§6-3电磁场的能流密度与动量
5.6.2电磁波的能量、动量与电磁振荡
电磁波的能量、动量与电磁振荡一、电磁波的能量能量密度:212e w E212m w H电场磁场2212e m w w w E H电磁场电磁波所携带的能量称为辐射能.电磁场的能量和动量二、电磁场的能流密度(又叫辐射强度)单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能量(S)221()2S w E H1S EHS E H坡印廷矢量能流密度矢量三、电磁场的动量相对论中：222240E P c m c真空中平面电磁波，其单位体积的动量（动量密度）大小：21()w g EH c cScH E c g2211 动量为矢量，故光子：00 m pcE cE p2212EH w E H C例圆柱形导体,长为l ,半径为a ,电阻为R ,通有电流I , 试证明:2) 沿导体表面的坡印廷矢量的面积分等于导体内产生的焦耳热功率I 2R .ZIal1) 在导体表面上,坡印廷矢量处处垂直导体表面并指向导体内部.SZIalSE H(1)在圆柱表面上,电场强度E 即为电流流动方向(沿Z 轴)磁场强度H 与电流I 构成右手螺旋关系(e 方向)解:S E H由上式可以判定垂直导体表面,且指向导体内部.S22I R S E H n al(2) 导体表面处2I H e aIR E klS 沿表面的负法向,即指向轴心对于长l 的导体：单位时间内通过表面积Ａ=2 al 输入的电磁能量为2222A I R S dA al I Ral ZIalSE H电磁能不是通过电流沿导线内部从电源传给负载R 的，而是通过空间的电磁场从负载的侧面输入的！一个不计电阻的LC 电路，就可以实现电磁振荡，故也称LC 振荡电路。
电磁波的辐射一、电磁振荡理想的LC 电路的电磁振荡如下图:I A B E 0q 0q 0I A B E 0q 0q 0I A BH 0I A BH 赫兹1888年用振荡电路证实了电磁波的存在.LC 回路中电荷和电流的变化规律电容器两极板间电势差自感线圈内电动势qu CL diLdtdi q L dt Cdq i dt221d q q dt LC2qA B E0q 0qK任一时刻qqii LC 回路电荷和电流作简谐振动，周期性变化振荡角频率振荡频率电场磁场222d q q dt 222 d x x dt （ ）0cos()q q t 0sin()i q t 1LC12f LC 0E 0q S 0B ni 212e q W C 212m W Li解决途径：改革开放(1)提高回路振荡频率LC 回路能否有效地发射电磁波(1)振荡频率太低LC 电路的辐射功率(2)电磁场仅局限于电容器和自感线圈内LC 回路有两个缺点：(2)实现回路的开放从LC 振荡电路到振荡电偶极子 qqil即增加d ，缩小S ，减少n ，具体方式如图所示。
能流密度的定义
能流密度的定义能流密度在电磁学中的定义为单位时间内通过单位面积的能量流量。
它是一个矢量，其大小表示单位面积上通过的能量流量，方向表示能量传输的方向。
在电磁学中，能流密度的大小通常用瓦特/平方米（W/m²）来表示。
为了更好地理解能流密度的概念，我们可以以电磁波传播为例。
电磁波是由电场和磁场相互作用产生的能量传输。
当电磁波传播时，能量以一定的速率通过空间传输。
能流密度告诉我们在某一点上，单位面积上通过的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度用来描述流体的能量传输。
当流体通过一个截面的时候，能量也会通过这个截面传输。
能流密度告诉我们单位时间内通过单位面积的能量流量有多大。
在流体力学中，能流密度的大小通常用焦耳/秒/平方米（J/s/m²）来表示。
能流密度的概念在物理学中有广泛的应用。
在电磁学中，能流密度不仅可以用来描述电磁波的能量传输，还可以用来描述电流在导体中的能量传输。
在流体力学中，能流密度可以用来描述流体的能量传输，例如水流的能量传输。
能流密度的计算通常涉及到矢量运算和积分运算。
在电磁学中，能流密度的计算可以通过电磁场的分布和电磁场的能量密度来进行。
在流体力学中，能流密度的计算可以通过流体的速度场和流体的能量密度来进行。
能流密度是一个重要的物理概念，用来描述单位时间内通过单位面积的能量流量。
它在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
能流密度的计算涉及到矢量运算和积分运算，需要根据具体情况进行计算。
通过对能流密度的研究和应用，我们可以更好地理解能量的传输和转化，为相关领域的研究和应用提供支持。
电磁场的能流密度
电磁波的能流密度(坡印廷)矢量
S
EH
E H
平面电磁波能流密度
平均值
S
1 2 E0 H 0
振荡偶极子的平均
辐射功率
S
p p02 4 4
12πu
1
二 电磁场的能量原理
• 在空间任一体积 V ,其表面为 Σ . • 体积V内电磁能为:
1
W
We
Wm
2
(D E
dW dt
(E H ) d Q P
dW dt
(E H ) d Q P
意义：由外界流入系统的电磁能，除了对系
统内的带电体作功外，还使系统的电磁能增加。
能量守恒表达式。设想将系统的边界扩展到 无限远处。电荷和电流分布在有限空间内，无限 远处的电磁场应等于零，所以右边第一项面积分 必定等于零，上式变为
P
Q
τ
E
j0dV
d dt
