江苏省太湖高级中学2020-2021学年第一学期期中复习卷高一数学(1)(word版,无答案)
江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年第一学期阶段测试高一数学试题
高一数学
一. 单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 下列关系： 1
1 ∈ Q; 2
中正确的个数是 A. 1
√ 2 2 ∈/ R; B. 2
3 0 ∈ N∗; C. 3
D. y = x + 1 x − 1，y = x2 − 1
()
C. 4
D. 8
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9. 下列选项中命题 p 是 q 的充分不必要条件的是
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21.（小12时分可）获某得厂的以利润x 千是克50/Å时5x的−速3 +度1匀ã速元生. 产某种产品 (生产条件要求 1 ⩽ x ⩽ 10), 每 x
(1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低 1500 元，求的取值范围利润； (2) 要使生产 480 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？
.
3 − 2x
x2，
x⩽1
14. 设函数 f(x) = x + 6 − 6，
，则 f(f(−2)) = x>1
.
x
15. 已知集合 A = {x | −1 ⩽ x ⩽ 3} ，B = y | y = x2，x ∈ A ，C = {yly = 2x + a，x ∈ A}，
若满足 C B，则实数 a 的取值范围为
D. n ∈ N，n2 > 2n + 5
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷1. 已知集合A ={x||x −1|<2}，B ={x|−4<x <2}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <2}B. {x|−4<x <2}C. {x|−4<x <3}D. {x|x <3}2. 函数y =1√x−2+(x −3)0的定义域为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (2,3)∪(3,+∞)D. [2,3)∪(3,+∞)3. 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A. ￢p ：∀x ∈A ，2x ∉BB. ￢p ：∀x ∉A ，2x ∉BC. ￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BD. ￢p ：∃x ∈A ，2x ∉B4. 已知函数f(x)=x +3x+7x+2(x >−2)，( )A. f(x)有最小值−1B. f(x)有最大值−1C. f(x)有最小值3D. f(x)有最大值35. “x ≥2”的一个必要不充分条件是( )A. x >2B. x 2>2C. 2x −4≥0D. x 2>96. 对于∀x ∈[−2,2]，不等式m +x ≤√2−x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ≤−94B. m ≤−2C. m ≤0D. m ≤47. 函数y =axx 2+1(a >0)的图象大致为( )A.B.C.D.8. 定义min(a,b)={a,a ≤bb,a >b，例如：min(−1,−2)=−2，min(2,2)=2，若f(x)=x 2，g(x)=−x 2−4x +6，则F(x)=min(f(x),g(x))的最大值为( )A. 1B. 8C. 9D. 109. 已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合M ={3,4,5}，N ={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A. M ∩NB. (∁U M)∩NC. (∁U N)∩MD. (∁U (M ∩N))∩N10. 已知a >0，b >0，则下列说法正确的有( )A. 1a−b >1aB. 若a +b ≥2，则ab ≥1C. 若a +b ≤2，则ab ≤1D. a 3+b 3≥a 2b +ab 211. 已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A. f(f(1))=3B. f(2)>f(0)C. f(x)=−x +1+2|x −1|，x ∈[0,4]D. ∃a >0，不等式f(x)≤a 的解集为[12,2]12. 已知f(x)={−x +2,x <1k x+k +2,x ≥1，(常数k ≠0)，则( )A. 当k >0时，f(x)在R 上单调递减B. 当k >−12时，f(x)没有最小值 C. 当k =−1时，f(x)的值域为(0,+∞)D. 当k =−3时，∀x 1≥1，∃x 2<1，有f(x 1)+f(x 2)=013. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m 在(0,+∞)上是单调递减函数，则实数m 的值为 ．14. 已知函数f(x)={|x +2|,x ≤02f(x −1),x >0，则f(2)的值为 ．15. 已知函数f(x)的定义域为R ，f(2)=3，且函数y =f(x)+x 为偶函数，则f(−2)的值为 ，函数y =f(x)x+1是 函数(从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个)．16. 已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)，关于x 的不等式f(x)≤c 的解集为A ，其中A =[m,n]，f(x)在集合A 上的值域为B ，若A =B ，则n −m = ． 17. 已知集合A ={x|x−1x−5<0}，集合B ={x|a −1<x <a 2}.(1)求∁R A ；(2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知abc 2=1，a +b +c =0，c >0．(1)求证：a +b ≤−2√ab ；(2)求c 的最小值，并求此时a 与b 的值．19. 已知函数f(x)={−x 2−4x,x ≤0x 2+ax,x >0为奇函数．(1)求f(2)和实数a 的值； (2)求方程f(x)=f(2)的解．20. 已知函数f(x)=x +9x (x ≠0)．(1)当x ∈[1,5]时，讨论并证明f(x)的单调性，并求f(x)的取值范围； (2)求不等式f(3x 2)+f(3x)≤0的解集．21.某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．(1)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；(2)若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米)的收益y取得最大值？(每千米收益计算公式为y=F−Cx22.已知函数f(x)=x2−2ax+b．(1)若y=f(x)值域为[0,+∞)，且f(1+x)=f(1−x)恒成立，求f(x)的解析式；(2)若y=f(f(x))的值域为[0,+∞)，①当a=−2时，求b的值；②求b关于a的函数关系g(a)．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集的定义计算即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 【解答】解：集合A ={x||x −1|<2}={x|−1<x <3}， B ={x|−4<x <2}， 则A ∩B ={x|−1<x <2}． 故选：A ．2.【答案】C【解析】 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 【解答】解：根据题意得：{x −2>0x −3≠0，解得x >2且x ≠3．∴函数y =√x−2+(x −3)0的定义域为：(2,3)∪(3,+∞)． 故选：C ．3.【答案】D【解析】 【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题，写出命题的否定命题即可． 本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，基本知识的考查． 【解答】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】分离常数可得出f(x)=(x+2)+1x+2+1，根据x>−2可得出x+2>0，然后根据基本不等式即可得出f(x)≥3，从而可得出正确的选项．本题考查了分离常数的方法，基本不等式求函数最值的方法，考查了计算能力．【解答】解：∵x>−2，∴x+2>0，∴f(x)=x+3(x+2)+1x+2=(x+2)+1x+2+1≥2+1=3，当且仅当x+2=1x+2，即x=−1时，取等号，∴f(x)有最小值3．故选：C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据必要不充分条件的概念，逐项进行判断即可得出结论．【解答】解：A.x>2⇒x≥2，反之不成立，因此“x>2”是“x≥2”的充分不必要条件；B.x2>2，解得x>√2，或x<−√2，所以由“x≥2”⇒x2>2，反之不成立，因此“x2>2”是“x≥2”的必要不充分条件；C.2x−4≥0，解得x≥2，因此“2x−4≥0”⇔“x≥2”，即“2x−4≥0”是“x≥2”的充要条件；D.x2>9，解得x>3，或x<−3，因此“x≥2”与“x2>9”相互推不出，即“x2>9”是“x≥2”的既不充分也不必要条件．故选：B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属于中档题．将不等式恒成立问题转化为m≤√2−x−x在x∈[−2,2]上恒成立，即m≤(√2−x−x)min，利用单调性求得f(x)=√2−x−x在x∈[−2,2]上的最小值，即可得出结论．【解答】解：对于∀x∈[−2,2]，不等式m+x≤√2−x恒成立，等价于m≤√2−x−x在x∈[−2,2]上恒成立，即m≤(√2−x−x)min，令f(x)=√2−x−x，x∈[−2,2]，因为函数y=√2−x为减函数，函数y=−x为减函数，所以f(x)=√2−x−x，x∈[−2,2]为减函数，所以f(x)min=f(2)=−2，所以m≤−2．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键．【解答】解：令f(x)=y =axx 2+1(a >0)，易得函数的定义域为R ， ∴f(−x)=−ax x 2+1=−f(x)，∴y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BC 选项； 令axx 2+1=0，解得x =0，函数只有一个零点，排除D 选项； 只有选项A 符合， 故选：A ．8.【答案】C【解析】 【分析】先对函数进行比较，求出函数F(x)的解析式，再根据函数的性质求出函数的最大值即可． 本题考查了分段函数的最值问题． 【解答】解：令x 2≤−x 2−4x +6，解得−3≤x ≤1 所以F(x)={x 2,−3≤x ≤1−x 2−4x +6,x >1或x <−3，当−3≤x ≤1时，F(x)max =F(−3)=9， 当x >1或x <−3时，F(x)<9， 综上，函数F(x)的最大值为9， 故选：C ．9.【答案】BD【解析】 【分析】根据题目条件直接进行集合间运算即可． 本题主要考查集合的交并补混合运算． 【解答】解：∵M ={3,4,5}，N ={1,2,5}， ∴M ∩N ={5}，(∁U M)∩N ={1,2}， M ∩(∁U N)={3,4}，(∁U (M ∩N))∩N ={1,2,3,4,6}∩{1,2,5}={1,2}． 故选：BD ．10.【答案】CD【解析】 【分析】利用作差法可判断选项A ；利用特值法即可判断选项B ；利用基本不等式即可判断选项C ；利用作差法，变形几个因式乘积的形式即可判断选项D ．本题主要考查不等式的基本性质，作差法和特值法的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题． 【解答】解：对于A ，1a−b −1a =ba(a−b)，因为a >0，b >0，当a >b 时，1a−b >1a ，当a <b 时，1a−b <1a ，故A 错误； 对于B ，a >0，b >0，若a +b ≥2，取a =3，b =14，此时ab =34<1，故B 错误； 对于C ，a >0，b >0，若a +b ≤2，则ab ≤(a+b 2)2≤1，当且仅当a =b =1时等号成立，故C 正确；对于D ，因为a >0，b >0，则a 3+b 3−a 2b −ab 2=(a −b)2(a +b)≥0，故D 正确． 故选：CD ．11.【答案】AC【解析】 【分析】先求出函数的解析式，再分别判断即可．本题考查了分段函数，以及不等式的解集问题，属于中档题． 【解答】解：由图象可得f(x)={−3x +3,0≤x ≤1x −1,1<x ≤4，∴f(1)=0，f(0)=3，∴f(f(1))=f(0)=3，故A 正确；f(2)=2−1=1<f(0)，故B 错误，当0≤x ≤1时，f(x)=−x +1+2(1−x)=−3x +3， 当1<x ≤4时，f(x)=−x +1+2(x −1)=x −1，故C 正确；由f(12)=32≠f(2)=1，结合图象可知，不存在a >0，使得不等式f(x)≤a 的解集为[12,2]，故D 错误． 故选：AC ．12.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查了分段函数的单调性，最值，值域等问题，考查了学生的运算转化能力，属于较难题．针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确． 【解答】解：选项A ：当k >0时，当x ≥1时，函数单调递减，f(1)=2k +2>2>1， 当x <1时，函数单调递减，但−1+2=1≠f(1)， 所以函数在R 上不单调，A 错误，选项B ：当k >−12时，当x <1时，函数显然没有最小值， 则①当−12<k <0时，此时x ≥1时，kx+k +2>−121−12+2=1，即函数此时没有最小值，②当k >0时，kx +k +2>2，此时函数仍然没有最小值， 综上，当k >−12时，函数没有最小值，B 正确， 选项C ：当k =−1时，当x ≥1时，f(x)=−1x +1∈[0,1)， 当x <1时，f(x)=−x +2>1，所以此时函数的值域为[0,1)∪(1,+∞)，C 错误， 选项D ：k =−3时，f(x)={−x +2,x <1−3x −1,x ≥1，当x ≥1时，f(x)=−3x −1∈[−4,−1)，当x <1时，f(x)=−x +2∈(1,+∞)，显然有(1,4]⊆(1，+∞)， 则对任意x 1≥1，∃x 2<1，有f(x 1)+f(x 2)=0，D 正确， 故选：BD ．13.【答案】−1【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，根据函数的单调性确定m 的值即可． 本题考查了求幂函数的解析式问题，考查函数的单调性． 【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m 2−2m −2=1，解得：m =3或m =−1，m =3时，f(x)=x 3在(0,+∞)上单调递增，不符合题意； m =−1时，f(x)=1x 在(0,+∞)上单调递减，符合题意； 故m =−1， 故答案为：−1．