实数的完备性

n 1
10 . lg 0.9
(1) n 2 ( 1) n 3 ( 1) n p 1 a n | 2n 1 2n 3 2( n p ) 1
1 1 (1) p1 2n 1 2n 3 2(n p) 1
当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号 , 有 1 1 1 2n 1 2 n 3 2( n p ) 1 1 1 1 1 2 n 1 2n 3 2n 5 2 n 7 1 1 2(n p) 3 2(n p) 1 0 又 1 1 1 2 n 1 2n 3 2( n p ) 1 1 1 1 2 n 1 2n 3 2n 5
1. Cauchy 收敛原理: Th 4 数列 { an } 收敛 { an } 是 Cauchy 列.
( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收 敛原理为依据，利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五. 六. 1. 致密性定理:
Heine–Borel 有限复盖定理:
f ( x ) C[ a , b ] ,

在 [ a , b ] 上 f (x ) O ( 1 ) .
( 用区间套定理 ). 反证法. ( 用列紧性 ). 反证法. ( 用有限复盖定理 ).
最值性: f ( x ) C[ a , b ] , f (x ) 在 [ a , b ] 上取得最大值和
第七章 实数的完备性 数学分析
教学目标：
1 理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则，有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理 、单调有界定理及其相互推 证、应用。 2 培养严密的逻辑推理能力
第七章
§1 一
实数的完备性
关于实数集完备性的基本定理
区间套定理与柯西收敛准则 区间套: 设 { [ a n , bn ] } 是一闭区间序列. 若满足条件
定理 7.2 ( 2. Th 6
Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. 每一个有界无穷点集必有聚点.
1. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列
定义 1 ⅰ）
对 n , 有 [ an 1 , bn 1 ] [ an , bn ] , 即
a n a n 1 bn 1 bn , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） bn a n 0, ( n ) . 即当 n 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套,
下证 sup E .用反证法验证 的上界性和最小性. 二. “Ⅱ” 的证明:
1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ）
定理 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ： 定理 数列 { an } 收敛 { an } 是 Cauchy 列. 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子
复盖: 先介绍区间族 G { I , } .
定义( 复盖 )
设 E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对
x E , , x I , 则称区间族 G 复盖了 E , 或称区间族 G 是数集 E 的一个复盖. 记为 E I , .
证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 线进行: 证明按以下三条路
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy 收 敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套 定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明 过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
定理
设 { [ a n , bn ] } 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 n
有 [ an , bn ] . 推论 1 对 0 , 推论 2 则有 3. 若 [ an , bn ] 是区间套 { [ a n , bn ] } 确定的公共点, 则 N , 当 n N 时, 总有 [ an , bn ] ( , ) .
n p
0.9 |
0.9 n 1 0.9 n p 0.9 n 1 0.9 n p 0.9 n 1 10 0.9 n 1 ; 1 0.9 lg

对 0 ，为使 | x n p xn | ，易见只要 于是取 N . ⑵ | a n p
a1 不是 E 的上界,
[ a2 , b2 ] , 使 a 2 不是 E 的上界,
b2 为 E 的上界. 依此得闭区间列
{ [ a n , bn ] } . 验证 { bn } 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则,{ bn } 收敛; 同理 { an } 收敛. 易见 bn ↘. 设 bn ↘ .有 a n ↗ .

若每个 I 都是开区间, 记为
则称区间族 G 是开区间族. 开区间族常
M { ( , ) , , } . 定义( 开复盖 ) 复盖, 数集 E 的一个开区间族复盖称为 E 的一个开
简称为 E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.
x 3x , ), x ( 0 , 1 ) } 复盖了区间 ( 0 , 1 ) , 2 2 但不能
,
1 1 1 2( n p) 5 2(n p) 3 2( n p ) 1 1 . 2n 1
当 p 为奇数时, 1 1 1 2n 1 2n 3 2( n p ) 1 1 1 1 1 2( n p) 5 2(n p) 3 2 n 1 2n 3 1 0 2( n p ) 1 1 1 1 2n 1 2n 3 2( n p ) 1
列 验证收敛子列的极限即为 { an } 的极限.
“Ⅲ” 的证明: 1. 2. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:
§3 一. 有界性: 命题 1 证法 一 证法 二 证法 三 二.
闭区间上连续函数性质的证明
( 1 ) n 2 { [1 , 1 ]} 、 n n {( 0, 1 ]} 和 n {[ 1 1 , 1 ] } 都不是. n n
一
区间套定理
定理 7.1(区间套定理) 设 { [ a n , bn ] } 是一闭区间套. 则在实数系 中存在唯一的点 , 使对 n 有 [ an , bn ] . 简言之, 区间套必有 唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设 E 是无穷点集. 若在点 (未必属于 E )的任何邻域内 有 E 的无穷多个点, 则称点 为 E 的一个聚点. 1 数集 E = { } 有唯一聚点 0 , 但 0 E ; n 开区间 ( 0 , 1 ) 的全体聚点之集是闭区间 [ 0 , 1 ] ;
命题 2
最小值.( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 )
介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”
§3 闭区间上连续函数性质的证明 一. 有界性: 命题 1 证法 一 证法 二 证法 三 f ( x ) C[ a , b ] , 在 [ a , b ] 上 f (x ) O( 1 ) .
若 [ an , bn ] 是区间套 { [ a n , bn ] } 确定的公共点, a n ↗ , bn ↘ , ( n ) .
用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”: 数列 { an } 收敛 { an } 是 Cauchy 列.
Th 4 引理
Cauchy 列是有界列.
亦称为 Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ ⑵ x n 0.9 sin 0.9 0.9 2 sin 0.9 0.9 n sin n 0.9 . 1 1 ( 1 ) n 1 an 1 . 3 5 2n 1
解
⑴
| x n p x n | | 0.9 n 1 sin n 1 0.9 0.9 n p sin
Cauchy 列的否定:
例1 证 1 x n . 验证数列 {x n } 不是 Cauchy 列. k 1 k 对 n , 取 p n , 有
n
| x n p xn | 因此, 取 0 1 ,„„ 2
1 1 1 n 1 . n 1 n 2 nn 2n 2
( 证 )
证明: ( 只证充分性 ) 直观. 4． Th 1 界 . 证 数集 .
现采用三等分的方法证明, 该证法比较
用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ： 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确
（只证“非空有上界数集必有上确界”）设 E 为非空有上界 当 E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 E 为无限集, b1 为 E 的上界. 对分区间 [ a1 , b1 ] , 取 取
1 1 1 1 1 2( n p ) 3 2( n p ) 1 2n 1 2n 3 2n 5 1 2n 1 综上 , 对任何自然数 p , 有