麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
06-3麦克斯韦速率分布律
由定义式 f ( v)
dN
可看出 f (v)的意义是：
dv v 表示速率在 附近
因为 所以
v 0
dN
0
N， 即
v 0
dN N
1
f (v ) d v 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
二 、麦克斯韦速率分布函数
1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下，
数的比例为万分之2.58 。
五、三种统计平均值
最可几速率 v p
2kT m 2 RT RT 1.41 M mol M mol
8 RT RT 1.60 π M mol M mol
平均速率
8kT v πm
2
方均根速率
3kT v m
3RT RT 1.73 M mol M mol
另一种是用连续的分布函数来描述： 设：dN 为速率v v +dv 区间内的分子数，
N 为总分子数， 则： dN N d v， dN 即 dv N 由于dN / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关， 可以 dN dN 写成： f (v) 即 f ( v) d v ， N dv N
0
x (v ) Nf (v )dv N
0 x (v ) f (v )dv
例 T 300K时， v p 395m/s ， v 取 v 790m/s，v 10m/s，则 u 2， vp v 10 u v p 395 N 4 u2 2 e u u N π 4 22 2 10 4 e 2 2.58 10 395 π 即：速率为790 — 800m/s的分子数占总分子
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理玻尔兹曼分布是热力学中描述粒子分布的重要概念。
麦克斯韦速度分布律和能量均分定理则基于玻尔兹曼分布，对分子在气体中的速度和能量分布进行了详细研究。
本文将从玻尔兹曼分布开始，逐步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，并解释其重要性和指导意义。
首先，我们来回顾一下玻尔兹曼分布的概念。
玻尔兹曼分布描述了在热平衡状态下，粒子的能级分布情况。
在一个封闭系统中，粒子的分布与其能量有关，服从玻尔兹曼分布的概率可以用以下公式表示：P(E) = (1/Z) * e^(-E/kT)其中，P(E)表示粒子能量为E的概率，Z是配分函数，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过玻尔兹曼分布，我们可以了解不同能量级别上粒子的分布情况。
基于玻尔兹曼分布，我们可以推导出麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布律描述了气体中粒子的速度分布情况。
根据分子动理论，气体分子的速度服从高斯分布。
在二维情况下，麦克斯韦速度分布律可以表示为：f(v) = (m/(2πkT))^0.5 * e^(-mv^2/(2kT))其中，f(v)表示速度为v的粒子的概率密度函数，m是粒子质量。
这个分布函数说明了粒子速度随温度和质量的变化。
接下来，我们来推导能量均分定理。
能量均分定理是基于麦克斯韦速度分布律的一项重要结果。
根据能量均分定理，系统中每个自由度的平均动能为kT/2。
自由度可以理解为能够存储和传递能量的独立振动模式或轨道数。
对于一个分子来说，自由度通常包括平动、转动和振动。
在热平衡情况下，每个自由度的平均动能相等。
能量均分定理在热学和统计物理中具有重要的指导意义。
它说明了在热平衡状态下，分子具有与温度相对应的能量。
通过平均动能，我们可以计算出系统的总能量。
这个定理的应用广泛，在材料科学、化学反应动力学以及热力学等领域都扮演着重要角色。
总结起来，玻尔兹曼分布为我们提供了粒子分布的重要理论基础。
基于玻尔兹曼分布，我们可以进一步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，分别描述了气体粒子的速度和能量分布情况。
麦克斯韦气体分子速率分布定律
m i 5 E = ⋅ RT = 0.3× ×8.31× 273 =1.70×103 J M 2 2
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 速率分布律：不管分子运动速度的方向如何， 速率分布律：不管分子运动速度的方向如何，只 考虑分子按速度的大小的分布的规律. 考虑分子按速度的大小的分布的规律. 速率分布函数的意义：用统计的说明方法， 速率分布函数的意义：用统计的说明方法，指出 在总数为N 的分子中， 在总数为 的分子中，在各种速率区间的分子各有多 或它们各占分子总数的百分比多大， 少，或它们各占分子总数的百分比多大，这种说明方 法就给出分子按速率的分布. 法就给出分子按速率的分布. 区间的分子数. ∆N 为速率在 v → v + ∆v 区间的分子数.