14.【答案】8【解析】 【分析】推导出f(2)=2f(1)=4f(0)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 【解答】解：∵函数f(x)={|x +2|,x ≤02f(x −1),x >0，∴f(2)=2f(1)=4f(0)=4|0+2|=8． 故答案为：8．15.【答案】7奇【解析】【分析】由已知结合偶函数的定义可得f(−2)−2=f(2)+2，结合已知f(2)=3可求f(−2)；令ℎ(x)=f(x)x+1，然后结合奇偶函数的定义检验ℎ(−x)与ℎ(x)的关系即可判断．本题主要考查了函数奇偶性在定义判断中的应用．【解答】解：因为f(2)=3，且函数y=f(x)+x为偶函数，所以f(−2)−2=f(2)+2，所以f(−2)=f(2)+4=7，令ℎ(x)=f(x)x+1，因为f(−x)−x=f(x)+x，所以f(−x)−f(x)=2x，则ℎ(−x)=f(−x)−x +1，ℎ(x)=f(x)x+1，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=f(x)x −f(−x)x+2=f(x)−f(−x)x+2=−2xx+2=0，所以ℎ(−x)=−ℎ(x)，故ℎ(x)为奇函数．故答案为：7；奇．16.【答案】4【解析】【分析】由已知f(x)在集合A上的值域与f(x)≤c的解集相同可得n=c，且函数f(x)的最小值为f(m+n2)=m，再令g(x)=f(x)−c=f(x)−n=(x−m)(x−n)，由此可得函数f(x)的解析式，令其最小值为m即可求解．本题考查了二次函数的最值问题，涉及到集合相等的问题，属于中档题．【解答】解：因为x ∈[m,n]，f(x)∈[m,n]，f(x)≤c 的解集为[m,n]， 所以n =c ，f(x)min =f(m+n 2)=m ，令g(x)=f(x)−c =f(x)−n =(x −m)(x −n)， 则f(x)=(x −m)(x −n)+n ， 所以f(m+n 2)=(m+n 2−m)(m+n 2−n)+n =m ，则−14(m −n)2=m −n ，n >m ， 所以n −m =4， 故答案为：4．17.【答案】解：(1)由题意得：A =(1,5)，故∁R A =(−∞,1]∪[5,+∞)；(2)∵a 2−(a −1)=(a −12)2+34>0， ∴B ≠⌀，∵A ∩B =⌀，∴a −1≥5或a 2≤1， 解得：−1≤a ≤1或a ≥6， 故a 的取值范围是[−1,1]∪[6,+∞)．【解析】(1)求出集合A ，求出A 的补集即可；(2)求出B 不是空集，根据A ∩B =⌀，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了集合的交集，补集的运算，考查转化思想，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为abc 2=1，a +b +c =0，c >0，所以ab =1c 2>0，a +b =−c <0， 所以a <0，b <0，所以(−a)+(−b)≥2√(−a)(−b)，当且仅当a =b 时等号成立， 所以a +b ≤−2√ab ． (2)解：由(1)得−c ≤−2⋅1c ， 因为c >0，所以c ≥√2，当且仅当{−a =−b a +b =−√2，即a =b =−√22时等号成立，所以c 的最小值为√2．【解析】本题主要考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．(1)将已知等式变形可得ab =1c 2>0，a +b =−c <0，即可判断a <0，b <0，利用基本不等式即可证得结论;(2)由(1)中结论及ab =1c 2可得−c ≤−2⋅1c ，计算可得c 的取值范围，从而得解．19.【答案】解：(1)设x >0，则−x <0，因为x ≤0时，f(x)=−x 2−4x ， 则f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x 2+4x ， 因为f(−x)=−f(x)=−x 2+4x ， 所以f(x)=x 2−4x ， 所以a =−4，f(2)=22−4×2=−4．(2)原方程等价于{x >0x 2−4x =−4或{x ⩽0−x 2−4x =−4, 解得x =2或x =−2−2√2，【解析】(1)先根据已知函数解析式及奇函数的定义可求a ，进而可求f(2)， (2)结合x 的范围代入f(x)的解析式，然后代入可求方程的解． 本题主要考查了奇函数的定义在函数求值中的应用及方程的求解．20.【答案】解：(1)设1≤x 1<x 2≤5，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+9x 1−x 2−9x 2=(x 1−x 2)+9(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−9x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−9)x 1x 2，∵1≤x 1<x 2≤5， ∴x 1−x 2<0，x 1x 2>0，当1≤x 1<x 2≤3时，x 1x 2−9<0， ∴f(x 1)>f(x 2)，则f(x)在[1,3]上单调递减， 当3≤x 1<x 2≤5时，x 1x 2−9>0， ∴f(x 1)<f(x 2)，则f(x)在[3,5]上单调递增，综上，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)在[3,5]上单调递增， 故当x =3时，函数取得最小值6， ∵f(1)=10，f(5)=345，故f(x)的值域[6,10]；(2)由(1)可知，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)在[3,5]上单调递增， ∵f(−x)=−x −9x =−(x +9x )=−f(x)， ∴f(x)为奇函数， ∵f(3x 2)+f(3x)≤0， ∴f(3x 2)≤−f(3x)=f(−3x)，当x >0时，f(3x 2)>0，f(−3x)<0，与上式矛盾，舍去， 当x =−1时，成立，当x <−1时，3x 2>−3x >3，则f(3x 2)>f(−3x)，与上式矛盾，舍去， 当−1<x <0时，0<3x 2<−3x <3，则f(3x 2)>f(−3x)，与上式矛盾，舍去， 综上不等式的解集{−1}．【解析】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解函数的值域及求解不等式，属于中档题．(1)设1≤x 1<x 2≤5，然后利用作差比较f(x 1)与f(x 2)的大小，从而可判断函数的单调性，然后结合函数的单调性可求函数的值域；(2)由已知函数的单调性及奇偶性可转化原不等式f(3x 2)≤−f(3x)=f(−3x)，然后结合x 的范围可求．21.【答案】解：(1)由题意可得，F ={7,0<x ≤37+2.4(x −3),x >3={7,0<x ≤32.4x −0.2,x >3．设折旧费x =kx 2，将(20,0.1)代入，得0.1=400k ，即k =14000， ∴C =2.3+1.6x +14000x 2(x >0)； (2)∵y =F−C x，∴y ={4.7x−x4000−1.6,2≤x ≤30.8−(x 4000+2.5x ),x >3．当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8−2√x4000⋅2.5x=0.75，当且仅当x4000=2.5x，即x=100时取等号；当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，可得x=2时，y max=0.75−12000<0.75．综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100千米时，每千米的收益y取得最大值．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式及函数的单调性求最值，是中档题．(1)直接由题意可得F关于x的关系式，再设折旧费x=kx2，将(20,0.1)代入求得k，进一步可得成本C关于x的函数；(2)由y=F−Cx得到y关于x的分段函数，再由基本不等式及函数的单调性求出分段函数的最值，则答案可求．22.【答案】解：函数f(x)=x2−2ax+b的对称轴为x=a，在(−∞,a]上单调递减，在[a,+∞)上单调递增．(1)因为f(1+x)=f(1−x)恒成立，所以f(x)的对称轴是x=1，故a=1，因为y=f(x)值域为[0,+∞)，可得方程x2−2x+b=0根的判别式Δ=4−4b=0，解得b=1，所以f(x)=x2−2x+1．(2)①f(x)=(x+2)2+b−4∈[b−4,+∞)，设t=f(x)∈[b−4,+∞)，则f(f(x))=(t+2)2+b−4，t∈[b−4,+∞)，当b−4<−2，即b<2时，f(f(x))的最小值b−4≠0，舍去；当b−4≥−2时，即b≥2时，f(f(x))的最小值f(b−4)=(b−2)2+b−4=0，解得b=0(舍)或b=3，综上所述，b=3．②f(x)=(x−a)2+b−a2，记M=b−a2，设t=f(x)∈[M,+∞)，f(f(x))=f(t)=(t−a)2+M，若M≤a，f(t)min=f(a)=M=0，所以a≥0；反之，若a≥0，只能M=0，否则若M>0，则f(t)≥M>0与f(t)最小值为0矛盾．若M<0，则f(t)min=f(a)=M<0与f(t)最小值为0矛盾．故a ≥0时，M =0，即b =a 2．若a <0，由上述解答过程知M >a(否则M ≤a 有a ≥0)，f(t)在t ∈[M,+∞)上单调递增，f(t)min =f(M)=(M −a)2+M =0， 所以M 2−(2a −1)M +a 2=0，Δ=1−4a >0， 所以M =2a−1+√1−4a2(若M =2a−1−√1−4a2，则M −a =−1−√1−4a2<0与M >a 矛盾)，所以b −a 2=2a−1+√1−4a2，即b =a 2+2a−1+√1−4a2．综上所述，b =g(a)={a 2,a ≥02a 2+2a−1+√1−4a2,a <0．【解析】(1)由f(1−x)=f(1+x)知f(x)的对称轴是x =1，从而可求得a 值，由y =f(x)值域为[0,+∞)，可得Δ=0，可求得b 值，从而可得f(x)的解析式；(2)①设t =f(x)∈[b −4,+∞)，则f(f(x))=(t +2)2+b −4，t ∈[b −4,+∞)，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得b 值；②f(x)=(x −a)2+b −a 2，记M =b −a 2，设t =f(x)∈[M,+∞)，f(f(x))=f(t)=(t −a)2+M ，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得b 关于a 的函数关系g(a)． 本题主要考查二次函数解析式的求法，二次函数的最值，二次函数图象与性质，属于拔高题．。
江苏省太湖高级中学2020—2021学年高三上学期第一次月考数学试卷
（2）若对于
x
[
3 2
，5 2
]，不等式
log 1
2
(2x
+ 1)
−
m
(1)x 4
−
log2 (2x
−1)
恒成立，求实
数 m 的取值范围．
3
20．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党
和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步 复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在 2020 年 举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．若 sin = 1 ，则 cos 2 ＝
．
3
14．已知不等式 xy ax2 + 2y2 ，对任意 x[1，2]，y[4，5]恒成立，则实数 a 的取值范围
是
．
15．已知函数
f
(x)
=
−x ax
2 + ax, x −1, x 1
C． f (x) 的最大值为 2
10．下列命题中正确的是
A． x (0， + )， 2x 3x
B． y = f (x) 的图像关于直线 x = 对称 8
D． y = f (x) 的图像关于点( 7 ，0)对称 8
B． x (0，1)， log2 x log3 x
C． x (0， +
)， (1 )x 2
A．x＞0
B．x＜1
C．0＜x＜1
江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析
江苏省无锡市太湖高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设全集}16,U x x x Z =-<<∈，{}2,3,4A =，{}0,4B =则UA B =∪（ ）A.{}0,1B.{}0,1,2,3,5C.{}0,1,4,5D.{}1,42.设命题p ：x R ∀∈，都有210x 成立，则p ⌝为（ ）A.x R ∀∈，都有210x +≤成立B.x R ∃∈，有210x +≤成立C.x R ∃∉，有210x +<成立D.x R ∃∈，有210x +<成立3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则3a a <C.若0a b >>，则11b ba a+<+ D.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <4.函数1()2f x x=-的定义域为（ ） A.[1,2)(2,)-+∞B.(1,)-+∞C.[1,2)-D.[1,)-+∞5.已知11224a a -+=，则221a a a a ----的值是（ ）A.2B.4C.14D.166.已知函数()221,031,0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()()18f a f +-=，则实数a 的值是（ ）A.52B.3±或52 或52D.或52 7.已知0x >，0y > ，且211x y+=，若对任意的正数x ，y ，不等式222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.()[),14,-∞-+∞B.(][),42,-∞-+∞C.()2,4-D.()4,2-8.已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A.()1,3 B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()1,1-D.()(),13,-∞+∞9.若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（ ）A.ab 有最大值14-C.11a b+有最小值4 D.22a b +有最小值2第II 卷（非选择题）二、填空题10.已知幂函数的图像过点则(4)f =_______．11.“1a >”是“21a >”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．12.某地每年销售木材约20万3m ，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的%t 征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万3m ，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．