商的变化规律
《商的变化规律》
旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。
除法商的变化规律
除法商的变化规律在数学中，除法是一种基本的算术运算，而除法商则是除法运算的结果。
本文将探讨除法商的变化规律，主要包含以下内容：1.被除数不变，除数从左到右逐渐变大，商从右到左逐渐变小。
当被除数保持不变时，如果除数从左到右逐渐变大，那么商将如何变化呢？此时，商的值将逐渐变小，直至变成0。
这是因为随着除数的增大，能够分成的份数越来越多，每一份的值也就越来越小，因此商将逐渐变小。
2.除数不变，被除数从左到右逐渐变大，商从左到右逐渐变大。
接下来，如果除数保持不变，被除数从左到右逐渐变大，那么商将如何变化呢？此时，商的值将逐渐变大，直至变成无穷大。
这是因为随着被除数的增大，每一份的值也越来越大，因此商将逐渐变大。
3.商随被除数、除数的变化而同步变化。
接下来，我们考虑被除数和除数同时变化的情况。
此时，商的值将随着被除数和除数的变化而变化，且变化规律与前两种情况相同。
例如，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数，商将保持不变；如果被除数和除数同时加或减同一个非零数，商也将保持不变。
4.当被除数、除数同时乘以或除以同一个非零数时，商不发生任何变化。
考虑被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数的情况。
此时，无论这个非零数如何变化，商都将保持不变。
这是因为乘以或除以同一个非零数不会改变两个数的相对大小关系，因此商值也不会发生变化。
5.当被除数、除数同时加或减同一个非零数时，商也不发生任何变化。
最后，我们考虑被除数和除数同时加或减同一个非零数的情况。
此时，无论这个非零数如何变化，商也将保持不变。
这是因为同时加或减同一个非零数不会改变两个数的相对大小关系，因此商值也不会发生变化。
综上所述，除法商的变化规律可以被归纳为以上五种情况。
理解这些规律有助于更好地掌握数学中关于除法运算的知识。
6第六讲 商的变化规律
商的变化规律
商的变化规律 1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变， 则商就乘几。 2、两个数相除，如果被除数除以几，除数不变， 则商就除以几。 3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几， 则商就除以几 4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几， 则商就乘几。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除 数不变，则商就乘几。
3×120=360 答：商是7，余数是360。
答：商是8，余数是6。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变 ，则商就乘几。
练习二
1、两个数相除，商是450，如果被 除数乘5，除数不变。新的商是多少?
450×5=2250 答：新的商是2250。
3、两个数相除，商是27，如果被 除数乘12，除数乘6。新的商是多 少?
12÷6=2
2、两个数相除，商是450，如果被除 数不变，除数乘3，新的商是多少?
450÷3=150 答：新的商是150。
拓 展3 在除法算式128÷4中，
如果被除数乘3，除数乘6。商有
什么变化?
分析与解答：128÷4=32，被除数
乘3，即128×3，除数乘6，即4×6，
商为： （128×3）÷(4×6)
32×3÷6
=384÷24
=96÷6
=16
=16
128÷4=32 也就是 6÷3=2
32÷2=16 答：商就除以2，由原来的32变为16。
拓 展4 在除法算式144÷12中，
拓 展5 在除法算式128÷4中，
被除数乘6，除数除以3。商有什
如果被除数除以4，除数乘2。商
么变化?
有什么变化?
