(完整版)精心整理图像的傅里叶变换

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图像傅里叶变换详解

图像傅里叶变换冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。

棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。

傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。

当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。

同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。

比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。

1.frequencyfrequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低……2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。

（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。

）3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。

=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。

傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。

如下图所示。

DC term直流信号对应于频率为0的点，表示整幅图像的平均亮度，如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0，可推出灰度图中，正弦曲线在正负值之间交替变化，但是由于灰度图中没有负值，所以所有的真实图像都有一个正的DC term，如上图所示。

常用傅里叶变换表

常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它可以将一个时域信号转换为频域信号，从而帮助我们更好地理解和分析信号的特征。

为了方便使用，人们总结出了一些常用的傅里叶变换对，形成了常用傅里叶变换表。

傅里叶变换的基本思想是将一个复杂的信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。

这就像是把一道混合了各种食材的大菜分解成各种单一的原料，让我们能够更清楚地了解每一种成分的特性。

首先，让我们来看看单位冲激函数δ(t) 的傅里叶变换。

单位冲激函数在 t ＝ 0 处取值为无穷大，在其他时刻取值为 0，其积分值为 1。

它的傅里叶变换是 1，也就是说，在频域中，它是一个常数。

这一结果从某种程度上反映了单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的强度相同。

再来看常数信号 c 的傅里叶变换。

假设常数信号在整个时间轴上都取值为 c，那么它的傅里叶变换是2πcδ(ω)，其中δ(ω) 是频域中的单位冲激函数。

这意味着常数信号在频域中只在ω ＝ 0 处有值，其他频率处的值均为 0。

接着是指数函数 e^（at)u(t)（其中 a ＞ 0，u(t) 是单位阶跃函数）的傅里叶变换。

它的傅里叶变换是 1/（a ＋jω)。

这个变换结果表明，指数函数的频率特性随着 a 的增大而衰减得更快。

对于正弦函数sin(ω₀t)，它的傅里叶变换是πjδ(ω ω₀) jδ(ω ＋ω₀)／2 。

而余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀)／2 。

这两个结果反映了正弦和余弦函数在频域中只在±ω₀处有值，体现了它们的频率单一性。

矩形脉冲函数 rect(t/T)（在 T/2 到 T/2 之间取值为 1，其他地方取值为 0）的傅里叶变换是T sinc(ωT/2)，其中 sinc(x) ＝ sin(x) ／ x 。

这个变换结果展示了矩形脉冲的频谱是一个 sinc 函数的形状，其主瓣宽度与脉冲宽度 T 成反比。

图像变换傅立叶频谱图

相位角
(u, v) arctan I (u, v) R(u, v)
二维离散傅里叶变换
1）定义
u, v 0,1,N 1 F(u, v)
1
M 1 N 1
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy/ N )
MN x0 y0
2）逆傅立叶变换
M 1 N 1

f (x) F (u)e j2uxdu
3）傅立叶变换特征参数

f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
F(u,v) R(u,v) jI(u,v)
频谱/模
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
能量谱/功率谱 P(u,v) F(u,v) 2 R2(u,v) I 2(u,v)
图像变换
图像变换主要有：傅立叶变换、主成份变换、缨帽变换、代数运算、彩色变换
其中傅立叶（Fourier）变换的应用非常是广泛的，非常有名的变换之一。
2、傅立叶变换
傅立叶（Fourier），法国数学及物理学家，傅立叶级数（三角级数）创始人。
1801年任伊泽尔省地方长官，1817年当选科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
?一维二维连续傅里叶变换一维二维连续傅里叶变换fxy变换到fuv1定义定义??????dxexfufuxj?2dydxeyxfvufvyuxj???????2?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换?????dueufxfuxj?2dvduevufyxfvyuxj??????2?3傅立叶变换特征参数傅立叶变换特征参数vujivurvuf??频谱频谱模模22vuivurvuf??能量谱能量谱功率谱功率谱222vuivurvufvup???相位角相位角arctanvurvuivu???二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换1定义定义???0x??????11021mnynvymuxjeyxfmnvuf?2逆傅立叶变换逆傅立叶变换???0x??????1102mnynvymuxjevufyxf?110??nvu?110??nyx?fuv为fxy的频谱题西林壁题西林壁苏轼横看成岭侧成峰远近高低各不同同远近高低各不不识庐山真面目只缘身在此山中?3频率域图像频谱频率域图像频谱或称为傅立叶谱原图频域图傅立叶变换原图傅立叶变换后的频域图对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度对图像信号而言空间频率是指单位长度内亮度也就是是灰度也就是是灰度作周期性变化的次数

