高三数学二轮专题复习教案――数列
高中数学数列概念教案
高中数学数列概念教案
教学内容：数列概念
教学目标：能够理解数列概念，掌握常见数列的性质及求解方法。
教学重点和难点：掌握数列的定义及常见数列的性质。
教学准备：教学课件、教学实验材料、小黑板、粉笔、教科书。
教学过程：
一、引入（5分钟）
通过渐进法引入数列的概念，并引导学生思考数列在生活中的实际应用，激发学生学习的
兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的定义：依据顺序排列的一系列数构成的序列称为数列。
2. 数列的表示方法：通项公式及递推公式。
3. 常见数列及性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、实例讲解（20分钟）
通过实例演算，帮助学生掌握数列的性质及求解方法，巩固所学知识。
四、练习（15分钟）
设计一些与课堂内容相关的练习题，让学生在课堂上进行练习，检验他们的学习情况。
五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调重点知识点，帮助学生将学到的知识点牢固记忆。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的课外作业，加深学生对数列的理解。
教学反思：
此教案通过引入、讲解、演算、练习、总结和作业布置等方式，全面系统地向学生介绍了
数列的概念及性质，帮助学生掌握了数列的基本知识，同时激发了学生对数学的学习兴趣。
在今后的教学中，应注重巩固学生的基础知识，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和解题能力。
说课稿高中数学数列教案
说课稿高中数学数列教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解数列的概念和性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够应用数列相关知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过探究的方式引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的思维能力和数学兴趣。
3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣和自信心，培养学生合作学习和探究精神。
二、教学重点和难点：1. 教学重点：数列的概念和性质，等差数列、等比数列的求和公式。
2. 教学难点：解决实际问题时如何选取合适的数列模型。
三、教学准备：1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 工具：黑板、彩色粉笔、数学练习册等。
3. 具体内容：数列的概念和分类、等差数列、等比数列的求和公式及实际应用等。
四、教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引入数列的概念，让学生了解数列的应用和重要性。
2. 探究：引导学生通过观察、探讨和实验等方式理解数列的概念和性质，并引导学生探索等差数列、等比数列的规律。
3. 知识总结：总结数列的分类和特点，讲解等差数列、等比数列的求和公式及应用方法。
4. 锻炼与运用：让学生通过练习题巩固所学知识，并通过实际问题的解决来提高学生的应用能力。
5. 反馈与评价：对学生的课堂表现进行总结评价，激发学生对数学学习的兴趣和信心。
六、板书设计：数列：概念、分类等差数列：性质、求和公式等比数列：性质、求和公式七、教学反思：本节课通过探究和练习相结合的方式，引导学生理解数列的概念和性质，激发学生的学习兴趣和思维能力。
在教学过程中，学生表现积极，能够积极参与到课堂讨论和练习中，但在实际问题的解决过程中，还需要引导学生更加灵活地运用数列知识，提高解决问题的能力。
希望在以后的教学中，能够更好地帮助学生掌握数列相关知识，提高他们的数学水平和运用能力。
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
苏州市高三数学二轮复习示范课教案--数列中的方程问题(江小娟)
数列中的方程问题江苏省苏州中学 江小娟一．基础训练：1.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S m ＋S n ＝S m ＋n ，且a 1＝1.那么a 10＝ .2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：=m n m n S S S +⋅,且a 1=2.那么a 10＝ .3.已知数列{}n a 中，121,0a a ==，若对任意的正整数m 和n (n >m )满足：22n m n m n m a a a a -+-=⋅，则119a = . 二：例题讲解1.已知数列{}n a 的前三项分别为15a =，26a =，38a =，且数列{}n a 前n 项和n S 满足2221()()2n m n m S S S n m +=+--，其中,m n 为任意正整数．求数列{}n a 的通项公式n a .变：设数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，对于任意正整数m ,n , 有1n m S +.若1234=1a a a a ，求，，及n a .2. 数列{a n }中，a 1 = 1，a 2 = 2．数列{b n }满足1(1)n n n n b a a +=+-，n *∈N ．（1）若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前6项和S 6；（2）若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式；（3）若b 2n - b 2n - 1 = 0，21262n n nb b ++=，n *∈N ，求数列{a n }的前2n 项和T 2n ．