考研数学：微积分公式汇总教材
(完整word)高数微积分公式+三角函数公式考研
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
考研高分必备——高等数学(微积分)公式
考研高分必备——高等数学（微积分）公式导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式： ·诱导公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
高数微积分公式+三角函数公式考研
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
数学分析高等数学微积分基本定理及公式
数学分析高等数学微积分基本定理及公式微积分的基本定理是微积分学中最基础、最重要的定理之一，可以说是微积分的核心。
该定理由牛顿、莱布尼茨以及斯托克斯等人独立发现，奠定了微积分学的基础。
微积分的基本定理可以分为两个部分：微积分基本定理第一部分，也称为牛顿—莱布尼茨公式，描述了积分和导数之间的关系；微积分基本定理第二部分，也称为斯托克斯公式，描述了曲线积分和曲面积分之间的关系。
下面将对这两个部分进行详细介绍。
微积分基本定理第一部分，牛顿—莱布尼茨公式，可以简洁地表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)为连续函数，F(x)为其原函数，[a,b]代表积分区间。
该公式说明了连续函数的不定积分可以通过求原函数在积分区间端点处取值之差来计算。
这个公式也可以用来计算定积分，即通过求被积函数的原函数在积分区间端点处的值之差来计算定积分的值。
微积分基本定理第二部分，斯托克斯公式，可以简洁地表示为：∫∫(S) ∇ × F · ds = ∫(C) F · dr其中，∇ × F为矢量场F的旋度，S为曲面，C为曲线，ds为曲面元素，dr为曲线元素。
该公式说明了矢量场的曲面积分可以通过计算该矢量场的旋度沿曲线的环路积分来求得。
这个公式还可以推广到高维空间中的曲面和曲线。
值得注意的是，微积分基本定理的条件之一是函数的连续性。
如果函数在积分区间内存在间断点，那么微积分基本定理并不成立，必须通过其他方法来计算积分值。
总之，微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它将微分学和积分学相统一，为计算和应用微积分提供了有力的工具。
通过这个定理，我们可以方便地计算积分，并且利用其在各种实际问题中解决数学和物理问题。
考研数学微积分基础知识点汇总
考研数学微积分基础知识点汇总微积分是考研数学中的重要组成部分，也是很多考生感到头疼的部分。
下面就为大家详细汇总一下微积分的基础知识点。
一、函数、极限与连续1、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，表示两个数集之间的一种对应关系。
设 D 是一个非空数集，如果对于 D 中的每一个 x，按照某种确定的对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ D。
2、极限的概念极限是微积分中的一个核心概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
当自变量 x 无限接近某个值 x₀（或者趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近某个确定的常数 A，就称 A 是函数 f(x) 在 x 趋于 x₀（或趋于无穷）时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A 或lim(x→∞） f(x) ＝ A。
3、极限的性质极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性等性质。
4、极限的计算常见的极限计算方法有代入法、约分法、有理化法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
5、函数的连续性如果函数 f(x) 在点 x₀处的极限等于函数在该点的函数值，即lim(x→x₀) f(x) ＝ f(x₀)，则称函数 f(x) 在点 x₀处连续。
二、导数与微分1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数 f'（x₀) 定义为极限lim(Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
导数表示函数在某一点处的变化率。
2、导数的几何意义函数在某一点的导数就是该点切线的斜率。
3、基本初等函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则设 u(x) 和 v(x) 可导，则（u(x) ± v(x)）＇＝ u'（x) ± v'（x) ；（u(x)v(x)）＇＝ u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x) ；（u(x) ／ v(x)）＇＝（u'（x)v(x) u(x)v'（x)）／（v(x)）²（v(x) ≠ 0）。
(数学三)微积分性质公式整理
微积分第一章 函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性——区间内连续函数必有界，反之不然。
同区间内导数有界则原函数有界。
区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。
方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。
单调性——单调函数一定有反函数且单调性相同。
