线性离散系统状态方程的解

与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 ➢ 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
x(k0 1) G(k0 ) x(k0 ) H (k0 )u(k0 ) x(k0 2) G(k0 1) x(k0 1) H (k0 1)u(k0 1)
线性时变离散系统状态方程的解(6/6)
将状态响应代入输出方程,得到系统的输出为,
k 1
y(k) C(k)(k , k0 ) x(k0 ) C(k) (k , i 1)H (i)u(i) D(k)u(k)
ik0
➢ 可见,系统的输出响应也是由 ✓ 零输入响应、 ✓ 零状态响应和 ✓ 直接传输部分
z 0.2 z 0.8 z -1
Z变换法(7/7)—例3-14
x(k )
Z
1{X
( z )}
1 18
- 51(-0.2)k 10.2(-0.2)k
44(-0.8)k - 35.2(0.8)k
25 7
令k=0,1,2,3代入上式,可得 x(k) 11, 1.084,
20.8.844,
0.16 1.386
输出方程的解(1/2)
3. 输出方程的解
将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k)
中,可得输出y(k)的解为
k 1
y(k) CGk x(0) CGk j1Hu( j) Du(k) j0 k 1 CGkx(0) CG j Hu(k j 1) Du(k) j0
x(k 1) G(k) x(k) H (k)u(k)
y(k
)
C(k
)
x(k
)
D(k
)u(k
)
式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。
➢ 假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为
Hale Waihona Puke Baidu
k 1
x(k) (k , k0 ) x(k0 ) (k , i 1)H (i)u(i)
ik0
式中, (k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。
G(k0 1)G(k0 ) x(k0 ) G(k0 1)H (k0 )u(k0 ) H (k0 1)u(k0 1) x(k0 3) G(k0 2) x(k0 2) H (k0 2)u(k0 2)
G(k0 2)G(k0 1)G(k0 ) x(k0 ) G(k0 2)G(k0 1)H (k0 )u(k0 ) G(k0 2)H (k0 1)u(k0 1) H (k0 2)u(k0 2)
线性离散系统状态方程的解(1/2)
2.4.1 线性离散系统状态方程的解
线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法 两种主要方法: ✓ Z变换法只能适用于线性定常离散系统, ✓ 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 ➢ 下面将分别讨论 ✓ 线性定常离散系统 ✓ 线性时变离散系统 的状态空间模型求解。
k 1
x(k) Gkk0 x(k0 ) Gk j1Hu( j) jk0
或
k k0 1
x(k) Gkk0 x(k0 ) G j Hu(k j 1) j0
递推法(4/10)
与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程 求解,亦可引入状态转移矩阵。
➢ 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解:
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
已知线性定常离散系统的状态方程为
x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 对上式两边求Z变换,可得
于是
zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z)
(zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)
用(zI-G)-1左乘上式的两边,有 X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z)
对上式进行Z反变换,有 x(k)=Z-1[(zI-G)-1zx(0)]+Z-1[(zI-G)-1HU(z)]
例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为
x(k
1)
0 0.16
11x(k) 11u(k)
x(0)
1 1
试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。
Z变换法(4/7)—例3-14
解 1. 用递推法求解。分别令k=1,2,3,…,则由状态方程有
x(1)
0 0.16
1 1 11
1 1
0 1.84
递推法(1/10)
1. 递推法
递推法亦称迭代法。 ➢ 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) ……
递推法(2/10)
➢ 若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复 以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推 求解公式: x(k) Gk x(0) Gk1Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k -1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
线性时变离散系统状态方程的解(4/6)
➢ 因此有
k 1
x(k) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) x(k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(i 1)H (i)u(i) i k0 k 1 (k , k0 ) x(k0 ) (k , i 1)H (i)u(i) i k0
➢ 上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另 一形式的线性离散系统状态方程的解表达式
x(k) Gk x(0) Gk1Hu(0) ... GHu(k - 2) Hu(k -1)
k 1
Gkx(0) G j Hu(k j 1) j0
递推法(3/10)
若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
1. 与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成,
✓ 一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的 输入无关,称为系统状态的零输入响应;
✓ 另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与 初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响 应。
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成,
(k+1)=G(k) (0)=I
➢ 用递推法求解上述定义式,可得
(k)=Gk
因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
亦为
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ( j)Hu(k - j -1) j0
递推法(5/10)
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递推法求解结果一致。
线性时变离散系统状态方程的解(2/6)
线性时变离散系统的状态转移矩阵(k ,k0)满足如下矩阵差 分方程及初始条件：
其解为
(k 1 , k0 ) G(k)(k , k0 ) (k0 , k0 ) I
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1/(1 az1) ak
k
Z 1{W1(z)W2 (z)} w1(k i)w2 (i) i0
其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。
将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
Gk Z 1 (I - Gz1)1 Z 1 (zI - G)1 z
0.16 z 1
Z变换法(5/7)—例3-14
( zI
- G)1
adj( zI - G) | zI - G |
z 1 - 0.16
1 z /[(
z
0.2)(
z
0.8)]
1 3
4
z 0.2 0.8
z
1
0.8 0.8
z 0.2 z 0.8
z
5
0.2 -1
z
5
0.8 4
z 0.2 z 0.8
输出方程的解(2/2)
或
k 1
y(k) CΦ(k)x(0) CΦ(k - j -1)Hu( j) Du(k) j0 k 1 CΦ(k)x(0) CΦ( j)Hu(k j 1) Du(k) j0
线性时变离散系统状态方程的解(1/6)
2.4.2 线性时变离散系统状态方程的解
设线性时变离散系统的状态空间模型为
✓ 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。
3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
✓ 这即为计算机控制系统固有的一步时滞。
Z变换法(1/7)
2. Z变换法
x(2)
0 0.16
1 0 11.84
1 1
2.84 0.84
x(3)
0 0.16
1 2.84 1 0.84
1 1
0.16 1.386
类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。
2. 用Z变换法求解。先计算(zI-G)-1
z 1
zI G
(z 0.2)(z 0.8)
3项组成的。
因此,有 X(z)=(zI-G)-1[zx(0)+HU(z)]
(z 2 2)z
(z
0.2)(z 0.8)(z (-z 2 1.84z)z
-1)
(z 0.2)(z 0.8)(z -1)
1 18
- 51z
z 0.2 10.2 z
44
z 0.8 - 35.2
25 z7-1