非刚性分子平均能量 非刚性分子平均能量
1 1 2 2 ε v = µ vCx + kx 2 2
ε = ε kt + ε kr + ε v
分子能量中独立的速度和坐标的二次方 自由度 分子能量中独立的速度和坐标的二次方 数目叫做分子能量自由度的数目 简称自由度， 叫做分子能量自由度的数目, 项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度， 表示. 用符号 i 表示
o
M H = 0.002 kg ⋅ mol
−1
M O = 0.032 kg ⋅ mol
−1
R = 8.31 J ⋅ K ⋅ mol
−1
−1
T = 300 K
−1
vrms = 3RT M
氢气分子 氧气分子
vrms = 1.93 × 10 m ⋅ s −1 vrms = 483 m ⋅ s
3
i E = NAε = RT 2
m' m' i i mol 理想气体的内能 E = RT = ν RT M M 2 2
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
第四、五讲 麦克斯韦分布律 能均分定理
N 0 dvx dvy dvznvx f (vx , vy , vz )dt dA
n
0
vx
f
(vx
)dvxdAdt
kT
2 m
1/
2
dAdt
1 nv dAdt
4
单位时间内与单位面积相碰的分子数 为
N 1 nv dtdA 4
v 为平均速率
§4.7 能量按自由度均分定理
§4.5 麦克斯韦分布律
大量分子整体在一定的条件下，它们的速度的分布却遵 从一定的统计规律，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考 虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、麦克斯韦按速度分布律
设气体总分子数为N，处于温度为T的平衡态时，
速度介于 vx vx dvx , vy vy dvy , vz vz dvz
质量为M的理想气体的内能为
M1
U
(t r 2s)RT
M 2
温度改变，内能改变量为
U M 1 (t r 2s)RT M 2
对于理想气体，等体过程 đQ dU
摩尔等体热容量为
CV ,
(
đQ dT
)V
dU dT
1 (t r 2
2s)R
例如：对于双原子分子气体， t r 2s 7
7 CV , 2 R
在v1—v2区间
dN f (v)dv N
N v2 f (v)dv
N
v1
f (v)
在0—区间有
dS
dN N
=面积
N 面积 N
f (v)dv 1
v 0 ——归一化条件 O v v dv v1 v2
三种统计速率
（1）最概然速率 vp 与f(v)极大值对应的速率。
-麦克斯韦速率分布律
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
mol用于讨论速率分布用于计算分子的平均平动动能三种速率的使用场合地球形成之初大气中应有大量的氢氦但很多分子和he原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率112kms故现今地球大气中已没有氢和氦了
麦克斯韦气体分子速率分布律
5. 分子运动的自由度
自由度 分子能量中独立的速度和坐标 的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度，用符号 i 表示. 自由度数目
i t r v
平 动 转 动 振 动
单原子分子的能量自 由度 i=3 ;
刚性双原子分子的能量自由 度 i=5 ;
8
非刚性双原子分子的能量自由度 i=7 .