三、解答题13.已知集合}42A x x =-≤≤，{}2340B x x x =+->，{}|22C x m x m =-<<+.（1）求A B ；（2）若x C ∈是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.14.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，函数()y f x =的解析式为()21x f x =+.（1）求当0x <时，函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =在区间[]4,2--上的值域.15.已知函数()21xf x x=+，[]1,1x ∈-. （1）用单调性的定义证明函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）求关于x 的不等式()()1f x f x -<的解集. 16.已知()4501ab a b a ---=>. （1）求ab 的最小值； （2）求+a b 的最小值.17.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 18.已知函数()af x x b x=++，关于x 的不等式()0xf x <的解集为()1,3. （1）求实数a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()()()()31xf x m x m R <--∈的解集；（3）若不等式()2220x xf k k --⋅-≥在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.四、新添加的题型） A.x Z ∃∈，135x << B.x Z ∃∈，310x += C.x R ∃∈，210x -=D.x R ∀∈，210x x ++>20.下列各组函数是同一函数的有（） A.()f x =与()g x =B.()0f x x =与()01f x x =C.()f x x =与()f x =D.()2f x x x =-与()2g t t t =-21.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=-，[]3.13=.设函数()[]f x x x =-，给出下列命题，其中正确的是（ ） A.函数()y f x =的定义域为 R B.函数()y f x =的值域为0,1 C.函数()y f x =是定义在 R 上的奇函数 D.函数()y f x =在区间1,0单调递增22.函数()()()10,1xxf x a k aa a -=-->≠）是定义在R 上的奇函数，则实数k 的值为_______.若()10f <且不等式()()2320f x tx f x ++-<恒成立，则实数t 的取值范围是_______.参考答案1.C【解析】1.由已知集合，利用集合的并、补运算求UA B ⋃即可.由题意知：{0,1,2,3,4,5}U =， ∴{0,1,5}U C A =，而{}0,4B =， ∴{0,1,4,5}UA B =∪，故选：C 2.B【解析】2.全称命题的否定为特称命题，将∀→∃，否定结论即可.由原命题为全称命题，其否定为∀→∃，否定结论，即“x R ∃∈，有210x +≤成立”， 故选：B 3.B【解析】3.利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误. A 中，0a b <<有11a b<，错误； B 中，01a <<时，3a a <成立，正确； C 中，2,1a b ==时，2132>，错误； D 中，由题设，当0b =时，220cb ab ==，错误； 故选：B 4.A【解析】4.根据偶次根式下不小于0，分式的分母不为0列出不等式组，解出即可.要使函数1()2f x x=-有意义，需满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠，即函数的定义域为[1,2)(2,)-+∞，故选：A. 5.C【解析】5. 对11224a a-+=两边平方，可求出1a a -+的值，再化简221a a a a ----可得结果解：因为11224a a -+=，所以2112224a a-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1216a a -++=， 所以114a a -+=，所以2211111()()14a a a a a a a a a a a a-------+-==+=--， 故选：C 6.D【解析】6.分0a >和0a ≤两种情况求解 解：当0a >时，因为()()18f a f +-=，所以2213(1)18a ++⨯--=，解得52a =， 当0a ≤时，因为()()18f a f +-=，所以22313(1)18a -+⨯--=，解得a =3a =-综上52a =或3a =- 故选：D 7.D【解析】7.不等式222x y m m +>+恒成立，等价于2x y +的最小值大于22m m +，所以先利用基本不等式求出2x y +的最小值，然后解关于m 的不等式即可解：因为0x >，0y > ，且211x y+=，所以2142(2)2248x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=，即4,2x y ==时取等号，所以2x y +的最小值的最小值为8，不等式222x y m m +>+恒成立，等价于2x y +的最小值大于22m m +， 所以282m m >+，解得42m -<<， 故选：D 8.D【解析】8.根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-，因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D 9.C【解析】9.由基本不等式知14ab ≤，结合特殊值法即可判断选项的正误.a b +≥当且仅当a b =时等号成立，即14ab ≤，故A 错误；B 中，若18,99a b ==13+=<，错误； C 中，114a b a b ab++=≥，正确；D 中，若12,33a b ==，有22145999a b =+=<+，错误； 故选：C 10.2【解析】10.设幂函数()af x x =,将点(代入函数()y f x =的解析式,即可求得()f x 的解析式,进而求得(4)f . 设()af x x =幂函数()y f x =的图像过点∴ ()22a f ==可得:12a =()12f x x ∴=∴ 12(4)42f ==故答案为:2. 11.充分不必要条件【解析】11.首先解出21a >的等价条件，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判定即可。
江苏省太湖高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)
江苏省太湖高级中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷2020. 10 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)1. 下列关系中正确的个数是①-eQ ②U乞R ®0eN*®^eZ2A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知集合A= x2— 2x - o|, B= x2 = 0j ♦则A(J B =A. ( - 1, 2}B. {1}C. { - 1, 0, 2}D. {0}3. 己知集合A={n『-x-2>0},则4A=A. {x|-l < x< 2}B. {x|-l <x< 2}C. {x 或x> 2}D. 2}4. 己知命题p： 3/? e N, / >2〃+ 5,则p的否定为A. V/z e N ♦n~ > 2/z + 5B. V AJ e N ♦n1 <2n + 5C. 3/7 e N»2 < 2/z + 5D. 3/J e N»n~ > 2〃 + 55. 若一次函数的图象经过点A(l, 6)和B(2, 8),则该函数的图象还经过的点的坐标为A. (-, 5)B. (-, 4)C. (- 1, 3)D. (- 2, 1)2 46. 已知函数/(2x + l) = 3x-5,若/(«)=10,则实数"的值为A. 5B. 10C. 11D. 27. 下列各组函数中，表示同一函数的是A. y = , s = (5/7)2B. y =国，u =C. V = --------- , = 〃 +1D. y = >Jx+ \ • yjx~\ , y = \Jx2— 1x-\二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)X28. 己知x>2,则 ------ 的最小值是x-2A. 2B. 6C. 4D. 89. 下列选项中p是g的充分不必要条件的是A. p： 1 <x<2> q：1W X W2B.p： xy> 1 * q： x> 1. y> 1C. pt— > 1 ♦qz x< 1D. p：两直线平行,x10. 某工厂八年来产品累积产量C （即前t年年产量之和）与时间t （年）的函数如图，下列四种说法中正确的是A. 前三年中，产量增长的速度越来越快B. 前三年中，产量增长的速度越来越慢C. 第三年后，这种产品停止生产D. 第三年后，年产量保持不变11. 下列说法中正确的是A.若〃>方>0,则“疽>阮2B. 若 a<b<0,则 u2>ab>b2C. 若u>b> 0且c<0»则—> —D .若a>b且一>丄，则泌>0 a ba b12. 已知x, y为正数，且xy= 1, "=x+y, b = — + —, T列选项中正确的有x yA, “的最小值为2 B. b的最小值为4C. a^b的最小值为5D.泌的最小值为9三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13. 函数/（X）=---的定义域为.J3 - 2xX2, x<\14. 设函数f（x） = 6 * 则/（/（-2））=.x+ —-6, x > 115.已知集合A={x|-l<x<3} , B=|y y = x2, xe A|,C= {y|y = 2x + o, x E A},若CcB,则实数〃的取值范围为.2 23 4=,若不等式x—1 ci—2〃 +1 X N1对任意实数16.在R上定义运算：a bc d=ad _ be ,则工恒成立，则实数“的取值范国为.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）若不等式四2 + 5x — 2 > 0的解集是\x^<x<2>（1）求“的值：（2）求不等式上C>〃 + 5的解集.x + 118.(本小题满分12分)设全集U=R,集合A={xl<xv4}, B = 2a <x<3.（1）若〃=-2,求Bf]A, BPKC L A）：（2）若A（JB=A.求实数“的取值范围.19.（本小题满分12分）(-2VxW3).已知函数/（x） = 2+ '二；'(1)用分段函数的形式表示函数f（x）:(2)画出函数/（X）的图象:写岀函数/（对的值域.32-120. （本小题满分12分）已知x, y均为正数，且xy - （x4-4y） - 5=0.（1）求AJ的最小值：（2）求x+y的最小值•21. （本小题满分12分）某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求IW X WIO）,每小时可获得的利润是5O（5x-- + l）元.x（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低1500元，求x的取值范围：（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.22. （本小题满分12分）已知"为常数，二次函数fM = x2-ax + a + 3,（1）若该二次函数的图象与x轴有交点，求实数"的取值范围:（2）已知f（x） > 4 ,求x的取值范围；（3）若对任意的实数xe[2, 4], f（x） 0恒成立，求实数”的取值范围.参考答案1. A 9. AC2. C3. B4. 10. 3 ~2)B5. A6. C7. B8. DBC 11. BC 14. --15. [2, 3]212. ABD 16. 2[-，2213. (―s ,17.解析(1)..•若不等A.ax 2+5x-2>()的解集是 y<x<2ax -y,2是方程ax 1 + 5x — 2 = 0的两根且a <0 l + 2=-A•\ 1解得* ci =—2(潇 W a V 0) Q 的值为一2.7X 2=-T(2)不等式二号〉Q + 5即不等式丄蜡>3,即丄宇一3>0,:E + 1 x+1 x +1通分得 >0.等价于(x + 2) (a; + L) A 0,解得—2 <Zx<Z —1, 所以原不等式的解集为{d-2VzV-l}.18.輯析(l)a =—2 时 Z?= {了| —4〈工 < 5}, X.4 = {x|l^z<4}, = {x|x<l Ax^4}Bn4 = {c|lWarV4},Bn ([%) = {a;| —4 1 或 4 Q T <5}. (2)若 A\JB = A.則苦 R =0，則 3 — a W 2a,解得 a A 1a<l^13^0, M , 2a ，骅得! WaVl,3 — a 成 4综上，实敬a 的取值范围为[二+8). 19.Ir + 2. —2VwV()1-jz + 2,0<x<3(2)函数/(/的图象如右图所示. (3) 由ffl 侍函教加的值域为(0,2]尸4) = (1)即(I — 4)(T /— 1) =当且仅当20.解析(1} V z, g 均为正数，且却一(i + Ay) — 5 = 0 邛一5 = a: + 知。
