一个线性算子的特征向量空间

一个线性算子的特征向量空间

作者：金亚东徐森林

来源：《江苏理工学院学报》2015年第02期

摘要：线性算子A=（x）=[（t2-1）x′]′，当λ=n（n+1）时，λ为A的本（特）征值，它相应的本（特）征向量为Legendre多项式，且特征向量空间是1维的；当λ≠n（n+1）时，λ不为A的本（特）征值。

关键词：线性算子，特征向量空间，Legendre多项式

中图分类号：O21文献标识码：A文章编号：2095-7394（2015）02-0005-05

0 引言

泛函分析是现代数学中的一门较新的数学分支。它起源于数学物理中的变分问题、边值问题，概括了经典数学分析、函数论中的某些重要概念、问题和成果，又受到量子物理学、现代工程技术和现代力学的有力推动。它综合地应用分析的、代数的和几何的观点和方法去研究分析数学、现代物理及现代工程技术提出的许多问题。随着泛函分析本身不断地深入发展，现在它已经成为一门内容丰富、方法系统体系完整、应用广泛的独立分支。同时泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹数学和应用数学、理论物理和现代工程技术理论的许多分支，例如：微分方程、概率论、计算方法、量子场论、统计物理学、抽象调和分析、现代控制理论、微分几何等方面。现在，泛函分析对纯粹数学和应用数学产生了重大的影响。

泛函分析可分为线性泛函分析和非线性泛函分析两大部分。由于线性问题比较容易研究，因此，线性泛函分析要比非线性泛函分析成熟的多。而线性算子和线性泛函是泛函分析研究的基本对象。

1 定义与定理

定义1 设Λ是实数或复数域，X和Y为Λ域上的两个线性空间，D是X的线性子空间，T是D到Y的一个映照，对x∈D，设x经T映照后的像为Tx或T（x）。如果对任何x、

y∈D以及数α、β∈Λ，

有T（αx+βy）=αTx+βTy成立，就称T为线性算子，称D为T的定义域，也记为D （T）。[1]

定义2 设X是线性空间，λ是一个数，T是XX的线性算子。如果有X中非零向量x∈D （T），使得T（x）=λx，则称λ是T的特征值（或本征值），而x为T（相应于特征值λ）的特征向量（或本征向量）。[2]

定义3 设Eλ为算子T（相应于特征值λ）的特征向量全体，再加入零向量，则称Eλ为算子T（相应于特征值λ）的特征向量空间。[3]

研究算子A（x）=[（t2-1）x′]′得到如下定理。

参考文献：

[1]夏道行，吴卓人，严绍宗，等.实变函数论与泛函分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]徐森林，薛春华.数学分析（第一册）[M].北京：清华大学出版社，2005.

[3]徐森林，金亚东，薛春华.数学分析（第三册）[M].北京：清华大学出版社，2007.

Abstract：linear operatorA（x）=（t2-1）x′′.Ifλ=n（n+1）.It is an eigenvalue of A，and Legendre polynomials is a grant eigenvector corresponds to λ of A，and the character is a 1-dimensional vector space；If λ≠n（n+1），λ is not a eigenvalue of A.

Key words：linear operator；vector space；Legendre polynomials

责任编辑张志钊