高考数学二轮复习 专题九第一讲选择题解题技法(B) 理
高考数学新课标全国二轮复习课件9.选考部分1
F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离心率).
(8)了解定理(5)③中的证明,了解当β无限接近α时,平面π的极限结果.
1.相似三角形的判定 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形
对应边的比值叫做相似比(或相似系数).
(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形 相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的 两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例
①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆. ②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线. ③β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.
(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示,这两个球位于圆锥的内部,一个位于 平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切,其切点分别为 F,E)证明上述定理①的情形:当β>α时,平面π与圆锥的交线为椭圆.
考点1
考点2
考点1
考点2
变式训练1 在△ABC中,∠ACB=90°,AC长度为2,点D在BC边上,且CD长度为1.若∠CAD=∠B, 则BD的长度是多少?
解:依据题意作图如右图所示,可知tan∠CAD=tan∠B,
即2 = 1+������������ ,解得 BD=3.
2025年高考二轮复习专题讲座----单选题和多选题的答题技巧
A．() =
sin6
2− −2
）
B．() =
cos6
2 −2−
【答案】D
【解析】由图象观察可知，函数图象关于y轴对称，而选
项BC为奇函数，其图象关于原点对称，故不合题意；
对选项A而言，当 ∈ 0, 6 时，() < 0，故排除.
故选：.
sin 6
当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法
5、估算法：由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需
对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量．
6、检验法：将选项分别代人题设中或将题设代人选项中逐一检验，确定正确选项．
础知识解决数学问题的能力．
（1）基本策略：单选题和多选题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题
的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后
直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．
（2）常用方法：单选题和多选题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解
A．123
B．91
C．−120
【答案】D
【解析】
在( + 2)(2 − 1)5
= 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 中，
取 = 1，得0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 3，
高考数学二轮复习专题演练 9.1 选择题的解法
2011高考数学二轮复习专题演练 9.1 解题方法技巧---选择题的解法1．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方 程f (x )＝0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ． 5 解析：特例法，利用正弦函数图象验证．答案：D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：(代入法)f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋ sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，而f (x ＋π) ＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－2(x ＋π)＋sin[2(x ＋π)]＝f (x )．所以应选B ； 另解：(直接法)y ＝32cos 2x －12sin 2x ＋sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，T ＝π，选B. 答案：B3．若动点P 、Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距 离OH 必等于 ( ) A.203 B.234 C.125 D.415解析：选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2 ＝9得，OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确．答案：C4．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)，A ，B 是椭圆上的两点且OA ，OB 互相垂直，则1|OA |2＋1|OB |2的值为 ( ) A.a 2＋b 2a 2b 2 B.a 2b 2a 2＋b 2 C.1a 2＋b2 D ．不能确定 解析：取点A ，B 分别为长轴与短轴的两个端点，则|OA |＝a ，|OB |＝b ，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1a 2＋1b 2＝a 2＋b 2a 2b 2. 答案：A5．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：∵a ＝sin 5π7＝sin 2π7，由角2π7的三角函数线或三角函数图象(如图所示)，可知cos 2π7<sin 2π7＝sin 5π7<tan 2π7，即b <a <c .答案：D6．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，若S ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ，则S 的值为( )A ．2nB ．2n ＋1 C.3n －12 D.3n ＋12解析：方法一：令x ＝1，得到3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n .令x ＝－1，得到1＝a 0－a 1＋ a 2－a 3＋…＋a 2n .∴2S ＝3n ＋1. 方法二：(特值法)令n ＝1,1＋x ＋x 2＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2，a 0＋a 2＝2.排除B 、C.令n ＝2,1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋ x 4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，a 0＋a 2＋a 4＝5，排除A. 答案：D7．已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当 x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有 ( ) A ．f (x )<－1 B ．－1<f (x )<0 C ．f (x )>1 D ．0<f (x )<1解析：取特殊函数．设f (x )＝2x ，显然满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )(即2x ＋y ＝2x ·2y )，且满足x >0时，f (x )>1，根据指数函数的性质，当x <0时，0<2x <1，即0<f (x )<1. 答案：D答案：B9．设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合P ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2bx ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝2a (x ＋b )}，S ＝{(a ，b )|P ∩Q ＝∅}，则S 的面积是 ( ) A ．1 B ．π C ．4 D ．2π解析：由y ＝x 2＋2bx ＋1和y ＝2a (x ＋b )，消去y 得x 2＋2(b －a )x ＋1－2ab ＝0，则P ∩Q ＝∅的充要条件是Δ＝4(b －a )2－4(1－2ab )＝4(a 2＋b 2－1)<0，即a 2＋b 2<1.由此可知：点集S 是单位圆内部所有点的集合(不含圆周上的点)，其面积是π·12＝π. 答案：B10．函数y ＝lg|x |x的图象大致是 ( )解析：y ＝lg|x |x为奇函数，故排除B.又当x ＝1时，y ＝0，故排除C. 又当x ＝10时，y ＝110当x ＝100时，y ＝2100<110，故排除A.答案：D11. 与向量a ＝⎝⎛⎭⎫72，12，b ＝⎝⎛⎭⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫45，－35 B.⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35 C.⎝⎛⎭⎫223，－13D.⎝⎛⎭⎫223，－13或⎝⎛⎭⎫－223，13解析：方法一：(直接法)设所求向量e ＝(cos θ，sin θ)，则由于该向量与a ，b 的夹角都相等，故a ·e |a ||e |＝b ·e|b ||e |⇒a ·e ＝b ·e ⇒72cos θ＋12sin θ＝12cos θ－72sin θ⇒3cos θ＝－4sin θ，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35cos θ＝45，或⎩⎨⎧sin θ＝35cos θ＝－45可知B 选项成立，故选B.方法二：(数形结合法) 画出a 、b 的草图．然后画出⎝⎛⎭⎫232，－13，显然它与a 、b 的夹角不相等，逐一排除，可选B. 方法三(定性判断、验证法)若存在一向量c 与a 、b 的夹角相等，则－c 与a 、b 的 夹角也一定相等，故应有2个向量，排除A 、C ，∵|a |＝|b |，∴若c 与a 、b 的夹角相等，由向量的夹角公式可得a ·c ＝b ·c ，显然⎝⎛⎭⎫72，12·⎝⎛⎭⎫232，－13≠⎝⎛⎭⎫12，－72·⎝⎛⎭⎫322，－13，排除D.答案：B12．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有 ( ) A ．P ＝S M B ．P >SMC ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M nD ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n解析：方法一直接对照法设等比数列的首项为a 1，公比为q .当q ＝1时，S ＝na 1，P ＝a n 1，M ＝n a 1，满足P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ； 当q ≠1时，S ＝a 1(1－q n )1－q，P ＝a n 1q n (n －1)2， M ＝1a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1q n 1－1q ＝q n －1a 1q n －1(q －1)，经过整理，可得S M ＝a 21q n －1，于是⎝⎛⎭⎫S M n ＝a 2n 1 q n (n－1)，而P 2＝a 2n 1qn (n－1)，故有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n.综上有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n. 方法二：特例检验法取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求． 再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠SM ，所以A 选项不正确，故选C. 答案：C。
高考数学二轮复习第一讲多选题的命题特点与解题策略课件
为钝角的是
()
Hale Waihona Puke A．sin2A＋sin2C＞sin2B
B．―A→B ·―B→C ＜0
C.bc＜cos A
D．0＜tan Atan C＜1
[解题观摩] A 选项，由正弦定理得 a2＋c2＞b2，
cos B＝a2＋2ca2c－b2＞0⇒B 为锐角；
B 选项，―A→B ·―B→C ＝―|A→B|·―|B→C|·cos(π－B)＝－―|A→B|·―|B→C|·cos B＜0，cos B
可得 ab＋2≥2ab，解得 ab≤2，
又1a＋1b≥
2ab(当且仅当 a＝b＝
2时，等号成立)，而 ab≤2，所以
2≥ ab
2，
所以1a＋1b≥ 2，故 B 正确，A 错误；
对于 C，由 a＞0，b＞0，利用基本不等式 ab≤a＋4 b2，变形 a2＋b2－ab
＝2 得(a＋b)2－2＝3ab≤3a＋4 b2(当且仅当 a＝b＝ 2时，等号成立)，解得(a
[答案] BD
[例6] (202X·武汉5月质检)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点．设P是准线上的动 点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为M，则
()
A．|AB|的最小值为4
B．直线AB过点F
C．PM⊥y轴
D．线段AB的中垂线过定点
[思路点拨] 根据题意设 P(－1，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用导数求出 切线方程，将切线方程联立求出 x＝y14y2＝－1，y＝y1＋2 y2＝t，利用两点间的 距离公式以及基本不等式可判断 A；利用向量共线可判断 B；利用中点坐标 公式可判断 C；利用点斜式可判断 D.