(完整版)傅里叶变换分析

第一章信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。

2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。

例如：单边指数信号（在t =0点时，不连续），单边正弦信号（在t =0时的一阶导函数不连续）。

较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。

3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。

它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。

其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。

5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。

即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。

当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时，输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。

其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。

典型信号的傅里叶变换

f
t 非周周期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t

傅里叶变换常用公式大全

傅里叶变换常用公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。

在信号处理、图像处理和通信领域广泛应用。

本文将介绍一些傅里叶变换中常用的公式，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。

1. 傅里叶变换的定义公式傅里叶变换的定义公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的傅里叶变换。

2. 傅里叶变换的逆变换公式傅里叶变换的逆变换公式如下：f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)]dω其中f(t)表示频域信号F(ω)的逆变换。

3. 傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式将一个周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。

公式如下：f(t) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nω₀t) + bₙ * sin(nω₀t)]其中a₀, aₙ, bₙ为系数，n为正整数，ω₀为基本角频率。

4. 傅里叶级数系数计算公式傅里叶级数系数的计算公式如下：a₀ = 1/T₀ * ∫[f(t)]dtaₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * cos(nω₀t)]dtbₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * sin(nω₀t)]dt其中T₀为周期。

5. 傅里叶变换的线性性质公式傅里叶变换具有线性性质，公式如下：F(a * f(t) + b * g(t)) = a * F(f(t)) + b * F(g(t))其中a和b为常数。

6. 傅里叶变换的频移性质公式傅里叶变换具有频移性质，公式如下：F(f(t - t₀)) = e^(-jωt₀) * F(f(t))其中t₀为时间偏移量。

7. 傅里叶变换的频率缩放公式傅里叶变换具有频率缩放性质，公式如下：F(f(a * t)) = (1/|a|) * F(f(t/a))其中a为常数。

8. 傅里叶变换的频域微分公式傅里叶变换的频域微分公式如下：F(d/dt[f(t)]) = jωF(f(t))其中d/dt表示对时间t的导数。

图像处理1--傅里叶变换（FourierTransform）

图像处理1--傅⾥叶变换（FourierTransform）楼下⼀个男⼈病得要死，那间壁的⼀家唱着留声机；对⾯是弄孩⼦。

楼上有两⼈狂笑；还有打牌声。

河中的船上有⼥⼈哭着她死去的母亲。

⼈类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。

OpenCV是⼀个基于BSD许可（开源）发⾏的跨平台计算机视觉库，可以运⾏在Linux、Windows、Android和Mac OS操作系统上。

它轻量级⽽且⾼效——由⼀系列 C 函数和少量 C++ 类，同时提供了Python、Ruby、MATLAB等语⾔的接⼝，实现了和计算机视觉⽅⾯的很多通⽤算法。

OpenCV⽤C++语⾔编写，它的主要接⼝也是C++语⾔，但是依然保留了⼤量的C语⾔。

该库也有⼤量的Python、Java andMATLAB/OCTAVE（版本2.5）的接⼝。

这些语⾔的API接⼝函数可以通过在线获得。

如今也提供对于C#、Ch、Ruby,GO的⽀持。

所有新的开发和算法都是⽤C++接⼝。

⼀个使⽤CUDA的GPU接⼝也于2010年9⽉开始实现。

图像的空间域滤波：空间域滤波，空间域滤波就是⽤各种模板直接与图像进⾏卷积运算，实现对图像的处理，这种⽅法直接对图像空间操作，操作简单，所以也是空间域滤波。

频域滤波说到底最终可能是和空间域滤波实现相同的功能，⽐如实现图像的轮廓提取，在空间域滤波中我们使⽤⼀个拉普拉斯模板就可以提取，⽽在频域内，我们使⽤⼀个⾼通滤波模板（因为轮廓在频域内属于⾼频信号），可以实现轮廓的提取，后⾯也会把拉普拉斯模板频域化，会发现拉普拉斯其实在频域来讲就是⼀个⾼通滤波器。

既然是频域滤波就涉及到把图像⾸先变到频域内，那么把图像变到频域内的⽅法就是傅⾥叶变换。

关于傅⾥叶变换，感觉真是个伟⼤的发明，尤其是其在信号领域的应⽤。

⾼通滤波器，⼜称低截⽌滤波器、低阻滤波器，允许⾼于某⼀截频的频率通过，⽽⼤⼤衰减较低频率的⼀种滤波器。

它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频⼲扰。

常用傅里叶变换表

常用傅里叶变换表在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种极其重要的工具，它能够将复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和分析各种信号的特性。

