角动量角动量守恒定律jm
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高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
角动量角动量守恒定律
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘
质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
M 0,
(F
0,或r
0)
(r||
F，或
r反||
F)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件:
M
0
结论: L 恒矢量
由：M
r
F
有心力
rF
M 0
O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r dp
dr
p
dt dt
dt dt
dr v, v p 0
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘
质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
M 0,
(F
0,或r
0)
(r||
F，或
r反||
F)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件:
M
0
结论: L 恒矢量
由：M
r
F
有心力
rF
M 0
O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r dp
dr
p
dt dt
dt dt
dr v, v p 0
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量守恒定律和动量守恒定律
角动量守恒定律和动量守恒定律角动量守恒定律和动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起着关键作用。
我们来了解一下角动量守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的转动惯量和角速度有关。
当一个物体不受外力或外力矩的作用时，其角动量守恒。
简单来说，这意味着物体的角动量在运动过程中保持不变。
例如，在没有外力作用下，一个旋转的陀螺会保持自己的角动量，即使它的方向和速度发生改变。
接下来，我们来了解一下动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
当一个系统不受外力作用时，其总动量守恒。
简而言之，这意味着系统中各个物体的动量之和在运动过程中保持不变。
例如，在碰撞过程中，两个物体之间的动量可以相互转移，但总动量保持不变。
角动量守恒定律和动量守恒定律是基于牛顿力学的基本原理推导而来的。
牛顿第一定律指出，当一个物体受到的合力为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而牛顿第二定律则表明，物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
基于这两个定律，我们可以推导出角动量守恒定律和动量守恒定律。
在物理学中，守恒定律是描述自然界中一些重要物理量保持不变的规律。
角动量守恒定律和动量守恒定律是这些守恒定律中的两个重要的例子。
它们不仅在经典力学中有广泛应用，而且在其他领域，如量子力学和相对论中也有重要的意义。
角动量守恒定律和动量守恒定律的应用非常广泛。
在物理学中，它们被用于解释各种运动现象，如行星的运动、天体的自转、杠杆原理等。
在工程学中，它们被用于设计和优化各种机械系统，如汽车发动机、航天器姿态控制系统等。
在生物学中，它们被用于研究动物的运动机制和人体的运动生理学。
在化学和物理化学中，它们被用于解释分子反应和化学平衡等现象。
角动量守恒定律和动量守恒定律是描述物体运动过程中重要的守恒定律。
它们在物理学的各个领域都有广泛的应用。
通过研究和理解这两个定律，我们可以更好地理解和解释自然界中的各种现象。
大学物理 角动量 角动量守恒定律
z L mv
r
注意
L r mv
角动量 L在直角坐标系中各坐标轴的分量：
1. 质点的角动量与质点对固定点的矢径有关；同一质 点对不同的固定点角动量不同。 2. 讲角动量必须指明对哪一个固定点而言。
Lx ypz zp y Ly zpx xpz
角动量的单位：
例2.17 一质量为 m的质点t=0时位于 ( x1 , y1 )处，速度为 v0 v x 0 i v y 0 j ，质点受到恒力 f = f i 的作用，（1） 求t=0时相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力 的力矩（2）求2s后相对于原点的角动量的变化中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v 2 与OB方向成θ角，则有
l0 (m M ) v1 l (m M ) v2 sin
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M ) v1 (m M ) v2 k (l l0 ) 2 2 2 2
( x1mv y 0 y1mv x 0 )k
作用在质点上的力的力矩为
M 0 r0 f ( x1i y1 j ) ( f i )
y1 f k
t t （2） L Mdt (r f )dt t0 t0 f f f 2 a i x x1 vx 0t t m m 2m
k (l l0 ) 2 m2 2 v2 v0 (m M ) 2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m 2 v0 k (l l0 ) 2 (m M )
例 . 在光滑的水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系 一小球放在桌面上，另一端用手缓慢拉绳，开始时小球绕孔运动， 半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径变为 r2 时,求小球的速率 v2？
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
角动量定理、角动量守恒定律
在 M d L 中 ，若 M 0 dt
即：J J
1
2
M 0 的原因可能有：
则 L常量
（1） F 0 （不受外力）
（2）外力作用于转轴上
（3）外力作用线通过转轴
（4）外力作用线与转轴平行
以上几种情况对定轴转动均没有作用，则刚
体对此轴的角动量守恒。
角动量守恒定律也适用于定轴转动系统。
例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂伸 直水平地举起两哑铃，在该人把此二哑铃水平收缩 到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 的：
（A）机械能守恒，角动量守恒 （B）机械能守恒，角动量不守恒 （C）机械能不守恒，角动量守恒 （D）机械能不守恒，角动量不守恒
选C