τ
wdV
6
三 电磁场的动量和光压
根据量子理论，电磁波具有波粒二象性，能量 由许多分立的、以光速运动的光子所携带。
光子能量E=h，h=6.62617610-34 Js普朗克常量。
相对论的质能关系，光子能量 E=mc2
光子
E h
质量 m c2 c2
物体表面所受压强为
p
2 c S入
2 EH c
平均压强指所受压强在
1
一个周期内的平均值
p c E0H0
对于全吸收，S反 = 0， 物体表面所受压强为
p
1 c
电磁场的动量和能量
电磁场的动量和能量凤阳二中张叶摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。
运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。
关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器引言电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。
与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。
在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。
本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。
通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。
这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。
1. 匀强磁场中的平行板电容器一个电容量为C ，两导体板相距为L 的平行板电容器，处在匀强磁场中。
磁场的方向与导体板平行，大小为B 。
将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 ±Q 0。
然后将一质量为m ，电阻为R ，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间。
开始的瞬间，导体棒中有电流000U Q I R CR==， 受到安培力000BLQ F BLI CR == 的作用开始加速运动，初始加速度为00BLQ a mCR=。
但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。
所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。
电磁场的能流密度
2
B
1 2
0
0
r
E t
根据d<<R的条件，电容器边缘效应可以忽略。
侧面电场强度为E，由
B
1 2
0
0
r
E t
得电容器侧
面处的磁感应强度为
B
1 2
0 0R
E t
S
EH
1
0
EB
1 2
0
RE
E t
通过侧面流入电容器的能量为
S d
S 2Rd
0R 2 Ed
E t
12
结果的讨论
t 时刻电容器极板间的电场强度为E，电容器内
电场能量为
We
1 2
0
E
2
1 2
0
E
2
R
2
d
充电时电场强度在增大，电场能量在增加，而能
量增加率
dWe dt
t
(
1 2
0
E
2
R2d
)
0R
2
Ed
E t
与先前结果一致。说明电容器极板间能量的增加
是由于能量从电容器外部空间通过其侧面流入所致。
V
V
j0
EdV
j0
j0 EdV ( j02 j0 K)dV
S
V
V
j0 (E K )
E j0 K
( j02 j0 K )dV j02Sl j0 KSl
电磁场的能量和动量课件
考虑对称性，利用 构成一个恒等式：
把此式与f 的表达式相加，则有
其中
式中 是单位张量，在直角坐标系中
同理得到：
又因为
所以 或者化为 其中
至此，可以把机械动量的变化率写成
讨论：
a)若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于 电磁场 的动量的减少，因此称 为电磁动量。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输 电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
1. 电磁能的传输不是靠电流！
① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 导线内电荷定向移动的速度为
率。故由Maxwell’s equations 和 Lorentz force 公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force 作用下带电体的机械动量变化为
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电
流J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
§6 电磁场的能量和动量
内容提要： 能量守恒与转化 电磁场能量守恒公式(重点) 能量密度、能流密度矢量(重点) 电磁场能量的传输 电磁场的动量和动量守恒定律
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、能量守恒与转化
