(完整word版)三角形的四大模型

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八年级上册数学三角形模型大全

八年级上册数学三角形模型大全
八年级上册数学三角形模型包括以下几种：
1. A字模型：∠1 + ∠2 = ∠c + 180°。

2. 高分角模型：高分角等于底角差的一半。

3. 八字模型：两翼和相等。

4. 飞镖模型：∠d = ∠a + ∠b + ∠c。

5. 镖分分模型：上下之和等于中间两倍。

6. 八字加角分线模型：上下之和等于中间两倍。

7. 双角平分线模型—内内：内内90°+1/2。

8. 双角平分线模型—外外：外外90°-1/2。

9. 双角平分线模型—内外：本质上有某些关联。

10. 一内一外模型：由三角形的一个内角平分线和一个外角平分线产生夹角。

11. 两内模型：两个内角平分线的夹角。

12. 两外模型：两个外角平分线的夹角。

以上内容仅供参考，可以请教数学老师或查看教辅资料，以获取更多有关三角形模型的解题技巧和方法。

专题中点四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。

【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。

三角形的四大模型

三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。

在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。

下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。

一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。

欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。

根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。

这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。

欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。

这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。

二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。

特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。

重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。

特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。

例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。

三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。

边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。

在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。

例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。

四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。

向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。

在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。

三角形的四大模型培训课件

三角形的四大模型一、三角形的重要概念和性质1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）二、八字模型：证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D三、飞镖模型：证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C四、角分线模型：如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．题型一、三角形性质等应用1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）A．120 B．150 C．240 D．3602．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影= cm2．4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积．5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答）（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．题型二、八字模型应用7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①图2中共有个“8字形”；②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．8．（1）求五角星的五个角之和；（2）求这六个角之和题型三、飞镖模型应用9．如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系，并证明你的结论．10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．题型四、角分线模型应用11．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．12．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°D．110°第11题第12题第13题13．如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°14．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1= ；（2）∠A2= ；（3）∠A n= ．题型五、其他应用15．已知△ABC中，∠A=60°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC= °．（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．16．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数（备用图）。

2021届中考数学精品冲刺复习相似三角形之四大模型

似三角形，如图：
总结：AACB ＝AAEF ，∠CAE＝∠BAF―→△ACE∽△ABF．
跟踪训练
7．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等
腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD
与 BE，AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2
＝CP·CM．其中正确的是
A．①②③
B．①
C．①②
(A ) D．②③
模型二：A 字型【模型归纳】有一个公共角(∠A)，此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证
明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
【重要结论】 1．图④、⑤：AC2＝AD·AB． 2．图⑤：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝BD·AB． 3．双垂直模型常会在二次函数综合题中考查，常用到分类讨论思想，即未确定两三角形对应顶点时常通过不确定对应边列关系式求解．
跟踪训练 1．如图，⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，DE＝1．5，CE＝4，AE＝2，则 BE＝__3_____．
2．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE＝13 AD，连接 CE 交 BD 于点 F，则 EF∶FC 的值是__4_∶__3_______．
跟踪训练
3．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为
(C )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，直线 y＝12 x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，点 B 在直线 y＝12 x＋1 上且点 B 的纵坐标为 3，点 P 在 x 轴上且不与坐标原点 O 重合，当以 A，B，P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点

三角形计算四大模型

三角形计算四大模型三角形是数学中的一种基本几何形状，拥有三边和三个内角。

在数学中，有四种常见的三角形计算模型：余弦定理、正弦定理、海伦公式和面积公式。

这些模型可以用于计算三角形的各种属性，例如边长、角度和面积。

下面将详细介绍这四个模型。

1.余弦定理：余弦定理表达了一个三角形的任意一条边的平方与其余两条边的平方之间的关系。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么余弦定理可以表达为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2.正弦定理：正弦定理利用了角度和边长之间的关系。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC3.海伦公式：海伦公式可以用来计算三角形的面积。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，令s为半周长（即s=(a+b+c)/2），那么海伦公式可以表达为：面积 = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))4.面积公式：面积公式也可以用来计算三角形的面积。

