线性相关．（规定：若0.4r <为低度线性相关；若0.40.7r <<为显著性相关；若0.71r ≤<线性相关；若0r =为无线性相关．）（2）判断是否有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性．（3）该商家为了在今年春节期间吸引更多的顾客,设计了一个小游戏：顾客可以根据抛一张只有正反面的卡片出现的结果,操控一枚棋子在方格纸上行进,若小棋子最终停在“幸运格”,则可获得购物优惠券2千元,已知卡片出现正,反面的概率分别为23,13,方格纸上标有第0格,第1格,第2…第30格．棋子开始在第0格,顾客每抛一次卡片,棋子向前移动一次．若抛出正面,棋子向前移动一格（从k 到1k +）；若抛出反面,棋子向前移动两格（从k 到2k +）,直到棋子移到第29格（“幸运格”）或第30格（“无缘格”）时,游戏结束．设棋子移到第n ()129n ≤≤格的概率为n p ．（ⅰ）试求n p 的通项公式；（ⅱ）并求参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值．参考公式：()()niix x y y r --=∑,()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++．临界值表：2.236≈．【答案】（1）线性相关；（2）有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）1500元. 【解析】（1）利用所给的公式进行计算,结合已知所给的规定进行求解即可；（2）根据题意补全列联表,根据题中所给的公式求出2K 的值,并根据临界值进行判断即可； （3）（ⅰ）先求123,,p p p 的值,再求出数列的递推公式,然后对递推公式进行变形,结合累和法和等比数列前n 项和公式进行求解即可； （ⅱ）运用数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）2345617202423264,2255xy ++++++++====,()()1(24)(1722)(34)(2022)(44)(2422)(54)(2322)(64)(2622)21;niii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑2(24)-===因此0.939r==≈,所以有0.71r≤<成立,因此去年日销售量y与日营销费用x具有线性相关；（2）因为随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查,所以根据表中数据所知女性顾客中不愿意继续购买的人数为200100503020---=,因此列联表如下：因为22200(502010030)11.1180120150510.828K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）由题意可得；11232212271222220,,333393333327p p Cp==+⨯==⋅⨯+⨯⨯=,由题意经过分析得：1221(,329)33n n np p p n N n--=+∈≤≤,变形为：1121()3n n n np p p p----=--,因此数列{}1n np p--是以32127p p-=-为首项,13-为公比的等比数列,因此3111()(,329)273nn np p n N n---=-⋅-∈≤≤,所以有：1122343()()()()n n n n n n np p p p p p p p p-----=-+-+-+-3451111111120()[()][()][()]27327327327327n n n---=-⋅-+-⋅-+-⋅-++-⋅-+3451111120[()()()()]27333327n n n---=--+-+-++-+311()[1()]12033127271()3n--⨯--=-⨯+--311()443n=+⋅-1,2,3n=也适合,因此311()(,129)443nnp n N n=+⋅-∈≤≤；（ⅱ）由题意可知：小棋子最终停在“幸运格”,可获得购物优惠券2千元,而第29格是“幸运格”,所以参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值为：292931120002000[()]1500443p =+⋅-≈元.（二）选考题：10分．请考生第22、23题中任选一题．．．．作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时,请写清题号．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,单位长度相同,曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求MA MB ⋅.【答案】10y -+=,12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；(2) 2.【解析】（1）利用代入消参的方法的出线l 的直角坐标方程,利用公式转化得出曲线C 的参数方程； （2）点M 在直线l 上,可用直线参数方程参数的几何意义计算MA MB⋅.【详解】（1）由已知可得直线l 10y -+=,∵23cos 2ρθρ-=,∴22cos 3ρρθ+=, ∴2223x y x ++=,∴曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=,∴曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）∵点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭∴点M 的直角坐标为()01，,点M 在直线l 上,设111122A t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，,221122B t t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，, 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221142t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴)2120t t +-=,有韦达定理可得122t t =-, ∴122MA MB t t ⋅==. 【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()21f x x x =++-,()1g x x a =-+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时,若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，；（2）[]24，. 【解析】（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；（2）若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,则()f x 的值域是()g x 的值域的子集,以此求实数a 的取值范围. 【详解】（1）①2x <-时()214f x x x =---+≥,得52x ≤-,∴52x ≤-,②21x -≤≤时()214f x x x =+-+>,得34>,∴无解, ③1x >时()214f x x x =++-≥,得32x ≥, ∴32x ≥, 综上所述,原不等式的解集为5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，； （2）∵2a ≥,[]2,2x ∈-()21f x x x =++-,()1g x x a =-+, ∴()3212112x f x x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩，，,即()35f x ≤≤,()1g x x a =-++,若对任意[]12,2x ∈-,都存在[]22,2x ∈-,使得()()12f x g x =成立,则有()()()22152213g a g a ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≤⎪⎩得24a ≤≤,且2a ≥∴实数a 的取值范围[]24，.。