能量：
物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。 主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
③ 如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到
解释。
电磁场的能量和能流
04
电磁场能量和能流的应 用
电磁场能量在电力工业中的应用
发电
利用电磁场能量将机械能 转化为电能，如水力发电、 风力发电和火力发电等。
输电
通过高压输电线路将电能 传输到远方，利用电磁场 能量减少能量损失。
配电
在配电过程中，利用电磁 场能量进行变压、稳压， 确保电能质量。
电磁场能流在通信领域的应用
磁场能量
01
磁场能量密度
磁场能量密度定义为磁场与磁介质相互 作用产生的能量密度，单位为焦耳/立 方米（J/m^3）。
02
电感储能
在电感器中，磁场能量储存在磁场中 ，与电流和线圈的乘积成正比。
03
磁场能量与电流的关 系
磁场能量与电流分布和磁场强度的平方 成正比，即W=1/2 * μ0 * H^2 * V， 其中W是磁场能量，μ0是真空磁导率密度
电磁波的传播
电磁场总能量密度定义为电场能量密 度与磁场能量密度的和，即W=1/2 * (ε0 * E^2 + μ0 * H^2) * V。
电磁波在空间传播时，携带一定的能 流密度，能流密度与电场强度和磁场 强度的乘积成正比。
电磁场能量的转换与守恒
在电磁场中，电场能量和磁场能量可 以相互转换，但总能量保持守恒。
电磁场的能量和能流
目 录
• 电磁场的基本概念 • 电磁场的能量 • 能流 • 电磁场能量和能流的应用 • 电磁场能量和能流的未来发展
01
电磁场的基本概念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的， 存在于电荷和电流周围的空间。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁场的性质
02
hgq 63电磁场的能流密度.ppt
= E2
J2
1 2 /
v H
v H
=Magnetic
v E
Ev
v J
Jv
energy density
/ Ohmic power
density
该式表明了在任何瞬时流入某闭合面的总功率，等于由这闭合面所包 围的体积内电场和磁场储能的增加率与欧姆损耗功率的总和。
6
§3 电磁场的能流密度
波的强度 I
由矢量恒等式知：
H J D t
E B t
vv v vv v ( EH ) H E EH
那么
v
H
v E
v E
t
v E
v H
t
3
vv v vv v ( EH ) H E EH
在简单媒质中，其本构参数均不随时间变化
uuv uv H E
v H
v B
t
v H
v H
t
1 2
vv
H H
4π r
u
14
辐射强度
S
1 2
Eo Ho
o 4 po2 sin2 32 2cr 2
发射功率——单位时间辐射总能量
Z
d
ds r 2 sin d d
S
P s S ds
pe
d
02 d 0 S r 2 sin d
P o 4 po2 12c
15
P o 4 po2 12c
如何提高振荡电路的发射功率？
2
vv
导电介质中的能量损耗功率：焦耳定律
:
P
V
E
Jdv
P
＝Ev
Jv；
dv
能量与功率（energy and power）的关系P dW
第六节电磁场的能量和能流
10
4.例 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b， 两导线间为均匀绝缘介质(如图)。导线载有电流I， 两导线间的电压为U。 (1) 忽略导线的电阻,计算介质中的能流S和传输功率; (2)计及内导线的有限电导率,计算通过内导线表面 进入导线内的能流,证明它对于导线的损耗功率.
11
解 (1)以距对称轴为r的半径作一圆周 (a<r<b),应用安培环路定律,由对称性得 I Hθ = 2πrH θ = I 因而 2π r 导线表面上一般带有电荷,设内导线单位 长度的电荷(电荷线密度)为τ 应用高斯定理，由 对称性可得 因而
能流密度为14把s对两导线间圆环壮截面积积分得传输功率uidruirdrui既为通常在电路问题中的传输功率表达式这功率是在场中传输的2设导线的电导率为由欧姆定律在导线内有由于电场切向分量是连续的因此在紧贴内导线表面的介质内电场除有径向分量e15因此能流s除有沿z轴传输的分量s还有沿径向的分量s
第六节 电磁场的能量和能流
I ∆l 2 − S r ⋅ 2πa∆l = 2 = I R πa σ
2
15
Ez
r =a
I = 2 πa σ
由于电场切向分量是连续的,因此在紧贴内导 线表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还 有切向分量Ez。 14
因此,能流S除有沿z轴传输的分量Sz外, 还有 沿径向的分量−Sr
− Sr = Ez Hθ I2 = 2π 2 a 3σ
r =a
流进长度为∆l的导线内部的功率为
当V→∞ 时
∫
∞
K K d f ⋅ v dV = − dt
∫ w dV
∞
结论: 场对电荷所做的总功率等于场的总能量减小 率,因此场和电荷的总能量守恒.