面积=(1/2)*b*h这四大模型都能够为我们提供计算三角形属性的方法。

余弦定理和正弦定理适用于计算三角形边长和角度的情况，而海伦公式和面积公式则适用于计算三角形的面积。

根据具体的问题，我们可以选择合适的模型来计算三角形的属性。

除了上述四大模型之外，三角形的属性还可以通过其他方法来计算，例如勾股定理、角平分线定理等。

每个模型在不同的问题中都有其特定的适用场景，因此了解并掌握这些模型可以帮助我们更好地解决各种三角形计算问题。

微专题三角形四大常考全等模型

基本模型
图示
模型总结
有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等
针对训练 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E. 求证：DE＝AD＋BE.
第3题图
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD. 在△ADC和△CEB中，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第4题图
∠A＝∠ACF AD＝CF ， ∠A DF ＝∠F ∴△ADE≌△CFE(ASA)．
W
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例2题图
解：全等．
理由如下：∵∠1＝∠2，∴DB＝DC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，
∴∠ABD＝∠ACD，
在△ABD和△ACD中， AB＝AC ∠ABD＝∠ACD， BD＝CD ∴△ABD≌△ACD(SAS)．
基本模型
图示
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶模型总结点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边
【思维教练】要证△ABC≌△DEC，题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE ＝∠BCE＝90°，只需证明∠B＝ ∠CED即可．
例4题图
证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°. ∵∠AEC＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. 在△ABC和△DEC中， AB＝DE ∠B＝∠DEC， BC＝EC ∴△ABC≌△DEC(SAS)．
微专题四大常考全等模型
(必考，均在几何图形的证明与计算中涉及考查) 模型一平移模型例1 如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝DE. 求证：AD＝CF. 【找一找】

完整版)浙教版八年级三角形中几种模型

完整版)浙教版八年级三角形中几种模型一、手拉手模型：手拉手模型是一种几何证明方法，利用等腰三角形的性质来推导结论。

具体步骤如下：1.判断手的左右，将等腰三角形的顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2.手拉手的定义是指两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

3.根据SAS（边-角-边）的几何条件，可以得出手拉手模型的基本结论，包括△ABC≌△AB'C'、∠BAB'=∠BOB'、AO 平分∠BOC'等。

例1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHCB；（7）GF∥AC。

变式练1：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60；（4）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC；（5）GF∥AC。

变式练2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60；（4）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC。

变式训练3：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD，CB=EB，∠ABD=∠CBE=a，连接AE与CD。

问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H。

问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？例3：如图，两个等腰直角三角形ADC与___，连接AG、CE，二者相交于H。

中考数学常见的11种几何模型

中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。

二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。

三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。

八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。

九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。

微专题全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习

21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点，分别在，上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长至点，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型

三角形数学建模四大常考相似模型

为BC上一点,MN⊥AM,MN交CD 于点N. (1)求证:△ABM∽△MCN; (2)若AB=6,BM=2,求DN的长.
(1)证明:∵∠B=∠C=∠AMN=90°,
∴∠AMB+∠CMN=90°,∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠AMB=∠MNC,
∴△ABM∽△MCN.
2.结论: (1)
一线三垂直型已知:∠B=∠ACE=∠D=90° 结论:(1)△ABC∽△CDE (2)AB·DE=BC·CD (3)当C为BD中点时,△ABC∽△CDE∽△ACE
(2)
一线三等角型已知:∠B=∠ACE=∠D=α 结论:(1)△ABC∽△CDE (2) AB·DE=BC·CD (3)当C为BD中点时,△ABC∽△CDE∽△ACE
BC
1 3
.
2.如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若 AP=2,BP=3,则AC的长为 10.
3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在边AC上,AD=2,若点E在
边AB上,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长
为
8或3
32
.
模型解读
模型二 8字型特征:有一组隐含的等角(即对顶角相等). (1)
第四章三角形
数学建模四大常考相似模型
模型解读
特征:有一个公共角. (1)
模型一 A字型
A 字型已知:DE∥BC 结论:AD = AE = DE
AB AC BC
反 A 字型 (2)
已知:∠AED=∠C 结论:AD = AE = DE
AB AC BC
(3)
反 A 字型(共边共角)
已知:∠ABD=∠C
8 字型已知:AB∥CD 结论:AO = BO = AB

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。

8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。

专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)

专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）【题型一：标准“K”型图】【题型二：做辅助线构造“K”型图】【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四：特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一：标准“K”型图】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；CD EBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE 之间的等量关系．【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE ．＝1，求S△BFC【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c的式子表示）【变式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式2-2】直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF 延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（4，7）D．（3，7）【变式3-4】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标．【变式3-5】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE 的长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求点B坐标．【变式3-6】在直角坐标平面内，点A（3，0），点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC，连接BC．（1）当线段AB绕点A顺时针旋转时，①如果点B的坐标为（﹣1，2），过点B作BH⊥OA，垂足为点H，直接写出线段AH的长；②如果点B的横坐标为a，且BC∥OA，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）（2）设点B的坐标为（m，n），直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）【变式3-7】如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【变式3-8】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4-1】如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD．【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【变式4-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．。