2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,6A =，集合{}1,3,5B =，则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,3,5 B ．{}1,3C ．{}1D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】B【分析】由交集定义进行运算即可 【详解】由交集定义，{1,3}A B ⋂=. 故选：B2．下列各对函数表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =与()2g x =B ．()f x x =与()g xC ．()xf x x =，()1,01,0xg x x ≥⎧=⎨-<⎩ D ．()f x x =与(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩【答案】D【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.【详解】对于A ，因为()f x x =的定义域为R ，()2g x =的定义域为[)0,∞+，故两函数不是同一函数，故A 错误；对于B ，因为()g x x ==，所以()f x x =与()g x =B 错误； 对于C ，因为()xf x x =的定义域为{}0x x ≠，()1,01,0xg x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，故两函数不是同一函数，故C 错误；对于D ，对于()f x x =，当0x ≥时，()f x x x ==；当0x <时，()f x x x ==-；即(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，显然()f x x =与(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩是同一函数，故D 正确.故选：D.3．若a ∈R ，则“4a =”是“4a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为44a a =⇒=，44a a ==，所以“4a =”是“4a =”的充分不必要条件. 故选：A4．已知01x <<，则(33)x x -取得最大值时x 的值为（ ） A ．13B ．12C ．34D ．23【答案】B【分析】由01x <<，则10x ->，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为01x <<，则10x ->， 由2(1)3(33)3(1)3[]24x x x x x x +--=-≤=，当且仅当1x x =-时，即12x =时等号成立． 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 5．已知函数()222xf x ax ax -=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．08a ≤≤B ．08a ≤<C ．08a <≤D ．08a <<【答案】B【分析】根据题意得220ax ax ++≠在x ∈R 上恒成立，考虑0a =，与0a ≠两种情况，结合根的判别式进行求解．【详解】因为函数定义域为R ，所以220ax ax ++≠在x ∈R 上恒成立， 当0a =时，2220ax ax ++=≠满足要求，当0a ≠时，要满足280a a ∆=-<，解得：08a <<， 综上：08a ≤< 故选：B6．定义在[]5,5-上的偶函数()f x 在[]0,5上的图象如下图，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 仅有一个单调增区间B ．()f x 有两个单调减区间C ．()f x 在其定义域内的最大值是5D ．()f x 在其定义域内的最小值是－5【答案】C【分析】根据函数的单调性、奇偶性和最值情况即可作出判断.【详解】因为()f x 是[]5,5-上的偶函数，所以()f x 在[]5,5-上的图像如下图所示：由图可知：()f x 在[0,5]内存在单调递减区间0(0,)x 和(3,5)，递增区间0(,3)x ， 所以在[5,0]-上有递增区间(5,3)--和0(,0)x -，递减区间0(3,)x --， 即()f x 在[]5,5-上有3个单调增区间，A 错误；,()f x 在[]5,5-上有3个单调减区间，B 错误；()f x 在3x =处取得最大值5，故()f x 在3x =-处也取得最大值5，C 正确；由图可知，无法知晓()f x 在其定义域内的最小值，D 错误. 故选：C7．已知()()72,01,0x x f x g x x -<⎧=⎨+>⎩为奇函数，则()4g 等于（ ）A ．－16B ．－14C ．14D ．16【分析】要求()4g 的值，需要先求出(4)f ，利用函数奇偶性得到(4)(4)f f -=-即可解决.【详解】72,0()()1,0x x f x g x x -<⎧=⎨+>⎩是奇函数，(4)(4)f f ∴-=-，又(4)72(4)15f -=-⨯-=，则(4)15f =-.(4)(4)115f g =+=-,(4)16g ∴=-.故选：A8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()30f =，且对任意的(]()1212,,0x x x x ∞∈-≠有()()21210f x f x x x ->-，则不等式()()01f x f x x +-<-的解集是（ ）A ．()(),33,-∞-+∞B ．()()3,13,-+∞C ．()(),31,3-∞-D ．()()3,11,3-【答案】B【分析】由题意与函数单调性的定义可()f x 的单调性，再结合偶函数与()30f =，可得()f x 在定义域R 上的正负情况，列表讨论()f x 与1x -的正负情况即可求得所求. 【详解】因为对任意的(]()1212,,0x x x x ∞∈-≠有()()21210f x f x x x ->-，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减， 又()30f =，所以()()330f f -==，结合()f x 的单调性，可得()f x 与1x -的正负情况如下：因为()()f x f x -=，所以由()()01f x f x x +-<-得()201f x x <-，即()f x 与1x -异号，所以由上表可得()()3,13,x ∈-+∞.二、多选题9．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则满足条件的实数x 可以是（ ）A ．－2B ．0C ．1D ．2【答案】ABD【分析】根据包含关系的定义，列式求x ，并验证是否满足互异性.【详解】由24x =得，2x =±，满足互异性；由2x x =得，0x =，而1x =不满足互异性，所以舍去；满足的条件的x 值有：2,0,2- 故选：ABD.10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题为真命题的是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件 C ．“5a <”是“3a <”的必要不充分条件 D ．“0a >”是“a a =”的充分不必要条件【答案】CD【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由a b =可以推出ac bc =， 当0,c ac bc ==时，推不出a b =，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错误; 对于B ，如12>-，但221(2)<-，所以a b >推不出22a b >， 如()2221->，但21-<，所以22a b >推不出a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错误; 因为若3a <则5a <一定成立，但若5a <则3a <不一定成立， 所以“5a <”是“3a <”的必要不充分条件，故C 正确;由a a =得，0a ≥，由0a >可推出0a ≥，0a ≥不能推出0a >，所以0a >是0a ≥的充分不必要条件，即0a >”是“a a =”的充分不必要条件， 故D 正确; 故选:CD.11．下列命题中，为真命题的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，0c d <<，则ac bd >C ．若a b >，0c >，则c c a b< D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+>+ 【答案】BD【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可. 【详解】对于A ，若,0a b c >=，则22ac bc =，故A 错误.对于B ，若0,0a b c d <<<<，则0,0a b c d ->->->->，()()()()a c b d -->--，即ac bd >，故B 正确.对于C ，取2,1,1,c ca b c a b==-=>则，故C 错误.对于D ，若0a b c >>>，则()()()a a c a b c b a c b b c b b c ++-+-=++=()()c a b b b c -+，因为0c a b >>>，所以0,0a b b c ->+>，所以()0()c a b b b c ->+，即a a cb b c+>+，故D 正确.故选：BD12．已知()224,0,0x x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+>⎩且()()f x f x -=-对于一切x ∈R 恒成立，()f x 在[],m n 上的值域为[]4,4-，则（ ） A ．4a =-B ．()()55f f =C ．m n -的最大值为4+D ．m n -的最小值为4【答案】BC【分析】根据奇函数可求解=4a 判断A ，根据自变量即可代入求值判断B ，结合函数的图象即可判断CD.【详解】由()()f x f x -=-对于一切x ∈R 恒成立得()()11f f =--，代入得1=(14)4a a -+--⇒=，故A 错误；525455f ，所以555f f f ，故B 正确；由奇函数知(0)0f =，所以当0x ≥时，()()22424f x x x x =-+=--+，当0x <时，2()4f x x x =+，画出()f x 图象，如图，令()4f x =，解得=2x 或222=--x ()4f x =-时，解得2x =-或222x =+ 由图象可知，要使值域为[]4,4-，max |222(222)|442m n -=--+=+，min |222(2)||2(222)|22m n -=---=-+=C 正确，D 错误.故选：BC三、填空题13．命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定形式是________. 【答案】x ∃∈R ，210x x -+≤【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解；【详解】解：命题“2,10x R x x ∀∈-+>”为全称量词命题，其否定为：x ∃∈R ，210x x -+≤； 故答案为：x ∃∈R ，210x x -+≤14．若一个奇函数的定义域为{},,2a b ，则a b +的值为______________． 【答案】2-【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得,a b 的值，即可得a b +的值. 【详解】解：若奇函数的定义域为{},,2a b ，则{}2,,2a b ∈，必有{}2,,2a b -∈ 故2a =-或2b =-；若2a =-，则{},,2b a b ∈，必有{},,2b a b -∈，则b b =-，所以0b =； 若2b =-，则{},,2a a b ∈，必有{},,2a a b -∈，则a a =-，所以0a =； 综上：2a b +=-. 故答案为：2-.15．若对任意0x y >>，不等式295x y m m y x y-++-≤恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】[]1,2-【分析】根据基本不等式可求得9x y y x y+-的最小值为7，则257m m -+≤，解不等式即可.【详解】由0x y >>，得0x y ->，则99117x y x y y y x y y x y -+=++≥=--， 当且仅当9x y yy x y-=-，即4x y =时等号成立， 所以257m m -+≤，即220m m --≤， 解得12m -≤≤， 故答案为：[]1,2-.四、双空题16．定义：闭区间[],a b 的长度为b a -．则不等式2280x x +-≤的解集区间长度为______________；若不等式1x m -≤的解集区间长度为6，则实数m 的值是______________． 【答案】 6 3【分析】解一元二次不等式即可求出不等式2280x x +-≤的解集区间长度；解绝对值不等式即可求出实数m 的值.【详解】不等式2280x x +-≤等价于()()240x x -+≤， 解得：42x -≤≤，所以不等式2280x x +-≤的解集区间长度为：()246--=.由不等式1x m -≤可得：1m x m -≤-≤，解得：11m x m -+≤≤+， 因为不等式1x m -≤的解集区间长度为6，所以()116m m +--+=， 解得：3m =. 故答案为：6；3五、解答题17．试比较下列各组中两个代数式的大小(1)()()15x x ++与()23x +;(2)当3x >时,12x x +-与4． 【答案】(1)2(1)(5)(3)x x x ++<+ (2)142x x +>-【分析】(1)对两式进行做差化简判断与零的大小关系,即可判断出大小; (2)对两式进行做差通分化简合并判断与零的大小关系,即可判断出大小. 【详解】（1）解:由题知,222(1)(5)(3)65(69)40x x x x x x x ++-+=++-++=-<, 故2(1)(5)(3)x x x ++<+;（2）221(2)14(2)69(3)42222x x x x x x x x x x x -+---+-+-===----, 2(3)3,02x x x ->∴>-,1402x x ∴+->-, 即142x x +>-. 18．已知集合()3,5A =-，集合()(){}110B x x a x a =---+< (1)当5a =时，求()RAB ；(2)记p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(]3,4- (2)[]2,4-【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得B A ，即可得到不等式组，解得即可.【详解】（1）解：由()()110x a x a ---+<，解得11a x a -<<+， 所以()(){}{}110|11B x x a x a x a x a =---+<=-<<+， 当5a =时{}|46B x x =<<， 所以R {|4B x x =≤或6}x ≥，又()3,5A =-， 所以()(]R3,4AB =-；（2）解：因为p 是q 的必要不充分条件， 所以B A ，所以1315a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得24a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]2,4-.19．已知集合{}22210A x x ax a =-+-=，{}2450B x x x =--=(1)若{}1A B ⋂=-，求实数a 的值； (2)若A B A =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)5a =-；(2)((){},4a ∈-∞-⋃+∞⋃.【分析】（1）因为{}1A B ⋂=-，则说明集合1,5A A -∈∉，然后求解即可；（2）按照元素的个数分集合A 为空集，集合A 有一个元素，集合A 有两个元素讨论，最后不同情况求出的a 取值取并集即可.【详解】（1）化简{}2450B x x x =--=，得{}1,5B =-，因为{}1A B ⋂=-，则1,5A A -∈∉，所以有()221210a a -++-=，解得4a =或5a =-， ()2255210a a -+-≠，解得4a ≠或1a ≠， 综上，5a =-.（2）化简{}2450B x x x =--=，得{}1,5B =-，因为A B A =，则A B ⊆，当A =∅时，有()()224210a a ∆=---<，解得a <-a >当集合A 只有一个元素时，有()()224210a a ∆=---=，得a =-a =当a =-时，集合{A =显然不满足A B ⊆，当a =A =显然不满足A B ⊆；当集合A 有两个元素时，则A B =，所以1,5A A -∈∈，所以有()221210a a -++-=，解得4a =或5a =-， ()2255210a a -+-=，解得4a =或1a =，故4a =；综上所述((){},4a ∈-∞-⋃+∞⋃20．