第六节电磁场的守恒定律
δω = E · δD + H · δB
◆ 对于各向同性的线性介质
D = εE
,
B = µH
ω = 1 (E · D + H · B) 2
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
§ 6.3 电磁场的动量密度与动量流密度
动
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + J × B 【求解】 形如
途 作
方程中g与←T→的场量表达式。
∂t
∂t
∂t
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
经比较可得
S =E×H
∂ω = H · ∂B + E · ∂D
∂t
∂t
∂t
★ 能流密度S又称之为坡印亭矢量(Poynting矢量)
★ 能量密度必须分不同情况讨论：
◆ 电磁场的能流密度S = S(x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向
★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ =
f
· v dV
+
d dt
ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
◆
场的能量增加率：
d dt
ω dV
◆ 通过界面S流入的能量：− S · dσ（负号是由于dσ是向外的导致）
方程中ω与S的场量表达式。
§ 6.2 电磁场的能量密度与能流密度
【已知】 洛仑兹力公式f = ρE + ρv × B 【求解】 形如
∂ω + ∇ · S = −f · v ∂t 方程中ω与S的场量表达式。 【解】 f · v = (ρE + ρv × B) · v = ρE · v = J · E
电磁场的能量和能流
t
而当V→∞时，通过无限远界面的能量为零，有：
v f
vvdV
d dt
wdV
表明场对电荷所作的总功率等于场的总能量减小率
4
2、电磁场能量密度和能流密度的表达式
由Lorentz力公式：fv
v E
v J
v B
v E
vv
v B
v f
vv
w
v S
ห้องสมุดไป่ตู้
0
t
根据能量守恒定律表达式有：
w
v S
v f
vv
v E
vv
量，方向为电磁场能量流动的方向。描述能量在场内的传播
v S
W
t
evn
(2) 能量守恒
单位时间通过界面S流入V内的能量可以用
能流密度表示为：
W
v
ÑS S
dv
dv
evn
v
S
S
2
由于在V内存在电荷和电流分布，因而流入的电磁场会对电荷做
功，使得系统的机械能增加，单位时间内电磁场对电荷所作的功
为：
Wm
V
v B
vv
vv E J
t
v
v
v H
v J
v D
t
v E
v
v H
D t
v E
D
t
v E
v H
E B t
v E
D
v (E
v H)
v H
Ev
t
v E
v H
v E
v D
v H
v B
v (E
v H)
v H
Ev
v E
v H
电磁场的动量和动量流
∫ ∫ ∫ 5）电动力学中动量守恒定律的积分形式
G f dV +
G
∂g dV = −
>>
∇ ⋅T dV
G f
+
G ∂g
=
>>
−∇ ⋅ T
∂t
V
V ∂t
V
∫ ∫ ∫ G
f
dV
+
d
G
>> G
−
Ez
∂Ez ∂x
⎤G ⎥ex ⎦
=
⎡ ⎢E ⎣
y
⎜⎜⎝⎛
∂Ex ∂y
−
∂Ey ∂x
⎟⎟⎠⎞ +
Ez
⎜⎛ ⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞⎥⎤eG ⎠⎦
x
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G
f = ε0
G ∇⋅E
G E+
G ∇×E
G ×E
+
1
μ0
GG
GG
∇⋅B B+ ∇×B ×B
bx by bz
等式左边的 x 分量：
[( ) ] [( ) ( ) ] G G
G
GG
∇× E × E x = ∇× E y Ez − ∇× E z Ey ex
=