变：已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（1）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ；（2）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由；（3）在（2）的条件下，若{}n c 为等比数列，问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由.一．填空题：1. 12.5123.-1 二．解答题1. 令1,2n m ==，324441()1,29,102S S S S a =+-==令1m =，21221()(1),2n n S S S n +=+--令2m =，22241()(2),2n n S S S n +=+--∴4222123262(2)2,2n n n S S a S S n n n ++++=-=-+=+=++ ∴22,(3)n a n n =+≥又26a =符合，15a =不符合，∴5,(1)22,(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩变：由条件，令1m n ==，得21S + ∴2222(1)2(1)S a S +=+．则2212S a +=．∴211a a =+． ∵11a =，∴22a =．令1,2m n ==，得31S +．则2334(4)4(4)a a a +=++． 令2,1m n ==，得31S +．则234(4)8a a +=． 解得344,8a a ==.得1m n S ++ 令1m =，得11n S ++ 令2m =，得21n S ++∴2111n n S S +++=+*n ∈N ）2， 则数列{1}n S +(2,*)n n ∈N ≥是公比为2的等比数列． ∴11222n n n S -+=⋅=．12n n a -=2．解：（1）∵a 1 = 1，a 2 = 2，数列{a n }是等差数列，∴n a n =．则b 1 = b 3 = b 5 = 1，b 2 = 5，b 4 = 9，b 6 = 13．∴S 6 = b 1 + b 2 + … + b 6 = 30．（2）∵b 1 = a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1，数列{b n }是公差为2的等差数列，∴b n = 2n - 1． ∵b 2n - 1 = a 2n - a 2n －1，b 2n = a 2n ＋1 + a 2n ， ∴a 2n - a 2n －1 = 4n - 3，a 2n ＋1 + a 2n = 4n - 1． ∴a 2n ＋1 + a 2n - 1 = 2．则a 2n ＋3 + a 2n + 1 = 2．∴a 2n ＋3 = a 2n - 1．（*） ∵a 1 = 1，∴a 3 = 1．则a 4n - 3 = a 1 = 1，a 4n - 1 = a 3 = 1．∴a 2n - 1 = 1．则a 2n = 4n - 2．∴1()22().n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数（3）∵b 2n - b 2n - 1 = 0，21262n n nb b ++=，n *∈N ， 而b 2n - 1 = a 2n - a 2n －1，b 2n = a 2n ＋1 + a 2n ，b 2n + 1 = a 2n + 2 - a 2n + 1， ∴a 2n ＋1 + a 2n －1=0,22262n n n a a ++=（n *∈N ）． 当n 是偶数，则21321242()()n n n T a a a a a a -=+++++++L L 22213[1)]1404()214nn n T -⨯-=+=--（当n 是奇数，则21232142()()n n n T a a a a a a -=+++++++L L 12231[1()]124305()1214n n --⋅-=++=--综上，229(1)1()22n n nT ---=-．2解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+,所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列（Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) 212(10)1n n S c +-= ，244164n n n ∴++=，当n =1,2,左边<右边，当n =3,左边=右边，下证n =3是方程惟一的解. 设2()44416xf x x x =---(3)x ≥，则()()4ln 484xg x f x x '==--，2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠， ∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立.《数列中的方程问题》的构思及体会江苏省苏州中学 江小娟数列的本质是离散函数，数列的通项公式n a ，前n 项和n S ，都可以看成是关于n 的函数解析式.因此，含有n a ，n S 的数列方程，也可以转化为函数方程问题。
高中教学数列设计数学教案
高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。
2.掌握常见数列的求和公式。
3.能够应用数列知识解决问题。
二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。
难点：能够灵活运用数列知识解决问题。
三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。