分析与解答：144÷12=12，在除法
分析与解答：128÷4=32，被除数
商的变化规律及应用
1
农耕时代
人们通过交换农产品和手工制品进行商业活动。
2
工业革命
机械化生产促进商业发展，出现了现代工厂和大规模生产。
3
数字时代
互联网技术催生了电子商务，改变了商业模式和消费行为。
商的周期性变化规律
商业活动会随着经济周期波动，如经济扩张阶段下商业活动增加，而在经济 衰退阶段商业活动减少。
商的差异，取决于当地经济发展水平、文化背景和市 场需求。
商的产业链变化规律
商业活动涵盖了各个产业环节，包括原材料供应、生产、分销和销售。产业链的变化会影响商业模式和竞争力。
商的市场竞争变化规律
市场竞争是商的核心。竞争可以推动创新改进，同时也会对企业经营产生影响。
商的消费者需求变化规律
商的变化规律及应用
本次演讲旨在探讨商的变化规律及应用领域。通过深入剖析商的定义、历史 发展、周期性变化、地区性变化、产业链变化等，揭示商的多个方面对我们 生活和经济的影响。
商的定义及种类
商是一种社会经济活动，涉及商品或服务的买卖交易。在不同领域中，商可以分为零售商、批发商、制造商等 多种类型。
商的历史发展变化
商和积的变化规律
1、商不变的性质：
被除数和除数同时扩大或缩小（乘以或除以）相同的数 （0除外），商不变。
2、商的变化规律： 被除数÷除数=商
a、除数（老二）不变，被除数（老大）扩大或缩小几倍， 商也跟着扩大或者缩小几倍。
b、被除数（老大）不变，除数（老二）扩大或缩小几倍， 商反而缩小或扩大几倍。
C、如果被除数和除数都变化，则根据具体情况判断商的 变化情况。
3
根据125×48=6000，直接写出下面各式的积。
1、1.25×4.8=
2、1.25×0.048=3、0.125×4.8=4、0.125×0.48=
精选课件
4
根据47×14=658，直接写出下面各式的积。
0.47×14=
4.7×14=
47×0.14=
0.47×0.14=
根据522÷18=29
52.2÷1.8=
5.22÷1.8=
52.2÷0.18=
52.2÷18=
522÷0.18=
0.522÷0.18=
精选课件
5
精选课件
6
精选课件
7
精选课件
8
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
精选课件
1
二、积的规律
1、积不变的规律：
一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数缩小或者 扩大相同的倍数，积不变。
2、积的变化规律:（因数×因数=积）
a、一个因数不变，另一个因数扩大或者缩小几倍， 积也跟着扩大或者缩小相同的倍数。
b、一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，则 积扩大m×n倍。
精选课件
2
精选课件
商的变化规律
商的变化规律商是两数相除的结果．根据除法的意义，“已知两个因素的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法．”可知，乘除法有着密切的关系：被除数相当于两个因数的积．除数相当于已知的一个因数．商相当于另一个因数．1．商的性质（1）两个数相除，如果商存在，必定是唯一的．【例1】54÷9＝6 65÷5＝13（2）某数先除以一个数，再乘以同一个数，其数不变．【例2】72÷8×8＝7235÷5×5＝35（3）某数先乘以一个数，再除以同一个数，某数不变．【例3】15×5÷5＝1528×3÷3＝282．商的变化（1）运算中了解商的变化．根据72÷9＝8计算下列各题，并观察商发生了什么变化．（72×2）÷9＝16（7÷2）＋9＝472÷（9×2）＝472÷（9÷3）＝24（72×2）÷（9×2）＝8（72÷3）÷（9÷3）＝8通过计算我们发现，商有的扩大了，也有的缩小了，还有的不变．（2）在分类中认识商的变化与谁有关．我们将被除数变化，除数不变的这种除法定为第一类；（72×2）÷9＝16（72÷2）÷9＝4我们将被除数不变，除数变化的这种除法定为第二类；72÷（9×2）＝472÷（9÷3）＝24将被除数变了，除数也变了的这种除法定为第三类；（72×2）÷（9×2）＝8（72÷3）÷（9÷3）＝8通过分类我们初步认识到商的变化与被除数，除数的变化有关．（3）分析中理解商的变化规律：分析第一类：根据72÷9＝8,那么（72×2）÷9＝16【分析】被除数扩大2倍，除数不变，商扩大2倍．