已知函数()241x f x x +=+，()25g x x ax =+- (1)判断函数()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明；(2)若集合()[]{},0,1A y y f x x ==∈，对于x A ∀∈都有()0g x ≤，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)114a ≤-【分析】（1）依题意可得()221f x x =++，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）中函数的单调性求出集合A ，依题意[]3,4x ∀∈都有205x ax +-≤，参变分离可得5a x x ≤-，对[]3,4x ∀∈恒成立，根据函数的单调性求出min5x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：()()2122422111x x f x x x x +++===++++在()1,-+∞上单调递减， 证明：设121x x -<<， 则12121212122()2222()()221111(1)(1)x x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-+=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 又由121x x -<<，则110x +>，210x +>，120x x -<，则12())0(f x f x ->，故函数()f x 在()1,-+∞上单调递减；（2）解：由（1）可得()f x 在[]0,1上单调递减，又()04f =、()13f =，所以()[]{}[],0,13,4A y y f x x ==∈=，因为x A ∀∈都有()0g x ≤，即[]3,4x ∀∈都有205x ax +-≤，所以255x a x x x -≤=-，对[]3,4x ∀∈恒成立， 令()5g x x x=-，[]3,4x ∈， 因为()5g x x x =-在[]3,4上单调递减，所以()()min 5114444g x g ==-=-， 所以114a ≤-. 21．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？(2)若使每间虎笼面积为362m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】(1)长为6m,宽为4m 时，面积最大值为224m ；(2)长为36m 、宽为6m 时，钢筋网总长最小为246m .【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.【详解】（1）解：设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为ab ，则46482324a b a b +=⇒+=， 所以2423223a b a b =+≥⋅126ab ≥24ab ≤，当23a b =，即64a b =⎧⎨=⎩时等号成立. 所以每间虎笼的长为6m,宽为4m 时，面积ab 的最大值为224m ；（2）解：设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为36ab =，则钢筋网总长为46224224366a b ab +≥=⨯，所以钢筋网总长最小为246m ，当且仅当46a b =，即3626a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以当每间虎笼的长为 、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为.22．已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(2)若函数()()42g x f x x x λ=++-的最小值为5，求实数λ的值．【答案】(1)()2111424f x x x =-+ (2)174λ=±【分析】（1）根据()()2f x f x +=-得到420a b +=，根据()0f x x +≥恒成立得到a c =，结合()11f a b c -=-+=，求出11,42a b ==-，14c =，求出二次函数解析式； （2）结合第一问，将()()42g x f x x x λ=++-写出分段函数，分12λ<-，1122λ-≤≤与12λ>三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数λ的值.【详解】（1）由题意得：()11f a b c -=-+=，且0a ≠，()()210f x x ax b x c +=+++≥恒成立，故()20Δ140a b ac >⎧⎪⎨=+-≤⎪⎩， 将1b a c +=+代入()2140b ac +-≤中，()20a c -≤，故a c =，从而21a b c a b -+=-=，由()()2f x f x +=-得：()()()22222f x a x b x c ax bx c +=++++=-+， 整理得()42420a b x a b +++=，故420a b +=，联立21a b -=与420a b +=，解得：11,42a b ==-， 故14c a ==， 二次函数解析式为()2111424f x x x =-+； （2）函数()()2421g x f x x x x x λλ=++-=++-的最小值为5，()2222131,24131,24x x x x g x x x x x λλλλλλ⎧⎛⎫+-+=+-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩， 且()21g λλ=+，即在端点处分段函数的函数值相等， 当12λ<-时，()g x 在12x <-上单调递减，在21x ≥-上单调递增， 故()g x 在12x =-处取得最小值，即354λ-+=，解得：17142λ=-<-，符合要求； 当1122λ-≤≤时，()g x 在x λ<上单调递减，在x λ≥上单调递增， 故()g x 在x λ=处取得最小值，即215λ+=，解得：2λ=±，不合题意，舍去； 当12λ>时，()g x 在12x <上单调递减，在12x ≥上单调递增， 故()g x 在12x =处取得最小值，即354λ+=，解得：17142λ=>，符合要求； 综上：174λ=±.。
江苏省太湖高级中学2020-2021学年高一上学期期中考卷及答案
900
万
2
元, 则 t 的取值范围是
.
16. 函数 f(x) = ax − (k − 1)a−x(a > 0，a ̸= 1) 是定义在 R 上的奇函数，则实数 k 的值为
；
若 f(1) < 0 且不等式 f(x2 + tx) + f(3 − 2x) < 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是
.
(注：第一个空 2 分，第二个空 3 分.)
综上，当 m <-21 时，所求不等式的解集为 ( -m1 ,2);
当 m =-21 时，所求不等式的解集为 ∅ ; 当 m >-21 时，所求不等式的解集为 (2, - m1 ).
(2) 由题知，任意 x ∈ [1,3],f(x) > g(x), 即 mx2 - (2m - 1)x - 1 > 3x - 4m - 1,
【解析】 ∵ 在正项等差数列 an 中，a1 + a2 + a3 = 15 ∴ 3a2 = 15 ∴ a2 = 5
又 a1 + 2，a2 + 5，a3 + 13 构成等比数列 bn 的前三项， ∴ (a1 + 2)2 = (a1 + 2) (a3 + 13) = 100
设正项等差数列 an 的公差为 d(d > 0), 则 (5 - d + 2) (5 + d + 13) = 100 ∴ d2 + 11d - 26 = 0, 解得 d =-13( 舍 ) 或 d = 2
D. x2 > a2 > ax
4.
函数
f(x)
=
√ x
+
1
江苏省太湖高级中学2021届高三上学期第一次月考数学试卷 PDF版含答案
C．(0，1)
1
D．(0， 2 )
二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设函数 f (x) = sin 2x + cos 2x ，则下列结论正确的是
A． f (x) 的最小正周期为 2
A．x＞0
B．x＜1
4．若 a = ln 2 ， b = ln 3 ， c = ln 5 ，则
2
3
5
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．0＜x＜1 C．c＜b＜a
D．0＜x＜ 1 2
D．b＜a＜c
5．设 f (x) = x3 + lg(x + x2 +1) ，则对任意实数 a、b，“a＋b≥0”是“ f (a) + f (b) 0 ”
江苏省太湖高级中学 2020—2021 学年高三上学期第一次月考
数学试卷
2020．10
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．设集合
A＝
x
x+2 x −1
0
，B＝
x y = ln(x +1)
=
f
(x) 恰有两个不同的实根
时，实数 a 的取值范围是
A．(0， 1 ) e
B．[ 1 ， 1 ) 4e
C．(0， 1．已知方程 x2 + bx + c = 0 ，在(0，2)上有两个不同的解，则 c2 + 2(b + 2)c 的取值范围是
江苏省太湖高级中学2020-2021学年高一第一学期数学期中复习卷二(word版,无答案)
江苏省太湖高级中学2020~2021第一学期期中复习卷高一数学(2)2020.11一.单项选择题1.若集合A={x|-1≤x ≤2, x ∈N },集合B= {2, 3},则A ∪B 等于()A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1, 2, 3}D. {2} 2.若命题p:2,210,x x x ∃∈++≤R 则命题p 的否定为()A.2,210x x x ∃∈++>RB.2,210x x x ∃∈++<RC.2,210x x x ∀∈++≤RD.2,210x x x ∀∈++>R3.若p: 1<x<2, q: 2x>1,则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a, b, c, d ∈R 且满足a>b, c>d,则下列不等式一定成立的是()A.ac>bdB. a-c>b-d 22.C ac bd >D. a+c> b+d 5.设A={x||x-2|≥2},B={x||x-1| <a},若A ∩B=∅,则实数a 的取值范围为() A.a< 1 B.0<a ≤1 C.a ≤1 D.0< a ≤36.已知p: 4x-m<0,q: -2≤x ≤2,若p 是q 的一个必要不充分条件,则实数m 的取值范围为( )A. m ≥8B.m>8C.m>4D. m ≥-47.2020年省太湖高中运动会,某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为()A.7B.8C.10D.128.设m, n 为正数,且m+n=2,则2312m n m n +++++的最小值为() 17.6A 14.5B 11.4C 8.3D 二.多项选择题9.下列命题正确的是()A.存在20,230x x x <--=B.对于一切实数x<0,都有|x|>xC.∀x ∈R x =D.函数()|3|3f x x =--是奇函数 10.命题“2{|13},0x x x x a ∀∈≤≤-≤”是真命题的一个充分不必要条件是() A.a ≥9B.a ≥11C.a ≥10D.a ≤1011.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则22ac bc >B.若a<b<0,则22a ab b >>C.若a>b>0,且c<0,则22c c a b > D.若a>b 且11,a b >则ab<0 12. 已知函数2(0)y x ax b a =++>有且只有一个零点,则()22.4A a b -≤21.4B a b+≥ C.若不等式20x ax b +-<的解集为12(,),x x 则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,),x x 且12||4,x x -=则c=4三.填空题13.已知x>0, y>0,且x+3y=1,则x y xy +的最小值是______. 14. 集合21, 2,,31},{1,3},{M a a a N =--=-若3∈M 且N ⊄M,则a 的取值为______.15. 已知p 2:230,x x --<q: m<x<m+1,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是_____. 16.已知函数2() 2.f x ax ax =-+(1)若f(x)>0的不等式在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是______.(2)若f(x)>0的不等式在[1, 9]上恒成立,则实数a 的取值范围是_________.(注:第一个空2分,第二个空3分.)四.解答题17.已知集合A={x|-2≤x ≤5}, B={x|m+1≤x ≤2m-1},若命题p:“∀x ∈B,x ∈A”是真命题,求m 的取值范围.18. (1) 求值:4110321()2)20500---+⨯-（8） (2) 已知14,x x-+=3322x x -+.19. (1) 已知a,b 均为正实数,且2a+8b-ab=0,求a +b 的最小值;(2) 已知a, b, c 都为正实数,且a+b+c=1求证:111()()()10a b c a b c +++++≥.20.已知集合{42{|3},=12, |}{3|1}a A a B a a C x m x m a -=≤+≤=-<≤++. (1) 求A ∩B;(2)若(),C A C ⊆⋂求m 的取值范围.21.江苏省太湖高级中学为创建高品质高中,计划在校园内建造一个长方形文化展览区ABCD,展览区由长方形1111A B C D 的展览馆和环展览馆人行道(阴影部分)组成.已知展览馆.1111A B C D 面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设展览馆的长和宽的比1111(1),A B x x B C =>写出文化展览区ABCD 所占面积s 与x 的关系式; (2) 要使文化展览区所占面积最小,则展览馆,1111A B C D 的长和宽该如何设计?22.若关于x 的不等式2(2)10ax a x b +--+≥的解集是{x|x ≤-1或x ≥2}.(1)求实数a,b 的值.;(2) 若关于x 的不等式2(3)2()x c a x c c a -+++<0的解集为A,不等式22x x <+的解集为B,且A ⊆B,求实数c 的取值范围.。
江苏省太湖高级中学2020-2021学年度第一学期期中复习一元二次函数、方程和不等式部分
C. {x | 0 ⩽ x ⩽ 1}
D. {x | 0 ⩽ x ⩽ 2}
5. 在 R 上的定义运算“∗”：a ∗ b = ab + 2a + b，则满足 x ∗ (x − 2) < 0 的解集为
()
A. (0，2)
B. (−2，1)
S 高一数学期中复习试卷 第 3 页（共 4 页）
21. 现有 A，B，C，D 四个长方体容器. 已知容器 A，B 的底面积均为 x2, 高分别为 x，y，容器 C，D 的底面积 为 y2, 高也分别为 x，y(x > 0，y > 0，x ̸= y)；现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别 盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道 x，y 的大小，问如何取法可以确保一定获胜？请说明 理由.