01冲刺2020高考数学(理)强化卷(新课标版)(原卷+解析版) (1)
C．若 m ， n ， m / / ， n / / ，则 / /
D．若 m ， n / / ， ，则 m n
9.函数 f (x) cos x ln( x2 1 x) 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
杨
10.双曲线 C：x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右焦点分别为 F1,?F2 ，点 P 在双曲线 C 上，满足 F1F2
16.统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象， 社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查 者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出 300 名学生，调查中使 用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调 查者从装有 4 个红球，6 个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实 回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回 答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了 78 个小石子.
2．若复数 z 的虚部小于 0，| z | 5 ，且 z z 4 ，则 iz （ ）
A．1 3i
B． 2 i
C．1 2i
D．1 2i
【答案】C
【解析】由 z z 4 ，得 z 2 mi(mR) ，因为| z | m2 4 5 ，所以 m 1. 又 z 的虚部小于 0，所以 z 2 i ， iz 1 2i .
C．2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率
2020届全国高考数学(理)冲刺预压轴测试卷——名校高考预测试题(含答案解析)
2020届全国高考数学（理）冲刺预压轴测试卷——名校高考预测（含答案解析）一、选择题1．设常数a∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∈B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞） 2．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m +(m 2−1)i >0，则m+i 1−i=（ ）A ．−1B ．1C ．−iD ．i 3．已知0a b >>，且1ab =，如果把4b a 、()2a b -+、4ab 按从小到大的顺序排列，那么排在中间的数是（ ） A ．4b aB ．()2a b -+C ．4a b D ．不能确定4．函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是（ ）A ．29 B ．13 C ．23 D ．796．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（ ） A ．180319 B ．9019C ．18019 D ．90319 7．右图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为 A ．23B ．34C ．45D ．568．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．31B ．32C ． 29D ．309．已知1F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线交于双曲线C 于,A B 两点，,E G 分别为双曲线的左、右顶点，连接AE 交y 轴于点M ，连接MG 并延长交AB 于点N ，且N 为线段1F B 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．7210．若关于x 的方程0xx xx em e x e++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈， 2.718e =为自然对数的底数，则3122312111x x x xx x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．1m -C ．1m +D ．111．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A ．B ．C ．D ．12．已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在(0,1)x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ） A ．0,12π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则12x x 的值为________. 14．记n S 为数列{}n a 的前项和，若21n n S a =+，则10S _______．15．1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是________.16．过抛物线C ∶y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF|=8|OF|（O 为坐标原点），则|AF||BF|=_______.三、解答题17．∈ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且a （cos B +cos C ）＝b +c ． （1）求证：A 2π=；（2）若∈ABC 外接圆半径为1，求∈ABC 周长的取值范围．18．如图1，四边形PBCD 是等腰梯形，//BC PD ，2PB BC CD ===，4PD =，A 为PD 的中点.将ABP △沿AB 折起，如图2，点M 是棱PD 上的点.（1）若M 为PD 的中点，证明：平面PCD ⊥平面ABM ； （2）若6PC =，试确定M 的位置，使二面角M AB D--的余弦值等于5.19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．20． 