2.学生准备数学笔记本和作业本。
四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。
2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。
3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。
五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。
2.教师布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。
2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。
七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。
数列教案范文
数列教案范文一、教学目标1.知识目标：①了解等差数列和等比数列的概念以及它们的发展规律；②掌握求等差数列和等比数列的公式与方法；③了解数列在生活中的应用。
2.能力目标：①能够熟练地运用等差数列及等比数列求解问题；②能够将所学知识应用到实际生活中。
3.态度目标：①激发学生学习数学的兴趣；②培养学生积极探索、勇于创新的精神。
二、教学重点难点1.重点：等差数列和等比数列的概念、求和公式以及应用；2.难点：应用实例的解决。
三、教学内容及方法1.教学内容（1）等差数列及其求和公式；（2）等差数列在生活中的应用；（3）等比数列及其求和公式；（4）等比数列在生活中的应用。
2.教学方法（1）讲解法：讲解等差数列和等比数列的概念、求和公式及应用，通过例题演示方法，引领学生逐步了解并掌握。
（2）归纳法：在学生学习过程中，引导学生进行概念归纳、规律总结，使学生更深入地理解知识点。
（3）练习法：开展各类型的例题练习，让学生熟练掌握所学知识，提高能力。
（4）探究法：利用生活实际问题，让学生自主探索并解决问题，培养学生创新精神。
四、教学步骤1.导入：与学生讲述数学在生活和科技中的应用，引起学生对数学的兴趣。
2.讲解等差数列和等比数列的概念。
3.介绍等差数列及其求和公式，让学生对等差数列有一个深入的了解。
4.介绍等差数列在生活中的应用，例如：物流运输中的时间问题。
5.介绍等比数列及其求和公式，让学生对等比数列有一个深入的了解。
6.介绍等比数列在生活中的应用，例如：光传输中的问题。
7.练习，让学生能够熟练掌握所学的知识。
8.探究性学习，让学生认识数学应用实际中的作用。
五、教学评价1.能在学生生活中讲述数学的应用，并引起学生对数学的兴趣。
2.能在学生心中形成数学发展规律的认识，掌握等差数列及等比数列的求和方法。
3.能培养学生探究问题的能力，使学生在应用实例上更加熟练。
四、教学总结数列是数学中的重要概念，应用广泛，它既是数学教育的基石，也是日常生活中的基础知识，掌握好数列及其应用，能起到事半功倍的效果。
二轮复习教案(2)数列问题的题型与方法(3课时)
高三数学第二轮复习教案第2讲 数列问题的题型与方法（3课时）一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n 项和公式。
二、考试要求1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
三、复习目标1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．四、双基透视1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法：①若= +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；②若，则{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证都成立。
3. 在等差数列{}n a 中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
高三数学复习教案：高考数学数列复习教案
高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【知识图解】【方法点拨】1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.第1课数列的概念【考点导读】1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】1.已知数列满足，则 = 。
分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2.在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3.设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.4.已知数列的前项和，则其通项 .【范例导析】例1.设数列的通项公式是，则(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项? 分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：(1)由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。
数列求和——错位相减法 教学设计 2023届高三数学二轮复习
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ， ， 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围.
6．(2021·新高考І卷·16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.