单调函数的复合函数仍然是单调函数。
单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。
方法：利用导数符号分析。
周期性——f(x+T)=f(x)以T 为周期的可导函数，其导数以T 为周期，但原函数不一定为周期函数。
以T 为周期的连续函数：∫f (x )dx a+Ta=∫f(x)dx T 0=∫f (x )dx T/2−T/2∫f (x )dx =n ∫f(x)dx TnT方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。
奇偶性——前提：定义域关于原点对称。
奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数 奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。
求导后变换奇偶性。
f(x)为偶↔f`(x)为奇，f(x)为奇→f`(x)为偶。
若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=12[f(x)-f(-x)]+12[f(x)+f(-x)] 式中前者为奇，后者为偶。
方法：定义2.相关：反函数——单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x 对称 求定义域——分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0， arcsinx 与arccosx 中-1≤x ≤1tanx ，secx 中x ≠k π+ π2，cosx 与cscx 中x ≠k π求表达式——换元法，分段函数分段求。
二、极限1.数列的极限：定义——给定数列｛X n｝及常数a，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正整数N，使得当n>N时，有|X n－a|＜ε恒成立，则称常数a为数列｛X n｝的极限，或者称数列｛X n｝收敛于a，极为limn→∞Xn=a。
江苏省考研数学复习资料微积分重要定理总结
江苏省考研数学复习资料微积分重要定理总结微积分是数学的一门重要分支，也是考研数学中不可或缺的一部分。
在微积分的学习中，一些重要的定理是我们必须了解和掌握的。
下面是对江苏省考研数学微积分重要定理的总结：1. 极限的定义与性质- 极限的定义：设函数 f(x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ(可以取任意小)，使得当0<|x-x0|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立；则称A是函数 f(x) 当x→x0 时的极限，记为lim(x→x0)f(x)=A。
- 极限的性质：极限唯一性、局部有界性、夹逼定理等。
2. 导数的定义与性质- 导数的定义：设函数 f(x) 在 x0 的某个邻域内有定义，如果极限lim(h→0)(f(x0+h)-f(x0))/h 存在，则称此极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记为 f'(x0)。
- 导数的性质：可导即连续性、导数的四则运算、高阶导数等。
3. 微分中值定理- 罗尔定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。
- 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得 (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(ξ)。
- 柯西中值定理：若函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且g'(x)≠0，则在 (a,b) 内至少存在一点ξ，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(ξ))/(g'(ξ))。
4. 微分学基本定理- 微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f'(x0) 为函数 y=f(x) 在点 x0 处的微商，记作dy/dx|_(x=x0) 或 df/dx|_(x=x0)。
4.2微积分基本公式
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4.2.3 微积分基本公式
经济应用数学
定理4.3 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，F(x)
是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
此公式称为牛顿—莱布尼玆公式，也称为微积 分基本公式．
du 0
dx
2 x sin u 2x sin x
4.
f ( x)
x2 dt u
0
1
t
3
u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
u 0
1
dt t
3
·u(
u
x
)
=
1 1 u3 ·2 x
2x = 1 x6
(u x2 )
15
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经济应用数学
5.
dy
dx
=
x3 x2
1 t 2dt = x
d dx
cos x et2 dt ,
1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
17
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经济应用数学
7.