对于 D，构造函数 S(x)＝ln x－2xx＋－11，0＜x＜1，因为 S′(x)＝xxx－＋1122 ＞0，故 S(x)在(0,1)上为增函数，所以 S(x)＜S(1)＝0，所以 ln x＜2xx＋－11在(0,1) 上恒成立，所以 ln12＜2×12＋12－1 1＝－23＜－12，故 ln12＋12＜0，令 U(x)＝x＋ln x， 则 U(x)为(0,1)上的增函数，而 0.49＜0.5，故 U(0.49)＜U(0.5)，即 ln 0.49＋0.49 ＜ln12＋12＜0，故 2ln 0.7＋0.49＜0，而 ln 2＜0.7，故 2ln ln 2＋0.49＜0，即 ln(e0.49ln22)＜0，所以 e0.49ln22＜1，故 D 错误．故选 A、B.
高考数理科全国通用二轮配套课件选择题的解法
个单位可得y＝sin 2(x＋m)＝sin(2x＋2m)的图象，
向右平移n(n>0)个单位可得y＝sin 2(x－n)＝sin(2x
－2n)的图象．
若两图象都与函数y＝sin(2x＋
π 3
)(x∈R)的图象重合，
则2m＝π3＋2k1π， 2n＝－π3＋2k2π，
(k1，k2∈Z)
即m＝π6＋k1π， n＝－π6＋k2π
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从
方法三 排除法(筛选法) 而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
阴影部分面积比1大，比S△OAB＝ ×2×
解析 容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D；
例1 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对 任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，若Sn<a恒成 立，则实数a的最小值为( )
A．
B．
C．
D．2
解析 对任意正整数 m、n，都有 am＋n＝am·an，取 m ＝1，则有 an＋1＝an·a1⇒aan＋n 1＝a1＝13， 故数列{an}是以13为首项，以13为公比的等比数列， 则 Sn＝1311－－1331n＝12(1－31n)<12，
由于Sn<a对任意n∈N*恒成立，
故
a≥12，即实数
a
的最小值为1，选 2
A.
答案 A
思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用 的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平 时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确 把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立 在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会 快中出错．
高考数学选择题解题技巧
高考数学选择题解题技巧高考数学选择题分值比较大，而且题目小巧灵活，有一定深度与综合性，所以迅速、准确地选出答案才是得分的关键。
下面给大家分享一些关于高考数学选择题解题技巧，希望对大家有所帮助。
高考数学选择题解题技巧1.估值选择法有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
2.正难则反法从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
3.特征分析法对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
4.逆推验证法(代答案入题干验证法)将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
5.剔除法利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
6.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
6.顺推破-解法利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
7.数形结合法由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
8.特值检验法对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
9.极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
10对比归谬法对于一些选项间有相互关联的高考选择题，有时可能会出现如果选项A正确即会有选项B正确或选项C也正确的情况，对于答案应为单选或双选的选择题可用此方法进行排除错误选项。
高三数学二轮专题复习第一讲高考数学选择题的解题策略
选择，“无需忍痛——芬（分）必得！”
三、数学选择题的三个特点
俗话说得好：“一母生九子，九子各不同。” 即使同是《数学》这门学科，选择题和其它题 目相比，解题思路和办法也有着一定的区别。 产生这种现象的因素在于：数学选择题有着与 其它题型明显不同的特点。
1、立意新颖、构思精巧、困惑性强，题材内容 有关相近，真伪难分。
8
8
2. 特例法
有些选择题，用常规办法直接求解比较困 难，若根据答案中所提供的信息，选择某 些特殊状况进行分析，或选择某些特殊值 进行计算，或将字母参数换成具体数值代 入，把普通形式变为特殊形式，再进行判 断往往十分简朴。
用特殊值(特殊图形、特殊位置)替代题设 普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进 行检查，从而作出对的的判断.惯用的特例 有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊 图形、特殊角、特殊位置等.
例4．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2， 0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点 P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次 反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等 于反射角），设P4坐标为（x4，0）若1<x4<2，则 tanθ的取值范畴是（ ）
C
，R= lg( a b) 2
，则（
）解10：，取比a＝较1可02知0，选bB＝
（A）R<P<Q （B）P<Q< R
（C）Q< P<R （D）P< R<Q
小结：当对的的选择对象，在题设普遍条件 下都成立的状况下，用特殊值（获得越简朴 越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到对 的的答案，即通过对特殊状况的研究来判断 普通规律，是解答本类选择题的最佳方略.近 几年高考选择题中可用或结合特例法解答的 约占30％左右.
高考数学二轮复习：第1讲 选择题的十大解题妙招
第二部分解题策略1.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,=m(++),则m的取值是( B )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:特殊化处理,不妨设△ABC为直角三角形,则圆心O在斜边中点处,此时有=++,m=1,故选B.2.若动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上,O为原点,且满足OP⊥OQ,则O 到弦PQ的距离OH必等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:选一个特殊位置(如图),令OP、OQ分别在长、短正半轴上,由a2=16,b2=9得,OP=4,OQ=3,则OH=.根据“在一般情况下成立,则在特殊情况下也成立”可知,选项C正确.故选C.3.曲线y=1+(x∈[-2,2])与直线y=k(x-2)+4有两个公共点时,k 的取值范围是( D )(A)(0,) (B)(,)(C)(,+∞) (D)(,)解析:如图.曲线方程y=1+(x∈[-2,2])的图象为x2+(y-1)2=4(-2≤x≤2,1≤y≤3),表示以(0,1)为圆心,2为半径的上半圆,直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),当直线与半圆相切时直线斜率为,当直线过A点时直线斜率为,则直线与曲线有两个公共点时,k∈(,),故选D.4.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( D )(A)π(B)π(C)4π(D)π解析:用估值法,设球半径为R,△ABC外接圆半径为r=,则S球=4πR2≥4πr2=π>5π,故选D.5.函数y=2x-x2的图象大致是( A )解析:因为当x=2或x=4时,2x-x2=0,所以排除B,C;x=-2时,2x-x2=-4<0,排除D,故选A.6.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( B )(A)12 (B)10(C)8 (D)2+log35解析:因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列a5=a6=3,q=1即可,则log3a1+log3a2+…+log3a10=log33+log33+…+log33=10,故选B.7.F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则|·|的最大值是( D )(A)4 (B)5 (C)1 (D)2解析:设动点P的坐标是(2cos α,sin α),由F1,F2是椭圆的左、右焦点得F 1(-,0),F2(,0),则|·|=|(2cos α+,sin α)·(2cos α-,sin α)|=|4cos2α-3+sin2α|=|3cos2α-2|≤2,故选D.8.若函数f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O按逆时针旋转90°得到,则f(x)等于( A )(A)10-x-1 (B)10x-1 (C)1-10-x (D)1-10x解析:采取特殊检验法.在函数y=lg(x+1)图象上取点A(9,1),将OA绕原点逆时针旋转90°,得到点A′(-1,9),代入各个选项检验,仅选项A合适,故选A.9.已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,若|PQ|=2,则直线l的方程为( B )(A)x=-1或4x+3y-4=0 (B)x=-1或4x-3y+4=0(C)x=1或4x-3y+4=0 (D)x=1或4x+3y-4=0解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),过圆C作CM⊥PQ,垂足为M, 由于|PQ|=2,可求得|CM|=1.由|CM|==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.故选B.10.直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点,则b的取值范围是( B )(A){b|b=±} (B){b|-1<b≤1或b=-}(C){b|-1≤b≤} (D){b|-<b<1}解析:y=x+b是斜率为1的直线,曲线x=是以原点为圆心,1为半径圆的右半圆,画出它们的图象如图所示,由图可以看出,直线与曲线有且仅有一个公共点有两种情况:①直线与半圆相切b值唯一;②b的范围为一连续区间,故选B.11.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]的简图是( A )解析:f(π)=sin(2π-)=-,排除B、D,F()=sin(2×-)=0,排除C.故选A.12.若θ∈[,],sin 2θ=,则sin θ等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:法一由θ∈[,],得2θ∈[,π].又sin 2θ=,故cos 2θ=-.故sin θ==.故选D.法二因θ∈[,],所以sin θ≥,从而可排除A、C;若sin θ=,则cos θ=,所以sin 2θ=,从而可排除B.故选D.。
高三数学(理)二轮复习：题型精讲第一讲选择题的解法