⎢⎡⎜⎛ ⎣⎝
∂Ex ∂z
−
∂Ez ∂x
⎟⎞ ⎠
Ez
− ⎜⎜⎝⎛
∂Ey ∂x
−
∂Ex ∂y
⎟⎟⎠⎞E
y
⎤G ⎥ex ⎦
电动力学能流密度
电动力学能流密度电动力学能流密度是指电磁场中的能量流动密度，也就是单位时间内通过单位面积的能量。
在电磁场中，能量以电磁波的形式存在，电磁波的能量输送是通过电磁波的传播实现的。
在空间中，太阳辐射、地球辐射、辐射加热等现象都是通过电磁波的方式进行能量传递。
电动力学能流密度的公式为：其中E和B分别代表电场和磁场强度，c为真空中的光速，ε0为真空介电常数，μ0为真空磁导率。
电动力学能流密度的量纲为功率密度，即Joule/square meter-second。
它是一个向量量，其方向与电场和磁场正交，根据右手定律，如果电场的方向是x轴正方向，磁场方向是y轴正方向，那么能流密度的方向就是z轴正方向。
能流密度主要是用来描述电磁波的能量传输，电磁波是由变化的电场和磁场相互作用形成的。
在一个电磁场中，能量可以从电场转移到磁场，也可以从磁场转移到电场，二者之间是相互转换的关系。
能流密度的方向与电场和磁场的相对关系有关，如果电场和磁场方向相互垂直，那么能量流动的方向就沿电磁波的传播方向。
在单色平面波的情况下，能流密度仅仅与电场和磁场的相对相位有关。
电动力学能流密度在电磁场中的应用非常广泛，例如在无线通信、雷达、光学、等领域都有着重要的作用。
在电力系统中，电动力学能流密度可以用来计算电磁场对电力设备的影响，例如变压器、电缆、变频器等。
此外，我们还可以通过能流密度来计算电磁波辐射场，特别是在电磁辐射防护方面，电动力学能流密度的研究是非常重要的。
总之，电动力学能流密度是电磁波能量传递的重要量，具有广泛的应用前景。
通过对电动力学能流密度的研究，我们可以更好地理解电磁波能量传递的规律，为电磁波技术的发展和应用提供科学依据。
电磁场的能量密度和动量密度
圻
圻
B 袁D =着0E .因此有院S =
1 滋0
圻
E×
圻
B
和
w=
1
2
(着0E2+
1 滋0
B2)袁w 即为真空中的电磁场能
量密度.
圻 圻圻
圻
渊 2冤 有介质内情形.若为线性介质情形袁D =着E ,B =滋H 袁
则
圻
S
=
1 滋0
圻
E×
圻
B
=
1 着
圻
D×
圻
圻 圻圻 圻
H 和 啄w=E窑啄D +H窑啄B
(2.1.6)
2
圻圻
=塄窑(E E )-
1
圻
塄窑(啄 E2)
2
圻圻
=塄窑(E E -
1 2
圻
啄 E2)
圮
圻
圻 圮圮
式中啄 是单位二阶张量袁 对任一矢量A 都有A窑啄 =啄窑
圻圻 圻圻
(E窑D +H窑B )
2
渊 2.1.7冤
2.2 动态电磁场的动量密度
假定空间某一区域袁其内有一定电荷分布.区域内的场
和电荷之间由于相互作用而发生动量转移袁 同时区域内的
场和区域外的场也通过界面发生动量转移. 由于动量守恒袁
单位时间从区域外通过界面 S 传入区域 V 内的动量应等于
V 内电荷的动量变化率加上 V 内电磁场的动量变化率.若以
表达式.
2.1 动态电磁场的能流密度
由洛伦兹力公式袁得
圻
圻
圻
圻 圻圻
J窑v=(籽E +籽v× B )窑v=籽v窑E =J窑E
(2.1.1)
圻
电磁波的性质及能流密度 赫兹实验
自由空间传播的平面电磁波性质小结
变化的电磁场在空间以波动形式传播，形成 电磁波
电磁波是横波k E、 k H 、 E H ； 三
者成右手螺旋关系；电振动和磁振动同相位， 且振幅成比例
电磁波传播速度
介质中速度
v 1
c 1
0 0
0 0
真空中 速度
2013/6/3
说明：
严格而言，以上结论只适用 于在自由空间传播的平面电 磁波，对于局限在空间有限 范围内或导电介质中的电磁 波，例如在波导管中传播的 电磁波，不一定都成立。
讨论
电磁场是一种物质,电磁场运动与其他物质运 动形式之间能够互相转化，它们都具有共同 的运动量度能量
能量是按照一定的方式分布在电磁场内的， 而且随着电磁场的运动，能量将在空间中传 播
引入S的过程中，完全没有用到电磁场迅变 条件，说明玻印亭矢量的概念不仅适用于迅 变电磁场，也适用于恒定场
2013/6/3
例：利用玻印亭矢量分析直流电路中电源对电路
