第一节 平面点集与多元函数

y U 0 ( x0 ; ) S .又
y 是 S 的界点，所以对任意
U ( y; ) U ( x0 ; ) ，由于 U ( y; ) 上既有 S
的点，又有非 S 的点，于是 U ( x0 ; ) 上既有
S
的点，又有非 S 的点，由

的任意性，推知 x0 是 S
x0 S
如图

X0 X0

U (X0, )
Û (X0, )
当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 Û (X0).
方邻域
{ ( x, y) || x x0 | , | y y0 | }
圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域 空心方邻域与集
{ ( x, y) | 0 | x x0 | , 0 | y y0 | }
X E 连通
Y
X E 不连通
Y
从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. y 如图 y 1
o x+y=0
x
o
1
x
x2 + y2 = 1
6. 开区域 ( 开域 )
设 E 是一平面点集.
若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.
Pn P0 , n
设 Pn ( xn , yn )
Pn ( xn , yn )
P0 ( x0 , y0 )
则

P0 ( x0 , y0 )
y n y0
n ( Pn , P0 )

(n )
x n x0
同样的，当以
表示点 Pn 与 P0
lim n 0
0
x
若存在点
U ( P) E
P
的某邻域
U ( P)
使得
则称 P 是集合 E
的外点
3. 边界点: 设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面
上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , )
内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.
E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E. 如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0
8. 设
ER
2
若存在 r > 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界
集. 否则称 E 为无界集. 易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.
9. 聚点.
设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点.
若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E .
者必居其一. 由于 X E , 故后一情形不会发生 . 因此, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X int E,
即, E int E , 所以 E 是开集.
5. 连通集
设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称
E 为连通集. 如图
设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 z f ( x , y ) . 以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z 为竖坐标在空 间就确定一点 M ( x , y , z ) ，当( x , y ) 取遍 D 上一切 点时，得一个空间点集
定义
P E 若存在
0
使得
U ( P, ) E 则称点
P
是
E 的孤立点. 孤立点必为界点.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念 都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可 推广到 4 维以上的空间中去, 但不再 有几何意义.
证: 必要性. 设 E 为开集, X E,
由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.
充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集. X E, 由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )
内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两
的区别
2. 内点: 设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E,
若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为
E 的内点. E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为
int E
比如z 1 x 2 y 2的定义域D为单位圆盘,
D = {(x, y)| x2 + y2 1 } 如图
P
nk
5 有限覆盖定理
定理16.4（有限覆盖定理） 设 D R 2
为一开域族，它们覆盖 D 为有界闭域，
（即
D