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作题型精讲第一讲选择题的解法(见学生用书P113)高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向．解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速．高考数学选择题的解答特点是“四选一”，怎样快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分必要的，也是决胜高考的前提．解题的基本策略是，充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直解，先排除后求解．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：“小题巧解，小题不能大做”．方法一直接法由题目所给条件出发，进行演算推理，直接得出结论，与四个答案比较，若结论恰为某一选项，便可顺推肯定；若推演的过程可以逐步排除三个选项，便可顺推否定，这种由因导果的方法是解选择题的基本方法．直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错．例1－1(2014·雅礼模拟)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心分析：对任意的实数k，直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，且斜率存在，(0，1)在圆x2＋y2＝2内，故可得结论．解析：(方法1)对任意的实数k，直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，且斜率存在．∵(0，1)在圆x2＋y2＝2内，∴对任意的实数k，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心．(方法2)∵圆心到直线的距离d ＝|1|1＋k2<2恒成立，∴直线与圆相交．又∵点(0，0)不在直线上，∴直线不过圆心．答案：C例 1－2(2015·黄冈模拟)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2C.83D.1623分析：先根据题意，写出直线l 的方程，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出图形的面积．解析：抛物线C ：x 2＝4y 的焦点坐标为(0，1)，直线l 的方程为y ＝1，联立y ＝1与x 2＝4y 解得两个交点坐标(±2，1)，故l 与C 围成的封闭图形面积S ＝∫2－2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3122－2＝83.选C. 答案：C方法二 特例法(特值法)用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．例 2－1(2014·郴州二模)已知定义在区间(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象如图所示，则y ＝－f(2－x)的图象为( )A. B.C. D.分析：由(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象可求f(x)，进而可求y ＝－f(2－x)，根据一次函数的性质，结合选项可判断．解析：(方法1)特值法：当x ＝2时，y ＝－f(2－x)＝－f(2－2)＝－f(0)＝0，故可排除D 项；当x ＝1时，y ＝－f(2－x)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－1，故可排除A ，C 项；所以由排除法知选B.(方法2)由(0，2)上的函数y ＝f(x)的图象可知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x ≤1，1，1<x<2.当0<2－x<1即1<x<2时，f(2－x)＝2－x ；当1≤2－x<2即0<x ≤1时，f(2－x)＝1.∴y ＝－f(2－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0<x ≤1，x －2，1<x<2，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B 正确．答案：B例2－2(2015·浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|分析：根据题目特点，可采用取特殊值法求解．解析：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R ，都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．答案：D例 2－3(2015·武汉模拟)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x 有( )A ．[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ] 分析：利用特殊值法求解．解析：取x ＝0.5，排除A 、B 、C ，选D.答案：D例 2－4(2015·黄冈模拟)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3分析：可用取特殊函数法求解，也可利用奇、偶函数的定义直接求解．解析：(方法1)令f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－x 3，则f (1)＋g (1)＝1＋1－1＝1.(方法2)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C方法三 筛选法从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断．例 3－1(2015·黄冈模拟)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1，0] C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 分析：取特殊值对照选项，逐个排除，用筛选法求解．解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A 、D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.答案：B例 3－2(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )分析：根据题目选项信息，分段逐个筛选．解析：排除法排除错误选项．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22＜1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案：B方法四 代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断．即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．例 4－1)(2015·武汉调研)过点A (－2，3)作抛物线：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，设l 1，l 2与y 轴分别交于点B ，C ，则△ABC 的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2－3x －2y ＋1＝0B ．x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－3x －4＝0D ．x 2＋y 2＋x －3y －2＝0分析：根据题意，点A (－2，3)一定在△ABC 的外接圆上，可直接将A (－2，3)代入四个选项检验，也可直接由直线与抛物线相切求解．解析：(方法1)由题意知，△ABC 的外接圆过点(－2，3)， 将A (－2，3)代入四个选项检验，只有D 满足，故选D.(方法2)设过A (－2，3)的切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －3＝k （x ＋2）得ky 2－4y ＋12＋8k ＝0. 由题意，Δ＝16－4k (12＋8k )＝0，即2k 2＋3k －1＝0.∴k 1＋k 2＝－32，k 1k 2＝－12.在切线方程y －3＝k (x ＋2)中，令x ＝0得，y ＝2k ＋3.∴B (0，2k 1＋3)，C (0，2k 2＋3)．设△ABC 外接圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴E ＝－[(2k 1＋3)＋(2k 2＋3)]＝－2(k 1＋k 2)－6＝－3，F ＝(2k 1＋3)·(2k 2＋3)＝4k 1k 2＋6(k 1＋k 2)＋9＝－2＋6·(－32)＋9＝－2.∴△ABC的外接圆方程为：x2＋y2＋Dx－3y－2＝0.又过点A(－2，3)，代入得：D＝1.综上，△ABC外接圆方程为：x2＋y2＋x－3y－2＝0.故选D.答案：D例4－2(2014·武昌区模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x ＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()A.B.C.D.分析：由定义知，函数为偶函数，先判断A、C两项，图象对应的函数为奇函数，不符合题意；再取特殊值x＝0，可得f(2)＝f(0)，可知B选项符合要求．解析：∵f(－x)＝f(x)，∴函数图象关于y轴对称，排除A、C两个选项；又∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2，取x＝0可得f(2)＝f(0)．排除D选项，说明B选项正确．答案：B例 4－3(2014·广东模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝5π4分析：根据正弦函数一定在对称轴上取最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解析：(方法1)因为当x ＝－π2时，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋5π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－1. (方法2)直接法：∵函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的对称轴方程为 2x ＋5π2＝k π＋π2，即x ＝k π2－π，当k ＝1时，x ＝－π2，故选A.答案：A方法五 数形结合法)据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．例 5－1)已知函数⎩⎨⎧f （x ）＝1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 分析：先画函数f (x )的图象，将函数g (x )的零点问题转化为函数f (x )的图象与直线y ＝mx ＋m (x ∈(－1，1])的交点问题．解析：由题意画出f (x )的图象，如图所示．令g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)，所以g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)的图象在(－1，1]上有且仅有两个不同的交点．y ＝m (x ＋1)是过定点(－1，0)的一条直线，m 是其斜率．由数形结合知，符合题意的直线位于l 1(x 轴)与l 2之间和l 3与l 4(切线)之间．因为l 4与y ＝f (x )相切，所以1x ＋1－3＝m (x ＋1)有两个相等的实根， 即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0有两个相等的实根，即Δ＝9＋4m ＝0，解得m ＝－94.设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，易求k 1＝0，k 2＝12，k 3＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：A例 5－2)(2015·武汉模拟)若a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，2)C ．(1，3)D ．[1，3]分析：根据向量即具有数又具有形的特点，本题用数形结合方法求解．解析：(方法1)当a ，b 共线时，|b|＝1或3，当a ，b 不共线时，a ，b ，a －b 必构成一三角形，如图． 而|a|＝2，∴2－1＜|b|＜2＋1，∴1＜|b|＜3.故选D .(方法2)(利用向量模的几何意义)如图所示，设b ＝(x ，y )，则a －b ＝(1－x ，3－y )，且a ＝OA→. ∵|a －b |＝1，∴(1－x )2＋(3－y )2＝1，即(x －1)2＋(y －3)2＝1.又|b |＝x 2＋y 2，∴|b |的取值范围即为圆(x －1)2＋(y －3)2＝1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值．∴|b |max ＝12＋（3）2＋1＝3，|b |min ＝12＋（3）2－1＝1.∴1≤|b |≤3.故选D.(方法3)如图所示：因为a ＝(1，3)，所以a ＝OA→的端点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上．因为|a －b |＝1，所以a －b ＝OB→的端点B 在单位圆上．b ＝a －OB→＝OA →－OB →＝BA →， 由图可知1≤|b |≤3.综上可知：选D.答案：D方法六 估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得．这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次．例 6－1(2014·长郡模拟)已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.16π9B.8π3 C ．4π D.64π9分析：由AB ＝BC ＝CA ＝2，求得△ABC 的外接圆半径为r ，再由R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝43，求得球的半径，再求出面积． 解析：(方法1)∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，∴R ≥r ＝233.则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π，故选D. (方法2)因为AB ＝BC ＝CA ＝2，所以△ABC 的外接圆半径为r ＝233.设球半径为R ，则R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝43， ∴S 球＝4πR 2＝4π·169＝649π. 答案：D1．准确是解答选择题的先决条件．选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，初选后认真检验，确保准确．2．迅速是赢得时间获取高分的必要条件．高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素．对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完．3．从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要的，所以人称可以“不择手段”．