像其他所有行星一样，太阳是由大量的灰尘雾和早 先充满宇宙空间的气体所组成。在几十亿年的时间内， 这些物质在引力的吸引下，慢慢缩聚起来，刚开始的时 候，这些气体团旋转的很慢，后来随着它们体积的缩小， 旋转速度不断提高，这个道理就和滑冰运动员把自己的 双臂逐渐收拢起来的时候，她的旋转速度就会不断加快 的道理一样。缩聚和旋转速度的加快，使组成太阳的物 质变成一个碟子般的东西。
2、刚体的角动量定理 在定轴转动中
MJaJddJ
dt dt
积分形式：
0 tM d tL L 1 2d L L 2 L 1 J2 J1
左边为对某个固定转轴的外力矩的作用在某段时间内 的积累效果，称为冲量矩。 右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
3、角动量守恒定律
盘状星系——角动量守恒的结果
例2：有一个半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖 直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀 角速度 0 转动，此时有一质量为m的人站在转台中 心。随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时 转台的角速度为：
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
几何守恒律
几何守恒律是物理学中的一组基本原理，描述了在空间中某个物理量的守恒性质。
根据不同的物理量，可以有不同的几何守恒律，以下是一些常见的几何守恒律：
质量守恒定律：质量在物理过程中守恒，即系统中的质量总和不会发生改变。
动量守恒定律：动量在物理过程中守恒，即系统的总动量在没有外力作用下保持不变。
能量守恒定律：能量在物理过程中守恒，即系统的总能量在没有能量转化或能量流入流出的情况下保持不变。
角动量守恒定律：角动量在物理过程中守恒，即系统的总角动量在没有外力矩作用下保持不变。
电荷守恒定律：电荷在物理过程中守恒，即系统中的总电荷数不会发生改变。
线性动量守恒定律：线性动量在物理过程中守恒，即系统中各个质点的线性动量矢量的矢量和在没有外力作用下保持不变。
这些几何守恒律是物理学中非常基础的定律，通过它们可以更好地理解和描述自然界中各种物理现象的守恒性质。
刚体的角动量和角动量守恒定律
2．刚体的角动量
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
大学物理
大学物理
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
大学物理
大学物理
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律
圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律在物理学中，圆周运动是指物体沿着一个圆形轨道运动。
当物体进行圆周运动时，存在着动量守恒和角动量守恒的定律。
动量守恒和角动量守恒是物理学中的基本原理之一，也是研究运动规律和力学原理的重要工具。
一、动量守恒定律动量守恒定律是指在没有外力作用的情况下，物体的总动量保持不变。
对于圆周运动而言，动量守恒定律可以适用于各个时刻。
动量是物体的质量乘以速度，即p=mv，其中p表示物体的动量，m 表示物体的质量，v表示物体的速度。
在圆周运动中，物体沿着圆形轨道做运动，速度的方向会不断改变，但动量的大小保持不变。
这是因为当物体在圆周运动中改变速度方向时，速度的变化会导致动量方向的改变，从而使得总动量保持不变。
二、角动量守恒定律角动量守恒定律是指在没有外力矩作用的情况下，物体的总角动量保持不变。
对于圆周运动而言，角动量守恒定律同样适用。
角动量是物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω，其中L表示物体的角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
在圆周运动中，物体围绕圆心旋转，角速度的大小和方向会随着物体位置的变化而改变，但角动量的大小保持不变。
这是因为当物体在圆周运动中改变角速度时，角速度的变化会导致角动量的方向的改变，从而使得总角动量保持不变。
三、动量守恒和角动量守恒的应用动量守恒和角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。
在圆周运动中，这两个定律具有重要的意义。
首先，动量守恒定律可以用来分析各个时刻物体的速度和动量之间的关系。
当物体进行圆周运动时，可以根据动量守恒定律计算物体在不同位置处的速度，从而探究物体在圆周运动中的动态变化。
其次，角动量守恒定律可以用来解释物体的稳定性和旋转运动的特点。
在圆周运动中，当物体的角动量守恒时，可以得出物体旋转的稳定性条件，进一步推导出绕心轴转动的物体的运动规律。
此外，动量守恒和角动量守恒还可以应用于机械装置和工程设计中。
通过分析物体在圆周运动中的动力学特性，可以优化设计并提高装置的效率和稳定性。
刚体定轴转动角动量守恒定律解析
MR2
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
2
d
dt
R0
t
t
d dt
0
0
01
ut
(
2m
)
1 2
arctan[ M ]
0
2mu2t 2
MR2
dt
第四u章( 2Mm
1
刚) 2体力学
R
8 22
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
角动量守恒定律在工程技术上的应用
陀螺仪与导航
陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。
l 2
处)
解得
t
2 m2
v1 v2
m1g
O
关于摩擦力矩 在x处取dm，dm m1 dx
x l
l
dm
元摩擦力 df dmg
m1
元摩擦力矩 dMr df x dmg x
总摩擦力矩
M r
dMr
l m1 gxdx m1g l 2
0
l
l2
m1g
l 2
第四章 刚体力学
4
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为
m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为
30°。问子弹的初速度为多少。
解： 射入过程角动量守恒：
o
mva
1 3
m0l
2
ma2
30°
la
转动过程机械能守恒：
v
1 1 23
m0l 2
ma2
2
mga1 cos30
m0 g
l 2
1 cos30
v 1 ma
g 2 6
刚体角动量和角动量守恒定律
刚体对转轴的角动量
L
J
大小 J
方向 与 的方向一致。
p
o
r
m
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别
为J11、J22 、…，则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i
i 1,2,
2. 冲量矩
t2
Mdt
t1
是矢量，是角动量变化的量度, 反映力矩对时间的累积效应
JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮
静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械
能有何变化？
A
B
A
B
C
C
A