供电时能量传输图象（p432/p433） j (k E)
电源内部：有非静电力 k与E方向相反
且 E k j与k方向一致
电源向外部空间输出能量
电源以外导线 j与E方向一致
一般有较 大的法向
分量
2013/6能/3量从外向里输入
界面上，E的 切向分量连续
首次通过实验实现了电磁振荡的发射和接受，证实了电磁 波的存在
2013/6/3
电磁波的产生和传播
Hertz振子为什么能作为有效的电磁波发生器？
产生电磁波的条件
振源频率必须足够高 电路必须开放
1
LC
发射的电磁波所需能量由感应圈不断补给
电磁波在空间怎样传播
电磁场的能量和能流
f
vdV
d dt
wdV
• 场和电荷的总能量守恒
2 电磁场能量密度和能流密度表示式
由麦克斯韦方程式
J H D
t
VJ
EdV
V
E ( H )
E
D t
dV
利用矢量恒等式
(E H ) H ( E) E ( H )
解:(1)沿电流方向以导线的轴线为z轴取柱坐 标系,由安培环路定律知
H
I
2 r
e
(a r b)
b a
设载流导线表面电荷线分布为τ ,介质内电场分布为
E 2 r er
两导线间的电压为
b
b dr b
U a Edr 2 a
r
ln
2 a
因此 2U
图 5-5 坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
H
e
I
2b
因此，导线表面的坡印廷矢量
S
E
H
er
I2
2 2b3
它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，
有
S
S
dS
S
S
erdS
I2
2 2b3
2bl
• 能量守恒定律的积分
形式为
S d
V
f
vdV
d dt
电磁场的动量
p3
S1T13
S
2T23
S3T33
写成矢量式：P S T
这就是经过面元ΔS流出旳动量。所以，经过闭合曲
面流出旳总动量为
T ds
S
张量 T 旳分量Tij 旳意义是经过垂直于i 轴旳单位面积
流过旳动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量旳进一步了解，下面讨论电场 中旳几种特殊面上旳力。
2) 若面法线方向旳单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上旳
电磁力为
P电磁
nT
n [0 (EE
1 2
E 2I )]
n
0
EE
1 2
0n
E
2I
1 2
0E
2n
其中用到 n E 0 , n I n
成果表白单位面积上旳电磁力P电磁沿单位面积旳法线方向， 与电场方向垂直，负号阐明是压力，故垂直于电场线方向
Maxwell应力张量旳分量物理含义：
z C
△S
O
A
y B
x
设ABC为一面元ΔS，这面元旳三个分量为三角形OBC、
OCA和OAB旳面积，OABC是一种体积元△V，
z
经过界面OBC单位面积流入
C
体内旳动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
经过界面OCA单位面积流入
O
体内旳动量三个分量为： A
(
E
)
E
( EE
)
1
(E
E
)
(
EE
)
1
(E
2
I)
2
2
( EE
电磁场的动量.
P = ω cos2 θ
（7.16）
若电磁波从各个方向入射，对θ取平均后得
P=ω
3
（7.17）
（7.17）式对于在表面完全吸收电磁波的 情况也是成立的，它是黑体辐射对界面所施 压强的公式。
由动量流密度张量J可以较简单地得出上 面的结果。设Ei垂直入射面，在完全反射情 形中有Er=-Ei，则界面上总电场强度E=0， 总磁场为B=2Bicosθ,B与界面相切。设n为指 向导体内的法线，有n•E=n•B=0，则
n•J
=
1 n( 1
2 µ0
Β2) =
2
µ0
Βi2 cos2 θ
n = 2ωi cos2 θ
n
则导体表面受到压强
P = 2ωi cos2 θ
与（7.15）式相符。
在一般光波和无线电波情形中，辐射压强 是不大的。例如太阳辐射在地球表面上的能流 密度为1.35×103W•m-2，算出辐射压强仅为 ~10-6Pa。