但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速．总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择．这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间．(见学生用书P188)1．(2014·黑龙江二模)若点P(1，1)是圆(x－3)2＋y2＝9的弦AB 的中点，则直线AB的方程为()A ．x －2y ＋1＝0B ．x ＋2y －3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：由圆的方程得圆心O 1(3，0)．由题意得直线O 1P 与直线AB 垂直，且直线O 1P 的斜率为1－01－3＝－12，∴直线AB 的斜率为2，则直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：D2．(2014·武昌区模拟)若函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为( )A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x <0，x －x 2，x ≥0，再结合二次函数图象可知函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：B3．(2015·武汉模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．故选D.答案：D4．(2015·贵阳模拟)为得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝|2π3＋2(k 1－k 2)π|，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3.答案：B5．(2014·徐汇区一模)直线y ＝x ＋1与曲线y 29－x |x |4＝1的公共点的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由题意可得：当x ≥0时，方程为y 29－x 24＝1， 其表示双曲线的一部分；当x <0时，方程为y 29＋x 24＝1，其表示椭圆的一部分． 如图所示：所以直线y ＝x ＋1与曲线y 29－x |x |4＝1的公共点的个数是1.答案：A6．(2015·唐山模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.3－12 C.32 D.3－1解析：设A (m ，n )，则⎩⎨⎧n m ＋c ×（－3）＝－1，3×m －c 2＋n 2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c .代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±2 3.又∵0<e <1，∴e ＝3－1.答案：D7．(2014·长郡模拟)设函数f (x )＝－x 2－4x ＋a ，g (x )＝43x ＋1，当x ∈[－4，0]时，恒有f (x )≤g (x )，则a 可能取的一个值是( )A ．－5B ．5C ．－53 D.53解析：根据题意，当x ∈[－4，0]时，恒有f (x )≤g (x )， 对于B ，若a ＝5，则x ＝0时，有f (x )＝5，g (x )＝1，故B 错；对于C ，若a ＝－53，则x ＝－4时，f (x )＝－53，g (x )＝－133，故C 错；对于D ，若a ＝53，则x ＝0时，f (x )＝53，g (x )＝1，故D 错．答案：A8．(2014·长沙市一中模拟)对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2]C ．[0，2]D ．(0，2)解析：设点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， 由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－a 2≥a 2. 整理得：y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立， 而2＋y 208的最小值为2，∴a ≤2.答案：B9．(2015·安庆模拟)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x，y ＝log 3x ，y ＝－1x 的图象，如图，观察它们与直线y ＝－x 的交点情况可知a ＜b ＜c .答案：A10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．答案：B11．(2015·洛阳模拟)已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC＝3，AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12π D.163π解析：由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D －ABC ＝13S △ABC ·h (h 为点D 到底面ABC的距离)⇒334＝13·334·h ⇒h ＝3.设R 为球O 的半径，则(3－R )2＝R 2－r 2⇒R ＝2，∴球O 的表面积为4π·22＝16π.答案：B12．(2015·南昌模拟)如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由程序框图可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，|x |＞1，x 3，|x |≤1，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧|x |＞1，ln|x |＝x ，或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x . 而由⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，x 3＝x 得x ＝0或±1. 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又f (1)＝ln 1－1＝－1＜0，故当x ＞1时，方程ln x ＝x ，即ln|x |＝x 无解；当x ＜－1时，ln|x |＞ln 1＝0，则ln|x |＞x ，即ln|x |＝x 无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |＞1，ln|x |＝x无解．综上所述，符合条件的x值有3个．答案：B。
2021新高考数学二轮总复习学案：第1讲 选择题、填空题的解法含解析
第1讲选择题、填空题的解法方法思路概述高考选择题、填空题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现利用基础知识深度考基础、考能力的导向;使作为中低档题的选择题、填空题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题、填空题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题、填空题的基本策略是准确、迅速.(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为直接法,特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.解法分类指导方法一直接法直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过严密的推理和准确的计算,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.多用于涉及概念、性质的辨析或运算较简单的定性题目.【例1】(1)(2020山东泰安一模,2)已知复数=1-b i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+b i|=()A.-1+2iB.1C.5D.(2)(多选)(2020山东济宁模拟,11)已知函数f(x)=cos-2sin cos(x∈R),现给出下列四个命题,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在上单调递增D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x【对点训练1】(1)(2020福建福州模拟,理6)已知数列{a n}为等差数列,若a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,则a3a4=()A.-14B.9C.14D.20(2)(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是.方法二特值、特例法特值、特例法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数,特殊角,特殊数列,特殊图形,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.【例2】(1)(2020山东模考卷,8)若a>b>c>1,且ac<b2,则()A.log a b>log b c>log c aB.log c b>log b a>log a cC.log c b>log a b>log c aD.log b a>log c b>log a c(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则=.【对点训练2】(1)(2020浙江高考压轴卷,8)已知a,b∈R,且a>b,则()A. B.sin a>sin bC. D.a2>b2(2)在平面直角坐标系中,设A,B,C是曲线y=上三个不同的点,且D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,则过D,E,F三点的圆一定经过定点.方法三等价转化法在应用等价转化法解决问题时,没有一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形之间进行转换;可以在宏观上进行等价转换;也可以在函数、方程、不等式之间进行等价转化.但都需要保持命题的真假不变.等价转化法的转化原则是将陌生的问题转化为熟悉的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为直观的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式,从分式到整式.【例3】(1)函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1(2)已知f(x)与函数y=-a sin x关于点,0对称,g(x)与函数y=e x关于直线y=x对称,若对任意x1∈(0,1],存在x2∈,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.-∞,B.,+∞C.-∞,D.,+∞【对点训练3】(1)在四面体P-ABC中,△ABC为等边三角形,边长为3,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为()A.3B.2C. D.(2)(2020福建福州模拟,16)已知函数f(x)=ax-ln x-1,g(x)=,用max{m,n}表示m,n中的最大值,设φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为.方法四数形结合法数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.每个几何图形中蕴含着一定的数量关系,而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述,数与形之间可以相互转化,将问题化难为易,化抽象为具体.数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数,能使某些较复杂的数学问题迎刃而解.【例4】(1)(2020山东模考卷,6)已知点A为曲线y=x+(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是()A.3B.4C.3D.4(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%(2)(2020山东,5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%【对点训练4】(1)已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,满足f(a)=f(b)=f(c),其中c>b>a,则(a+b)f(c)的取值范围是()A.(24,36)B.(48,54)C.(24,27)D.(48,+∞)(2)(多选)(2020山东济南一模,12)已知函数f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|,下列说法正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)在区间上是增函数C.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z)D.函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点方法五构造法利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题得到快速解决.【例5】(1)(2020全国Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,则()A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0(2)(2020山东烟台模拟,16)设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为.