根据72÷9＝8，那么（72÷2）÷9＝4【分析】被除数缩小2倍，除数不变，商缩小2倍．分析第二类：根据72÷9＝8，那么72÷（9×2）＝4【分析】被除数不变，除数扩大2倍，产反而缩小2倍．根据72÷9＝8，72÷（9÷3）＝24【分析】被除数不变，除数缩小3倍，商反而扩大3倍．分析第三类：根据72÷9＝8（72×2）÷（9×2）＝8（72÷）3÷（9÷3）＝8【分析】被除数扩大2倍，除数扩大2倍，商不变，被除数缩小3倍，除数缩小3倍，商也不变．（4）归纳概括中掌握商的变化规律．商的变化规律概括如下：A．如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同数倍．B．如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或者扩大）同数倍．C．被除数和除数都扩大（或者都缩小）同数倍（0除外），那么它们的商不变．我们在平时的计算中，就可以应用商的变化规律和性质进行简算．。
商的变化规律董
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2、填一填
（1）在除法里，除数不变，被除数乘8，商 要（ 乘8 ），被除数除以70，商要 （ 除以70 ）。
（2）在除法里，被除数不变，除数乘20，商 要（除以20），除数除以12，商要 （乘12 ）。
（3）在除法里，除数乘15，要使商不变，被 除数要（ 乘15 ）。
3、已知48÷12=4，判断下列各式是否正确。 如果不对，怎样改一下就对了。
3、被除数和除数同时乘（或除以）相同 的数（0除外），商不变。
举例尝试
我们的例子 我们的结论
1、根据每组题中第一题的商，写出下面 两题的商。
81 ÷9= 9 320÷8= 40 800÷40= 20
810 ÷9= 90 320÷4= 80 400÷20= 20
8100÷9= 900 320÷2=160 2400÷120=20
使商不变，除数应该（ 乘3 ）。你能
想出几种填法？
是120
200+400=600
增加80
600÷200=3 40×3=120 120-40=80
乘3 是120 增加80
本节课知识回顾
1、除数不变，被除数乘或除以几，商也乘
商 的
或除以几（0除外）。
变 2、被除数不变，除数乘（或除以）几，
化 规
商反而除以（或乘）几（0除外）。
律 3、被除数和除数同时乘（或除以）相同
的数（0除外），商不变。
①（48×5）÷（12×5）=4 ②（48÷4）÷（12÷4）=4 ③（48×3）÷（12×4）=4 ④（48×3）÷（12÷3）=4 ⑤（48 - 8）÷（12 - 8）= 4 ⑥（48 +6）÷（12 + 6）=4
（√ ） （√）
商的变化规律
1.被除数乘2，除数不变，商就（ 乘2 )。 2.除数乘3，被除数不变，商就（ 除以3）。
3.被除数不变， 除数乘4，商就（ 除以4 ）。
4.除数不变，被除数除以3，商就（除以3）。
4.除数不变，商要乘3，被除数应（乘3 ）。
5.被除数不变，商要除以2，除数应（ 乘2 ）。 6.两个数的商是12，如果被除数不变，除数
判断： ①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（
x）
x √ x
）
②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（
③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
）
3、判断
(1)被除数和除数同时乘以相同的数,商不 变。 ( ×) (2)72÷24=(72÷6)÷(24÷6) ( √ ) (3)因为被除数和除数同时除以不是0的 数,商不变;所以被除数和除数同时减去 不是0的数,商也不变。 (× ) (4)A÷B=C,如果A除以10,要使商还是C, 那么B也要除以10. 72÷12=6 36÷12=( 3 ) 72÷6=(12 ) 72÷18=( 4 ) 36÷(18 )=2 ( 72 )÷18=4
A÷B=30 A÷(B×2)=30
A× 3÷ B=(
) )
) )=( )
(A÷2) ÷ (B÷2)=(
(A×2) ÷ (B÷2)=( (A ) ÷ (B
5600 ÷700 =9 560÷70= 9 56÷7= 9
