高三数学二轮专题复习教案――数列

高三数学二轮专题复习教案――数列

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

１．数列的概念与表示方法

（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．

（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．

（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

（４）n a与n S的关系：

1

1

(1)

(2)

n

n n

S n

a

S S n

-

=

⎧

=⎨

-

⎩≥．

2．等差数列和等比数列的比较

（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．

（２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．

（３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*

=+-=∈N ，，．

（４）性质

等差数列的主要性质：

①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若

m n p q

+=+，则

()

m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有

2m n p

a a a +=．

③

()()

n m a a n m d m n *-=-∈N ，．

④232k k k k k S S S S S --，，，…

成等差数列．

等比数列的主要性质： ①单调性：当

1001

a q <⎧⎨

<<⎩，

或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数

列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n p

a a a =·．

③(0)n m n

m a q m n q a -*=∈≠N ，，．

④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列． 三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟）已知数列

.

12}{2n n S n a n n -=项和的前

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前

解：（1）当111112,12

11=-⨯===S a n 时；、

当

.

213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，

.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、

（2）令.

6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N

当

2

212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；

当|

|||||||||,67621n n

a a a a a T n ++++++=> 时

n

a a a a a a ----+++= 87621

.

7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n

综上，

⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,122

2

n n n n n n T n

点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.

（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和. 解：（I ）公差为d ，

则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 1

2,

2,

11-=⎩⎨

⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….

设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪

⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,

82

333q b q b b 则 .2,83==∴q b

n n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)

….

（）,

2)12(n n n c ⋅-=

2323252(21)2,

n n T n ∴=+⋅+⋅+

+-⋅

.

2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T

作差：1

15432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T

311

2(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-

31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅ 1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)

….

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和