解：(1) ；
(2) ，
记{nan}的前n项和为Sn，则
重点讲解求和步骤中
“4．解出和Sn”的注意事项：
两式相减后，等式右边中间的n－1项求和转化成了等比数列求和，应先提公因数——等差数列的公差，再选择适当的求和公式计算；
2.通过课程的学习，学生能进一步发展数学学科核心素养的运算能力；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
教学重点
错位相减法求数列的和
教学难点
错位相减后的项数、符号、化简等易错问题，以及对转化数学思想的理解。
教
教学过程设计
教学
步骤
数列求和——错位相减法 教学设计
教学课题
数列求和——错位相减法
课程类型
复习课
教学目标
知识与技能
熟练掌握错位相减法，能够准确、快速地用错位相减法求出“等差×等比”数列的和。
过程与方法
通过两等式的错位相减，将无法求和的问题转化成等比数列求和，在运算的过程中，体会转化与化归的数学思想。
2024届高三数学二轮专题复习数列求和—裂项相消法教学设计
高三二轮复习数列求和—裂项相消法教学设计内容教学目的掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.教学重点难点识别裂项相消求和的使用环境.如何裂项？如何相消？教学过程过程一、强调本微课学习内容，学习目标，重难点，易错点。
学习目标：掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.学习重点：识别裂项相消求和的使用环境.学习难点：如何裂项？如何相消？易错点：裂项时忘记配平，相消时留下哪些项？过程二、通过熟悉的典型例子入手，引导学生回顾裂项相消的具体类型。
裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.看下面两个例子：)211(2121+-=+nnnn）（⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯211121121211......513141213112121......531421311nnnnnn）（()()))2)(1(1)1(1(21211++-+=++nnnnnnn()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)2)(1(12121)2)(1(1)1(1......43132132121121211......543143213211nnnnnnnnn过程三、因为是二轮专题复习，学生经过一轮的复习，对于裂项的方法有一定的理解，在此基础上直接点出裂项的四种基本类型，并强调裂项的常用方法为通分的逆运算，分母有理化，对数的运算等。
本质是恒等变形，运用化归与转化思想、等式思想。
等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，其中a n≠0，d≠0. . （通分的逆运算）指数型：（a－1）a n（a n＋b）（a n＋1＋b）＝1a n＋b－1a n＋1＋b. （通分的逆运算）无理型：1a＋b＝1a－b(a－b)(a>0，b>0). （分母有理化）对数型：log n a n ＋1a n＝log n a n ＋1－log n a n (a n >0). （对数的运算法则）过程四、对照四种类型，分别用4道典型例题进行讲解与说明，并敲掉裂项时要配平，求和相消时要注意消去哪些项，剩下哪些项。
高三数学二轮复习教学案[1]
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高三数学二轮复习教学案——数列综合一、【填空】1. 已知数列{}n a 对任意*,p q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = . 2.已知,,ab a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，则通项为282n a an bn =+的数列{}n a 的数列{}n a 的前n 项和为 .3. 函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k ka a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k ∈N *.若116a =，则123a a a ++的值是________.4.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项的和为n S ，则30S 为 . 5.设数列{}n a 为各项均为1的无穷数列.若在数列{}n a 的首项1a 后面插入1，隔2项，即3a 后面插入2，再隔2项，即6a 后面插入3，……，这样得到一个新数列{}n b ，则数列{}n b 前2010项的和为 .6.{},543212,a a a a a a n an a n n<<<<+=若满足的数列通项公式为 且1+>n n a a 对8≥n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、【解答】7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2123a a =+，且23a ，4a ，35a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .8. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.（3）求证：21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .9.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的图像如图所示，数列{}n a 的前n 项的和1n n S a b +=+，n T 为数列{}n b 的前n 项的和，且22,11062,2n n T n n n =⎧=⎨--+≥⎩. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）找出所有满足：80n n a b ++=的自然数n 的值（不必证明）；（3）若不等式0n n S b k ++≥对于任意的*n N ∈，2n ≥恒成立，求实数 k 的最小值，并求出此时相应的n 的值.10.在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x 。
数列的单调性讲义-高三数学二轮专题复习