1、被除数不变，除数扩大3倍，商（ 反而缩小3倍 ）。 2、被除数不变，除数缩小4倍，商（反而扩大4倍 ）。 3、两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩 小3倍，商会变成（ 36 ）。 4、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩 小3倍，商会变成（ 4 ）。
商的变化规律
）÷（12
）
（2）请你在括号内填上适当的数： ）请你在括号内填上适当的数：
6300÷700 =（ ÷ （
）÷（
）
课外延伸： 课外延伸：
今天我们研究了除法算式中变与不变的三种情况， 今天我们研究了除法算式中变与不变的三种情况，假如 把这三种情况中的扩大和缩小换成增加和减少，还行吗？ 把这三种情况中的扩大和缩小换成增加和减少，还行吗？ 扩大 换成增加 试着想一想： 试着想一想：
9÷3 =（9 + 18）÷（3 + 6 ） ÷ （ ） 125÷25 =（ 125 － 100 ）÷（ 25 － 20 ） ÷ （
你是怎么想的？ 你是怎么想的？
课堂小结： 课堂小结： 今天你有哪些收获？ 今天你有哪些收获？ 请跟大家分享一下！ 请跟大家分享一下！
练习2，判断： 练习 ，判断：
（1）48÷ 12 =（48×3） ÷（12 ×4） ） ÷ （ × ） ） （2）48÷ 12 =（48×3） ÷（12 ÷ 4） ） ÷ （ × ） ） （ ×） （ ×）
下题中哪个算式的结果与（ ）式相等， 下题中哪个算式的结果与（1）式相等，在它的后面画 “√”。 ”
（1）48÷12=4 ） ÷ ）（48 （2）（ ×5） ÷（12 × 5） ）（ ） ） √ ）（48 （3）（ ×3） ÷（12 × 4） ）（ ） ） ）（48 （4）（ ×3） ÷（12 ÷ 3） ）（ ） ）
9÷3=（9+18） 9÷3=（9+18）÷（3 + 6 ）
125÷25=（125 — 100 ）÷（25 — 20 ） ÷ （
练一练： 练一练：
缩小2倍 （1）被除数不变，除数扩大 倍，商（ 缩小 倍 ）。 ）被除数不变，除数扩大2倍 （2）被除数不变，除数除以 ，商（ ）被除数不变，除数除以4， 乘4 ）。 （3）除数不变，要使商扩大 倍，那么（ 被除数 ）就要 ）除数不变，要使商扩大4倍 那么（ （ 扩大 ）4倍。 倍 （4）被除数不变，要使商乘 ，那么（ 除数 ）就要 ）被除数不变，要使商乘4，那么（ （ 除以 ）4。 。 （5）两个数相除，商是 ，如果被除数不变，除数缩小 ）两个数相除，商是12，如果被除数不变， 3倍，商会变成（ 36 ）。 倍 商会变成（ （6）两个数相除，商是 ，如果除数不变，被除数除以 ）两个数相除，商是12，如果除数不变， 3，商会变成（ 4 ）。 ，商会变成（
商的变化规律的应用
3、在下面等式中的○里填上运算符号， 在□里填上适当的数。
24÷6＝4
÷ 2）＝4 （24÷ 2 ）÷（6○ ×3）÷（6× 3 ）＝4 （24○
我这样做。
3 0
7 6 1 1
2 8 0 8 8
6 0 0 0 0
3 0
2 7 6 1 1
6 8 0 8 8 0
小英
我这样做。
小平
小英这样做对吗？为什么？
二、探究新知
840÷50= 16……40 1 8 5 3 3 6 4 0 4 0 4
5 0
余4。
余40。
谁说得对？你能验证一下吗？
二、探究新知
①（48×5）÷（12×5）=4……（
判断：
x） ②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（ x ）
①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（ ③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
√ x
）
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
2、已知48÷12=4，判断下列各式是否 正确。如果不对，怎样改一下就对了。
√） ②（48÷4）÷（12÷4）=4……（ √ ） ③（48×3）÷（12×4）=4……（ × ） ④（48×3）÷（12÷3）=4……（ × ） ⑤（48 - 8）÷（12 - 8）=4……（ × ） ⑥（48 +6）÷（12 + 6）=4……（× ）
200÷40= （200 ×
200÷40= （200 ÷
200÷40= （200
）÷（40÷A） A≠0
）÷（40×A） A≠0
×
下面的计算对吗?为什么?
