互感电路的计算(2)

I I1 + I2
U (R1 + jωL1 )I1 + jωM(I - I1 )
I
1M
+
U
+
U 1
*
-
I1
L1
+
U+ 2*
I2
L2
-
+
U R1 R1 U R2 R2
--
-
[R1 + jω(L1 - M )]I1 + jωMI
I
U (R2 + jωL2 )I2 + jωM(I - I2 ) 1+
(- jωL3 - Z3 - jωM12 + jωM13 + jωM23 )Ia +
(Z2 + jωL2 + jωL3 + Z3 - j2ωM23 )Ib -U返S回2 上页 下页
互感电路
此题也可先作出去耦等效电路，再列方程(一对
一对消)：
M12
• L1
L2
•
*
M13
L3 M23
*
L1-M12 L2-M12
I1
Z2 - ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U，
I
M
+ U
U+ 1* -
I1
L1
+
+* I2
U 2
-
L2
+
U R1 R1 U R2 R2
--
-
I2
Z1 - ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U
I I1 + I2
Z1 + Z2 - 2ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U
Zeq
Z1 Z2
-
Z
2 M
Z1 + Z2 - 2ZM
jL1
jL2
jM
3 I
3 I
U13 jωL1I1 + jωMI2
U23 jωL2 I2 + jωMI1 I I1 + I2
U13 jω(L1 - M )I1 + jωMI U23 jω(L2 - M )I2 + jωMI
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互感电路
2)非同名端接在一起
I1 jM I2
1*
2
L3+M12 *
M13
M23
*
L1-M12 -M13 +M23 L2-M12 +M13 -M23
L3+M12 -M13 -M23
想一想：若 M12 = M13 = M23 = M ，试画出去耦
等效电路？
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互感电路
4.耦合电感的受控源等效电路
I1 jωM I2
I1 jωMI2
++ -
++ +*
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互感电路
I1 Z1
M12
L1
L2
Z2 I2
例6 列写右图 电路方程。
分析：
+
U S1 -
*
Ia
M13
Z3
L3 M23 *
I3
Ib
+ U S2
-
支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压
可以直接计入KVL方程中;
节点法:方程列写较繁，因为与有互感支路所连
接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不
U 1
L1
*+++
L2
U 2
U 1 jωL1 -
-- -
---
U1 jωL1I1 jωMI2 U2 jωL1I2 jωMI1
I1 jωMI2
+- + U 1 jωL1
两种等效电路的特点：
-
jωMI1 I2
- ++
jωL2
U 2
-
jωMI1 I2
+ -+
jωL2
U 2
-
(1)去耦等效电路简单，等效电路与电流的参考方向
--
M
I1
L1
+*
U 2
+-
R1 U R2
-
I2
L2
R2
令Z1 R1 + jωL1， Z2 R2 + jωL2，ZM jωM，则
U
Z1 I1
+
ZM
I2
U ZM I1 + Z2 I2
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互感电路
1)同侧并联：并联且同名端连接在同一个节点上
U
Z1 I1
+
ZM
I2
U ZM I1 + Z2 I2
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互感电路
2)异侧并联：并联且非同名端连接在同一个节点上
U
Z1 I1
-
ZM
I2
U - ZM I1 + Z2 I2
I1
Z2 + ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U，
I
M
+ U
U+ 1* -
I1
L1
+
+
U 2
+-*
I2
L2
U R1 R1 U R2 R2
--
-
I2
Z1 + ZM
Z1 Z 2
无关，但必须有公共端；
(2)受控源等效电路，与电流参考方向有关，不需公
共端。
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互感电路
思考与练习
1．两互感线圈（参数分别为L1和L2）同（异）侧 相并联时，其等效电感量Leq （ ）。
2．两互感线圈（参数分别为L1和L2）顺（反）向
串联时，其等效电感量Leq （
）。
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-
M
IR
＋
U
－
S
C
2 +15 +1 2 +1 + 5 +1
-1
H
1H
1 1rad / s
LeqC
-M L1 + M L2 + M
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互感电路
3. 耦合电感的三端连接（两电感有公共端）
1)同名端接在一起 I1 jM I2
I1 I2
1
2
1 ** 2
j(L1-M) j(L2-M)
I I1 + I2
U (R1 + jωL1 )I1 - jωM(I - I1 )
I
1M
+
U
+▲
U 1
-
I1
L1
+ I2
U 2 L2
-▲
+
+
U R1 R1 U R2 R2
--
-
[R1 + jω(L1 + M )]I1 - jωMI U (R2 + jωL2 )I2 - jωM(I - I2 )
同相。试求电容 C 和电流 i 。 i
M
解：作去耦电路
＋R uS
C*
*
L1
L2
因为电压 us 与电流 i 同相 －
所以电路发生了谐振
由谐振条件 电路的电抗部分为零
