导数问题中参数范围的求法~典型

导数问题中参数范围的求法

一、分离常数法

（Ⅰ）常规分离常数法

原理：将所给不等式变形为⎩

⎨⎧≥⇒≥≤⇒≤max min )()()()()()()()(x f a g x f a g x f a g x f a g 例1、（2010全国卷一）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f ，若1)(2'++≤ax x x xf ，

求a 的取值范围.

解：x

x x x x x f 1ln 1ln 1)('+=-++= 1)(2'++≤ax x x xf ⇒x x a -≥ln

令x x x g -=ln )( )0(>x x

x x g -=1)('. 0)( 10'><x g x 时 0)1('=g

1)()(==x g x g mac 所以1)(≤x g 故1≥a .

（Ⅱ）能分离常数，但求稳定点困难

原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算

例2、已知函数x x x f )1ln(1(++=） )0(>x ，若当时0>x ，1

)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值.

解：有已知x

x x x f x k )1)1)(ln(1()()1(+++=+< 设x x x x h )1)1)(ln(1()(+++= ， 2')1ln(1)(x

x x x h +--= 设)1ln(1)(+--=x x x g 从而有相同根在与),0(0)(0)(∞==x g x h 01

)(>+=x x x g ‘ 由于0)2(g 所以），（存在唯一根320)(∈=ξx g 故0)(=ξg 得 0)1ln(1=+--ξξ

),0(ξ∈x 时0)(x g 0)('>x h )4,3(1)1)1)(ln(1()()(min ∈+=+++==ξξ

ξξξh x h 所以41)(min <+=<ξx h k 又因为Z k ∈， 故3max =k .

（Ⅲ）能分离常数，但求最值困难

例3、已知函数)1ln()1()(x x x f ++=，若当时0≥x ，ax x f ≥)(恒成立，求a 的

取值范围.

解：当时0=x 0)0(=f 有R a ∈ax x f ≥)(恒成立

当时0>x 由已知x

x x x x f a )1ln()1()(++=≤ 令=)(x g x x x )1ln()1(++ 2

')1ln()(x x x x g +-= 令)1ln()(x x x h +-= 01)('>+=x

x x h 故0)0()(=>h x h 进而0)('>x g 1]1)1[ln(lim )1ln()1(lim )(lim )(000min =++=++==→→→x x

x x x g x g x x x 所以a 的取值范围是),1[+∞.

注：此题求最值时应用洛必达法则

洛必达法则1（适用于0

0型不定式极限） 若函数g f 和满足：①0)(lim )(lim 0

0==→→x g x f x x x x ; ②在点0x 的某空心邻域)(0x U o 内两者都可导，且0)('≠x g ； ③A x g x f x x =→)

()(lim ''0（A 可为实数，也可为∞∞±或）； 则A x g x f x g x f x x x x ==→→)

()(lim )()(lim ''00. 洛必达法则2（适用于∞

∞型不定式极限） 若函数g f 和满足：①∞==→→)(lim )(lim 00

x g x f x x x x ; ②在点0x 的某空心邻域)(0x U o +

内两者都可导，且0)('≠x g ； ③A x g x f x x =→)

()(lim ''0（A 可为实数，也可为∞∞±或）； 则A x g x f x g x f x x x x ==++→→)

()(lim )()(lim ''00. 此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的.

二、最值转化法

适用于：⎩⎨⎧定点或最值困难②能分离常数，但求稳

①不能分离常数 （Ⅰ）局部最值转化

例4、（2010山东）已知函数())(11ln R a x a ax x x f ∈--+

-=. 设()422+-=bx x x g .当4

1=a 时，若对任意)2 , 0(1∈x ，存在]2 , 1[2∈x 使()()21x g x f ≥.求实数b 的取值范围.

解：由于“对任意)2 , 0(1∈x ，存在]2 , 1[2∈x 使()()21x g x f ≥”等价于

“上的最小值”在上的最小值不大于在)2,0()(]2,1[)(x f x g .

当4

1=

a 时 上单调递减在)1,0()(x f ，上单调递增在)2,1(. 21)1()(min -==f x f ()422+-=bx x x g ,]2 , 1[∈x

①时当1

11≥⇒b ②时当21≤≤b ,（舍）223||214)()(2min ≥⇒-

≤-==b b b g x g ③时当2>b ，8172148)2()(min ≥⇒-

≤-==b b g x g . 综上b 的取值范围是),8

17[

+∞. （Ⅱ）整体最值转化

方法：设辅助函数 辅助函数的设法：⎩

⎨⎧函数②利用泰勒展式设辅助①移项作差设辅助函数 利用泰勒展式设辅助函数： +-+-+=20''00'

0)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f 实质：任意一个函数都可由幂函数近似表示.

例5、已知函数)1ln()1()(x x x f ++=，若当时0≥x ，ax x f ≥)(恒成立，求a 的

取值范围.

解：设ax x x ax x f x g -++=-=)1ln()1()()(