∆p3 = ∆S1Τ13 + ∆S 2 Τ23 + ∆S 3Τ33
写成矢量形式为
∆p = ∆S •J
(7.11)
这就是通过面元∆s流出的动量。则通过
闭合曲面流出的总动量为
∫ dS •J
(7.12)
张量J 的分量Tij的意义是通过垂直于i轴 的单位面积流过的动量j分量。
例１求平面电磁波的动量流密度张量。
用麦克斯韦方程组把（7.1）式右边完全用场 量表出。由真空中的方程
ρ = ε0∇ • Ε
J
=
1
µ0
∇×Β
−ε0
∂Ε ∂t
可以把方程（7.1）化为
f
= ε 0 (∇ • Ε)Ε +
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E H H E E H
因此
dW dt
(E (V )
H )dV
(V )
j0
EdV
利用矢量场论的高斯定理
A dS AdV
S V
(E H ) d j0 EdV
产生加速度。
假定Δt 如此之短，可以认为粒子的
位置几乎未离开O点，但却已获得速
度u=at，此后粒子以速度u匀速前进。 为简单起见．设u<<c ，即粒子的运
动是非相对论性的。
考虑脉冲后又经过时间间隔τ的情况。这时脉冲 前后的波前已传播到以O为中心、半径分别为 c(Δt+τ)和cτ的同心球面上，而粒子到达了O’的位
S 1 2
r0 r 0
E02
电磁波中的能流密度正比 于电场或磁场振幅的平方
3.2 带电粒子的电磁辐射
一个匀速运动的带电粒子产生的电场都是径向的，
不是横波，它不会发射电磁波，因为电磁波是横
波。要发射电磁波，粒子一定要有加速度。
设带电粒子q在时间t＝0 以前静 止在原点O处，在t＝0 到Δt 区间 在沿z 方向受到一个方脉冲力而
引入一个新的矢量S，其定义如下
S E H —— 坡印廷矢量
于是 dW P Q S d
dt
()
在体积V内单位
时间内增加的 电磁能dW/dt
此体积内单 位时间电源 作的功P
焦耳损 耗Q
坡印廷 矢量的 面积分
讨论坡印廷矢量
能量守恒的观点看：
S d
偶极振子附近电场分布
（1）靠近振子中心（r<<波长λ，或r与λ同数量级）
（这时它与静态偶极子电场相近）
t=0时，正负电荷正好位于中心(a),这时振子不带 电，没有电场线与它相连 在振动的前半个周期内，正负电荷分别朝上下两 方向移动(b)，经过最远点后(c)又移向中心(d)
在这期间出现了由上面正电荷到下面负电荷的电 场线，同时这电场线不断向外扩展。最后正负电 荷又回到中心相遇(e)，完成了前半个周期。这时 振子又不带电了，原来与正负电荷相连接的电场 线两端衔接起来，形成一个闭合圈后脱离振子(f)
传导电流j0，还受洛伦兹力F， F沿 E×H方向，自由电子将此力传给金
属板， 获+z方向动量，意味着电磁波
动量发生了相反方向的变化
Hy
设入射、反射电磁波坡印亭矢量分别
为S入， S反，则金属板面元△∑受到
的力：
1
金属板受到的压P强FF：1ct c|S(P1c入SFF入(S1ct入S1c|反SS(反1入S|S)入(反S入)S反S反|S)反t)t
置，OO’＝uτ
t＝0以前粒子停留在O不动，大球面以外的电场
线以O为中心沿着径向分布
匀速运动的带电粒子所产生电场的瞬时分布也是 以它自己为中心沿着径向的，即小球面以内的电 场线以O’为中心沿着径向分布。
在两球面之间的过渡区里电场线发生曲折，这里 正是带电粒子脉冲加速的影响传播所及的地方。 在此区间电场E既有横分量Eθ，又有纵分量Er。 对电磁辐射有贡献的只有横分量Eθ
3.3 偶极振子的辐射
最重要的电磁辐射振源模型是 偶极振子，它可看作是一个偶 极矩p 作简谐振荡的偶极子：
p p0 cost
可看作是由一对相对作简谐振动的正、负电荷组成的
可看作是一段导线，其中有交变电流，其两端所积累的电荷 也正负交替地变化着。
计算表明
偶极振子周围电场强度矢量E位于子午面内，磁场 强度矢量H位于与赤道面平行的平面内，二者相互垂 直。
单磁△波位t时体动间积量内内改金 动传电变属量播：改板距P变和FFGg离分电1c为t1c1|c磁别SGV((c1c入SS△入为波反(SPc入S1FFGt：2反SS，(反入1cS|tS)反)1c1|c体反S(()1c入SS积PgS入反(S入FGgt入S：)t反SScc1t反2入|1|c△ScE)S1)GV反(21c入S)∑S反(反HSc入S1ct2反S△(ct入1S|2S反)反tS入)S入t)t