数列的单调性所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.一、研究数列单调性的基本方法1、 作差法：例1、已知数列{a n }满足a n =n+12n ，证明：数列{a n }单调递减. 证明：∵a n =n+12n ∴a n+1=n+22n+1.则a n+1−a n =n+22n+1−n+12n =−n 2n+1<0恒成立故数列{a n }单调递减2、 作商法：例2、已知a n =(n +1)(1011)n (n ∈N ∗)，证明：数列{a n }先递增后递减.证明：令a n a n−1≥1(n ≥2) 即(n+1)(1011)n n∙(1011)n−1≥1整理得：n+1n≥1110，得n ≤10 同理，令a n a n+1≥1 即(n+1)(1011)n (n+2)∙(1011)n+1≥1整理得：n+1n+2≥1011，得n ≥9∴{a n }从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证.3、 函数法(导数法)例4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.解：（1）略（29n a n =-）（2） 方法一：我们可以借助一个二次函数函数()28,0f x x x x =-≥，很明显这个函数在[)0,4上单调递减，在[)4,+∞上单调递增，那么可以得到最小值()()min 416f x f ==-，从而2=8n S n n -的最小值为416S =-.方法二：由于数列{}n a 的通项公式29n a n =-，可以借助函数()29,0f x x x =-≥.在90,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()0f x <；在9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()0f x ≥，所以数列{}n a 的前4项均为负数，故而n S 的最小值为416S =-.变式:（1）如果一个数列的前n 项和为2=9n S n n -，那么求n S 取得最小值时序号n 是多少？很显然，4n =或5n =.(取得最值时为n =4.5，但n 只能取整数)（2）在（1）的前提下，求n nS 取得最小值时序号n 是多少？可以借助函数()329,0f x x x x =-≥，求导()'23183(6),0f x x x x x x =-=-≥.()f x 在[)0,6单调递减，在[)6,+∞上单调递增，从而()()min 6108f x f ==-.故而n nS 取得最小值时序号n 是6.例5、已知单调递增数列{}n a 的通项公式()2,4,01,6,4n n a n a a a a n a n -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且求a 的取值范围.解：这一个题我们很容易想到这样题目：设()y f x =在R 上是的一个增函数，且()()2,4,01,6,4x a x f x a a a x a x -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且 求a 的取值范围.只需要()4216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩，可以求得a 的范围是(]1,3.对于数列{}n a 就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的限制条件应该为34160a a a a >⎧⎪->⎨⎪<⎩，即()3216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪<-⋅-⎩，求得a 的范围是()1,4.变式：（1）设函数f (x )={(a −2)x ，x ≥2，(12)x −1，x <2，，a n =f(n)，若数列{}n a 是递减数列，求实数a 的取值范围.由题意()()2012a f f -<⎧⎪⎨>⎪⎩即可，可得a 的取值范围7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）已知数列{}n a 中，()()*11,,021n a n N a R a a n =+∈∈≠+-.对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围.由题意，可借助函数()()112112212f x a a x x =+=+-+-- 在2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减 再结合数列的离散性特点，可得限制条件2562a -<<，得到a 的范围为()10,8--. 总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即1n n a a +<），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.二、课后练习1、 已知c n =(n +1)1n+1，则数列c n 的最大值为：_______.2、已知f (x )={(3−a )x −3，x ≤7，a x−6，x >7，，数列a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则a 的取值范围为：_________.1、解：令f (x )=ln x x则f’(x)=1−ln xx2当x≥3时，ln x>1，1−ln x<0，f’(x)<0在[3，+∞)内，f(x)单调递减所以当n≥2时，{ln c n}单调递减即c n是递减数列又∵c1<c2，所以c max=c2=√33.2、解：由题意得：{3−a>0f(8)>f(7)，解得a∈(2，3)。
高中数学数列教案文件
高中数学数列教案文件
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数列的概念、性质及常见数列的求和公式。
2. 能力目标：掌握数列的概念和性质，能够运用数列的知识解决实际问题。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 教学重点：数列的概念、性质和常见数列的求和公式。
2. 教学难点：能够灵活运用数列的知识解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过提出一个实际问题引入数列的概念，让学生了解数列的定义和常见的数列类型。
2. 讲解：介绍数列的概念和性质，如等差数列、等比数列等，并讲解常见数列的求和公式。
3. 练习：布置练习题让学生通过练习加深对数列的理解和运用。
4. 拓展：引导学生运用数列的知识解决实际问题，拓展学生的思维广度。
5. 总结：总结数列的知识点，强化学生对数列的掌握和应用能力。
四、课堂作业：
1. 完成练习题，加深对数列的理解和掌握。
2. 找出身边的例子，分析是否符合数列的概念。
3. 思考如何运用数列的知识解决实际问题。
五、教学反馈：
及时对学生的作业进行批改和评价，引导学生对数列的理解和应用进行反思和总结，及时
纠正和加强学生的掌握程度。
高三数学第二轮数学专题复习全套教案
高三数学第二轮数学专题复习全套教案目标为高三学生提供一套完整的数学专题复教案，帮助他们加深对数学知识的理解和掌握，为高考做好准备。
复内容1. 函数与方程- 函数的概念和性质- 一次函数和二次函数的图像、性质及应用- 方程的根与解的判定- 一元一次方程组和一元二次方程的求解方法- 函数方程的解法和应用2. 三角函数- 三角函数的概念和性质- 常用三角函数的图像、性质及应用- 三角函数的基本关系式和恒等变换- 解三角函数方程和不等式的方法3. 数列与数学归纳法- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列的推导和应用- 数学归纳法的基本原理和应用- 常见数列问题的解法4. 三角比例和相似- 三角比例的性质和应用- 直角三角形和一般三角形的相似性质- 解三角形的基本方法和应用- 四边形的性质和计算教学安排1. 每个教题讲解时长约为30分钟，包括概念讲解和示例演练。
2. 每个专题分为3节课，共计9节课。
3. 每节课后设置10道练题，供学生完成并检查答案。
4. 每周安排一次模拟考试，让学生检验自己的研究成果。
教案编写原则1. 教案内容简明扼要，重点突出，不涉及复杂的法律问题。
2. 尽可能使用清晰简单的语言，避免使用过多的专业术语。
3. 引用的内容必须能够得到确认，并标明出处。
4. 鼓励学生积极参与讨论和解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。