三角形中的八大经典模型(解析版)

三角形中的八大经典模型【八大题型】【题型1A字模型】【题型28字模型】【题型3双垂直模型】【题型4飞镖模型】【题型5风筝模型】【题型6两内角角平分线模型】【题型7两外角角平分线模型】【题型8内外角角平分线模型】【知识点1A字模型】【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【题型1A字模型】1(2023春·湖北荆门·八年级校联考期末)如图，在△ABC中，∠C=70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2 =()A.360ºB.250ºC.180ºD.140º【答案】B【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．1.(2023春·八年级单元测试)如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【解析】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2.(2023春•常州期中)如图，△ABC中，∠B=68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、BC上．连接DE，∠DEB=42°．(1)求∠A的度数；(2)判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．【答案】(1)设∠C的度数为x，根据三角形的内角和列出方程解答即可；(2)根据平行线的判定解答即可．【解析】解：(1)设∠C的度数为x°，则∠A的度数为(x+28)°，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠B=68°，可得：x+x+28+68=180，解得：x=42，所以∠C=42°，∠A=70°，(2)∵∠DEB=42°，∠C=42°，∴∠DEB=∠C，∴DE∥AC．3.(2023春·江苏泰州·八年级校联考期中)如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为．【答案】280°【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【解析】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案为280°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形内角和为180度是解题的关键．【知识点28字模型】【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【题型28字模型】1(2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷(带解析))如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()A.62°B.152°C.208°D.236°【答案】C【详解】∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故选C．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A +∠F+∠B-∠D=180°，此题难度不大．1.(2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷(带解析))如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC≅ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)，根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B，因为∠FAB=∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB-∠D，即可得∠DGB的度数．【解析】解：∵ΔABC≅ΔADE，∴∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)=12(120°-10°)=55°．∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．综上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到相应等量关系的角，做题时要结合图形进行思考．2.(2023·河北·统考中考真题)下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应(填“增加”或“减少”)度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【解析】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．3.(2023春·八年级期末)(1)如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(2)如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；(3)如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°【分析】(1)连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，(2)与(1)方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，(3)使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【解析】解：(1)如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B+∠C=∠BAD+∠CDA，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°，(2)如图②，由(1)方法可得：∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H=(6-2)×180°=720°，(3)如图③，根据(1)的方法得，∠F+∠G=∠GAE+∠FEA，∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．【知识点3双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型3双垂直模型】1(2023春·广东珠海·八年级校联考期末)如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．(1)求证：∠EAB=∠CED；(2)如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．①求证EG⊥AF；②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②45°．【分析】(1)利用同角的余角相等即可证明；(2)①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)即可解决问题.【详解】(1)∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．(2)①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB，∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED，∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∠EAB，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12(∠CDE+∠EAB)=45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．1.(2023春·江苏泰州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF 请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB()∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°()∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD()∵∠CFE=∠AFD()∴∠CFE=∠CEF()【答案】角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【分析】根据角平分线的定义得到∠CAE=∠FAB，根据直角三角形两锐角互余得到∠CAE+∠CEF= 90°，∠FAB+∠AFD=90°，再利用等角的余角相等得到∠CEF=∠AFD，最后利用等量代换可得结果．【解析】解：证明：∵AE平分∠CAB(已知)∴∠CAE=∠FAB(角平分线的定义)∵∠ACE=90°(已知)∴∠CAE+∠CEF=90°(直角三角形的两锐角互余)∵CD是△ABC的高(已知)∴∠FDA=90°(三角形高的定义)∴∠FAB+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)∴∠CEF=∠AFD(等角的余角相等)∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)∴∠CFE=∠CEF(等量代换)故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键，此题难度不大．2.(2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G．(1)判断△DBF的形状，并说明理由．(2)求证：AD⊥CF．【答案】(1)△DBF是等腰直角三角形，理由见解析；(2)证明见解析．【分析】(1)利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，证明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到∠ABF=∠CAB=45°，进一步得∠CBA+∠ABF=90°，利用DE⊥AB证明∠BDF=45°即可证明△DBF是等腰直角三角形；(2)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，只要证明三角形全等，即可．【解析】(1)解：△DBF是等腰直角三角形，理由如下：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠ABF=∠CAB=45°，∴∠CBA+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，∵DE⊥AB，∠CBA=45°，∴∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴△DBF是等腰直角三角形．(2)证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．∴BF=CD．在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD CB=AC∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键．3.(2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中)如图，△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．(1)如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；(2)如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；(3)如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．