而常用傅里叶变换表则为我们提供了一系列常见函数的傅里叶变换结果，方便我们在实际应用中快速查找和使用。

首先，让我们来了解一下什么是傅里叶变换。

简单来说，傅里叶变换是一种数学变换，它将一个函数从时域（以时间为变量）转换到频域（以频率为变量）。

通过这种转换，我们可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦波的组合，从而揭示出信号中所包含的频率成分。

在常用傅里叶变换表中，有一些基本的函数及其对应的傅里叶变换值得我们熟悉。

单位冲激函数（也称为狄拉克δ函数）是一个非常特殊的函数。

它在某一时刻有一个无限大的值，而在其他时刻的值都为零。

其傅里叶变换是常数 1。

这意味着单位冲激函数包含了所有频率的成分，且各个频率成分的幅度相同。

单位阶跃函数，它在 t ＜ 0 时取值为 0，在t ≥ 0 时取值为 1。

其傅里叶变换是 1 ／（jω) ＋πδ(ω) ，其中 j 是虚数单位，ω 是角频率，δ(ω) 是狄拉克δ函数。

正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换是jπδ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。

这表明正弦函数只包含两个频率成分，即±ω₀。

余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换是πδ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。

指数函数 e^（jω₀t) 的傅里叶变换是2πδ(ω ω₀) 。

矩形脉冲函数，即在某个时间段内取值为 1，其他时间段为 0 的函数，其傅里叶变换是一个 sinc 函数。

这些常见函数的傅里叶变换在信号处理、通信、控制工程等领域有着广泛的应用。

例如，在通信系统中，我们需要对信号进行调制和解调。

调制过程可以看作是将原始信号与一个高频载波信号相乘，而解调过程则需要通过傅里叶变换将调制后的信号转换到频域，然后提取出原始信号的信息。

在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、增强和压缩等操作。

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。

1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。

对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱：相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。

正变换逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。

按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。

傅里叶变换概念

傅里叶变换概念傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学技术，用于将一个函数从时域（时间域）表示转换为频域表示。

傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域，具有重要的理论和实际意义。

傅里叶变换的概念可以通过将一个信号分解成多个正弦波和余弦波的叠加来解释。

任何复杂的周期信号都可以被视为多个不同频率的正弦波的叠加。

傅里叶变换就是将这个信号从时域分解成它不同频率的正弦波和余弦波分量的过程。

傅里叶变换的数学表示如下：F（ω）= ∫ f(t) * e^(-jωt) dt其中，F（ω）表示频域函数，f(t)表示时域函数，e^(-jωt)是欧拉公式中的复指数函数，ω是变量频率。

根据傅里叶变换的定义，我们可以将一个复杂的时域信号分解成多个频率分量，并且这些分量对应于频域函数F（ω）的不同频率部分。

傅里叶变换提供了一种量化信号在频域上的能力，揭示了信号的频谱特征，可以从中提取出信号中的频率、幅度、相位等信息。

傅里叶变换的应用非常广泛。

在信号处理领域，傅里叶变换常用于滤波、降噪、频谱分析等任务。

例如，在音频处理中，可以使用傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，通过分析频谱可以得知声音中包含的不同音调的频率和强度。

在图像处理领域，傅里叶变换可以提供图像的频域信息，用于图像增强、去噪、压缩等任务。

通过傅里叶变换，我们可以将一个图像分解成不同空间频率上的分量，从而更好地理解图像的特征和结构。

在通信系统中，傅里叶变换常用于信号调制、解调、信道估计等任务，以提高通信信号的传输质量和效率。

此外，傅里叶变换还有着重要的数学和物理意义。

傅里叶变换将一个函数从时域转换到频域，可视化了函数在不同频率上的分布情况。

通过傅里叶变换，我们可以将一个函数中的周期性模式展示出来，并且可以通过重建时域函数来还原原始信号。

为了实现傅里叶变换，通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法。

FFT算法通过利用对称性质和迭代计算来大大加快傅里叶变换的计算速度，使得实时处理和大规模数据分析成为可能。

傅里叶变换知识点总结

傅里叶变换知识点总结本文将从傅里叶级数、傅里叶变换和离散傅里叶变换三个方面来介绍傅里叶变换的知识点，并且着重介绍它们的原理、性质和应用。

一、傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。

它可以将任意周期为T的函数f(x)分解为如下形式的级数：f(x)=a0/2+Σ(an*cos(2πnfx / T) + bn*sin(2πnfx / T))其中an和bn是傅里叶系数，f为频率。