【对点训练5】(1)(2020天津和平区一模,7)函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1<x2),都有,记a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53(lo5),则a,b,c大小关系为()A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b(2)(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0方法六排除法(针对选择题)数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项逐一剔除,从而获得正确的结论.【例6】(1)(2020全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b(2)(2020浙江高考压轴卷,7)函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()【对点训练6】(1)(多选)(2020山东联考,9)在下列函数中,最小值是2的是()A.y=x+B.y=2x+2-xC.y=sin x+,x∈D.y=x2-2x+3(2)(2020浙江,4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是()方法七估算法选择题提供了正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.【例7】(2019全国Ⅰ,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm【对点训练7】已知正数x,y满足2x+y<4,则的取值范围是()A.B.C.∪(5,+∞)D.∪[5,+∞)专题方法归纳1.解选择题、填空题的基本方法比较多,但大部分选择题、填空题的解法是直接法,在解题时要根据题意灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法.2.由于选择题供选选项多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.3.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断正确的唯一标准,因此解填空题时要注意以下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算要准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.4.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解题能力.第1讲选择题、填空题的解法解法分类指导【例1】(1)D(2)BD解析(1)由=1-b i,得2-a i=i(1-b i)=b+i,∴a=-1,b=2,则a+b i=-1+2i,∴|a+b i|=|-1+2i|=,故选D.(2)由题得,f(x)=cos-sin sin2x-cos2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x时,2x-,函数f(x)在上先单调递减后单调递增,故C错误;将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=f=sin2x,故D正确.对点训练1(1)D(2)解析(1)令f(x)=0,则方程x2-9x+14=0,解得方程的两个根为2,7.∵等差数列{a n}中,a1,a6为函数f(x)=x2-9x+14的两个零点,∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,当a1=2,a6=7时,d==1,则a3=4,a4=5,所以a3a4=20;当a1=7,a6=2时,d==-1,则a3=5,a4=4,所以a3a4=20.故选D.(2)|2e1-e2|2,解得e1·e2又e1·e2≤1,所以e1·e2≤1.cosθ==,设e1·e2=x,则x≤1.cos2θ=,得cos2,所以cos2θ的最小值是【例2】(1)B(2)解析(1)因为a>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,则log c a=4>1>log a b,故A,C错;log c b=3>log b a=,故D错,B正确.(2)所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和在特殊△ABC中所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如下图,=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=,y2=则=(x,2y)(-x,2y)=-x2+4y2=对点训练2(1)C(2)(1,0)解析(1)对于A,取a=1,b=-1,则a>b成立,但,故A 错误;对于B,取a=π,b=0,则a>b 成立,但sin π=sin0,故B 错误; 对于C,因y=在R 上单调递减,若a>b ,则,故C 正确;对于D,取a=1,b=-2,则a>b 成立,但a 2<b 2,故D 错误. (2)曲线y=的对称中心为(1,0),设过对称中心的直线与曲线交于A ,B 两点,则A ,B 的中点为对称中心(1,0),所以过D ,E ,F 三点的圆一定经过定点(1,0). 【例3】(1)A (2)C 解析(1)当x>0时,函数f (x )过点(1,0),又函数f (x )有且只有一个零点,可推出,当x ≤0时,函数y=-2x +a 没有零点,即在(-∞,0]内,函数y=2x 与直线y=a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a>1.又因{a|a<0}⫋{a|a ≤0或a>1},故选A .(2)依题意得f (x )=a sin(1-x ),g (x )=ln x ,设h (x )=g (x )-x=ln x-x ,x ∈(0,1],∵h'(x )=-1≥0,∴h (x )在(0,1]上单调递增, ∴h (x )max =h (1)=ln1-1=-1. 故原题等价于存在x ∈,2,使得a sin(1-x )≥-1,∵sin(1-x )≤0,∴a 故只需a 而y=在x ∈,2上单调递减,而,∴a 故选C .对点训练3(1)C (2) 解析(1)如图,延长CA 至D ,使得AD=3,连接DB ,PD ,因为AD=AB=3,故△ADB 为等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB ⊥DB.因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC 2=PB 2+BC 2,所以CB ⊥PB.因为DB ∩PB=B ,DB ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以CB ⊥平面PBD.所以V 三棱锥P-CBD=V 三棱锥C-PBD =CB×S △PBD .因为A 为DC 的中点,所以V 三棱锥P-ABC =V 三棱锥P-CBD =3×S △PBD =S △PBD .因为DA=AC=AP=3,故△PDC 为直角三角形,所以PD=又DB=AD=3,而PB=4,故DB 2=PD 2+PB 2,即△PBD 为直角三角形,所以S △PBD =4=2,所以V 三棱锥P-ABC =故选C .(2)当x ∈(0,3)时,g (x )=,当x ∈[3,+∞)时,g (x )=,所以φ(x )在[3,+∞)必成立,问题转化为φ(x )在(0,3)恒成立,由ax-ln x-1恒成立,可得a 在x ∈(0,3)恒成立,设h (x )=,x ∈(0,3),则h'(x )=,当0<x<1时,h'(x )>0,当1<x<3时,h'(x )<0,所以h (x )在(0,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,所以h (x )max =h (1)=,所以a,故实数a 的取值范围为【例4】(1)A (2)C 解析(1)作出对勾函数y=x+(x>0)的图象如图,由图象知函数的最低点坐标为A (2,4),圆心坐标为C (2,0),半径R=1,则由图象知当A ,B ,C 三点共线时,|AB|最小,此时最小值为4-1=3,故选A .(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由维恩图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练4(1)B(2)AC解析(1)画出f(x)=的图象,如图所示.∵a<b<c,∴由二次函数的性质可得a+b=6.由图可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)==9,∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范围是(48,54),故选B.(2)由题得,f(x)=(sin x+cos x)|sin x-cos x|==图象如图所示,由图可知,f(x)是周期为2π的周期函数,故A正确;f(x)在区间上不是单调函数,故B错误;若|f(x1)|+|f(x2)|=2,则x1+x2=(k∈Z),故C正确;函数g(x)=f(x)+1在区间[0,2π]上有且仅有2个零点,故D错误.故选AC.【例5】(1)A(2)(1,+∞)解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>ln1=0.故选A.(2)设F(x)=,则F'(x)=f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵e x-1f(x)<f(2x-1),,即F(x)<F(2x-1),∴x<2x-1,即x>1,∴不等式e x-1f(x)<f(2x-1)的解集为(1,+∞).对点训练5(1)C(2)C解析(1)构造函数g(x)=,则函数在(0,+∞)内单调递减,∵0.22<1<log35,则f(0.22)>f(1)>f(log35)=-f(lo5),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53×f(lo5),∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(lo5),∴a>b>c.(2)当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件;当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b,①当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)·(x-2a-b)≥0不恒成立;②当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0;③当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C.【例6】(1)D(2)A解析(1)由题意可知,a·b=|a|·|b|cos60°=对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.(2)∵f(-x)==f(x),∴f(x)是偶函数,故f(x)图象关于y轴对称,排除C,D;又x=1时,f(1)=<0,排除B,故选A.对点训练6(1)BD(2)A解析(1)对于A,若x<0,则最小值不为2,故A错误;对于B,y=2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,故B正确;对于C,对x,y=sin x+2,但等号成立需sin x=,方程无解,故C错误;对于D,y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,当x=1时取等号,故D正确.故选BD.(2)因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),x∈[-π,π],所以函数f(x)是奇函数,故排除C,D,当x时,x cos x+sin x>0,所以排除B.故选A.【例7】B解析设人体脖子下端至肚脐长为x cm,则,得x≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.对点训练7A解析作出表示的可行域如图所示,直线2x+y=4与坐标轴的交点为B(2,0),C(0,4).设z=,∵A(0,0), ∴z A=1;∵B(2,0),∴z B=;∵C(0,4),∴z C=5.由题知,无法取到B,C两点,的取值范围是。
高考数学二轮复习 专题九第一讲选择题解题技法(A) 理