f( v ) 4 π ( 2 π kT
k 玻耳兹曼常数，若m、T
给定， 函数的形式可概括为
曲线
2 m v m 32 2 2 kT ) e v
速率分布曲线 有单峰，不对称
快减
快增
两者相乘
曲线
速率
恒取正
对分子质量为m 、热力学温度为T 、处于平衡态的气体 速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比
刚性分子能量自由度 自由度 分子 单原子分子 双原子分子 多原子分子
t 平动
3 3 3
r转动
0 2 3
i总
3 5 6
9
二
能量均分定理
理想气体，平衡态，分子平均平动动能 因 故
每个平动自由度的平均平动动能均为
将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转 动能量相等，而且亦均等于
（能量按自由度均分定理）
理想气体的内能
m 'i i m ' E RT RT ( 为气体的摩 ) M 2 2 M
理想气体内能变化
i dE RdT 2
12
第一节
麦克斯韦气体分子速率分布律 处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均 等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同， 而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在 一定条件下所形成的一种热动平衡状态。 麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时， 气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。
第4节能量均分定理麦克斯韦分布律
df (v) 0 dv v vp
f (v)
f max
d [4π(
m
3
)2
e
mv2 2kT
v2
]
0
o
d 2πkT
vp
v
mv2
e 2kT
2Fra biblioteke2 mv2 2kT
(
2mv )
0
2kT
2 m 2 0
kT
根据分布函数求得 2 2kT
m
vp
2kT
m
2NAkT NAm
氧气的内能为____；温度升高2K时内能增加____。
解： i t r 3 2 5
t
3 2
kT
3 2
1.38 1023
273
5.65 1021 (J )
r
2 2
kT
2 1.381023 2
273
3.77 1021(J)
E
M
5 2
二、能量按自由度均分定理
2 x
2 y
2 z
12
3
1 2
m
2 x
1 2
m
2 y
1 2
m
2 z
1 3
(1 2
m
2)
1 ( 3 kT ) 1 kT
32
2
气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全
相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在
每个平动自由度上。
普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
气体分子的速率分布与动能理论
气体分子的速率分布与动能理论在物理学中，气体分子的速率分布是探索气体行为和性质的重要方面之一。
通过观察气体分子的速率分布，我们可以了解气体的温度、压力和体积之间的关系，以及气体分子间的相互作用。
动能理论为解释气体分子速率分布提供了强有力的框架。
速率分布气体分子的速率分布是描述气体分子速度范围内的分布方式。
一般来说，气体分子的速率是由温度决定的。
根据动能理论，气体分子的速率分布可以用麦克斯韦分布函数来描述。
麦克斯韦分布函数是由麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布定律导出的。
麦克斯韦分布函数的形式为f(v) = 4π（m/2πkT）^(3/2) * v^2 * exp(-mv^2/2kT)，其中m为分子质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
该函数表示了不同速度v的分子的比例。
从数学上看，该函数在速度为零处有一个峰值，然后逐渐递减，形成一个类似于正态分布的曲线。
麦克斯韦分布函数的曲线有三个重要性质：峰值处对应的速度为平均速度v_avg，峰值处左右两侧的速率相对较高，而两侧的速率则相对较低。
这意味着在相同温度下，气体分子中速度较高的分子数量较少，速度较低的分子数量较多。
速率分布与温度根据麦克斯韦分布函数，温度对气体分子速率分布的形状具有关键影响。
当温度升高时，曲线峰值位置向右移动，即平均速度增加。
这意味着温度升高会导致气体中分子速度的增加。
另外，温度的上升还会导致麦克斯韦分布函数的曲线变得更加平宽，表示速率范围更广。
也就是说，温度升高会导致气体分子速率的分布范围扩大。
速率分布与压力在相同温度下，不同气体的分子具有相同的动能，因此具有相同的速率分布。
但是，不同气体根据分子的质量不同，分子速率分布的峰值位置也不同。
根据麦克斯韦分布函数，分子质量越小，速率分布峰值越高，分子速率越大。
这意味着分子质量越小的气体，速率分布中高速分子的比例就越大。
另外，压力对气体分子速率分布的影响也值得关注。
根据气体动理论，压力与气体分子撞击容器壁的频率有关。
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
麦克斯韦气体速率分布律
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前
进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分
子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
一、平均自由程 和平均碰撞次数的定义
1、平均自由程 分子在连续两次碰撞之间
所经过的路程的平均值叫做平均自由程。(演示）
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次 数，叫做分子的平均碰撞次数或平均碰撞频率。 3、二者关系
D l R 2
2、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
二、麦克斯韦气体分子速率分布律
4-5 麦克斯韦气体速率分布律
4-6
4-7
玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式(自学)
分子平均碰撞次数和平均自由程
4－5 麦克斯韦气体速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克
间v1 ~ v2 内的分子数 占总分子数的比率。
—— 分布在有限速率区
5. Nf (v )dv
v1
v2
N ( v2 )
N ( v1 )
dN
间 v1 ~ v2 内的分子数。
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区
6.