结语这份高三数学第二轮数学专题复全套教案旨在帮助学生复数学知识，强化概念和技巧的掌握。
教案内容简明扼要，注重培养学生的思考能力和解决问题的能力。
希望学生能够利用这份教案，全面提升数学水平，为高考取得好成绩做好准备。
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关于高中数学数列的教案
关于高中数学数列的教案
一、教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 掌握常见数列的计算方法；
3. 能够应用数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 掌握数列的概念和性质；
2. 了解常见数列的计算方法；
3. 能够灵活运用数列解决实际问题。
三、教学内容：
1. 数列的基本概念和性质；
2. 常见数列的分类及计算方法；
3. 数列在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引入数列的概念，引发学生的思考和兴趣。
2. 提出问题：让学生探讨数列的定义和性质，引导他们发现规律。
3. 讲解数列的基本概念和性质，并介绍常见数列的计算方法。
4. 练习：让学生进行数列的计算练习，巩固所学知识。
5. 应用：通过一些实际问题，让学生运用数列解决问题，培养他们的应用能力。
6. 总结：总结本节课的重点知识，梳理数列的学习内容。
7. 作业：布置相关练习，巩固学生所学的知识。
五、教学手段：
1. 课堂讲授；
2. 举例说明；
3. 练习探讨；
4. 讨论交流。
六、教学评价：
1. 课堂表现；
2. 练习成绩；
3. 实际应用能力。
七、教学资源：
1. 教材；
2. 幻灯片；
3. 实例分析。
八、教学反思：
1. 教学内容是否符合学生的实际需求；
2. 学生的学习情况，是否需要调整教学计划；
3. 如何进一步提升学生的数列解决问题能力。
以上教案为高中数学数列的教学范本，希望能对您有所帮助。
数学核心素养引领下的教学设计———以“高三二轮复习求数列通项公式”为例
数学核心素养引领下的教学设计———以“高三二轮复习求数列通项公式”为例摘要：高二二轮复习的专题教学设计不是单纯的知识点传授与解题方法的训练，而是教师基于学科核心素养，思考如何基于专题的教学目标与内容而展开的教学活动，目标是追求高效的教学，本文通过高三二轮复习利用作差法求数列通项公式这一节的教学设计，达到提升学生逻辑思维能力，发展学生的数学核心素养。
关键词：二轮复习教学设计；数学学科核心素养；高三数学；二轮复习一、问题提出高三二轮复习是整个高三的冲刺阶段，在这个阶段，老师在培养学生数学核心素养的同时也要提高学生的应试能力，最终达到提高学生高考成绩的目的。
而专题复习是二轮复习的一种常用模式，是基于学生在一轮复习中形成的知识框架，对其中高考的重点、难点内容再次学习来巩固和创新学生的数学思想，让学生在转化化归解决数学问题的过程中，落实数学核心素养。
那么在二轮复习中，如何利用专题的教学设计，发展和培养学生的数学核心素养呢？下面本文将以高三二轮复习利用作差法求数列通项公式这一节的教学设计为例，对高三二轮有效性复习进行探究。
1.高三二轮复习“求数列通项公式”专题教学设计1.考情分析由数列前n项和Sn与an的关系式求通项公式是高考常考热点之一，从2011-2022高考卷中占比最大。
1.学情分析经过一轮复习，学生基本方法已经掌握，易错点主要是计算和验算是否合理。
1.专题教学目标1.知识目标1.能够看出前n项和变形式子中化简求an2.能在Sn与an的一次函数或二次函数中化简求an（二）能力目标利用作差法消去Sn或an，培养学生合情推理，探索数学规律的数学思维能力，发展学生逻辑推理的数学核心素养。
（三）情感目标1、通过作差法解题方法2、培养学生归纳类比的能力。
1.教学重难点如何利用公式消去Sn，化简求an，并注意n=1时的检验；如何消去an，求Sn，再求an的方法。
1.教学过程公式： .1.数列的前项和，则 ______________2．数列的前项和______________3．已知等比数列的前项和，则 ______________例题1：（2017•新课标Ⅲ，文17）设数列满足．求的通项公式；变式：变式．已知数列{n a n}的前n例题2．（2013新课标Ⅰ，理14）若数列{ }的前n项和为，则数列的通项公式是a n＝________．变式1：若数列的前n项和为，则数列的通项公式是＝．变式2：（2022届高三广州调研考17）已知数列的前n 项和为 ,证明：数列是等比数列。
数列教案优秀5篇
数列教案优秀5篇高三数学数列教案篇一数列§3.1.1数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
重点：1数列的概念。
按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。
由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。
2、数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。
从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N-（或宽的有限子集）的函数。
当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。
由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。
难点：根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。
给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。
给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。
过程：一、从实例引入(P110)1. 堆放的钢管4,5,6,7,8,9,102. 正整数的倒数3、4. -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5、无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1、数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2、名称：项，序号，一般公式，表示法3、通项公式：与之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4：4、分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。
5、实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N-（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
高三数学二轮复习：专题二 数列
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
