角动量角动量守恒定律jm

Mdt d(J)
t2
2
Mdt d (J)
t1
1
t2
t1
Mdt

J2

J1
角动量定理
18
定轴刚体的角动量定理的积分形式
t2
t1
Mdt

J2

J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt

J 22

J11
M d(J) dL
dt dt
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
h Rsin
L mRv mR3 2 (2g sin )1 2
由：v R ( 2g sin )1 2
R
14
二 刚体定轴转动的角动
量定理和角动量守恒定律
质点:
L

r
p

r mv
1
定轴刚体的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
碰撞后的瞬间：
M+N+板转动：
N
C
Bl
M+N具有相 u l
同的线速度： 2
M
h A
l/ 2
25
冲击前： vM (2gh)1 2
冲击后：u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2

J
2mu l 2
M
1 ml2 1 ml2
12
2
质点：
L

r
dt dt
t2
t1
Mdt

J 22

J11
若 M 0，则 L J =常量 or : J22 J11
29
dt dt v p 0
dL
dt r dp

r

F
M
dt
dt
M

dL
dt
6
2、质点的角动量定理
微分形式
M

dL
dt
F

dp
dt
质点: 角动量对时间的变化率 = 合力的力矩
M

r

F
L

r

p

r

mv
7
M

不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动
量和角速度． 重力对O有力矩
M

dL
dt
L mRv mR2
11
解
小球受力
P
、FN
作用,
FN
的力矩为
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcosdt mgRcos dt d
2
M
JM

mr 2
m( l )2 2
h
N
C
A
B
l
l/2
JN

mr 2
m( l )2 2
27
mvM
l 2

1 12
ml 2

1 2
ml 2
vM (2gh)1 2
解得


mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，竖直上抛运动, 达到的高度：
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M

M 轴外

d(J)
dt

dL dt
讨论
L J =常量
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
角动量引入
2
问题：
一圆盘, 绕过质心的固定轴转动，则由于圆盘 质心速度为零，所以，系统总动量为零;
系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜用
1 2
W11（角动量守恒） 22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
宏观微观均成立
23
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?

O ri
v i
对定轴转动的刚体
mi


M Mi


M
in i

Miex

d dt
Li

mi ri2
(mi ri 2 )
16
M
Mi
Miin

Miex

d dt
(mi ri 2 )
刚体
Mi

M
M
mv
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg·m2·s-1
zL
v

rm
xo
y
L
v

r
L pr sin
pr
m
p
r
r
o
4
L r p r mv
2)、圆运动： L mrv
L
p
o
m r
L rp sin rmv sin
i
ex
d( dt
M

M
ex

d( J )

in 0
mi ri
dL
2
)

d(J
dt
)
dt dt
z

定轴刚体M

M 轴外

d(J)
dt

dL dt

O
ri
mi
v i
角动量定理的微分形式
17
2、定轴刚体角动量定理
微分形式
M

M 轴外

d(J)
dt

dL dt
方向: 与转轴平行
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22

L1

L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
h u2 l 2 2 ( 3m )2 h u l
2g 8g m 6m
2
28
小结
1、M质点d：L
dt
L

r

p

r

mv
（角动量定义）

t2 t1
Mdt

L2
L1
M 0, L 恒矢量
2、定轴刚体 L J
M d(J) dL

mv
N
C
h A
圆：LM LN rmv
B
l
l/2
定轴刚体 L J
26
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2

J
2mu l 1 ml 2 1 ml2
2 12
2
或：mvM
l 2

J
(J板
JM
J N )
[ 1 ml2 12
2m( l )2]
dL
dt
t2
L2
Mdt dL
t1
L1
质点的角动量定理的积分形式
t2 t1
Mdt

L2

L1
t2
t1
Fdt

p2

p1
冲量矩(角冲量):
t2
M
dt
t1
角动量增加=质点合力矩对时间的积分(冲量矩).
8
质点的角动量定理
微分形式
M

dL
M
L mR3 2 (2g sin )1 2
又 L mR 2 ( 2g sin )1 2
R 13
方法2: 小球+地球系统, 机械能守恒
Ek E p Ep1 Ep2 1 mv2 0 mgh 2
1 mv2 mgRsin
2
v 2gRsin
J
i
定轴刚体 L J
代数量
z

O ri v i
mi
圆周运动质点：
Li Li


mmiirrii2vi
15
问题:
质点
M

dL
dt
刚体 dL ?
dt
质元mi
Mi
受合力矩Mi
dLi dt
d dt (miri
2)
(包括Mi ex、 Mi in )
z
mgRcos 1 d
d

dL mgRcosθdθ
12
dL mgRcosθdθ 圆周运动质点: L mRv mR2 mR 2dL (mR 2 )mgR cosθdθ
得 LdL m2 gR3 cos θdθ
L LdL m2 gR3

cosd
0
0
设跷板：l，m 演员M，N质量：m 板可以绕支点c竖直 平面转动.
完全非弹性碰撞
h u2 2g
u l
2
h
M
h百度文库
N
C
A
B
l
l/2
1、M:自由落体：vM
(2gh)1
2
2、M+N+板:转动：M外 0
角动量守恒
24
解: 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
完全非弹性碰撞．

r

F
dt
积分形式
t2 t1
Mdt

L2

L1
3
质点的角动量守恒定律
((rF||F0M，,或或r
0,
0) r反||
F
)
L 恒矢量
L2 L1
9
条件: M 0
结论: L 恒矢量
由：M

r

F
有心力

F
r
M 0
动量来量度转动物体的机械运 动。 *引人与动量 p 对应的角量 L —角动量
R Om
1. 质点的角动量 L r p r mv
大小：
质点 m

p
L rp sin rmv sin

方向：右手螺旋法则
or
参考点
3
1 质点的角动量
L

r

p

r

O 力心
*有心力: 力的作用线始终力心（O）; *只有有心力的系统,角动量守恒;
*天体运行遵从角动量守恒定律.
10
例1 一半径为 R
的光滑圆环置于竖直平
面内. 一质量为 m 的小
球穿在圆环上, 并可在
圆环上滑动. 小球开始
时静止于圆环上的点 A
(该点在通过环心 O 的
水平面上)，然后从 A
点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去
1)、椭圆运动： L rmv sin
vL
m r
L mr 2 J
3)、直线飞行： L rmv
r
r
o
v
5
问题:
dp dt
F，
L

r

dL dt
p
？
dL

d
(r

p)

r

dp

dr

p
dt
dtdr v ,