），则在 中必存在有限个开域 ，它们同样覆盖 D （即 D i ）
i 1 n
1 , 2 ,, n
三
二元函数的定义
的界点，即 为闭集.
，这就证明了 S
二
R2
中的完备性定理
1 点列的极限
2 P R 设 n 为平面点列，
2 P R 0
为一固定
N
点.若对任给的正数 ，存在正整数 得当 n N 时，有
P n U ( P 0; )
n
，使
,则称点列
Pn 收敛于点
或
P0 ,记作
lim Pn P0
4. 若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.
若E E E为闭区域 . 则E 中每一点都是 E的聚点.
从而是 E 的聚点. 即, 区域中的任一点都是该区域
的聚点. 一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但 若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证.
的值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函数， 记为
z f ( x, y)
（或记为 z f ( P ) ）.
--- 值域.
点集 D ---定义域， x、y ---自变量，z ---因变量.
W { z z f ( x , y ), ( x , y ) D}
z是x、y的函数也可记为 z z( x , y ), z ( x , y ).
Dn Dn1 , n 1, 2,
d n d Dn , lim d n 0
n
R
2
则存在唯一点
P0 Dn , n 1, 2,
4 聚点原理
定理16.3（聚点原理）设 无限点集，则 E 在
R2
E R2
为有界
中至少有一个聚点.
推论： 有界无限点列 Pn R 2 必存在收敛子列
上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆 周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图
y
y 1
D
D o x+y=0 E 的边界点可以是 E 中的点, x o 1 x
x2 + y2 = 1
也可以不是 E 中的点.
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E int E, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集. 由于总有 int E E, 因此, E int E E = int E
同时也有如下三角形不等式，即对 R 2 上任何三点 P1 P2 和 P 都有 3
(P 1 , P 2 ) (P 1 , P 3 ) (P 3 , P 2)
例2 证明：对任何 证明 设 x0 为
S R2
S
恒为闭集
S 的任一聚点，要证
x0 S .由聚点的定义，对任给 0 ，存在
设 x 和 y 是两个变量。 D 是一个给定 的数集，若对于每个数 x D ，变量
y 按照一定法则总有确定的数值和它 对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x).
定义 1 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P ( x , y ) D ，变量 z 按照一定的法则总有确定
说明：
（1）内点一定是聚点；
（2）边界点可能是聚点； 例如， {( x , y ) | 0 x 2 y 2 1} (0, 0) 既是边界点也是聚点．
（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x , y ) | 0 x 2 y 2 1} (0, 0) 是聚点但不属于集合． 例如, {( x , y ) | x 2 y 2 1} 边界上的点都是聚点也都属于集合．
R
和半平面
特殊的平面点集 1. 邻域:
以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径 的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.
记作 ( X 0 , ),
即
( X 0 , ) {( x, y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
记 Û (X0, ) = U (X0, ) { X0 }, 称为 X0 的 去心 邻域.
两点的距离
(P 1,P 2)
(P 1,P 2)
点集的直径
( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )
2
2
d E sup P 1, P 2
P 1 ,P 2 E
并有三角不等式
| x1 x2 | （或 | y1 y 2 | ）
( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 | x1 x 2 | | y1 y 2 |
比如, 例1中 D 是
开区域. 从几何上看, 开
如图.
区域是连成一片的 , 不
包括边界的平面点集.
E
7. 闭区域 ( 闭域 )
若 E 是开域, 记 称为闭区域. 如图. 易见, 例2中的 D 是
E E E int E E
E
闭区域. 从几何上看, 闭
区域是连成一片的. 包括 边界的平面点集. (本书把)开区域和闭区域都叫作区域.
故也可说, 若E = int E , 则称 E 是一个开集.
比如, 例1中 D 是开集, (D = int D ), 而例2中 D 不 是开集.
又比如, E 如图
y E o
x
若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集.
结论: 非空平面点集 E 为开集的充要
条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.
y
x2 + y2 = 1 1
o D
1
x
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但 圆周上的点不是 D 的内点.
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
如图
y 易见, 直线上方 每一点都是D的内点. x+y=0
Байду номын сангаас
int E D
D 但直线上 的点不是D的内点.
的定义域．
解
2 2 3 x y 1 2 x y 0
2 2 2 x y 4 2 x y
所求定义域为 D {( x , y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
二元函数 z f ( x, y ) 的图形
则称 X0 是E 的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即,
在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.
如图

X0
1. 聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域 内至少含有 E 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证). 2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3. E 的内点一定是 E 的聚点.
函数的两个要素: 定义域、对应法则. 类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时， n 元函数统称为多元函数. 对应地，函数 y f ( x ) 称为一元函数.
与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. 例1 求 f ( x , y )
arcsin(3 x 2 y 2 ) x y2
第十六章 多元函数的极限与连续
§1 平面点集与多元函数 §2 二元函数的极限
§3 二元函数的连续
第十六章 多元函数的极限与连续
§1 平面点集与多元函数
一、平面点集
坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合，称为平面点集，并记作
E {( x, y) | ( x, y)满足条件P}
常见平面点集
2
全平面
n
Pn P0 也就等价于 的距离时， lim n
2 柯西收敛准则
定理16.1 （柯西准则）平面点列 P
n
收敛的充要条件是：对任意 0 ，存在
N ,当 n N 时，对一切正整数 p ,都有
Pn , Pn p
3 闭域套定理
定理16.2 (闭域套定理) 设 Dn 是 中的闭域列，满足： 1) 2)