S 高一数学期中复习试卷 第 2 页（共 4 页）
19. 求证：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a , b,c 是常数且 a ̸= 0) 有一正实根和一负实根的充要条件是 ac < 0.
20. 已知命题 p：存在 x ∈ R，使 x2 − ax + 1 ⩽ 0 成立. (1) 若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围; (2) 命题 q：对任意实数 x ∈ [0，2]，都有 x2 − 2x − a ⩽ 0 恒成立. 如果命题 p，q 都是假命题，求实数 a 的取 值范围.
C. (−∞， − 2) ∪ (1， + ∞) D. (−1，2)
6.
不等式
(x
−
√ 1) x
+
2
⩾
0
的解集是
江苏省太湖高级中学2020-2021学年第一学期期中复习卷高一数学(1)
江苏省太湖高级中学2020~ 2021第一学期期中复习卷高一数学(1)2020.11一.单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={-1, 1},N={-2, 1, 0},则M∩N=()A. {0, -1}B. {1}C. {0}D. {-1, 1}2.下面四个条件中,使“a>b”成立的必要不充分条件是()A. a-1> bB. a+1> bC.|a|> |b| 11.D a b< 3.已知函数2,1().1,11x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则f(f(-2))=() A.-1 1.5B 1.5C - 1.3D 4.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为221,y x =+值域为{3, 19} 的“孪生函数”共有()A.15个B.12个C.9个D.8个 5.若函数2(21)1y x a x =+-+在区间(-∞, 2]. 上是减函数,则实数a 的取值范围是()3.[,)2A -+∞ 3.(,]2B -∞- 3.[,)2C +∞ 3.[,)2D -∞ 6.奇函数y=f(x)在(-∞, 0)上的解析式是f(x)=x(1 +x),则其在(0, +∞)上有() A.最大值14- B.最大值14C.最小值14-D.最小值14 7.已知(a, b)是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集,则3a+2b 的最小值是()3.2A +.5B +5.2C + D.38.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函可能是()21.()1A f x x =- 21.()1B f x x =+ 1.()|1|C f x x =- 1.()|||1|D f x x =- 二.多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列各组函数中,是一个函数的有()A.y=x 与2x y x =2.B y x =与2(1)y x =+.C y =与y= |x|D. y=x 与y = 10.若110,a b<<则下列结论中正确的是() 22.A a b < 2.B ab b < C. a+b<0 D.|a|+|b|> |a+ b|11.符号[x]表示不超过x 的最大整数,如[3.14]=3, [-1.6]=-2,定义函数: f(x)=x-[x], 则下列命正确的是()A. f(-0.8)= 0.2B.当1≤x<2时, f(x)=x-1C.函数y=f(x)的定义为R ,值域为[0, 1)D.函数y= f(x)是增函数､奇函数 12.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合成“偏食”.对于集合1{1,,1},2A =- 2{|1,0}B x ax a ==≥,若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”,则实数a 的取值可以是()A.0B.1C.2D.4三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 命题“2210x x x ∃∈-+>，R ”的否定形式是______.14. 函数1y x=的定义域为_________. 15.若函数(3)3,7(),7a x x f x ax x --≤⎧=⎨>⎩是定义在R 上的增函数,则实数a 的取值范围是___. 16.已知y= f(x)是奇函数,y= g(x)是偶函数,它们的定义域为[-3, 3],且它们在x ∈[0, 3] 上的图象如图所示,则函数y= f(x)·g(x) 是______ (填“奇函数､偶函数､既是奇函数又是偶函数､既不是奇函数又不是偶函数”中的一个);不等式()0()f x g x <的解集是_________.(注:第一个空2分,第二个空3分.)四.解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. ( 10分)已知全集U=R ,集合A={x|a-1≤2a+3}, B={x|-2≤x≤4}.(1) 当a=2时,求A ∪B 和();U A B ⋂(2)若A∩B= A,求实数a 的取值范围.18. (12 分)已知二次函数y= f(x)的最小为1,且f(0)=f(2)=3.(1) 求函数y= f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)在区间[3a, a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.19. (12分)已知x, y 是正实数.(1) 若x<3,求43y x x =+-的最大值; (2) 若x+y=4,求13x y +的最小值.20. (12 分)已知函数2()4ax b f x x -=-是定义在(-2, 2)上的奇函数,且1(1).3f = (1)确定函数y= f(x)的解析式;(2)判断并证明函数y= f(x)的单调性.21. (12分)十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了更好的服务于人民,派调查组到某农村去考察和指导工作该地区有200户农民,且都从事水果种植,据了解平均每户的年收入为3万元，为了调整产业结构,调查组和当地政府回定动员部分农民从事水果加工据估计若能动员*()x x ∈N 户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收人有望提高4x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为33()(0)50x a a ->元. (1) 若动员x 户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入求的取值范围;(2)在(1)的条件下,要使这200户农民中从事水果加的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求实数a 的最大值.22. (12 分)已知函数4(),f x x x x =-∈[1, 2]. (1)求函数y= f(x)的值域;(2) 设22164()2(),F x x a x x x x=+--∈[1, 2], a ∈R 求函数y= F(x)的最小值g(a). (3) 对(2)中的g(a),若不式2()24g a a at >-++对于意的a ∈(-3, 0) 时恒成立,求实数t 的取值范围.。
江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期期中数学试题
江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|12}A x x =-<，{}|42B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|42}x x -<<C ．{|43}x x -<<D ．{|3}x x <2．函数0()(3)f x x =+-的定义域是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)⋃+∞D ．[3,)+∞ 3．已知A 为奇数集，B 为偶数集，命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则（ ）A ．:p x A ⌝∀∈，2xB ∉ B ．:p x A ⌝∀∉，2x B ∉C ．:p x A ⌝∃∉，2x B ∉D ．:p x A ⌝∃∈，2x B ∉4．已知函数37()(2)2x f x x x x +=+>-+（ ）A ．()f x 有最小值-1B ．()f x 有最大值-1C ．()f x 有最小值3D ．()f x 有最大值35．“2x ≥”的一个必要不充分条件是（ ）A ．2x >B ．22x >C ．240x -≥D ．29x >6．对于[2,2]x ∀∈-，不等式m x +≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．94m ≤- B ．2m ≤- C ．0m ≤ D ．4m ≤7．函数2(0)1axy a x =>+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．定义,min(,),a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）A ．1B ．8C ．9D ．109．已知0a >，0b >，则下列说法正确的有（ ）A ．11a b a >-B ．若2a b +≥，则1≥abC ．若2a b +≥，则1ab ≤D ．3322a b a b ab +≥+二、多选题10．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{3,4,5}M =，{1,2,5}N =，则集合{1,2}可以表示为（ ）A ．M N ⋂B ．()U M NC ．()U N MD ．(())U M N N ⋂⋂11．已知函数()f x 的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ）A ．((1))3f f =B ．(2)(0)f f >C ．()12|1|f x x x =-++-，[0,4]x ∈D ．0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知2,1()2,1x x f x k k x x-+<⎧⎪=⎨++≥⎪⎩，（常数0k ≠），则（ ） A ．当0k >时，()f x 在R 上单调递减B ．当12k >-时，()f x 没有最小值 C ．当1k =-时，()f x 的值域为(0,)+∞D ．当3k =-时，11x ∀≥，21x ∃<，有12()()0f x f x +=三、填空题13．已知幂函数2()(22)m f x m m x =--在(0,)+∞上是单调递减函数，则实数m 的值为________.14．已知函数2,0()2(1),0x x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩，则(2)f 的值为________.15．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，关于x 的不等式()f x c ≤的解集为A ，其中[],A m n =，()f x 在集合A 上的值域为B ，若A B =，则n m -=____.四、双空题16．已知函数()f x 的定义域为R ，(2)3f =，且函数()y f x x =+为偶函数，则(2)f -的值为________，函数()1f x y x=+是________函数（从“奇”､“偶”､“非奇非偶”､“既奇又偶”中选填一个）.五、解答题 17．已知集合105x A xx -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭∣，集合2{|1}.B x a x a =-<< （1）求A R ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.18．已知21abc =，0a b c ++=，0c >.（1）求证：a b +≤-（2）求c 的最小值，并求此时a 与b 的值.19．已知函数224,0(),0x x x f x x ax x ⎧--≤=⎨+>⎩，为奇函数.（1）求(2)f 和实数a 的值；（2）求方程()(2)f x f =的解.20．已知函数9()(0)f x x x x=+≠ （1）当[1,5]x ∈时，讨论并证明()f x 的单调性，并求()f x 的取值范围；（2）求不等式2(3)(3)0f x f x +≤的解集.21．某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km 时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为x km.（1）试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；（2）若一次载客的路程不少于2km ，则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y 取得最大值？（每千米收益计算公式为)F C y x-=22．已知函数2()2.f x x ax b =-+（1）若()y f x =值域为[0,)+∞，且(1)(1)f x f x +=-恒成立，求()f x 的解析式； （2）若(())y f f x =的值域为[0,)+∞，①当2a =-时，求b 的值；②求b 关于a 的函数关系()g a .参考答案1．B【分析】由集合的交集运算求解即可.【详解】{3}{42}{42}A B x x x x x x ⋂=<⋂-<<=-<<∣∣∣故选：B2．C【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．【详解】解：由2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且3x ≠． ∴函数0(3)y x =+-的定义域为(2,3)(3,)⋃+∞． 故选：C ．3．D【分析】利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.【详解】命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则:p x A ⌝∃∈，2x B ∉.故选：D4．C【分析】函数式变形凑成积为定值，然后由基本不等式得最值．【详解】∵2x >-，∴20x +>，1()21132f x x x =+++≥=+，当且仅当122x x +=+，即1x =-时等号成立．故选：C ．