第一讲 选择题解题技法(A)1．(2013·高考江西卷)已知集合M ＝{1，2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．￢p 或qC ．￢p 且qD ．p 且q 3．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.454．(2013·高考四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A ．￢p ：∃x ∈A ，2x ∈B B ．￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．￢p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．￢p ：∀x ∉A ，2x ∉B5．(2013·高考山东卷)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．96．(2013·浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.167．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |x3－x≥0}，B ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{x |0≤x <3}D ．{x |0≤x ≤3}9．(2013·高考福建卷)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2013·安徽省“江南十校”高三联考)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π311．已知命题p ：“在△ABC 中，若AB →·AC →＝BA →·BC →，则|AC →|＝|BC →|”，则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 12．下列命题中正确的是( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥αD ．命题“∀x ∈R ，2x>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”13．(2013·长沙市二模)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，12)D ．[43，＋∞)14．(2013·浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为“若OP →＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)”．若F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且动点M (x ，y )满足|MF 1→|＝|MF 2→|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0 D.2x ＋y ＝015．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.33B.34C.23D.2216．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)对于非空实数集A ，记A *＝{y |∀x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M 、P 满足：M ⊆P ，且若x >1，则x ∉P .现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有P *⊆M *；②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有M *∩P ≠∅；③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有M ∩P *＝∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的b ∈M *，恒有a ＋b ∈P *，其中正确的命题是( )A ．①③B ．③④C ．①④D ．②③答案: 1．【解析】选C.因为M ＝{1，2，z i}，N ＝{3，4}，由M ∩N ＝{4}，得4∈M ，所以z i ＝4，所以z ＝－4i.2．【解析】选B.命题q ：若a >b ，则ac >bc 为假命题，命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α也为假命题，因此只有綈p 或q 为真命题．3．【解析】选D.∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.4．【解析】选C.命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.5．【解析】选C.当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时，x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0.根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．6．【解析】选A.∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝3＋2b 5＋（6－b ）i 5，当6－b 5＝0时，z 1z 2是实数，∴b ＝6.7．【解析】选A.由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分而不必要条件．8．【解析】选 B.图中阴影表示的是A ∩B ，化简集合，A ＝{x ∈Z |x x －3≤0}＝{x ∈Z |⎩⎪⎨⎪⎧x （x －3）≤0x －3≠0}＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0，1，2}，B ＝{x ∈Z |－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，故选B. 9．【解析】选A.当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．10．【解析】选A.由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．【解析】选D.因为－π<A －B <π，AB →·AC →＝BA →·BC →，所以|AC →||AB →|cos A ＝|BA →||BC →|cos B ⇔sin B cos A ＝sin A cos B ⇔sin(B －A )＝0⇔A ＝B ⇔|BC →|＝|AC →|，因为原命题、逆命题为真命题，逆否命题和否命题也都为真命题，真命题的个数为3，故选D.12．【解析】选D.显然“p ∧q ”为假命题，A 不正确；∵sin α＝12⇔α＝2k π＋π6或α＝2k π＋56π(k ∈Z )．∴“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，B 错；C 中，l ∥α或l ⊂α，C 不正确；全称命题的否定，改变量词并否定结论，D 正确． 13．【解析】选B.∵|x －m |<1，∴－1<x －m <1， ∴m －1<x <m ＋1，即不等式的解集为(m －1，m ＋1)，据已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12可得(13，12)(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13m ＋1≥12⇒－12≤m ≤43，故选B.14．【解析】选D.依题意，MF 1→＝(－1－x ，－y )＝(－1－x )e 1－y e 2，MF 2→＝(1－x ，－y )＝(1－x )e 1－y e 2，由|MF 1→|＝|MF 2→|得，MF 1→2＝MF 2→2，∴[(－1－x )e 1－y e 2]2＝[(1－x )e 1－y e 2]2，∴4x ＋4y e 1·e 2＝0.∵∠xOy ＝45°，∴e 1·e 2＝22，故2x ＋2y ＝0，即2x ＋y ＝0，故选D.15．【解析】选D.∵D 是BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，∴4AD →2＝AB →2＋AC →2－2.∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|cos120°＝－1， ∴|AB →||AC →|＝2.∴2＋4AD →2＝AB →2＋AC →2≥2|AB →||AC →|＝4， ∴4AD →2≥2，∴AD →2≥12，∴|AD →|≥22，故选D.16．【解析】选C.对于②，假设M ＝P ＝{x |0<x <12}，则M *＝{y |y ≥12}，则M *∩P ＝∅ ，因此②错误；对于③，假设M ＝P ＝{x |0<x ≤12}，则12∈M ，又12∈P *，则M ∩P *≠∅，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.。
全国高考数学第二轮复习 第1讲 选择题技法指导 理
第1讲 选择题技法指导纵观近几年的高考题，无论是全国卷还是省市自主命题卷，选择题是高考试题的三大题型之一．除上海卷外，其他高考卷中选择题的个数均在8～12之间，占总分的27%～40%.该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力．选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”等四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线．1．直接法与定义法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是选择题最基本的方法，绝大多数选择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法．【例1】若△ABC 的内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23变式训练1 已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( )． A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i2．数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线、有关图形或草图，借助几何图形的直观性、形状、位置、性质等图象特征作出正确的判断，得出结论．这种方法通过“以形助数”或“以数助形”，使抽象问题直观化、复杂问题简单化．【例２】设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)变式训练2 若函数f (x )＝e x ＋ln x ，g (x )＝e －x ＋ln x ，h (x )＝e －x －ln x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小依次为( )．A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a3．特例法与排除法用符合条件的特例来检验各选项，排除错误的，留下正确的一种方法叫特例法(特值法)，常用的特例有特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊图形等．排除法就是根据高考数学选择题中有且只有一个答案是正确的这一特点，在解题时，结合估算、特例、逻辑分析等手段先排除一些肯定是错误的选项，从而缩小选择范围，确保答案的准确性，并提高答题速度．【例３】函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )． A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1,0] C ．[－2，－1] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 4．估算法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．【例４】若D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过D 中的那部分区域的面积为( )．A ．34B ．1C ．74D ．2 参考答案方法例析【例1】A 解析：由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4，由C ＝60°，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4－2ab 2ab ＝12. 解得ab ＝43. 【变式训练1】C【例2】C 解析：当K ＝12时， f K (x )＝12()f x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12， 即12()f x ＝||1||1,21|| 1.2x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪<⎪⎩，，12()f x 的图象如下图．由图象可知，所求的单调递增区间为(－∞，－1)．【变式训练2】D【例3】B 解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ； 令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B. 【例4】C。
专题九 选择题解题策略