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a (0<a <1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P(ξ=i)(i =0，1，2，3)中, 若P(ξ=1)的值最大, 求实数a 的取值范围.21．已知函数()2()x f x e ax a R =-∈. （1）若()f x 的极值为0，求实数a 的值；（2）若()2ln 2f x x x x ≥-对于(2,4)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.选做题22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.23．已知函数()1|23|f x x x =+--.（1）求不等式()5f x <-的解集；（2）若()f x 的图象与直线y a =围成的图象面积不小于24，求a 的范围.2020届名校高考预测数学参考答案一、选择题BDBBD CCDAD AC 二、43 1023- 237 1．B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．D【解析】由题设复数m +(m 2−1)i 是实数，即m 2−1=0且m >0时，所以m =1，则m+i 1−i =1+i1−i =(1+i)22=i ，应选答案D 。
专题06一次函数常考重难点题型(十大题型)(原卷版)
专题06 一次函数常考重难点题型（十大题型）【题型1 函数与一次（正比例）函数的识别】【题型2 函数值与自变量的取值范围】【题型3 一次函数图像与性质综合】【题型4 一次函数过象限问题】【题型5 一次函数的增减性】【题型6 一次函数的增减性（大小比较问题）】【题型7一次函数图像判断】【题型8 一次函数图像的变换（平移与移动）】【题型9 求一次函数解析式（待定系数法）】【题型10 一次函数与一次方程（组）】【题型1 函数与一次（正比例）函数的识别】【解题技巧】（1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考以下三点: (1)有两个变量: 2)一个变量的变化随另一个变量的变化而变化: (3)自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
（2）判断正比例函数，需关于x的关系式满足:= (0)，只要与这个形式不同，即不是正比例函数。
（3）一次函数必须满足k+b (0)的形式，其中不为0的任意值1．（2023春•右玉县期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．（2023春•临西县期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y＝1B．C．y＝2x﹣3D．y＝x2 3．（2023春•潮阳区期末）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝2x2C．y2＝2x D．y＝2x 4．（2023春•武城县期末）已知y＝（m﹣1）x|m|+4是一次函数，则m的值为（）A．1B．2C．﹣1D．±1 5．（2023春•鼓楼区校级期末）正比例函数x的比例系数是（）A．﹣3B．C．D．36．（2023春•南岗区校级期中）若函数y＝2x2m+1是正比例函数，则m的值是．7．（2023春•岳阳楼区校级期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？【题型2 函数值与自变量的取值范围】【解题技巧】:函数的取值范围考虑两个方面:（1）自变量的取值必须要使函数式有意义:（2）自量的取值须符合实际意义。
2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（原卷版）
『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <<b a c <<b c a <<c a b<<【答案】D【试题解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，，，0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <<b c a <<C. D. a b c<<a c b<<2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A.B.C.D.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c>>a b c>>c b a>>b c a>>4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（ ）A B. C. D. a b c>>b c a>>c b a >>c a b>>6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c>>a c b>>C. D. b a c >>c a b>>7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c<<a c b<<c a b<<b c a<<9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（ ）A. B. C. D. c a b>>c b a>>b a c>>a b c>>10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（ ）,,a b c A. B. C. D. a c b<<b a c<<c a b<<a b c<<12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（ ）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c>>a b c>>c b a>>a c b>>13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c>>a c b>>c a b>>c b a>>14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（ ）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b>>15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. a c b<<b c a <<c a b <<c b a <<16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若 ，则的大小关系为（）A.B.C.D.17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c<<b a c<<c b a<<c a b<<18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（ ）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c>>b a c>>c b a>>a c b>>20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b>>b a c>>a c b>>c b a>>。
2020年名校高考数学冲刺卷解析版
