更高更妙的物理冲刺全国高中物理竞赛-专题5-物系相关速度

v m ax 2 R 1 2

2 1 v

如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外 环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度v1顺时针 方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺 时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
2
R co s
如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶 点Ｂ2的速度vB2． B1 B2 这是杆约束相关速度问题 B3 v 分析顶点A2、A1的速度： A1 A2 A3 A
0
专题5-例2
v1
2 2
v A1
v2
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度． 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是： 在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2 v0
θ
θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是： 沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
A O C α v0 V α
B
v0
V0
vn
VA
V0
v 0 R V 0 cos
由于纯滚动，有

v0 r cos R V0 r r cos R v0
V0 r
图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、 Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M 套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变 套在两杆交点的环M所在圆周半径为
D
C M R θβ B l
R
l 2 co s 3 0


l 3
2θ
60° O
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角 A
α
环M的角速度为2ω! 环M的线速度为 v M 2
l 3 2 3 3
专题5-例1
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 静止,C点速度必沿杆! 杆A点速度必沿水平! B C R θ A v2 θ v
以C为基点分解v:
由杆约束相关关系:
v c v1
v co s
v2是A点对C点的转动速度,故
v sin R co t

v sin
v v B A v x cos
vx v 1 cos
由上
如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面 向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其 顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
专题5-例4
这是接触物系接触点相关速度问题 根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
∵板上a、b两点速度相同，故a、 b连线即为板瞬时转动轴!
v
b
c
v
x
a
根据刚体运动的速度法则,C点 速度为: vC v vCn
3 l 2v v 2 2v 板角速度 l
2 2
x

2
vcn=lω v
vn=xω
vc=2v V=3v
同理,速度为3v的点满足
, v A2 5 6 v
2
由几何关系
vB2
17 6
如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D 为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时， 物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？ v D
专题5-例3
这是绳约束相关速度问题
考察绳、轴接触的切点B速度 轴上B点具有与轴心相同的平动 速度v0与对轴心的转动速度rω： 绳上B点沿绳方向速度v和与轴 B点相同的法向速度vn： 由于绳、轴点点相切，有
线轴沿水平面做纯滚动
A α R r O α v
v0
C
v v 0 sin r v 0 R
v0
R
若线轴逆时针滚动，则
α
R rຫໍສະໝຸດ H H h v影 vn影
H H h
vA
如图所示,缠在线轴A上的线被绕过滑轮B以恒定速率 v0拉出，这时线轴沿水平面无滑动地滚动．求线轴中心O点的速度随 线与水平方向的夹角α的变化关系．线轴的内、外半径分别为R与r．
考察绳、轴接触的切点A速度 轴上A点具有对轴心的转动速度 V=Rω和与轴心相同的平动速度V0： 绳上A点具有沿绳方向速度v0和 与轴A点相同的法向速度vn： 由于绳、轴点点相切，有
v
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴 与水平面切点为基点，应有 1 co s v0 v R v v0 v Rr Rr R Rr
D
如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固 定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑 环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
l
如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑 动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？ 这最大速度为多少？
本题属刚体各点速度问题
球心速度为v， 则对瞬时转轴AB:
v 2 2 R
则球角速度

2v R
A
O
R
45

B C
根据刚体运动的速度法则: 球表面与瞬时转轴距离最大的点有最大速度!
本题属刚体各点速度及接触点速度问题
已知滚珠球心速度为v，角速度为ω，
根据刚体运动的速度法则:
滚珠与内环接触处A速度 滚珠与外环接触处B速度
v A v r v 2 v B v r v1
R1
r ω B ω A r R2 v ω v2
v1
v
v1 v 2 2 v1 v 2 2r
vn
A
同时向O运动，
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
t AO v co s 3 0

O
vt C

2l 3v
由于舞者匀速率运动,则
s vt
2l 3
如图所示，一个圆台，上底半径为r，下底半径为R 其母线AB长为L，放置在水平地面上，推动它以后，它自身以角速 度ω旋转，整体绕Ｏ点做匀速圆周运动，若接触部分不打滑，求旋转 半径OA及旋转一周所需时间T．
2
v2 A v
R
O1
θ
v1 d
v
R d R 2
2
θ
R
O2
4R
2
d
2
顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推 动．凸轮绕O轴以匀角速ω转动，在图示时刻，OA＝r，凸轮轮缘与 A接触处法线n与OA之间的夹角为α，试求顶杆的速度．
杆与凸轮接触点有相同的法向速度! 根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA
P
B
α A v0
v A cos v 0 sin
α v0
α
O
v A v 0 tan
如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光 滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线 轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做 无滑动的滚动．
专题5-例5
B
v杆K
α
r sin v 杆 cos
ωr
A
rα
n
M
v 杆 r tan
一人身高h ，在灯下以匀速率vA沿水平直线 行走．如图所示，设灯距地面高度为H，求人影的顶端Ｍ 点沿地面移动的速度 ． 借用绳杆约束模型 设人影端点M移动速度为v影 ,以光源为基点,将vA和v影 分解为沿光线方向“伸长速度”和对基点的“转动速度” 由一条光线上各点转动角速 度相同： r v An v 影 sin v A sin α vA H R r h R M 由几何关系 v
3v
2
v x
2

2
x
2l
如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、 B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试 问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
由三位舞者运动的对称性可知， 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视做绕O转动的
专题5-例7
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解: 滑环速度即交叉点速度,方向沿 圆圈切向; 根据交叉点速度是相交双方沿 对方切向运动分速度的矢量和， 滑环速度即为杆沿圆圈切向分速 度: u
M B
φ O
φ
u
v
sin
如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转 动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm， 曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度． C 这是线状交叉物系交叉点相关速度问题 C M O vMAA O A 由于刚性 曲杆 OBC以O为 60° 轴 转 动 ， 故 BC 上 与 OA 直 vMB 30° 杆交叉点M的速度方向垂 vBCM B 直于转动半径OM、大小是: B
v1 vn
θ
v1 A C
vt v
vn
线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
v1d α D O v Bv
2d
1d
v2 v2d