高三二轮复习专题数学（理）热点一直接法就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过变形、推理、运算而得出结论，再对照选择项，从中选出正确答案的方法，这是客观题求解的最基本方法.例1设a =log 32,b =ln 2,c =5-12,则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a解析a =log 32=1log 23,b =ln 2=1log 2e,而log 23>log 2e >1,所以a <b .又c =5-12=15,而5>2=log 24>log 23,所以c <a ,综上c <a <b.答案C点拨本题直接从条件出发，通过对数换底公式结合对数函数单调性作出判断，采用了直接法.合理变形、严谨的推理和运算是直接法解题的关键，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．热点二图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法.例2若函数y =f (x )(x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈[]-1,1时，f (x )=||x ，则函数y =f (x )(x ∈R )的图象与函数y =log 3||x 的图象的交点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．无数个xy123-3-2-1Y =f (x )y =log 3|x |解析由已知条件可作出函数y =f (x )及y =log 3||x 的图象，如图，由图象可得其交点的个数为4个．答案C点拨图解法是一种数形结合的解题策略，在解有关选择题时非常简便有效，正确画出相关函数的图象、方程曲线、几何图形是图解法解题的关键，在复习备考中,有意识加强画图训练,能达到事半功倍的效果.热点三特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法.例3已知A ，B ，C ，D 是抛物线y 2=8x 上的点F 是抛物线的焦点，且F A +F B +F C +F D =0,则||F A +||F B +||F C +||F D 的值为（）A.2 B.4C.8D.16解析取特殊位置，AB,CD 为抛物线的通径，显然F A +F B +F C +F D =0，则||F A +||F B +||F C +||F D =4p =16.答案D点拨这类题目若是直接求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特例进行运算，既快又准，特例取的愈简单、愈特殊，解题效果愈好.但要特别注意，所选的特例必须满足已知条件．热点四带入检验法就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法.例4若圆x 2+y 2=r 2上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则半径r 的取值范围是（）A ．[4，6]B ．[)4,6C ．(]4,6D ．()4,6解析圆心到直线4x -3y +25=0的距离为5，则当r =4时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当r =6时，圆上有三个点到直线的距离等于1.答案D点拨代入检验法适用于题设复杂、结论简单的选择题，在运用验证法解题时，尤其关注分界点，若能专题九选择题解题策略高三二轮复习专题数学（理）据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.热点五筛选法（也叫排除法、淘汰法）就是充分运用选择题有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法.例5函数y =2x-x 2的图象大致是（）xy O xy O xy O x y O A BCD解析因为当x =2或4时，2x -x 2=0，所以排除B ，C ；当x =-2时，2x-x 2=14-4<0，排除D.答案A点拨本题考查函数的图象，采用了选取适合题意的特殊值，从而达到了排除B 、C 、D ，选出了A.筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.热点六估值法就是通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”.例6如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =32，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（）ABE FCDA ．92B ．5C ．6D ．152解析由已知条件可知，EF ∥平面ABC D ，则F 到平面ABCD 的距离为2，∴V F -ABCD =13×32×2=6，而该多面体的体积必大于6．答案D点拨估算实质上是一种数字意义，它以正确的推理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断，估算省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.热点七逻辑分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法.例7已知ΔABC 的三边a ,b,c 满足等式a c os A +b cos B =cc os C ，则此三角形是（）A.以a 为斜边的直角三角形B .以b 为斜边的直角三角形C .以c 为斜边的直角三角形D.等边三角形解析题设条件中的等式是关于a ,A 与b,B 的对称式，因此选项A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项D 正确，则有12+12=12，即1=12，从而D 被淘汰，故选C .答案C点拨逻辑分析法一般通过对四个选择支之间的逻辑关系（重合、包含、交叉、互斥等关系）的分析，快速否定谬误支，肯定正确支，既简化了运算，又节约了时间.热点八极端值法就是取极限位置、应用极端值解决某些问题，避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程的方法.例8设a =sin α+cos α,b =sin β+cos β，且0<α<β<π4，则（）A ．a <a 2+b 22<b <a 2+b 22B ．a <b <a 2+b 22<a 2+b 22C ．a <a 2+b 22<a 2+b 22<b D ．a 2+b 22<a <b <a 2+b 22解析∵0<α<β<π4，令α→0,β→π4，则a →1,b →2,a 2+b 22→32.易知,1< 1.5<2<1.5．答案A点拨有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果．高三二轮复习专题数学（理）1．设集合A ={x |0x 3},B ={x |x 2-3x +20,x ∈Z }，则AB 等于（）A ．(-1,3)B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设l,m,n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若m ∥l ，且m ⊥α.则l ⊥α②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α③若αβ=l,βγ=m,γα=n ，则l ∥m ∥n④若αβ=m,βγ=l,γα=n,且n ∥β,则l ∥mA ．1B ．2C ．3D ．43．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n -1，…是首项为1，公比为-2的等比数列，则a 5等于（）A ．32B ．64C ．-32D ．-644．下列命题中真命题的个数是（）①“x ∈R ,x 2-x >0”的否定是“x ∈R ,x 2-x <0”②若|2x -1|>1，则0<1x <1或1x <0③x ∈N *,2x 4+1是奇数A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足ìí2x -y 0,yx ,y -x +b,且z =2x +y 的最小值为4，则实数b 的值为（）A ．0B ．2C ．83D ．36．(x 2-1x )n的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）n 2012?是否开始结束s =0,n =1输出s s=s+sin n π3n =n +1A ．32B ．3C ．-32D ．-38．已知方程：(m -1)x 2+(3-m)y 2=(m -1)(3-m)表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于（）A ．-30B ．10C ．-6或10D ．-30或349．已知函数f (x )=a x+x -b 的零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z )，其中常数a,b 满足2a=3，3b=2，则n 等于（）A ．-1B ．-2C ．1D ．210．设A ={}(a ,c)|0<a <2,0<c <2,a ,c ∈R ，则任取(a,c )∈A ，关于x 的方程a x 2+2x +c =0有实根的概率为（）A ．1+ln 22B ．1-ln 22C ．1+2ln 24D ．3-2ln 24练习18高三二轮复习专题数学（理）1.“x 2-5x +4<0”是“||x -2<1”的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.如图，已知幂函数y =x a 的图象过点P (2,4)，则图中阴影部分的面积等于（）xy PO2A.163B .83C .43D.233.如图，D ，E ，F 分别是ΔABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF -DB =（）ABCD EFA.F D B .F C C .F ED.BE4.已知函数φ()x =g ()x +x 2，曲线y =g ()x 在点()1,g ()1处的切线方程为y =2x +1，则曲线y =φ()x 在点()1,φ()1处的切线的斜率为（）A.4B .-14C .2 D.-125.设f ()x =A cos(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，ΔEF G 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为（）xyEFG O A.-32B .-62C .3 D.-36.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A.34种B .48种C .96种D.144种7.定义在R 上的偶函数f (x -2)，当x >-2时，f (x )=ex+1-2.若存在k ∈Z ，使方程f (x )=0的实数根x 0∈(k -1,k)，则k 的取值集合是（）A.{}0B .{}-3C .{}-4,0 D.{}-3,08.A,B,C,D 是同一球面上的四个点，其中ΔABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ,AD =2AB =6则该球的体积为（）A.323πB .48πC .643πD.163π9.设Q(x ,y )是曲线C:x 225+y 29=1上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则||QF 1+||QF 2（）A.小于10B .大于10C .不小于10D.不大于1010.在ΔABC 中，E,F 分别是AC ,AB 的中点，且3AB =2AC ，若BE CF<t 恒成立，则t 的最小值为（）A.34B .78C .1 D.54练习19高三二轮复习专题数学（理）1.复数i 32i -1(i 为虚数单位）的虚部是（）A.15i B.15 C.-15i D.-152.设全集U =R ，A ={x |2x (x -2)<1)},B ={x |y =ln(1-x )}，则下图中阴影部分表示的集合为（）UAB A.{x |x1}B.{x |x x <2}C.{x |0<x1}D.{x |x1}3.下列命题中错误的是（）A.命题“若x 2-5x +6=0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”B.若x ,y ∈R ，则“x =y ”是x y (x +y 2)2成立的充要条件C.已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D.对命题p ：x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则p:x ∈R ，则x 2＋x +14.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）主视图11左视图俯视图A.12B .1C .32D.25.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填（）是否开始结束S =0,n =1,a =3输出S S =S +a a =a +2n =n +1 A.n 7 B.n >7C.n6D.n >66.下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（）A.y =cos xB.y =-|x -1|C.y =ln 2-x2+xD.y =e x+e -x7.现安排甲，乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求且甲乙两人不参加同一个项目的安排方法数为（）A.114B.162C.108D.1328.已知三棱锥O -ABC 中，A,B,C 三点在以O 为球心的球面上，若AB =BC =1，∠ABC =120°，三棱锥O -ABC 的体积为54，则球O 的表面积为（）A.323π B.16πC.64πD.544π9.某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为（）A.y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B.y ＝8×1.2n ＋2.4nC.y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D.y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.410.抛物线y 2＝2p x (p ＞0)的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AF B ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB|的最大值为（）A.22B .32C.1D.3练习20高三二轮复习专题数学（理）1．集合M ={x |函数y =1x +2-x 2有意义}，N ={x ||x +1|＞2}则MN （）A.（-1，3）B .（1，2）C .（-1，2）D.R2．设(2x +3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4.则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=（）A.2B .-2C .1D.-13．将直线x +y +1=0绕点（-1，0）逆时针旋转90°后，再沿y 轴正方向向上平移1个单位，此时直线恰与圆x 2+(y -1)2=r 2相切，则圆的半径r 的值为（）A.22B .322C .2D.14．在数列{a n }中，a n +1=ìí2a n (a n ＜12),2a n -1(a n 12),若a 1=45，则a 2012的值为（）A.35B .45C .25D.155．