四年级数学上册4条商的变化规律
★请背诵下面商的变化规律：(根据后面的例子背更容易)
(1)在除法算式里，被除数、除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，
商不变。
例：48÷12=4
48和12同时乘10,商还是4,不变。
48和12同时除以2,商还是4,也不变。
(2)在除法算式里，被除数不变时，除数乘几，商要除以几。
例如：48÷12=4
被除数48不变，除数12乘2,商4要除以2等于2。
48÷(12×2)=4÷2=2
(3)在除法算式里，被除数不变时，除数除以几，商要乘几。
例如：48÷12=4
被除数48不变，除数12除以2,商4要乘2等于8。
48÷(12÷2)=4×2=8
(4)在除法算式里，除数不变时，被除数扩大(或缩小)相同的倍数，商也要扩大(或缩小)相同的倍数。
例如48÷12=4
被除数48乘10,除数12不变，商也要乘10,等于40;
被除数48除以2,除数12不变，商也要除以2,等于2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
商的变化规律
高石镇农建小学李秀芬
教学内容：教材93页例5及相关的练习题。
教学目标：
1、学生结合具体情境，通过计算、观察、比较，发现商随除数（或被除数）的变化而变化的规律，并在此基础上放手探讨商不变的规律。
2、培养学生初步的抽象概括能力和用数学语言表达数学结论的能力。
3、使学生体会数学来自生活实际的需要，进一步产生对数学的好奇心和兴趣。
教学重点：发现规律，掌握规律
教学难点：利用商的变化规律进行简单计算。
教学过程
一、谈话导入，揭示新课
师：孩子们，今天能和大家一起学习，我非常高兴，因为我们班每一位孩子都是最棒的。
上课认真、思维敏捷、发言积极。
这节课老师将带大家一起探索数学的奥秘，有没有信心把它学好呢？
师：先来一场比赛，快速抢答。
预备——开始
（1）200÷2= （4）16÷8= （7）14÷2=
（2）200÷20= （5）160÷8= （8）560÷80=
（3）200÷40= （6）320÷8= （9）280÷40=
师：孩子们算的又对又快，注意观察这些算式，你能把它分类吗？
师：依据是什么？（按被除数不变、除数不变、商不变。
）
二、探究体验，建构新知
（一）、被除数不变时，商的变化规律。
师：我们先来观察第一组算式。
从上往下看，除数和商有什么变化呢？（被除数不变，除数扩大，商反而缩小。
）
从下往上看，除数和商又是如何变的？（被除数不变，除数缩小，商反而扩大。
）
师总结：被除数不变，除数扩大（或缩小），商反而缩小（或扩大）。
师：继续观察除数和商的扩大、缩小有什么规律呢？
（2）式与（1）式比（除数乘10扩大了，商反而除以10缩小了。
）
（3）式与（2）式比（除数乘2扩大了，商反而除以2缩小了。
）
小结：被除数不变，除数乘几，商反而除以几。
（2）式与（3）式比（除数除以2缩小了，商反而乘2扩大了。
）
（1）式与（2)式比（除数除以10缩小了，商反而乘10扩大了。
）
小结：被除数不变，除数除以几，商反而乘几。
师：谁能完整的说一说，当被除数不变，商的变化规律？
【被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商反而缩小或扩大相同的倍数】
练习: 231÷11= 21 231÷33= 7 231÷77= 3
（二）、除数不变时，商的变化规律。
师：孩子们再看第二组，什么变了，什么没变。
商随着谁的变化而变化？怎么变的？它们的变化有规律吗？
讨论、交流、汇报结论
【除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商也随着扩大或缩小相同的倍数。
】练习:132÷12= 11 264÷12=22 1320÷12= 110
(三)、商不变的规律
师：刚才孩子们通过计算、观察、比较、讨论、总结出了商的变化规律。
你们再猜想一下，如果要商不变，被除数和除数会发生什么变化了？带着问题观察第三组算式自己研究研究。
什么变什么没变？怎么变的？它们变化有规律吗？
汇报交流：被除数、除数同时乘（或除以）相同的数，这个数是“0”可以吗？在这条规律中要注意些什么？（同时、相同的数）谁会用一句完整地话说商不变的规律呢？
【被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
】
练习：72÷9=8 720÷90=8 7200÷900=8
师：通过大家认真的观察、比较，同学们发现了商的变化规律，这就是今天我们探索的内容。
（板书课题：商的变化规律）
三、应用练习，拓展提升
1、看谁算得又对又快？
6300÷700= 8100÷300= 2800÷20=
2、谁是它的朋友。
（用线段连接）
320÷80 180÷60
1800÷600 160÷40
四、作业教材94页第4、5题
附：板书设计
商的变化规律
200÷2= 231÷11= 21
200÷20= 被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，231÷33= 7
200÷40= 商反而缩小或扩大相同的倍数。
231÷77= 3
16÷8= 除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，132÷12= 11 160÷8= 商也随着扩大或缩小相同的倍数。
264÷12=22 320÷8= 1320÷12= 110
14÷2= 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍72÷9=8
560÷80= 数（0除外），商不变。
720÷90=8 280÷40= 7200÷900=8
看谁算得又对又快？谁是它的朋友。
（用线段连接）
6300÷700= 320÷80 180÷60
8100÷300= 1800÷600 160÷40
2800÷20=。