【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等， （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A. 2x >能推出2x ≥故充分，当2x ≥时，取2x =，22>不成立，故不必要，故错误；B. 当22x >时，取x =2≥，不成立，故不充分，2x ≥能推出22x >，故必要，故正确；C. 240x -≥能推出2x ≥，故充分，反之也成立，故必要，故错误；D. 当29x >时，取3x =-，32-≥，不成立，故不充分，当2x ≥时，取 2.5x =，6.259>，不成立，故不必要，故错误；故选：B6．B【分析】分离参数，引入新函数y x =-【详解】由题意m x ≤-在[2,2]x ∈-时恒成立，函数y x =-[2,2]x ∈-，∴min 2y =-，∴2m ≤-．故选：B ．【点睛】本题考查不等式恒成立，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．转化方法： （1）()f x M >恒成立⇔min ()M f x <，（2）()f x M <恒成立⇔max ()M f x >，7．A【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．【详解】 记2()1ax f x x =+，函数定义域为R ，则2()1ax f x x -=-+()f x =-，函数为奇函数，排除BC ，又0x >时，()0f x >，排除D ．故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．C【分析】根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值．【详解】由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，所以()22,3146,31x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或， 所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，(3)9F -=，(1)1F =，所以max ()9F x =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．9．D【分析】取特殊值判断选项ABC ，利用作差法证明3322a b a b ab +≥+判断选项D.【详解】对于选项AC ，当1,2a b ==时，11121<-，21ab =>，则AC 错误； 对于选项B ，当13,22a b ==时，1331224⨯=<，则B 错误； 对于选项D ，323222()()a a b b ab a a b b b a -+-=-+-()()222()()0a b a b a b a b =--=-+，即3322a b a b ab +≥+，则D 正确；故选：D10．BD【分析】根据集合的基本运算可得答案.【详解】A. {}=5M N ⋂ ；B.(){}=1,2U M N ⋂； C. (){}=3,4U N M ⋂； D. ()(){}=1,2U M N N ⋂⋂.故选：BD.11．AC【分析】由(1)=0f ，(0)=3f 可判断A ；由(0)3f =，0(2)3f <<可判断B ；由图可得[0,1]x ∈时，33y x =-；[1,4]x ∈时，1y x =-，可判断C ；由()2211f =-=，1333222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭结合图象可判断D.【详解】A. 因为(1)=0f ，(0)=3f ，所以()(1)=3f f ，正确；B. (0)3f =，0(2)3f <<，所以(2)(0)f f <，错误；C. 由图得，当[0,1]x ∈时，设解析式为111(0)y k x b k =+≠，图象经过(1,0),(0,3)，所以11103k b b +=⎧⎨=⎩，解得1133k b =-⎧⎨=⎩，所以33y x =-； [1,4]x ∈时，设解析式为222(0)y k x b k =+≠，图象经过(1,0),(4,3)，所以2222043k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2211k b =⎧⎨=-⎩，所以解析式为1y x =-；即()12|1|f x x x =-++-，[0,4]x ∈，正确； D. 由C 得 ()2211f =-=，1333222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，如图：所以不存在大于零的a ，使得不等式()f x a ≤的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力.12．BD【分析】根据不同的k 值，研究函数的单调性、最值与值域等，从而可判断各选项．【详解】0k >时，121-+=，2221k k k ++=+，221k +>，()f x 在R 上不是减函数，A 错； 由上面讨论知0k >时，()f x 在[1,)+∞上是减函数，无最小值．而1x <时2()f x x =-+递减，也无最小值，因此()f x 无最小值， 当102k -<<时，1≥x ，()2k f x k x=++是增函数，(1)22f k =+，但221k +>，不是()f x 的最小值，综上，()f x 无最小值，B 正确；1k =-时，1x <，()2(1,)f x x =-+∈+∞，1≥x 时，11()121f x x x =--+=-+是增函数，(1)0f =，1()1[0,1)f x x=-+∈， ∴()f x 的值域是[0,1)(1,)⋃+∞，C 错；3k =-时，1≥x 时，3()1[4,1)f x x=--∈--，而1x <时，()2(1,)f x x =-+∈+∞， (1,4](1,)⊆+∞，因此11x ∀≥，21x ∃<，使得12()()0f x f x +=．D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的单调性与值域，解题关键中根据k 的不同取值，确定函数的单调性，由单调性确定函数的值域．从而判断各选项．13．-1【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，根据函数的单调性确定m 的值即可．【详解】解：()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-，3m =时，3()f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，1()f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-， 故答案为：1-． 14．8 【分析】根据分段函数的定义计算． 【详解】(2)2(1)4(0)4028f f f ===⨯+=．故答案为：8． 15．22a cb --【分析】根据不等式()f x c ≤的解集为[],A m n =，得到()()f m f n c ==，m n a +=-，然后再根据()f x 在集合A 上的值域为B ，其A B =，分2a m -≤，2a n -≥和2am n <-<三种情况讨论求解. 【详解】令()2()g x f x c x ax b c =-=++-，因为不等式()f x c ≤的解集为A ， 所以()()f m f n c ==，m n a +=-， 因为()f x 在集合A 上的值域为B ，若A B =， 所以当2am -≤时，()f x 在集合A 上递增， 则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以m ，n 是方程()210x a x b +-+=的两根，所以1a m n b mn =--⎧⎨=⎩，此时m n a +=-不成立；当2an -≥时，()f x 在集合A 上递减，则()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以1a m n b mn m n=--⎧⎨=++⎩，此时m n a +=-不成立；当2am n <-<时， 则()()2a f mf m f n n⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪==⎩， 所以22a mb nc ⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 所以22a n m c b -=--，故答案为：22a cb --【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． 16．7 奇 【分析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解. 【详解】函数()()y g x f x x ==+为偶函数， 由(2)3f =，则()2(2)25g f =+=， 所以()()2(2)225g f g -=--==， 所以(2)7f -=，()()()1f x x f x y h x x x+==+=，定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 定义域关于原点对称.因为()()()g x g x f x x -==+， 所以()()()()()f x x f x xh x h x x x-+-+-===---，所以函数为奇函数. 故答案为：7；奇 17．（1）(,1][5,)RA =-∞⋃+∞；（2）[1,1][6,)a ∈-⋃+∞.【分析】（1）解分式不等式确定集合A ，然后由补集定义计算； （2）先确定B ≠∅，然后交集的定义得出不等关系求得结论． 【详解】解：（1）由题意知(1,5)A =，所以(,1][5,)RA =-∞⋃+∞.（2）因为2213(1)024a a a ⎛⎫--=-+> ⎪⎝⎭，所以B ≠∅，因为AB =∅，所以15a -≥或21a ≤，解得[1,1][6,)a ∈-⋃+∞.18．（1）证明见解析；（2）c 2a b ==-. 【分析】（1）将已知等式变形可得210ab c =>，0a b c +=-<，即可判断0a <，0b <，利用基本不等式即可证得结论． （2）由（1）中结论及21ab c =可得12c c--，计算可得c 的取值范围，从而得解． 【详解】解：（1）因为21abc =，0a b c ++=，0c >，所以210ab c =>，0a b c +=-<， 所以0a <，0b <，所以()()a b -+-≥，当且仅当a b =时等号成立，所以a b +≤-（2）由（1）得12c c-≤-⋅， 因为0c >，所以c ≥当且仅当a b a b -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩2a b ==-时等号成立，所以c. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 19．（1）(2)4f =-；实数a 的值为-4；（2）{2,2--. 【分析】（1）法一：利用函数为奇函数，(2)(2)4f f =--=-，代入即可求出a 的值，然后再验证函数为奇函数；法二：利用函数的奇偶性求出0x >的解析式，代入2即可求解. （2）原方程等价于2044x x x >⎧⎨-=-⎩，或2044x x x ≤⎧⎨--=-⎩，解方程组即可求解. 【详解】解：（1）法一：因为当0x ≤时，2(4)=--f x x x ，所以(2)4f -=，又因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)4f f =--=-.即424a +=-，所以4a =-，检验：当4a =-时，224,0()4,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩，当0x =时，(0)0(0)f f -==-；当0x >时，22()()440f x f x x x x x -+=-++-=； 当0x <时，22()()440f x f x x x x x -+=+--=； 从而对任意x ∈R ，()()f x f x -=-恒成立， 所以()f x 为奇函数，符合题意. 综上所述，实数a 的值为-4. 法二：设任意0x >，则0x -<， 所以22()()4()4f x x x x x -=----=-+，又因为()f x 为奇函数，所以2()()4f x f x x x -=-=-+，所以2()4f x x x =-，所以(2)4f =-.因为当0x >时，224x ax x x +=-恒成立，所以4a =-.（2）原方程等价于2044x x x >⎧⎨-=-⎩，或2044x x x ≤⎧⎨--=-⎩，解得2x =或2=--x ，即方程解集为{2,2--.20．（1）()f x 在[1,3]上单调递减，在[3,5]上单调递增；证明见解析；()[6,10]f x ∈；（2）{}1-.【分析】（1）设1215x x <，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小，从而可判断函数的单调性，然后结合函数的单调性可求函数的值域；（2）由已知函数的单调性及奇偶性可转化原不等式2(3)(3)(3)f x f x f x -=-，然后结合x 的范围可求． 【详解】解：（1）设1215x x ≤<≤，则()()()()121212129x x x x f x f x x x ---=，因为120x x -<，120x x >，所以当1213x x ≤<≤时，1290x x -<，所以()()120f x f x ->，从而()()12f x f x >， ()f x 在[1,3]上单调递减；当1235x x ≤<≤时，1290x x ->，所以()()120f x f x -<，从而()()12f x f x <， ()f x 在[3,5]上单调递增.综上所述，()f x 在[1,3]上单调递减，在[3,5]上单调递增.所以当[1,5]x ∈时，min (3)6y f ==，max max((1),(5))(1)10y f f f ===， 所以()[6,10]f x ∈.（2）由（1）的解答过程知()f x 在(0,3]上单调递减， ()f x 在[3,)+∞上单调递增，()f x 为奇函数，又因为()23(3)0f xf x +≤，所以()23(3)f x f x ≤-，当0x >时，()230f x>，(3)0f x -<，与上式矛盾，舍去；当1x =-时，成立；当1x <-时，2333x x >->，则()23(3)f xf x >-，矛盾，舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()23(3)f x f x >-，矛盾，舍去.综上所述：不等式解集为{}1-. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21．