高三文科数学一轮复习之立体几何

数学讲义之立体几何【主干内容】

【题型分类】

题型一：点、直线、平面的位置关系

〖例1〗（2011四川）l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3

B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3

C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面

D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面

解： B. 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B. 〖例2〗（2011宁波二模）已知a ，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对异面直线，则a ⊥b 的一个充分条件是( )

A ．a ∥α，b ⊥β

B ．a ∥α，b ∥β

C ．a ⊥α，b ∥β

D ．a ⊥α，b ⊥β

解：

〖例3〗（2011浙江）若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则

A ．a 内存在直线与异面

B ．a 内不存在与l 平行的直线

C ．a 内存在唯一的直线与l 平行

D ．a 内的直线与l 都相交 解：B

〖例4〗（2011杭二模）设,,a b c 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则a b ⊥的一个充分条件为（ ）

A ．,a c b c ⊥⊥

B ．,,a b αβαβ⊥⊂⊂

C ．,//a b αα⊥

D ．,a b αα⊥⊥

解：C

题型二：空间几何体

〖例1〗（2011浙江卷）若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )

图1－1

解： B. 由正视图可排除A ，C ；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B. 〖例2〗（2010浙江）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图

所示，则此几何体的体积是 A ．

3

3523

cm

B ．33203

cm

C ．32243

cm

D ．31603

cm

〖例3〗如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都．

填上）.

〖例4〗(2011北京) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

A ．32

B ．16＋16 2

C ．48

D ．16＋32 2

解： B. 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所

以其表面积为4×4＋4×1

2

×4×22＝16＋162，故选B.

〖例5〗(2011安徽) 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为(

)

图1－1

A ．48

B ．32＋817

C ．48＋817

D ．80

解： C. 由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为

S ＝2×1

2

×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.

〖例6〗(2011杭二模)如图，已知等腰ABC ∆的底边3BC =，顶角为120︒，D 是BC 边上一点，且1BD =. 把ADC ∆沿AD 折起，使得平面CAD ⊥平面ABD ，连接BC 形成三棱锥C ABD -． (Ⅰ) ① 求证：AC⊥平面ABD ； ② 求三棱锥C-ABD 的体积；

(Ⅱ) 求AC 与平面BCD 所成的角的正弦值. 解：(Ⅰ) ①由已知得，30B C ∠=

∠=︒，

AB AC =

在△ABD 中，由BD=1，得

AD= 在△ACD 中，∵AC 2

+ AD 2

=4 = CD 2

, ∴AC ⊥AD. 平面ADC ⊥平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD. ②∵AC ⊥平面ABD ， ∴V C -A B D =

13ABD S AC ∆

⋅⋅

=11

1sin 30)34

⋅⋅︒=. (Ⅱ) 由1BD =，得CD = 2，

在平面内作等腰△ABC 底边上的高线

AE ，点E 为垂足，则

AE=

2

.

（第20题）

在三棱锥C-ABD 中，连接CE ，作AH ⊥CE 于点H ， ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AE ，∴BD ⊥平面ACE ，

∵AH ⊂平面ACE ，∴ BD ⊥AH ，∴AH ⊥平面BCD ，

∴∠ACH 是直线AC 与平面BCD 所成的角.

在Rt ACE ∆中，

得CE =，AC AE

AH CE ⋅=

=

∴sin ACH ∠==

AC 与平面BCE

． 〖例7〗(2011浙江)如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上. （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；

（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B AP C --的大小.

【好题速递】 1. (2011湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A ．9π＋42

B ．36π＋18 C.92π＋12 D.9

2

π＋18

【解析】 由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其

体积为： V ＝V 1＋V 2＝43×π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫323

＋3×3×2＝92π＋18，故选D.

2. (2011全国) 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图1－2所示，则相应的侧视图可以为(

)

图1－2 图1－3

【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，如图，故侧视图选

D.

（第20题）