lim
x0
0 sint 2dt
2x
lim
当 x 在a, b上任意变动，则对于每一个 x 值
微积分17-微积分的基本公式
, , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数b a x f. d )(I 与之对应确定的定积分值⎰=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ⎰bax x f x f. 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数. ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x xaxa∈==Φ⎰⎰一. 积分上限函数Oxya b x x)(x f yOxya b x x)(x f y =⎰xaxx f d )(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。
,d )(d )( 有由积分的性质：⎰⎰-=abb ax x f x x f ,d )(d )( ⎰⎰-=xbbxt t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数..d )( 称为积分下限函数⎰bx t t f定理 1证. ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x b a R x f xa∈=Φ∈⎰则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈∆+∈∀)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ⎰⎰⎰∆+∆+=-=xx xx axx att f t t f t t f d )(d )(d )(.|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故又xM t t f t t f x xx xx x x∆≤≤=∆Φ≤⎰⎰∆+∆+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x x ∈Φ即可得的任意性由夹逼定理及点. ],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a?积分上限函数是否可导,d )()()( ⎰∆+=Φ-∆+Φxx xt t f x x x 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x x x x x x∆==Φ-∆+Φ⎰∆+ξ)(之间与在x x x ∆+ξxxf x x x x x x ∆∆=∆Φ-∆+Φ→∆→∆)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→∆ξ这说明了什么 ？定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa在则若⎰=Φ∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x xa≤≤==Φ'⎰例2. )( , d )1sin()( 22x F t t x F x '+=⎰求设解, )()( , d )1sin()( , 222x g x F t t u g x u u=+==⎰则令xu u g x F d d )()( ⋅'='故)()d )1sin((20 2'⋅'+=⎰x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=⋅+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗?例3解.dlim21cos2xtextx⎰-→计算2cos121cosdlimdlim22xtexte x txxtx⎰⎰-→-→-=xxe xx2)sin(lim2cos--=→.21e=罗必达法则下面再看定理 2 .定理 2],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x b a C x f xa 在则若⎰=Φ∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x x a≤≤==Φ'⎰定理],[ ,d )()( ]),,([)( b a x t t f x b a C x f x a∈=Φ∈⎰则若. ],[ )( 上的一个原函数在为b a x f 即：而在前面已知原函数的一些性质：. )()())(( , )( x f x F C x F x F ='='+则存在若 .)()( ),()( ),()( 2121C x F x F x f x F x f x F =-='='则若 . d )( , )( ⎰ba x x f x F 就可以计算定积分若能找到这样的二. 微积分基本公式上在为则如果 ],[ )( d )( ]),,([)( b a x f t t f b a C x f x a ⎰∈.的一个原函数, )( )( 则有的原函数为若已知x f x F.)(d )(0 C x F t t f x a +=⎰. )( ,)(d )(0 , 00 a F C C a F t t f a x aa -=+===⎰故则令 , 则得到取b x =. )()(d )(d )( a F b F x x f t t f ba b a -==⎰⎰基本公式定理) (莱布尼茨公式—牛顿 ],[ )( )( ]),,([)( 上的在为若b a x f x F b a C x f ∈,则一个原函数 ).()( )(d )( a F b F x F x x f b ab a -==⎰. 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿例7. d 2cos 1 0⎰+πx x 计算解⎰⎰=+ππ2d cos 2 d 2cos 1 xx x x ⎰=π0 d |cos | 2xx ⎰⎰-+=πππ22d )cos ( 2d cos 2xx x x. 22 sin2 sin 2220=-=πππx x 怎么办去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)。
数学考研微积分常用公式速记
数学考研微积分常用公式速记微积分是数学的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是在实际问题求解中，熟练掌握微积分的基本公式是非常重要的。
本文将为大家介绍一些常用的微积分公式，并提供一些速记技巧，帮助大家更好地记忆和运用这些公式。
1. 极限和导数1.1 极限(1) 当 x 趋于 a 时，有以下常用极限：- $\lim_{x\to a}x=a$- $\lim_{x\to a}c=c$，其中 c 为常数- $\lim_{x\to a}(x^n-a^n)=(n\cdot a^{n-1})$，其中 n 为自然数- $\lim_{x\to a}(a^x-a^a)=(a^a\cdot \ln a)$- $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$(2) 夹逼定理：如果有两个函数 g(x) 和 h(x)，满足 $g(x)\leq f(x)\leqh(x)$，且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，那么 $\lim_{x\toa}f(x)=L$。