（1）7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩，212.3 1.6(0)4000C x x x =++>；（2）100km.【分析】（1）根据在3km 以内（含3km ）的路程统一按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费求得F ，设折旧费2z kx =，由路程为20km 时，折旧费为0.1元.代入求得k ，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C . （2）根据F Cy x-=，结合（1）求得y ，再根据分段函数的最值的求法求解. 【详解】（1）由题意得：7,037 2.4(3),3x F x x <≤⎧=⎨+->⎩，.即7,032.40.2,3x F x x <≤⎧=⎨->⎩. 设折旧费2z kx =，将(20,0.1)代入， 得0.1400k =，解得14000k =. 所以212.3 1.6(0)4000C x x x =++>. （2）因为F Cy x-=， 所以 4.7 1.6,2340002.50.8,34000x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当3x >时，由基本不等式，得0.80.75y ≤-=， 当且仅当100x =时取等号.当23x ≤≤时，由y 在[2,3]上单调递减， 当2x =时，得max 10.750.752000y =-<. 综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km 时，每千米的收益y 取得最大值. 【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．22．（1）2()21f x x x =-+；（2）①3b =；②22,0221,02a a b a a a ⎧≥⎪=⎨+-+<⎪⎩. 【分析】（1）由对称轴求得a ，再由最小值求得b 得解析式；（2）①先求出()f x 的最小值M ，然后由t M ≥时，()f t 的最小值是0可求得b ； ②同①先求出()f x 的最小值M ，令()f x t =，问题转化为()y f t =在[,)M +∞上的最小值是0，根据二次函数性质分类讨论求最小值后可得,a b 关系． 【详解】解：2()2f x x ax b =-+对称轴为x a =，在(,]a -∞上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.（1）因为(1)(1)f x f x +=-恒成立，所以2()2f x x ax b =-+对称轴为1x =，故1a =， 因为()f x 值域为[0,)+∞，440b ∆=-=， 解得1b =，所以2()21f x x x =-+.（2）①2()(2)4[4,)f x x b b =++-∈-+∞，设()[4,)t f x b =∈-+∞，则2(())(2)4f f x t b =++-，[4,)t b ∈-+∞.当42b -<-即2b <时，min 40y b =-≠，舍去.当42b -≥-即2b ≥时，2min (4)(2)40y f b b b =-=-+-=， 解得0b =（舍）或3b =，综上所述，3b =. ②22()()f x x a b a =-+-，记2M b a =-，设()[,)t f x M =∈+∞，2(())()()f f x f t t a M ==-+.若0a ≥，M a >时，2min ()()()0f t f M M a M ==-+>，不合题意，∴M a ≤，min ()()0f t f a M ===．即2b a =． 若0a <，当M a ≤时，min ()()0f t f a M ===，矛盾．∴M a >，()f t 在[,)t M ∈+∞上单调递增，2min ()()()0f t f M M a M ==-+=，所以22(21)0M a M a --+=，140a ∆=->，所以212a M -+=（若212a M -=，则102M a ---=<与M a >矛盾）所以2b a -=，即2b a =.综上所述，22,0()22102a a b g a a a a ⎧≥⎪==⎨+-+<⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，求二次函数的最值．在已知函数(())f f x 最小值时，解题关键是设()t f x =，先由二次函数性质求得t 的范围，同时设2M b a =-，然后再转化函数()y f t =在[,)t M ∈+∞上的最小值为0，由此再利用二次函数性质求解．通过换元，再次应用二次函数．通过转化实现了问题的解决．。
江苏省太湖高级中学2020-2021学年高一上学期期中考卷及答案
题号 答案
9 ACD
10 11 12 BD AC AD
三、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上 )
13.2
14. 充分不必要条件
15.[3,5]
16.2;2 - 2 3
四、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演
900
万
2
元, 则 t 的取值范围是
.
16. 函数 f(x) = ax − (k − 1)a−x(a > 0，a ̸= 1) 是定义在 R 上的奇函数，则实数 k 的值为
；
若 f(1) < 0 且不等式 f(x2 + tx) + f(3 − 2x) < 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是
.
(注：第一个空 2 分，第二个空 3 分.)
2020 ∼ 2021 学年度江苏省太湖高级中学第一学期期中考试试卷
高一数学
2020.11
一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
() 1. 设全集 U = {x | −1 < x < 6，x ∈ Z} ，A = {2，3，4}，B = {0，4} 则 ∁UA ∩B =
18.（12 分）已知函数 y = f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x ⩾ 0 时，函数 y = f(x) 的解析式为 f(x) = 2x + 1. (1) 求当 x < 0 时，函数 y = f(x) 的解析式; (2) 求函数 y = f(x) 在区间 [4,2] 上的值域.
2020届江苏省太湖中学高一数学上学期期中试卷(下载版)
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已知函数
f (x)
=
3x+1 − 3 3x + 1
．
判断函数 y = f (x) 的单调性并用定义证明；
若对于任意的实数 t，不等式 f (t2 − 4t) + f (t2 + k) > 0 恒成立，求实数 k 的取值范围；
设关于 x 的函数 g(x) = f (9x + m) + f (1 − 4 · 3x) 有零点，求实数 m 的取值范围．
f (x) =
log3
1 x
，
1 − 3x，
x > 0 ，若方程 f (x) − a = 0 有两个不同的解，则实数 a 的取值范围是 x0
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$ (−2，4]
% (4， + ∞)
已知函数
f (x) =
ax， (4a − 1)x + 4a，
x1 x<1
& (−∞，4]
' [−2，4)
是 (−∞， + ∞) 上的减函数，那么 a 的取值范围是
$
0，
1 4
%
1 4
，1
&
1 7
，
1 4
'
1 7
，
1 4
设一元二次方程
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某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品 x（百台），其总成本为 G(x)
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江苏省太湖高级中学2020~ 2021第一学期期中复习卷
高一数学(1)
2020.11
一.单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.若集合M={-1, 1},N={-2, 1, 0},则M∩N=()
A. {0, -1}
B. {1}
C. {0}
D. {-1, 1}
2.下面四个条件中,使“a>b”成立的必要不充分条件是()
A. a-1> b
B. a+1> b
C.|a|> |b| 11.D a b
< 3.已知函数2,1().1,11
x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则f(f(-2))=() A.-1 1.5B 1.5C - 1.3
D 4.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为221,y x =+值域为{3, 19} 的“孪生函数”共有()
A.15个
B.12个
C.9个
D.8个 5.若函数2(21)1y x a x =+-+在区间(-∞, 2]. 上是减函数,则实数a 的取值范围是()
3.[,)2
A -+∞ 3.(,]2
B -∞- 3.[,)2
C +∞ 3.[,)2
D -∞ 6.奇函数y=f(x)在(-∞, 0)上的解析式是f(x)=x(1 +x),则其在(0, +∞)上有() A.最大值14- B.最大值14
C.最小值14-
D.最小值14 7.已知(a, b)是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集,则3a+2b 的最小值是()
3.2A +
.5B +
5.2C + D.3
8.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函可能是()
21.()1A f x x =- 21.()1B f x x =+ 1.()|1|C f x x =- 1.()|||1|
D f x x =- 二.多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列各组函数中,是一个函数的有()
A.y=x 与2
x y x =
2.B y x =与2(1)y x =+
.C y =与y= |x|
D. y=x 与y = 10.若110,a b
<<则下列结论中正确的是() 22.A a b < 2.B ab b < C. a+b<0 D.|a|+|b|> |a+ b|
11.符号[x]表示不超过x 的最大整数,如[3.14]=3, [-1.6]=-2,定义函数: f(x)=x-[x], 则下
列命正确的是()
A. f(-0.8)= 0.2
B.当1≤x<2时, f(x)=x-1
C.函数y=f(x)的定义为R ,值域为[0, 1)
D.函数y= f(x)是增函数､奇函数 12.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公
共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合成“偏食”.对于集合1{1,,1},2
A =- 2{|1,0}
B x ax a ==≥,若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”,则实数a 的取值可以是()
A.0
B.1
C.2
D.4
三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 命题“2210x x x ∃∈-+>，R ”的否定形式是______.
14. 函数1y x
=的定义域为_________. 15.若函数(3)3,7(),7a x x f x ax x --≤⎧=⎨>⎩
是定义在R 上的增函数,则实数a 的取值范围是___. 16.已知y= f(x)是奇函数,y= g(x)是偶函数,它们的定义域为[-3, 3],且它们在x ∈[0, 3] 上的图象如图所示,则函数y= f(x)·g(x) 是______ (填“奇函数､偶函数､既是奇函数又是偶函数､既不是奇函数又不是偶函数”中的一个);不等式()0()f x g x <的解集是_________.
(注:第一个空2分,第二个空3分.)
四.解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. ( 10分)已知全集U=R ,集合A={x|a-1≤2a+3}, B={x|-2≤x≤4}.
(1) 当a=2时,求A ∪B 和();U A B ⋂
(2)若A∩B= A,求实数a 的取值范围.
18. (12 分)已知二次函数y= f(x)的最小为1,且f(0)=f(2)=3.
(1) 求函数y= f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)在区间[3a, a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.
19. (12分)已知x, y 是正实数.
(1) 若x<3,求43y x x =
+-的最大值; (2) 若x+y=4,求
13x y +的最小值.
20. (12 分)已知函数2()4ax b f x x -=-是定义在(-2, 2)上的奇函数,且1(1).3
f = (1)确定函数y= f(x)的解析式;
(2)判断并证明函数y= f(x)的单调性.
21. (12分)十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了更好的服务
于人民,派调查组到某农村去考察和指导工作该地区有200户农民,且都从事水果种植,据了
解平均每户的年收入为3万元，为了调整产业结构,调查组和当地政府回定动员部分农民从事水果加工据估计若能动员*()x x ∈N 户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收人有望提高4x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为33()(0)50
x a a ->元. (1) 若动员x 户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入求的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这200户农民中从事水果加的农民的总收入始终不高于从事水果种
植的农民的总收入,求实数a 的最大值.
22. (12 分)已知函数4(),f x x x x =-
∈[1, 2]. (1)求函数y= f(x)的值域;
(2) 设22164()2(),F x x a x x x x
=+--∈[1, 2], a ∈R 求函数y= F(x)的最小值g(a). (3) 对(2)中的g(a),若不式2()24g a a at >-++对于意的a ∈(-3, 0) 时恒成立,求实数t 的
取值范围.。