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高三数学二轮专题复习教案――数列一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念与表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．（４）n a与n S的关系：11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-⎩≥．2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．（３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q+=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n pa a a +=．③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质： ①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n pa a a =·．③(0)n m nm a q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列． 三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟）已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：（1）当111112,1211=-⨯===S a n 时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、（2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n na a a a a T n ++++++=> 时na a a a a a ----+++= 87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。
第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和. 解：（I ）公差为d ，则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 12,2,11-=⎩⎨⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则 .2,83==∴q bn n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….（）,2)12(n n n c ⋅-=2323252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅++-⋅.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T作差：115432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T3112(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅ 1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)….点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。
考点二：求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 解：前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n-＋3个，即为262n n -+．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f =；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f （５）＝４１1 2 3 4 5 6f(2)(1)=４ ，f(３)(２)=８，f(４)(３)=１２，f(５)(４)=１６()(1)f n f n --=4(1)n -点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。
考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为311=a ，公比q 满足10≠>q q 且。
又已知1a ，35a ，59a 成等差数列。
（1）求数列{}n a 的通项 （2）令na nb 13log =，求证：对于任意n N *∈，都有122311111 (1)2n n b b b b b b +≤+++（1）解：∵315259a a a ⋅=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴13q =∴113n nn a a q --==（2）证明：∵133log log 3na nn b n === ， 11111(1)1n n b b n n n n +==-++∴12231111111111...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-++122311111...12n n b b b b b b +∴≤+++点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范围证出不等式。
例６、(2008辽宁理) 在数列||n a ，||n b 中，a1=2，b1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a2，a3，a4与b2，b3，b4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 解：（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．用数学归纳法证明：①当1时，由上可得结论成立． ②假设当时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当1时，结论也成立． 由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭…… 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭… 111111562216412n ⎛⎫=+-<+=⎪+⎝⎭综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．例７. （2008安徽理）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c ++>+-∈-解： (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈ 充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥ 则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时， 3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥113(1)n n a c a --≤-∴ 21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++∴2(1(3))2111313n c n n c c -=+->+--- 点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。