0
f (v )dv 1
间内的分子数占总分子数的 比率。（ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
15-3 麦克斯韦气体分子速率分布定律
v p的概念
15 – 3
麦克斯韦气体分子速率分布律
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均根速 率 v rms .
M H = 0.002kg ⋅ mol−1
M O = 0.032kg ⋅ mol
vrms
氢气分子 氧气分子
−1
R = 8.31J ⋅ K −1 ⋅ mol−1
T = 300K
3RT = M
15 – 3
麦克斯韦气体分子速率分布律
3）方均根速率 ）
v
∞ 2 0
2
f (v)
v
2
N 3kT 2 v = m
∫ =
N
0
v dN
2
∫ =
v Nf (v)dv N
2
o
v
vp < v < v
2
3 kT 3 RT v rms = v = = m M kT RT v ≈ 1 .60 = 1 .60 m M 2kT 2 RT vp = = m M
vp , v, v2 .
15 – 3
麦克斯韦气体分子速率分布律
解: (1)
dN f (v) = = Ndv
(2) 由归一化条件可知
∞
Av2
( 0 < v < vF )
0
f(v)
(v > vF )
f (v)dv = ∫ Av2dv ∫
0 0
vF
A 3 = vF =1 3
O
3 ∴A = 3 vF
vF
v
f (v)
o
v
15 – 3 麦克斯韦气体分子速率分布律 三 三种统计速率 f (v) 1）最概然速率 v p ） f max
中国大学慕课_热学2019年章节测试与期末考试答案
中国⼤学慕课_热学2019年章节测试与期末考试答案第⼆周测试在⼀密闭容器中，储有A、B、C三种理想⽓体，处于平衡状态．A种⽓体的分⼦数密度为n1，它产⽣的压强为p1，B种⽓体的分⼦数密度为2n1，C种⽓体的分⼦数密度为3n1，则混合⽓体的压强p为（ 6p1）在标准状态下，任何理想⽓体在中含有的分⼦数都等于（ 2.69*25）⼀瓶氦⽓和⼀瓶氮⽓体密度（单位体积质量）相同，分⼦平均平动动能相同，⽽且它们都处于平衡状态，则它们相同⼤于⽓体的温度是分⼦平均平动动能的量度。
对⽓体的温度是⼤量⽓体分⼦热运动的集体表现，具有统计意义。
对从微观上看，⽓体的温度表⽰每个⽓体分⼦的冷热程度。
错⼀定量的真实⽓体，等容降压，能减⼩某容器分⼦数密度为，每个分⼦的质量为，则压强为4*105第三周测试为⽓体分⼦的最概然速率，⽽表⽰在速率附近单位速率区间的⽓体分⼦数，若该⽓体温度降低，则和发⽣的变化为 Vp变⼩⽽np变⼤设代表⽓体分⼦运动的平均速率，代表⽓体分⼦运动的最概然速率，代表⽓体分⼦运动的⽅均根速率，处于平衡状态下的⽓体(遵守麦克斯韦速率分布定律)，它们之间的关系为设某种⽓体的分⼦速率分布函数为，则速率在区间的分⼦的平均速率为设声波通过理想⽓体的速率正⽐于⽓体分⼦的热运动平均速率，则声波通过具有相同温度的氧⽓和氢⽓的速率之⽐为1/4在A、B、C三个容器中储有同⼀种理想⽓体，其分⼦数密度之⽐为，⽽分⼦的⽅均根速率之⽐为，那么它们的温度之⽐是 1.4.16 P:1.2.4最概然平动动能不等于最概然速率对应的平动动能。
对最概然平动动能⼤于最概然速率对应的平动动能。
错最概然平动动能⼩于最概然速率对应的平动动能。
对最概然平动动能等于最概然速率对应的平动动能。
错设某种⽓体的分⼦速率分布函数为，则速率在区间的分⼦的平均速率为对设某种⽓体的分⼦速率分布函数为，则速率在区间的分⼦的平均平动动能为错在麦克斯韦速率分布律中，速率分布函数的意义可理解为分⼦数占总分⼦数设声波通过理想⽓体的速率正⽐于⽓体分⼦的热运动平均速率，则声波通过具有相同温度的氧⽓和氢⽓的速率之⽐为 1/4假定氧⽓的热⼒学温度提⾼⼀倍，氧分⼦全部离解为氧原⼦，则这些氧原⼦的平均速率是原来氧分⼦平均速率的 2 倍。
麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布律介绍麦克斯韦速率分布律是描述理想气体粒子速度分布的统计物理学定律。
它是由19世纪物理学家詹姆斯·麦克斯韦提出的，通过分析气体分子的碰撞和运动，揭示了粒子速度的分布规律。
麦克斯韦速率分布律在理解和研究气体的性质和行为方面起着重要作用。
物理背景在理想气体状态下，气体分子间无相互作用力，分子之间碰撞时可以视为弹性碰撞，满足动量守恒和能量守恒。
根据统计物理学的理论，在给定温度下，气体粒子的速度具有一定范围的分布。
麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数是描述理想气体速度分布的函数，可以用来计算在给定温度下不同速度范围内气体分子的数量。
麦克斯韦速率分布函数的形式为：[f(v)=4()^{3/2} v^2 e^{-}]其中，[f(v)]为速度为[v]的气体分子的数量，[m]为分子的质量，[k]为玻尔兹曼常数，[T]为气体的温度。
速度分布特点根据麦克斯韦速率分布律，气体分子的速度分布具有以下特点：1. 最概然速度最概然速度是指在给定温度下，气体粒子速度分布函数的峰值对应的速度值[v_p]。
最概然速度与温度无关，只取决于粒子的质量。
最概然速度可以通过对速度分布函数求导并令导数等于零来求得。
2. 平均速度平均速度是指在给定温度下，所有速度可能取值的加权平均值。
根据麦克斯韦速率分布律，平均速度与温度成正比，与粒子质量无关。
3. 方均根速度方均根速度是指在给定温度下，速度平方的平均值的开平方。
方均根速度与温度成正比，与粒子质量无关。
麦克斯韦速率分布律的应用麦克斯韦速率分布律在研究气体性质和行为时具有广泛的应用。
以下是一些麦克斯韦速率分布律的应用：1. 气体的热容根据麦克斯韦速率分布律可以计算出给定温度下气体分子的平均动能和热容。
热容是指单位物质在温度变化下吸收或释放的热量。
通过麦克斯韦速率分布律，我们可以计算气体的平均动能，并根据统计物理学的理论将其与热容联系起来。
2. 气体的扩散速率扩散是指气体中各个分子在温度梯度下的运动。
麦克斯韦速度分布律的推导
麦克斯韦速度分布律的推导
麦克斯韦速度分布律的推导
麦克斯韦速度分布律是一种在非平衡态系统及分子物理中常见的物理定律。
该定律提出了某物质的分子速度应在一定温度下遵守概率规律的说法，具体而言，概率在该温度下越高的分子速度越多，而概率越低的分子速度越少，这就是麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布律推导可以采用热力学原理和分子运动解释，这也是其最重要的组成部分。
假设某物质由若干平衡态分子组成，通过热力学原理可以推导出系统总能量仅取决于该系统内部分子的温度，而无论分子速度如何，系统总能量均不变。
基于此定性解释，即可将麦克斯韦速度分布律定义为一概率分布函数，该函数指明某一温度下，分子速度的概率分布。
并可通过热力学原理和分子运动解释证明此定律有效。
概而言之，麦克斯韦速度分布律是某物质分子总能量在某一温度下仅取决于温度而不取决于速度的物理定律。
它的推导基于热力学原理，主要用于解释某一温度下分子速度概率分布，文献记录其也在半导体统计物理及其它物理学中得到应用。
分子速率分布和动能分布
分子速率分布和动能分布在热力学中，分子速率分布和动能分布是两个重要的概念。
它们描述了分子在气体中的运动状态和能量分布情况。
本文将介绍分子速率分布和动能分布的概念、形式以及其在化学和物理领域中的应用。
