(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题

问题概述

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

方法原理

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；

4.垂线段最短.

基本模型

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，

在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则

需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.

3.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；

理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，

连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱

即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱

4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交

于点P，点P即为所求；

理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂

线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需

︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.

典型例题1-1

如图，直线y=2

x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分

3

别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，

点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连

接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为

△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从

而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理

（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴

于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21

AO=3，

∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，

D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，

∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，

CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.

【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变

化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析

式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B

的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.

【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，

连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的

交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，

再用两点之间的距离公式求此最大值.

【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC

的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA

﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223

)2()1(-++=241

；

【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.

变式训练1-1

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），

OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短

时，点P 的坐标为（ ）

A ．（0，0）

B ．（1，12）

C ．（65，35）

D ．（107，57）

变式训练1-2

如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，

BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的

最小值为__________.

变式训练1-3

如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2

+bx+c 与直线交于

A 、E 两点，与x 轴交于

B 、

C 两点，且B 点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.

拓展模型

1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；

要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使

AP+PQ 的值最小.

解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此

时，AP+PQ 最小；

理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，

AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当

AQ ⊥ON 时，AQ 最小.

2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 内一定点；

要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使

AP+PQ 的值最小.