2. 傅里叶级数的性质（1）奇偶性：偶函数的傅里叶级数只包含余弦项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦项。

（2）傅里叶系数：通过欧拉公式和傅里叶系数的计算公式可以得到an和bn。

（3）傅里叶级数的收敛性: 傅里叶级数在满足柯西收敛条件的情况下可以收敛到原函数。

二、傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是将信号从时间域转换到频率域的一种数学工具。

对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω)=∫f(t)e^(-jwt)dt其中ω为频率，j为虚数单位。

2. 傅里叶变换的性质（1）线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有F(at+bs)=aF(t)+bF(s)。

（2）时移性质和频移性质：时域的时移对应频域的频移，频域的频移对应时域的时移。

（3）卷积定理：傅里叶变换后的两个函数的乘积等于它们的傅里叶变换之卷积。

3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是将频域的信号反变换回时域的一种操作，其定义如下：f(t)=∫F(ω)e^(jwt)dω / 2π其中F(ω)为频域信号，f(t)为时域信号。

三、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的定义对于离散序列x[n]，其离散傅里叶变换X[k]的定义如下：X[k]=Σx[n]e^(-j2πnk / N)其中N为序列长度。

2. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效计算离散傅里叶变换的算法，它能够在O(NlogN)的时间复杂度内完成计算，广泛应用于数字信号处理和通信系统中。

傅里叶变换(fft)

傅里叶变换(fft)
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具。

它是一种将信号分解成不同频率成分的方法，可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像、雷达信号等。

傅里叶变换的基本思想是，任何信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加。

通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率成分的正弦波，并计算它们在信号中的相对强度。

这些频率成分可以用幅度和相位来描述，它们可以用来分析信号的频谱特性，如频率分布、谐波含量、峰值位置等。

傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。

FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，其中N是信号的长度。

FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域。

除了FFT之外，还有其他的傅里叶变换算法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）等。

这些算法在不同的应用场景中有不同的优缺点，需要根据具体的需求进行选择。

数字图像处理-傅里叶变换

|F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2 • 相位
(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) • 能量谱: E=|F(u,v)|2
11
e j 2 xu yv/ N
12
F ( x)
二维傅立叶变换
•傅立叶谱：
|F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
1
x N 1 y N 1
f ( x, y)e j 2 (uxvy ) / N
N x0 y0
f ( x, y)
1
u N 1 v N 1
F (u, v)e j 2 (uxvy ) / N
N u0 v0
• 变换对 f ( x, y ) F (u, v)
10
二维傅立叶变换
• 傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej(u,v) • 傅立叶谱：
f ( , 0 ) F (, 0 )
34
傅立叶变换性质 6 线性
• 如果f1(x,y)F1(u,v), f2(x,y)F2(u,v),则
af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v)
35
傅立叶变换性质 7 比例性
• 如果f(x,y)F(u,v),则
f (ax,by) 1 F (u , v ) | a || b | a b
30
傅立叶变换性质 4 共轭对称性
• 如果f(x,y)F(u,v), F*(-u,-v)是共轭复数，则 –F(u,v)= F*(-u,-v) –|F(u,v)|= |F*(-u,-v)|
31
傅立叶变换性质 5 旋转
32
33
• 设f(x,y)F(u,v),

傅里叶变换fft原理

傅里叶变换fft原理傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种重要的数学工具，用于将一个信号在时域和频域之间进行转换。

