第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优

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4

全等三角形的 经典模型（二）

三角形11级

特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级

全等三角形的经典模型（二）

O

F

E

C B

A A F C

O

B

E

D

H

A

B

C

D

O E

O G

F

E C

B A

“手拉手”数学模型：

⑴ ⑵ ⑶

【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，

求证：BF =CE 并求出∠EOB 的度数.

【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形

∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC

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例题精讲

题型一：“手拉手”模型

3

N

M C B A B N C

A

B

C

M

N

∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△ ∴BF =EC ∠=∠AEC ABF

又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB

【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出

∠DOH 的度数.

【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△

∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD

【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．

⑴ 求证：AN BM =.

⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；

⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．

【分析】 这是一个固定

后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．

【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形

∴AC CM =，BC CN = 60ACM BCN ∠=∠=° ∴∠=∠ACN MCB

在ACN △和MCB △中

典题精练

O

H

G D

F

E

C

B A

D

N

M

C

B

A

=⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =

⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：

⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．

证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．

⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形． 证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．

【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .

求证：AE=AF .

543

2

1

A B

C

D

E F

【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °

90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C

43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，

BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠ 45∴∠=∠ ∴=AE AF

【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于

G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ．

典题精练

题型二：双垂+角平分线模型

5

E

N

M

D C

B

A N

M

D C

B

A 求证：AF CG =．

【分析】 要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形

全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．

【解析】 作EH AB ⊥于H

∵12∠=∠，90ACB ∠=°

∴EC EH =（角平分线定理） 又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠

∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =

又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠

∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，

∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =

【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交

线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.

【解析】 延长ND 到E 使DE BM =

∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB

在ADE △和ABM △ =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△

∴AM =AE ∠=∠BAM DAE

典题精练

题型三：半角模型

54321H

G F

E D

C

B

A

54321G F

E D

C

B

A