E
1
4 0
qa sin
c2r
电磁辐射能流密度大小的计算
S E H EH
0 E 2
0
真空中 1
其中的 E应为E
E
E
1
4 0
qa sin
c2r
2
S
0 0
E2
0 0
qa sin 4 0c2r
1 q2a2 sin2 00 16 20c4r 2
2
2
P
c
S入
EH c
G
1 c
(
S反
S入
)t
G 1
1
如被照射面全吸收（绝对黑体），g则 SV反=c2 0(S反，正S入) c2 S反
入射的光压：
1
1
P c
S入
EH c
g 1 EH c2
光压非常小，很难观察到 原子物理中，光在电子上散射时与电子交换动量（康普 顿散射） 天体物理中，星体外层受到核心部分的万有引力相当大 一部分靠核心部分的辐射产生的光压平衡。 例如，彗星尾是由大量尘埃组成的，当彗星运行到太阳附 近时，由于这些尘埃微粒所受到的来自太阳的光压比引力 大，所以它被太阳光推向远离太阳的方向而形成很长的彗 星尾。彗星尾被太阳光照得很亮，有时能被人用肉眼看到
每根环形磁场线的半径都随时 间不断向外扩展
偶极振子辐射的能流密度在空 间的分布与本节3.2的描述相同
电场线 磁场线
坡印亭矢量的大小S与粒子的加速度a的
平方成正比，与距离r 的平方成反比，
与sin2 成正比
据
S
q2a2 sin 2 16 20c3r 2
因振荡电荷位移r正比于cost ， 加速 度a正比于 2 cost，所以能流密度正比
与地面大气压强相比，太阳光在镜面上产生的光压是很难 观测到的非常小的压强。数值为
9106 N/m2
§3 电磁场的能流密度与动量
3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量
在空间取一任意体积V，设其表面为 Σ，则该体
积内的电磁能为
W
We
Wm
1 2
(D E
(V )
B H )dV
在非稳恒情况下，各场量随时间变化，电磁能
W随时间的变化率为
dW 1 d
1
()
(V )
先分析 j0 EdV的物理意义
(V )
有非静电力K的 情况下欧姆 定律 的微分形式为
j0
(
E
K
)
j0 E j02 j0 K
E j0 K
j2 j j
0
00
取V为一个小电流管，设其截面积和长度分别为 ΔΣ和Δl，考虑到j0与Δl方向一致，于是
沿流管的电 动势ΔE
是单位时间
I
2 0
R
I0
电源作的功
这个结论完全不限于V是小流管的情形，对于任何
体积V，都代表此体积内单位时间释放的焦耳热Q与
单位时间非静电力作的功P之差，即
j0 EdV Q P
(小流管)
再分析
(E H ) d
的物理意义
()
j0
EdV
j0
j0 E
E j02 j0 K
l j02l
j0
Kl
(V )
l
j02
j0
K
l
是单位时间释放 出来的焦耳热
小流管 的电阻R
小流管中 的电流I0
H H
2H
B
t
利D用 麦克 斯H 韦j方程组B
E
t
0
t
(D E B H ) 2(E H H E j E)
t
0
(A B) B A A B
在后半个周期中的情况与此类似．过程终了时 再形成一个电场线的闭合圈。不过前后两个闭合 圈的环绕方向相反。
偶极振子附近电场线的分布
（2）离振源足够远的地方(r>>λ)称之为波场区
电场线都是闭合的，当距离r增大 时，波面渐趋于球形，电场强度矢 量E趋于切线方向，波场区内E垂 直于矢径r
在上述任何区域里，磁场线皆如 图所示，是平行于赤道面的一系 列同心圆，故H同时与E和r垂直。
c 1
0 0
带电粒子电磁 辐射的方向性
S
q2a2 sin2 16 20c3r 2
分析
S
q2a2 sin 2 16 20c3r 2
辐射的能流密度S与粒子的加速度a的
S a2
平方成正比
带电粒子因其有加速度而产生电磁辐射的现象
是十分普遍的。
辐射的能流密度S与距离r 的平方成反比
1 c2
S反
g
1 c2
E
Hg
G V
1 c2
(S反
S入 )
1 c2
S反
1 c2
S入
定义电磁波动量密度：g
1 c2