1.2 导数(1) 常用函数的导数：- $(c)'=0$，c 为常数- $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$，其中 n 为自然数- $(a^x)'=a^x\cdot \ln a$，其中 a>0 且a≠1- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$- $(e^x)'=e^x$- $(\sin x)'=\cos x$- $(\cos x)'=-\sin x$(2) 导数的四则运算：- $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$，其中 c 为常数- $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$- $(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)$- $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$- $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$，其中g(x)≠02. 积分和微分2.1 不定积分(1) 基本积分表：- $\int x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+C$，其中 n 为自然数，C 为常数- $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\ln |x|+C$- $\int e^x \mathrm{d}x=e^x+C$- $\int \sin x \mathrm{d}x=-\cos x+C$- $\int \cos x \mathrm{d}x=\sin x+C$(2) 分部积分公式：$\int u \mathrm{d}v=uv-\int v \mathrm{d}u$2.2 定积分(1) 基本定积分表：- $\int_a^b k \mathrm{d}x=k(b-a)$，其中 k 为常数- $\int_a^b x^n \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\cdot (b^{n+1}-a^{n+1})$，其中 n 为自然数- $\int_a^b e^x \mathrm{d}x=e^x|_a^b=e^b-e^a$- $\int_a^b \sin x \mathrm{d}x=-\cos x|_a^b=\cos a-\cos b$- $\int_a^b \cos x \mathrm{d}x=\sin x|_a^b=\sin a-\sin b$(2) 牛顿-莱布尼兹公式：若函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。
微积分基本定理公式
微积分基本定理公式微积分基本定理公式，这可是数学领域里相当重要的一块内容！咱们先来说说啥是微积分基本定理公式。
简单来讲，微积分基本定理公式就像是一座桥梁，把导数和定积分这两个看似不太相关的概念紧密地联系在了一起。
它告诉我们，如果有一个函数 F(x) 是另一个函数 f(x) 的原函数，那么在某个区间 [a, b] 上，定积分∫（从 a 到 b）f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。
就比如说，咱们来算一个简单的例子。
假设 f(x) = 2x，那它的一个原函数 F(x) 就是 x²。
如果我们要计算在区间 [1, 3] 上的定积分∫（从 1到 3）2xdx ，根据微积分基本定理公式，那就等于 F(3) - F(1)，也就是3² - 1² = 9 - 1 = 8 。
还记得我之前给学生们讲这个公式的时候，有个学生特别可爱。
那是一节高中数学课，我正在黑板上推导微积分基本定理公式，底下的学生们都聚精会神地看着。
突然，一个平时特别活泼的男生举起了手，皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没急着回答他，而是先在黑板上写下了一个物理中的匀加速直线运动的速度与位移的关系式子。
然后我对他说：“你看，这个物理问题，如果没有微积分基本定理公式，咱们要想求出位移，得多麻烦呀。
但是有了它，一下子就能轻松搞定。
”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。
这微积分基本定理公式在实际生活中的应用那可多了去了。
比如说，要计算一条不规则曲线围成的面积，要是没有这个公式，那可真是让人头疼。
但有了它，咱们就能把复杂的问题简单化，轻松求出面积来。
再比如，在经济学中，计算成本和收益的时候，微积分基本定理公式也能大显身手。
它可以帮助我们分析企业的生产决策，找到最优的生产规模，从而实现利润最大化。
而且啊，这公式不仅仅是在数学、物理、经济这些学科里有用，它还能培养咱们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
考研数学——微积分公式
第一讲函数、极限与连续重要公式与结论一、函数的奇偶性、周期性与导数、积分的联系1.设)(x f 是可导的偶函数，则)(x f '为奇函数，且0)0(='f ； 设)(x f 是可导的奇函数，则)(x f '为偶函数。
2.设)(x f 连续：如)(x f 为偶函数，则dt t f x)(0⎰为奇函数；如)(x f 为奇函数，则对任意的a ，dt t f x)(0⎰为偶函数。
3.设)(x f 在[]a a ,—上连续，则⎰⎰-⎪⎩⎪⎨⎧=aaa x f x f dx x f dx x f ,)(,0,)(,)(2)(0为奇函数为偶函数4.可导的周期函数的导函数仍为同周期函数。
5.设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰⎰⎰⎰⎰===-+nTTTTT Ta adx x f n dx x f dx x f dx x f dx x f 022.)()(,)()()(二、在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系1..)(lim )(lim )(lim 0A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=-+→→→ 2..)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→ 3..)(lim )(lim A x f A x f n x =⇔=∞→∞→ 4.设.)(lim )(lim ,)(lim ,lim 00A x f x f A x f x x xx n n x x n n ====→∞→→∞→则 [评注]由结论3，4知可利用函数极限求数列极限。
三、连续的隐含条件如题中给了连续条件，应充分利用以下结论：1.设)(x f 在0x 处连续，则).(lim )(00x f x f xx →= 2.设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积，且可构造)(x f 的原函数⎰≤≤xa b x dt t f ))(，对)(x f 在],[b a 上可应用最值、介值、零点定理。
2025年考研数学微积分重点知识点
2025年考研数学微积分重点知识点微积分是考研数学中的重要内容，也是许多考生感到头疼的部分。
为了帮助大家更好地备考 2025 年考研数学，下面我们来梳理一下微积分中的重点知识点。