关于x 的函数f (x )=sin(φx +φ)有以下命题，其中假命题的序号是（）①φ∈R ，f (x +2π)=f (x )②φ∈R ，f (x +1)=f (x )③φ∈R ，f (x )都不是偶函数④φ∈R ，使f (x )为奇函数A.①③B .①④C .②④D.②③6．若向量a 与b 的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，c =a +b ，则有（）A.c ⊥a B .c ⊥b C .c ∥bD.c ∥a7．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（）是否开始结束p=1,n =1输出p p =p +n 2n =n +1p >20?A ．21B ．26C ．30D ．558．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ=n)=a(45)n(n =0,1,2)，a 为常数，则P (0.1＜ξ＜2.9)的值为（）A.1625B .916C .3661 D.20619．已知函数f (x )=ìí5x (x 1),log 15x (x ＞1),则函数y =f (1-x )的大致图象是（）xyOxyOxyOxyOABCD10．在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BAC =π2，|AB|=|AC |=|CC 1|=1.已知G ，E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不含端点），若GD ⊥E F ，则线段DF 的长度的取值范围是（）A.éêê÷÷15,1B .éê÷15,2C .[)1,2 D.éêê÷÷15,2练习21高三二轮复习专题数学（理）（2）（ⅰ）(-2,0)(0,2)（ⅱ）略练习131~7C AC BB BD8.1229.②③10.-3 311.（1）略（2）略（3）当平面P CD与平面ABC D成45°角时，直线EF⊥面P CD12.（1）略（2）略（3）不存在13.（1）45°（2）90°（3）－214.（1）略（2）略（3）1练习141~7B AC BC CA8.（1）（2）（3）9.110.1211.（1）略（2）略（3）1512.（1）2（2）当AD∶BC＝1∶2时，平面P AB⊥平面P BC13.（1）略（2）略（3）6 314.（1）略（2）略（3）2 4练习151~7AB ADC AA8.29.(a+b+c)V3a升10.①②④11.（1）略（2）1313（3）BM＝13BD12.（1）略（2）3a（3）arctan 23 313.（1）83（2）2π3（3）314.（1）略（2）60°（3）12a15.（1）略（2）当EM=33a时，AM∥平面BDF（3）101016.（1）略（2）30°（3）3217.（1）略（2）略（3）-6 6练习161~7C CB DC CC8.-89.92210.0.3211.（1）略（2）xˉ=27,s=35s表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.s值越小，表示长得越整齐，s值越大，表示长得越参差不齐12.（1）样本中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件（2）分布列为：ξP 0291120912459132491数学期望Eξ=0×291+1×291+2×4591+3×2491=213.（1）P1=15,P2=P3=25（2）随机变量X的公布列为X0100200300400P125425825825425E X=0×125+100×425+200×825+300×825+4×425=24014.（1）P=C23A22A33A55=310（2）y与x、z与x 的回归方程分别是y=0.8x+13,z=0.6x+35回归模型y=0.8x+13比回归模型z=0.6x+35的拟合效果好15.（1）P=0.8（2）经营利润为7200×0.5-（9000-7200）×0.3=3600-540=3060（万元）（3）P(M)=1-P(Mˉ)=1-16=56练习171~5DC DB C6~10AAB BC11.412.2013.614.23015.（1）53（2）1616.（1）y=4x2+9400-x2()0<x<20（2）该点与城A的距离x=410km17.（1）当x=15时，S取得最大值（2）当x=20时，V取得极大值，也是最大值.此时ha=12.即包装盒的高与底面边长的比值为1218.（1）S=2b x+2a y+4x y+ab,其中x>0,y>0.（2）当x=abS-ab2b,y=a bS-ab2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab+S-2abS19.（1）走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为12（2）EX=0×110+1×920+2×920=2720（3）选择L2路线上班最好20.（1）y=833sinè÷π6x-π3（2）当t=433时，S最大，此时点P的坐标为è÷43，43321.（1）略（2）当m A=6,m B=10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23（3）不能取到m A、m B的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立练习181~5DB AC D6~10DB CAC练习191~5B BD AD6~10C DADB练习201~5B BC AD6~10DACAA练习。
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第一讲 选择题解题技法(B)1．(2013·高考浙江卷)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2，1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 2．(2013·高考北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 33．(2013·高考重庆卷)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3D.3224．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A ．[－3，4]B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]5．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．66．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－127．(2013·湖北省八校高三第二次联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而非必要条件B ．必要而非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}9．(2013·石家庄市高三模拟考试)已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.71510．(2013·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A ．计算数列{2n －1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n－1}的前10项和D ．计算数列{2n－1}的前9项和11．(2013·高考湖北卷)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元122x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－14<x <13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <1213．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3）.若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．214．(2013·高考陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数， 则对任意实数x ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[x ＋12]＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋[x ＋12]＝[2x ]15．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )·C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )·S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③16．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94答案： 1．【解析】选C.因为S ＝{x |x >－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．2．【解析】选D.A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·[(a ＋b 2)2＋34b 2]，因为(a ＋b 2)2＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故D 正确．3．【解析】选B.（3－a ）（a ＋6）＝ －a 2－3a ＋18＝ －⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.4．【解析】选A.因为t ∈[－1，3]，当t ∈[－1，1)时， s ＝3t ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝－(t 2－4t )＝－(t －2)2＋4∈[3，4]，所以s ∈[－3，4]． 5．【解析】选D.∵a ，b 互相垂直，∴a ·b ＝0. ∴4(x －1)＋2y ＝0. ∴2x ＋y ＝2.又9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y＝6.(当且仅当9x ＝3y，即2x ＝y ＝1时取等号)．6．【解析】选C.如图所示， ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)． 当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.7．【解析】选A.当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而非必要条件．8．【解析】选D.由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}．而f (10x )>0，∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2.9．【解析】选A.通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数11，分子分母之和为2；第二组有两个数21，12，分子分母之和为3；第三组有三个数31，22，13，分子分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个，第9个数，分子分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69，故选A.10．【解析】选A.S ＝0，i ＝1； S ＝1＋2×0＝1＝20，i ＝2；S ＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i ＝3； S ＝1＋2×3＝20＋21＋22，i ＝4； …观察得到对应数列的通项公式为a n ＝2n －1.k ＝10时，i >10时输出，说明是求前10项的和． 11．【解析】选C.设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min＝36 800(元)．12．【解析】选A.由表可以看出x＝－2时，y＝0；x＝3时，y＝0；于是方程ax2＋bx ＋c＝0的两根分别为x＝－2及x＝3；结合根与系数的关系得b＝－a、c＝－6a，那么，不等式cx2＋bx＋a>0即为－6ax2－ax＋a>0，结合上表可知a>0，不等式又转化为6x2＋x－1<0，得答案A.13．【解析】选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝a（x－3），得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2a，∴z min＝2－2a＝1，解得a＝12，故选B.14．【解析】选D.选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]．选项B，取x＝1.5，则[x＋12]＝[2]＝2≠[1.5]＝1.选项C，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]．15．【解析】选B.经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(a x＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(a x＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)·S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．16．【解析】选C.z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy·4yx－3＝1.当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.。