一、分子速率分布分子速率分布是指气体中分子速率的分布情况。
根据动能定理，分子的平均动能与其速率的平方成正比。
因此，分子速率分布可以用来描述气体中分子的动能分布情况。
根据麦克斯韦尔-玻尔兹曼分布定律，分子速率分布可以用以下公式表示：f(v) = 4π(μ/2πkT)^1.5 * v^2 * e^(-μv^2/2kT)其中，f(v)表示速率为v的分子的概率密度，μ为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
根据这个公式，我们可以看出，分子速率分布与温度、分子质量密切相关。
在相同温度下，质量较大的分子具有较低的速率，而质量较小的分子则具有较高的速率。
这是因为质量较大的分子受到更大的惯性作用，难以加速，而质量较小的分子则更容易加速。
二、动能分布动能分布是指气体中分子动能的分布情况。
根据动能定理，分子的动能与其速率的平方成正比。
因此，我们可以通过分子速率分布来推导出动能分布。
根据麦克斯韦尔-玻尔兹曼分布定律，分子的动能分布可以用以下公式表示：g(E) = (2/π) * (1/kT)^1.5 * (E)^0.5 * e^(-E/kT)其中，g(E)表示动能为E的分子的概率密度。
根据这个公式，我们可以看出，动能分布与温度密切相关。
在相同温度下，动能较小的分子具有较高的概率，而动能较大的分子则具有较低的概率。
这是因为温度越高，分子的动能越大，所以动能较小的分子更容易存在。
三、应用分子速率分布和动能分布在化学和物理领域中有着广泛的应用。
其中一项重要的应用是在反应速率的研究中。
根据分子速率分布，我们可以推导出反应速率与温度的关系。
根据阿累尼乌斯方程，反应速率与反应物的浓度和反应物分子的速率有关。
由于分子速率分布与温度密切相关，因此温度的变化会直接影响反应速率。
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麦克斯韦速率分律与平动动能分布律关系
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麦克斯韦速率分布律与平动动能分布律关系
卜子明（1号）
摘要：麦克斯韦首先把统计学的方法引入分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速率分布率，现根据麦克斯韦速率分布函数，求出相应的气体分子平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质，求出平动动能的最概然值及平均值。
并比较相似点和不同点。
引言：麦克斯韦把统计方法引入了分子动理论，首先从理论上导出了气体分子的速分分布律。
这是对于大量气体分子才有的统计规律。
现做进一步研究，根据其成果麦克斯韦速率分布函数，导出相应的平动动能分布律，并导出与麦克斯韦分布函数类似的一些性质并求出平动动能的最概然值及平均值，并且由此验证其正确性。
方法：采用类比的方法，用同样的思维，在麦克斯韦速率分布函数的基础上，作进一步研究，导出能反映平均动能在ε附近的单位动能区间内的分子数
与总分子数的比的函数
)(εf 的表达式。
并由此进一步推出与麦克斯韦分布函
数相对应的一些性质，并比较分析一些不同点。
麦克斯韦速率分布律
Ndv
dN v f =
)(这个函数称为气体分子的速率分布函
数麦克斯韦进一步指出，在平衡态下，分子速率分布函数可以具体地写为
222
32
24)(v e kT m Ndv dN v f kT mv πππ-⎪⎭
⎫ ⎝⎛==式中T 是气体系统的热力学温度，k 是玻耳兹曼常量，m 是单个分子的质量。
式(8-30)称为麦克斯韦速率分布律。
式子