＋I R
US
－
CM L1 - M
L2 - M
j
C
M
+ (L1 - M (L1 - M )
0.25μF
)(L2 - M )
i+(Lu2 S-
M23
+ U S2
-
Z3 I3
-
+ (jωL3 I3 - jωM13 I1 - jωM23 I2 ) + Z3 I3 US1 Z2 I2 + (jωL2 I2 + jωM12 I1 - jωM23 I3 )
+ (jωL3 I3 - jωM13 I1 - jωM23 I2 ) + Z3 I3 US2
能以节点电压简单地写出有互感的支路电流的表达
式。
关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式
中的正负号，不要漏项。
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互感电路
支路法：
I1 + I2 I3
Z )
I1 Z1
M12
L1
L2
Z2 I2
*
+
U S1
M13
L3 *
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互感电路
回路法：
I1 Z1
L1 M12 L2
Z2 I2
*
+
U S1
M13
L3 *
M23
+
U S2
-
Ia
Z3 Ia - Ib Ib
-
Z1Ia + [jωL1Ia - jωM12 Ib - jωM13 (Ia - Ib )]
+ [jωL3 (Ia - Ib ) - jωM13 Ia + jωM23 Ib ] + Z3 (Ia - Ib ) US1
当R1
R2
0时，有 Zeq jω
L1L2 - M 2 L1 + L2 - 2M
jωLeq
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互感电路
2)异侧并联：并联且非同名端连接在同一个节点上
I
M
U UR1 + U1 R1I1 + jωL1I1 - jωMI2 +
(R1 + jωL1 )I1 - jωMI2
U
U+ 1* -
I1
I1
+
I2
I3
( Z1 + jωL1 - jωM13 )I1 + (jωM12 - jωM23 )I2 + (Z3 + jωL3 - jωM13 )I3 US1
(jωM12 - jωM13 )I1 + ( Z2 + jωL2 - jωM23 )I2
+ (Z3 + jωL3 - jωM23 )I3 US2
-
Z
2 M
U
I
I1
+
I2
Z1 + Z2 + 2ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U
Zeq
Z1 Z2
-
Z
2 M
Z1 + Z2 + 2ZM
当R1
R2
0时，有
Zeq
jω
L1L2 - M 2 L1 + L2 + 2M
jωLeq
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互感电路
3)同侧并联时的去耦等效电路 U (R1 + jωL1 )I1 + jωMI2 U ( R2 + jωL2 )I2 + jωMI1
M
2
I1
I2
[R2 + jω(L2 - M )]I2 + jωMI
根据上述方程可获得无互感
U
L1 - M L2 - M
R1
R2
等效电路(去耦等效电路)。
-
注意去耦等效电路中的节点。
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互感电路
4)异侧并联时的去耦等效电路 U (R1 + jωL1 )I1 - jωMI2 U ( R2 + jωL2 )I2 - jωMI1
Z2 Ib + [jωL2 Ib - jωM12 Ia + jωM23 (Ia - Ib )]
- [jωL3 (Ia - Ib ) - jωM13 Ia + jωM23 Ib ] - Z3 (Ia - Ib ) -US2
(
Z1
+
jωL1
+
jωL3
+
Z3
-
j2ωM13
)Ia
+
(- jωL3 - Z3 - jωM12 + jωM13 + jωM23 )Ib US1
M)
5
+
sin
1
jC
103 tA
0
R
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互感电路
例5 图示电路中，已知L1=2H，L2=5H，M=1H，
R=1Ω，C=1F。求该电路谐振时的角频率 。
i
M
解：作去耦电路 电路的等效电感为
＋R C *
uS
L1
L2
－
*
Leq
L1 + M L2 + M L1 + M + L2 + M
jL1
jL2
3 *I
I1
1
j(L1+M)
I2
2
j(L2+M)
-jM
3 I
U13 jωL1I1 - jωMI2
U23 jωL2 I2 - jωMI1
I I1 + I2
U13 jω(L1 + M )I1 - jωMI U23 jω(L2 + M )I2 - jωMI
等效电感与电流的参考方向有关吗？
L1
+
+
U 2
+-*
I2
L2
U UR2 + U2 R2I2 + jωL2 I2 - jωMI1-
U R1
-
R1 U R2
-
R2
(R2 + jωL2 )I2 - jωMI1
令Z1 R1 + jωL1， Z2 R2 + jωL2，ZM jωM，则
U
Z1 I1
-
ZM
I2
U - ZM I1 + Z2 I2
互感电路
2.耦合电感的并联
1)同侧并联：并联且同名端连接在同一个节点上
U UR1 + U1 R1I1 + jωL1I1 + jωMI2 (R1 + jωL1 )I1 + jωMI2
I + U+1*
U UR2 + U2 R2I2 + jωL2 I2 + jωMI1 U
+
U R1
(R2 + jωL2 )I2 + jωMI1
I
1+
-M
2
I1
I2
[R2 + jω(L2 + M )]I2 - jωMI
根据上述方程可获得无互感
U
L1 + M L2 + M
R1
R2
等效电路(去耦等效电路)。
-
注意去耦等效电路中的节点。
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互感电路
例4 图示正弦稳态电路中， uS (t) 100 sin103tV ，
R=20Ω，L1=5H，L2=8H，M=2H，且电压 us 与电流 i