解以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到 轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对 转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的 角动量守恒。按角动量守恒定律可得
J A A J BB＝J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
J
A
A
J B B
JA JB
以各量的数值代入得
20.9rad / s
或共同转速为
n 200r / min
在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能 将转化为热量，损失的机械能为
t
t0 M d t J J0
t
M t0
dt
为
t
t
t0时间内力矩M
对给定轴的冲量矩。
角动量定理：转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体 角动量的增量。
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
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角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
讨论
L J =常量
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
碰撞后的瞬间：
M+N+板转动：
N
C
Bl
M+N具有相 u l
同的线速度： 2
M
h A
l/ 2
25
冲击前： vM (2gh)1 2
冲击后：u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 2
M
1 ml2 1 ml2
12
2
质点：
L
r
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘 质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
i
ex
d( dt
M
M
ex
d( J )
in 0
mi ri
dL
2
)
d(J
dt
)
dt dt
z
定轴刚体M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
O
ri
mi
v i
角动量定理的微分形式
17
2、定轴刚体角动量定理
微分形式
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
方向: 与转轴平行
mv
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
L pr sin
pr
m
p
r
r
o
4
L r p r mv
2)、圆运动： L mrv
L
p
o
m r
L rp sin rmv sin
O ri
v i
对定轴转动的刚体
mi
M Mi
M
in i
Miex
d dt
Li
mi ri2
(mi ri 2 )
16
M
Mi
Miin
Miex
d dt
(mi ri 2 )
刚体
Mi
M
M
dt dt
t2
t1
Mdt
J 22
J11
若 M 0，则 L J =常量 or : J22 J11
29
dL
dt
t2
L2
Mdt dL
t1
L1
质点的角动量定理的积分形式
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2
t1
Fdt
p2
p1
冲量矩(角冲量):
t2
M
dt
t1
角动量增加=质点合力矩对时间的积分(冲量矩).
8
质点的角动量定理
微分形式
M
dL
M
mv
N
C
h A
圆：LM LN rmv
B
l
l/2
定轴刚体 L J
26
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 1 ml 2 1 ml2
2 12
2
或：mvM
l 2
J
(J板
JM
J N )
[ 1 ml2 12
2m( l )2]
dt dt v p 0
dL
dt r dp
r
F
M
dt
dt
M
dL
dt
6
2、质点的角动量定理
微分形式
M
dL
dt
F
dp
dt
质点: 角动量对时间的变化率 = 合力的力矩
M
r
F
L
r
p
r
mv
7
M
不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动
量和角速度． 重力对O有力矩
M
dL
dt
L mRv mR2
11
解
小球受力
P
、FN
作用,
FN
的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt mgRcos dt d
设跷板：l，m 演员M，N质量：m 板可以绕支点c竖直 平面转动.
完全非弹性碰撞
h u2 2g
u l
2
h
M
h
N
C
A
B
l
l/2
1、M:自由落体：vM
(2gh)1
2
2、M+N+板:转动：M外 0
角动量守恒
24
解: 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
完全非弹性碰撞．
1)、椭圆运动： L rmv sin
vL
m r
L mr 2 J
3)、直线飞行： L rmv
r
r
o
v
5
问题:
dp dt
F，
L
r
dL dt
p
？
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt
dtdr v ,
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
宏观微观均成立
23
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
2
M
JM
mr 2
m( l )2 2
h
N
C
A
B
l
l/2
JN
mr 2
m( l )2 2
27
mvM
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
vM (2gh)1 2
解得
mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，竖直上抛运动, 达到的高度：
h u2 l 2 2 ( 3m )2 h u l
2g 8g m 6m
2
28
小结
1、M质点d：L
dt
L
r
p
r
mv
（角动量定义）
t2 t1
Mdt
L2
L1
M 0, L 恒矢量
2、定轴刚体 L J
M d(J) dL
mgRcos 1 d
d
dL mgRcosθdθ
12
dL mgRcosθdθ 圆周运动质点: L mRv mR2 mR 2dL (mR 2 )mgR cosθdθ
得 LdL m2 gR3 cos θdθ
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
动量来量度转动物体的机械运 动。 *引人与动量 p 对应的角量 L —角动量
R Om
1. 质点的角动量 L r p r mv
大小：
质点 m
p
L rp sin rmv sin
方向：右手螺旋法则
or
参考点
3
1 质点的角动量
L
r
p
r
h Rsin