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！本试卷分第I卷(选择题)和第□卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立，那么P(A B)=P(A)-P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么”次独立重复试验中恰好发生Q欠的概率P"(k)=c：p k(i-pY k•球的体积公式v球=名汗,其中R表示球的半径.第I卷(选择题共60分)一.选择题：本大题共有12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.映射f A-B，如果满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象,则称为"满射".已知A中有4个元素，B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为(C)A,24B.6C.36D.72［解析］集合A中必须有两个元素和B中的一个元素对应,A中剩下的两个元素和B中的其余元素相对应,故应为C,定［评析］本题是一个创新题，给出一个新概念”满射”，考查考生阅读理解能力及灵活运用知识的能力，其实质是立足于排列组合与映射的交汇点设计的问题，难度适中。
2.(理)在复平面内，复数二+d+V3，)2对应的点位于(B)l+zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［解析］+(1+V3z)2= --+(-+2a/3)z对应复平面上点1+Z22"甘+2可，故选B.［评析］本题考查复数的代数运算及复数的几何意义即复数与复平面上点对应关系,属于容易题.(文)气=1”是尸+x—6<0的(A)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要［解析］显然条件+x-6<0,但由/+了_6<0成立不一定有X=1成立。
［评析］本题运用集合关系来判断充分必要性很方便：A0A是胡充分不必要条件.3.设厂⑴是函数f(x)=?(ax—a x)(a>l)的反函数，则使尸(x)>l成立的x的取值范围为DA.(«,+oo)^-) C.(^—^-,<2) D.(-^―^-,+co)2a 2a 2a［解析］广3>1=原函数/'(x)中X>1,求函数值y的范围。
2020年高考数学(理)冲刺模拟卷(二)(全国版含答案解析)
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
x AB
y AC
，则
1 x
4 y
的最小值为
（）
3
5
A．
2
B． 5
9
C．
2
【答案】D
【解析】如图可知 x，y 均为正，设 AD=x AB y AC ，
D． 9
: B, D,C 共线， x y 1，
1 x
4 y
1 x
1 2 2
1 2 2
2 ．故选：B． 2
1
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验。根据收集到
的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0．67x＋54．9。
零件数 x/个 10
20
30 40 50
加工时间 y/min 62
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
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专题06 比较大小（原卷版）
在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.
比较大小易错点
易错点1：比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。
常用的指对数变换公式：
（1）n m m n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a
M M N N
-= （3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c b b a
= 进而有两个推论：1log log a b b a =
（令c b =） log log m n a a n N N m = 易错点2：混淆判断对数的符号
（1）如果底数和真数均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么对数的值为正数；
（2）如果底数和真数一个在（0，1）中，一个在（1，+∞）中，那么对数的值为负数. 易错点3：没有选中合适的中间量
利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.
题组一
1.(2016全国III)已知432a =，344b =，13
25c =，则（ ）
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
2.（2013新课标）设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）
A. a b c >>
B.b c a >>
C.a c b >>
D.c b a >>
题组二
3.（2019全国Ⅰ理3）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4.已知,,a b c 均为正数，且a a 2111222112log ,log ,log 22b c
a a
b
c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.a b c << B.
c b a << C. c a b << D. b a c <<
题组三 ★5．若a b >，则( )
A ．()0ln a b ->
B ．33a b <
C ．330a b ->
D ．||||a b >
6.(2016全国I) 若101a b c >><<，，则（ ）
A.c c a b <
B.c c ab ba <
C.log log b a a c b c <
D.log log a b c c <
7．（2017新课标Ⅰ）设x y z ，，为正数，且235x y z ==，则（ ）
A ．235x y z <<
B ．523z x y <<
C ．352y z x <<
D ．325y x z <<
★8．(2018全国卷Ⅲ)设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( )
A ．0<<+ab b a
B ．0<+<b a ab
C ．ab b a <<+0
D ．b a ab +<<0
题组四
9．（2019全国Ⅲ理11）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )
A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>
B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>
C ．2
33
231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> 10.（20152）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A.(,1)(0,1)-∞-U
B.(1,0)(1,)-+∞U
C.(,1)(1,0)-∞--U
D.(0,1)(1,)+∞U。