【答案】(1)30°；(2)①∠EDC=∠BAD，理由见解析；②∠G的度数不变，理由见解析；(3)不变，45°.【分析】(1)先求出∠ACB=30°，再利用角平分线得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出结论；(2)①利用直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等即可得出结论； ②先利用①的结论得出∠BAD+∠DEF=90°，进而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的内角和即可得出结论；(3)利用三角形的外角和三角形的内角和即可得出结论．【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°，∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；(2)①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度数不变，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠DEF，∴∠DAG+∠DEG=12(∠BAD+∠DEF)=45°，∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；(3)∠G的度数不变化，理由：如图3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分线，∴∠DEM=12∠DEF=12∠ADB，∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延长DE交AG于N，∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD，∴∠G=180°-(∠ENG+∠GEN)=180°-(∠ENG+∠DEM)，=180°-90°+12∠BAD+12∠ADB，=90°-12(∠BAD+∠ADB)=45°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和和外角的性质，解(1)的关键是求出∠ADC=120°，解(2)的关键是求出∠DAG+∠DEG=45°，解(3)的关键是利用三角形的外角的性质．【知识点4飞镖模型】【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【题型4飞镖模型】1(2023春·江苏镇江·八年级统考期中)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补．1.(2023春·八年级期末)如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．2.(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【解析】方法1如图所示，连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠1+∠ACD+∠2=180°.在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；方法2如图所示，连接AD并延长.∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+∠ABD.同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．3.(2023春·福建南平·八年级统考期中)如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F= 115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【解析】【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【知识点5风筝模型】【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【题型5风筝模型】1(2023春·重庆渝北·八年级校考期中)如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2= 80°,则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【分析】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定义可求出∠BED+∠BDE的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.【详解】由折叠的性质可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=12(360°-∠1-∠2)=12×(360°-80°)=140°∴∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.1.(2023春·八年级期末)如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为( )．A.14°B.15°C.28°D.30°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，再根据折叠性质得出∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，进而求得∠1+∠2=110°即可求解．【解析】解：∵∠A=55°，∴∠AEF+∠AFE=180°-55°=125°，∴∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°，由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，∴∠1+∠2=235°-125°=110°，∵∠1=95°，∴∠2=110°-95°=15°，故选：B．【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．2.(2023春·八年级期末)如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻折，使点C落在△ABC外的点C 处．若∠1=20°，则∠2的度数为．【答案】100°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C'，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-65°-75°=40°，由折叠的性质可知，∠C'=∠C=40°，∴∠3=∠1+∠C'=60°，∴∠2=∠C+∠3=100°，故答案是：100°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．3.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=120°，则∠1+∠2的度数为()A.90°B.100°C.110°D.120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【解析】解：如图，连接AA '，∵A 'B 平分∠ABC ，A 'C 平分∠ACB ，∴∠A 'BC =12∠ABC ，∠A 'CB =12∠ACB ，∵∠BA 'C =120°，∴∠A 'BC +∠A 'CB =180°-120°=60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠BAC =180°-120°=60°，∵沿DE 折叠，∴∠DAA '=∠DA 'A ，∠EAA '=∠EA 'A ，∵∠1=∠DAA '+∠DA 'A =2∠DAA '，∠2=∠EAA '+∠EA 'A =2∠EAA '，∴∠1+∠2=2∠DAA '+2∠EAA '=2∠BAC =2×60°=120°，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．【知识点6两内角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I .【结论】∠I =90°+12∠A 【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴∠2=12∠ABC ∵CI 是∠ACB 平分线，∴∠3=12∠ACB 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知：∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +12∠ABC +12∠ACB =∠A +12(180°−∠A )=90°+12∠A .【题型6两内角角平分线模型】1(2023春·江苏苏州·八年级期中)直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠CED的度数．(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则∠ABO的度数为(直接写答案)【答案】(1)不发生变化，∠AEB=135°；(2)不发生变化，∠CED=67.5°；(3)60°或45°【分析】(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；(2)延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；(3)由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：(1)∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=45°，∴∠AEB=135°；(2)∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB +∠MBA =270°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，∴∠BAD +∠ABC =12(∠PAB +∠ABM )=135°，∴∠F =45°，∴∠FDC +∠FCD =135°，∴∠CDA +∠DCB =225°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴∠CDE +∠DCE =112.5°，∴∠CED =67.5°；(3)∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，∴∠E =∠EOQ -∠EAO =12(∠BOQ -∠BAO )=12∠ABO ，∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴∠EAF =90°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF =3∠E ，∠E =30°，∠ABO =60°；②∠EAF =3∠F ，∠E =60°，∠ABO =120°(舍弃)；③∠F =3∠E ，∠E =22.5°，∠ABO =45°；④∠E =3∠F ，∠E =67.5°，∠ABO =135°(舍弃)．∴∠ABO 为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 与CF 交于点G ，若∠BDC =140°，∠BGC =100°，则∠A =()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得∠GBD+∠GCD, 再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD, 从而可得：∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【解析】解：连接BC, ∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．3.