dv v f v
v
⎰=∆2
1
)(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在v 1到v 2
区间的分子数
占总分子数的比率。
而应用麦克斯韦速率分布函数可以求出气体分子三个重要的速率： （1）最概然速率
p
v
，f(v)的极大值所对应的速率
M
RT M RT m kT v p 41
.1220≈==其物理意义为：在平衡态的条件下，理
想气体分子速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大。
（2） 平均速率
v ，用于研究分子碰撞M
RT 1.60M 8T 80___
≈==
ππRT m k v
（3） 方均根速率
2
v
，用于研究分子平均平动动能
M
RT
M RT m kT v 373
.13302
≈==反映的是大量分子无规则运动速率
的二次方的平均值的二次方根称为方均根速率。
推导及演绎：
由于分子的平动动能可表示为 22
1mv =ε
两边同时取微分有
εd m
vdv 2
2=
带入到麦克斯韦速率函数有212
3)(2)(επ
εεεkT e kT Nd dN f --==现定义为)(εf 为气体分子的平动动
能的分布函数。
平动动能在从
1
ε到2
ε
之间的分子数比率N /N ，等于曲线下从
1
ε到2
ε
之间的面积, 如图中阴影部分所示。
显然，因为所有N 个分子的速率必
然处于从0到 之间，也就是在速率间隔从0到
的范围内的分子数占分子总
数的比率为1，即
1)(0
=⎰+∞
εεd f 这说明和麦克斯韦分布率相似平动动能分布函
数
)(εf 同样必须满足归一化条件。
而 εεε
ε
d f ⎰=∆2
1
)(N N 表示在平衡态下，理想气体分子速率在
1
ε到2
ε
区间的分子数占总分子数的比率。
同样我们也可以
根据平动动能分布函数求出最概然平动动能
p
ε
以及平均平动动能
ε
(1)粒子的最概然平动动能p
ε
同样地，最概然平动动能
p
ε
也是对应着
)
(εf 的极值。
由
0==P
d df εεε
化简
0)]1(21[2
2
1212
3
=-+=---p
kT e e kT kT kT εεεεεεπ）（解出 kT 2
1P =ε
而其所对应的速率M
RT
m kT v pp
==
由此我们看到，最概然平动动能所对应的速率并不是麦克斯韦速率所求得的最概然速率。
初看起来似乎很奇怪，可仔细想想，最概然速率代表的是速率分布在附近的单位速率的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的速率。
而最平动动能的概然值代表的是平动动能分布在附近的单位动能的分布区间内的分子数占气体总分子的百分率最大时的动能，其对应的速率却不是最该然速率。
而计算发现这是其实是由于两个方程求极大值时对应的导函数不同。
很显然求的的极大值也不同。
(2)粒子的平均平动动能
ε
同样的，
εεπεεεεεd e k d f N
vdN
kT -∞
∞
∞
⎰⎰⎰===
2
32
300
)T (2)(其中因为
2
50
23
43a dx e x ax
π=-∞
⎰所以kT kT
kT 2
3)1(43
225
23===ππε）（ 这个结果是显然的：有麦克斯韦分布律已经得到，这也证明了上面的推导的正确性。
总结：通过以上的讨论和分析，我们不仅进一步了解了麦克斯韦速率分布函数，及其结论，还能挖掘出衍生出来的气体平动动能的分布情况，这样我们会对气体动理论的本质有跟家深刻的理解。
引文：要善于在前人已有的基础之上做进一步试探性的研究，才能衍生出新的知识点，也能有助于深刻的理解原有的知识。
参考文献：《大学物理基础知识》，《物理热力学基础》。