一、函数、极限与连续1、函数的概念和性质函数的定义、定义域、值域函数的单调性、奇偶性、周期性反函数、复合函数2、极限的概念和计算数列极限和函数极限的定义极限的性质和运算法则两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋1/x)＾x ＝ e无穷小量和无穷大量的概念及性质，无穷小量的比较3、函数的连续性函数连续的定义和间断点的类型连续函数的性质：有界性、最值定理、介值定理、零点定理二、导数与微分1、导数的概念导数的定义、几何意义可导与连续的关系2、求导法则基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则复合函数求导法则隐函数求导法则对数求导法3、高阶导数高阶导数的定义和计算常见函数的 n 阶导数4、微分的概念微分的定义、几何意义函数的微分与导数的关系三、中值定理与导数的应用1、中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中值定理的应用：证明等式和不等式2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性函数的极值的定义和求法函数的最值的求法3、函数的凹凸性和拐点函数凹凸性的定义和判断方法拐点的定义和求法4、函数图形的描绘利用导数和函数的性质描绘函数的图形5、曲率和曲率半径曲率的定义和计算公式曲率半径的计算四、不定积分1、不定积分的概念和性质原函数和不定积分的定义不定积分的基本性质2、基本积分公式掌握常见函数的不定积分公式3、换元积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法4、分部积分法五、定积分1、定积分的概念和性质定积分的定义、几何意义定积分的基本性质2、牛顿莱布尼茨公式利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分3、定积分的换元法和分部积分法4、反常积分无穷限反常积分无界函数的反常积分5、定积分的应用求平面图形的面积求旋转体的体积求曲线的弧长六、多元函数微积分1、多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域多元函数的偏导数和全微分多元函数的连续性和可微性2、多元函数的偏导数和全微分的计算3、多元复合函数和隐函数的求导法则4、多元函数的极值和条件极值无条件极值的求法条件极值的拉格朗日乘数法5、二重积分二重积分的概念和性质二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算6、三重积分三重积分的概念和性质三重积分在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算七、无穷级数1、数项级数级数的收敛和发散的概念正项级数的审敛法：比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法交错级数的审敛法：莱布尼茨定理绝对收敛和条件收敛2、幂级数幂级数的概念和性质幂级数的收敛半径和收敛区间的求法函数展开成幂级数。
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
微积分公式手册
微积分公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：多元函数微分法及应用αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为l2的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程。
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对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。
凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。
北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。
会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。
）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。
王少棠本科学校：南开大学法学录取学校：北大法学国际经济法方向第一名总分：380+在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。
在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。
王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。
”这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。
龚辉堂本科西北工业大学物理考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)作为跨地区跨校跨专业的三跨考生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。
在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。
在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。
在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。
在辅导班里，学习成绩显著上升。
在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。
但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。
在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。
在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。
五道口成绩公布，龚辉堂成功了。
这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。
另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。
师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。
黄同学(女生)本科院校：中国青年政治学院报考院校：中国人民大学金融硕士总分：跨专业380+初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。
初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。
这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。
张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。
愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。
张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。
特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。
孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。
在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。
凯程老师也很负责，真的很感谢他们。
在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。
从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。
正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。
我相信，每个人都能够成功。