(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=；(直接写出答案)(2)若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n°；(3)∠BGO-∠ACF=50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据(2)的结论解答．【解析】解：(1)∵∠MON=60°，∴∠BAO+∠ABO=120°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=60°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON=n°，∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO -∠ACF =∠BGO -∠CAG =∠ACG ，由(2)得：∠ACG =90°-12×80°=50°．∴∠BGO -∠ACF =50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．【知识点7两外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O .【结论】∠O =90°−12∠A .【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴∠2=12∠EBC ，∵CO 是∠FCB 平分线，∴∠5=12∠FCB 由△BCO 中内角和定理可知：∠O =180°-∠2-∠5=180°-12∠EBC -12∠FCB =180°-12(180°−∠ABC )-12(180°−∠ACB )=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A 【题型7两外角角平分线模型】1(2023春·江苏·八年级专题练习)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A +∠B =∠C +∠D ；【简单应用】(2)如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC =46°，∠ADC =26°，求∠P 的度数；【问题探究】(3)如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】(4) ①在图4中，若设∠C =α，∠B =β，∠CAP =13∠CAB ，∠CDP =13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：(用α、β表示∠P )；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】(1)见解析；(2)36°；(3)26°，理由见解析；(4)①∠P=2α+β3②∠P=180°+∠B+∠D2【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；(2)直接利用(1)中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；(3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3)，∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．(4)①同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用(1)种的结论列出方程即可解决问题．【详解】(1)在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2)由(1)得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．(3)∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+(180°-∠2)=∠D+(180°-∠3)，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12(∠B+∠D)=12×(36°+16°)=26°．(4)①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α-∠P=n-m，∠P-β=2n-2m=2(n-m)，∴2α+β=3∠P∴∠P=2α+β3．故答案为：∠P=2α+β3．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°-y+∠D，∠B+2x=180°-2y+∠D，∴∠P=180°+∠B+∠D2．故答案为：∠P=180°+∠B+∠D2．【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．1.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，则∠CPD=．【答案】105°【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD+∠CDE的度数，从而求出∠PCD+∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．【解析】解：∵∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，∴∠BCD+∠CDE=(5-2)×180°-160°-80°-90°=210°，∴∠PCD+∠PDC=12(180°×2-210°)=75°，在△CPD中，∠CPD=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-75°=105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD+∠CDE的度数是解题的关键．2.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G，请写出∠A和∠CPG的数量关系.【答案】∠CPG=90°+12∠A【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含∠A的式子表示出∠CBP和∠BCP的和，再利用三角形外角的性质即可得到∠A和∠CPG的数量关系.【解析】解：∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A,∴∠ECB+∠FBC=180°×2-(180°-∠A)=180°+∠A,∵点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，∴∠CBP+∠BCP=12(180°+∠A)=90°+12∠A，又∵∠CPG=∠CBP+∠BCP，∴∠CPG=90°+12∠A.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.3.(2023春·八年级期末)如图1，△ABC的外角平分线交于点F．(1)若∠A=40°，则∠F的度数为；(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A 与α+β的数量关系是；(3)在(2)的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)70°(2)α+β-12∠A=90° (3)①见解析 ②不成立；β-α-12∠A=90°或α-β-12∠A=90°【分析】(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；(2)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；(3)①根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据(2)中的结论∠BFC =90°-12∠A ，以及平角的定义，即可得到∠A 与α，β之间的数量关系．【解析】解：(1)如图1，∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =140°，∴∠DBC +∠ECB =360°-140°=220°，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×220°=110°，∴△BCF 中，∠F =180°-110°=70°，故答案为：70°；(2)如图2，∵∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∴∠DBC +∠ECB =360°-(180°-∠A )=180°+∠A ，又∵△ABC 的外角平分线交于点F ，∴∠FBC +∠FCB =12(∠DBC +∠ECB )=12×(180°+∠A )=90°+12∠A ，∴△BCF 中，∠BFC =180°-90°+12∠A =90°-12∠A ，又∵∠MFB =α，∠NFC =β，MN ∥BC ，∴∠FBC =α，∠FCB =β，∵△BCF 中，∠FBC +∠FCB +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，故答案为：α+β-12∠A =90°；(3)①α+β-12∠A =90°，理由如下：如图3，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠MFB +∠NFC +∠BFC =180°，∴α+β+90°-12∠A =180°，即α+β-12∠A =90°，②当直线MN 与线段BC 有交点时，①中∠A 与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M 在线段AB 上，N 在AC 延长线上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠MFB +∠NFC =180°，∴90°-12∠A -α+β=180°，即β-α-12∠A =90°；如图5，当M 在AB 的延长线上，N 在线段AC 上时，由(2)可得，∠BFC =90°-12∠A ，∵∠BFC -∠NFC +∠MFB =180°，∴90°-12∠A -β+α=180°，即α-β-12∠A =90°；综上所述，∠A 与α，β之间的数量关系为β-α-12∠A =90°或α-β-12∠A =90°．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．【知识点8内外角角平分线模型】【条件】△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P .【结论】∠P =12∠A 【证明】∵BP 是∠ABC 平分线，∴∠3=12∠ABC ∵CP 是∠ACE 平分线，∴∠1=12∠ACE 由△ABC 外角定理可知：∠ACE =∠ABC +∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ⋯⋯①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+12∠A ⋯⋯②又在△BPC 中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ⋯⋯③比较②③式子可知：∠P =12∠A .12(∠ABC +∠ACB )=12(180°−∠A )=∠O =90°−12∠A .【题型8内外角角平分线模型】1(2023春·八年级期末)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A =α，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，整理即可得解∠A 1=12∠A ，同理求出∠A 2，∠A 3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴12(∠A +∠ABC )=12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A ，∵∠A =α．∠A 1=12∠A =12α，同理可得∠A 2=12∠A 1=122α，根据规律推导，∴∠A 2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 1.(2023春·八年级期末)如图，已知△ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∠ABC 的平分线与。