它是由法国数学家傅里叶提出的，用于分析周期性信号的频谱分析。

傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

傅里叶变换的原理是将一个信号分解为一系列基本频率的正弦和余弦函数的叠加。

任何一个周期性信号都可以表示为多个正弦和余弦函数的叠加。

而傅里叶变换则是将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而得到信号在频域上的频谱信息。

傅里叶变换的计算过程可以使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）实现。

DFT是一种将离散信号转换为离散频谱的数学算法。

然而，传统的DFT计算复杂度较高，需要进行大量的乘法和加法运算，计算速度较慢。

为了提高计算效率，人们提出了快速傅里叶变换（FFT）算法。

FFT算法是一种基于DFT的快速计算方法，可以大大提高计算速度。

它利用信号的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，其中N为信号的长度。

通过将信号分解为不同长度的子序列，并利用旋转因子的性质，FFT算法可以将DFT的计算过程有效地分解为多个较小规模的DFT计算，从而实现快速的频谱分析。

傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。

通过将信号转换为频域表示，可以对信号的频谱特性进行分析。

例如，在音频信号处理中，可以通过傅里叶变换将声音信号转换为频谱图，从而实现音频的频率分析和音乐合成。

在图像处理中，可以利用傅里叶变换对图像进行频谱分析，实现图像的滤波、去噪等操作。

在通信领域，傅里叶变换也被广泛应用于调制解调、信号编码等技术中。

除了傅里叶变换，还有一种逆变换称为傅里叶反变换（Inverse Fourier Transform，简称IFT）。

傅里叶反变换可以将一个信号从频域转换回时域。

通过将信号在频域上的频谱信息反变换回时域，可以恢复原始信号的波形。

图像傅里叶变换

空间域进行
A
18
傅里叶变换定义
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为
其中，j
F(u) f(x)ej2uxdx
1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x) F(u)ej2uxdu
A
19
傅里叶变换定义
A
20
A
21
A
22
A
23
A
A
46
一幅二维图像的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6. 分离性
F u,v
1 M 1 j2ux/M e
1 N1
f x, y e j2vy/ N
M
x 0
N y 0
1 M
M 1 j2ux/M
x 0e
F x,v
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。
Fu,v Fu,v
傅里叶变换的频率谱是对称的
Fu,v Fu,v
A
34
A
35
傅里叶变换
A
36
傅里叶变换
A
37
傅里叶变换
二维傅里叶变换的性质
1. 平移性质 2. 分配律
3. 尺度变换（缩放）
4. 旋转性
5. 周期性和共轭对称性
6. 平均值
7. 可分性
8. 卷积
A
38Βιβλιοθήκη 9. 相关性傅里叶变换
✓ 相角或相位谱为
Iu,v
u,varctanRu,v
A
31
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示

傅里叶变换(FFT)详解

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

(完整版)精心整理图像的傅里叶变换

? 离散傅里叶变换及其反变换总存在。 ? 用欧拉公式得 e j? ? cos? ? j sin ?
N ?1
F (u) ? ? f (x)[cos 2?ux / N ? j sin 2?ux / N] x? 0
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；
u 值决定了变换的频率成份，因此， F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为 FT 的频率分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份 ”相对应。
（a）
（b）
?1 1 1 1 ?? f (0)?
F (u) ?
1 4
??1 ?1
?j ?1
?1 1
j
?? ??
f
(1)
? ?
? 1?? f (2)?
??1
j
?1
?
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?? ??
f
(3)??
yj
-1
1 x
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
N ?1
? F (u) ? f (x)e? j2?ux/ N x? 0
?F(u)的反变换的反变换 :
? f (x) ?
1
N ?1
F (u)e j 2?ux/ N
N x? 0
计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值
相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复此过程，得到全部完整的FT。
图像的傅里叶变换
Fourier Transformation For Image
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。

傅里叶变换详细解释

傅里叶变换详细解释
傅里叶变换是数学中的一种重要分析工具，用于将一个函数表示为一系列复指数的加权和。

它得名于法国数学家约瑟夫·傅
里叶。

简单来说，傅里叶变换可以将一个函数或信号从时域（即时间域）转换到频域（即频率域），从而揭示出了信号中不同频率分量的强弱情况。

傅里叶变换的数学表示如下：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−jωt) dt
其中，F(ω)表示频率为ω的复指数分量的权重，f(t)表示输入
函数或信号，e^(−jωt)表示复指数函数。

傅里叶变换将输入函
数或信号f(t)与复指数函数相乘，并对结果进行积分，得到频
率域的表示。

傅里叶变换可以将任意复数函数f(t)分解为多个复指数函数的
加权和，每个复指数函数的频率和权重由变换结果F(ω)确定。

所以，傅里叶变换可以将时域的函数转换为频域的复数表示。

傅里叶变换的应用非常广泛，尤其在信号处理、图像处理和通信领域中发挥着重要作用。

它可以帮助我们理解和分析信号的频域特性，如频率分量的强度、相位关系和频谱形状。

此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波、频率分析、谱估计、图像压缩等方面。

总之，傅里叶变换通过将函数或信号从时域转换到频域，使我
们能够更好地理解和处理信号的频率特性，并在许多应用中发挥着重要的作用。

傅里叶分析教程(完整版)

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

转载的同学请保留上面这句话，谢谢。

如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。