初中数学几何模型系列之(三)三角形四大模型

初中几何模型系列之（三）三角形四大模型
全面完整版+例题解析
第一部分模型展示
一、八字模型：二、飞镖模型：
证明的过程很简单，请同学们思考一下吧!
模型展示
三、角平分线模型
角平分线模型包含三种类型，1.两内角的角平分线相交于一点；2.两外角的角平分线相交于一点；3.一条内角和一个外
模型展示
四、角平分线&高线模型
注意：此模型要注意，在此结论三个角的关
系中，∠ B和∠ C之间永远是大角-小角。

第二部分例题解析
点评：此题既可用
8字模型又可用飞
镖模型，同学们一
定要仔细观察！
点评：此题既可用8字模型又可用飞镖模型，同学们
点评：此题用到8字模型的一种特殊情况，大家要体会这种情况！
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意构造模型
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意观察
点评：此题属于角平分线中两外角平分线相交于一点的情况
例题解析
点评：此题标准的角平分线
+高线模型，第一问的计算
过程实际上就是对第二问的
铺垫
Network Optimization Expert Team
第三部分课后练习
Network Optimization Expert Team。

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三角形的四大模型
一、三角形的重要概念和性质
1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°
2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）
二、八字模型：
证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
三、飞镖模型：
证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C
四、角分线模型：
如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，
试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．
如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．
探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．
题型一、三角形性质等应用
1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）
A．120 B．150 C．240 D．360
2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影= cm2．
4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积．
5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．
6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
题型二、八字模型应用
7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①图2中共有个“8字形”；
②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；
（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．8．（1）求五角星的五个角之和；（2）求这六个角之和
题型三、飞镖模型应用
9．如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系，并证明你的结论．
10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分
别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P
是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
题型四、角分线模型应用
11．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
12．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°D．110°
第11题第12题第13题
13．如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1= ；（2）∠A2= ；（3）∠A n= ．
题型五、其他应用
15．已知△ABC中，∠A=60°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．
16．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．
（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
（备用图）。