追赶法(Thomas算法)
数值分析课程课件 直接三角分解方法
u22
u11
u2n
l n1 l n2
1
unn
即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n
u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n
l21u1n
u2n
a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解 方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。 设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n
i1
lniuin
unn
第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1
ak1 u11
,k
2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解 设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12
a12 l11
2, u13
a13 l11
1,
l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1
三对角矩阵压缩存储
三对角矩阵压缩存储三对角矩阵是一种特殊类型的矩阵，在存储和计算上具有一定的优势。
本文将从三对角矩阵的定义、特性、压缩存储方法以及相应的计算算法等方面进行介绍。
一、三对角矩阵的定义三对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，只有上下相邻对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
例如，一个n阶的三对角矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix}b_1 & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\a_2 & b_2 & c_2 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\0 & a_3 & b_3 & c_3 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & a_n \\\end{bmatrix} \]其中，b1, b2, ..., bn为主对角线上的元素；a2, a3, ..., an为下对角线上的元素；c1, c2, ..., cn-1为上对角线上的元素。
二、三对角矩阵的特性1. 三对角矩阵是一种稀疏矩阵，大部分元素都为零，只有O(n)个非零元素。
2. 三对角矩阵可以用来表示一些特定问题的线性方程组，如一维热传导方程、抛物线偏微分方程等。
TDMA追赶法
做三次样条曲线时，需要解三对角矩阵（Tridiagonal Matrices）。
常用解法为Thomas Algorithm，又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。
它是一种基于高斯消元法的算法，分为两个阶段：向前消元forward elimination和回代backward substitution。
本文以一个6乘6矩阵为例，介绍一下使用TDMA的求解过程。
1.范例求解步骤1：将矩阵变为上三角矩阵首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。
第一行：将上式除以b1：可写作：所以矩阵方程可写为：第二行：将变换后的第一行乘以a2，再与第二行相减，即可消去x1，得：所以新的矩阵方程为：同理可推，第三行：第四行：第五行：第六行：最后得到新的上三角矩阵公式为：步骤2：求解x逆序可以求出，如下：2. 一般性公式：注意：使用TDMA求解，系数矩阵需时diagonally dominant，即：3. 实现代码（C语言）void tdma(float x[], const size_t N, constfloat a[], constfloat b[], float c[]){size_t n;c[0] = c[0] / b[0];x[0] = x[0] / b[0];for (n = 1; n < N; n++) {float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);c[n] = c[n] * m;x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;}for (n = N - 1; n-- >0; )x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];}。
数值分析编程题c语言
上机实习题一一、题目：已知A 与b12.38412,2.115237,-1.061074,1.112336,-0.113584,0.718719,1.742382,3.067813,-2.0317432.115237,19.141823,-3.125432,-1.012345,2.189736,1.563849,-0.784165,1.112348,3.123124 -1.061074,-3.125432,15.567914,3.123848,2.031454,1.836742,-1.056781,0.336993,-1.010103 1.112336,-1.012345,3.123848,27.108437,4.101011,-3.741856,2.101023,-0.71828,-0.037585 A= -0.113584,2.189736,2.031454,4.101011,19.897918,0.431637,-3.111223,2.121314,1.784137 0.718719,1.563849,1.836742,-3.741856,0.431637,9.789365,-0.103458,-1.103456,0.238417 1.742382,-0.784165,-1.056781,2.101023,-3.111223,-0.103458,14.7138465,3.123789,-2.213474 3.067813,1.112348,0.336993,-0.71828,2.121314,-1.103456,3.123789,30.719334,4.446782 -2.031743,3.123124,-1.010103,-0.037585,1.784317,0.238417,-2.213474,4.446782,40.00001b={2.1874369,33.992318,-25.173417,0.84671695,1.784317,-86.612343,1.1101230,4.719345,-5.6784392} 1．用Household 变换，把A 化为三对角阵B （并打印B ）。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
计算传热学程序设计
中国石油大学（华东)储运与建筑工程学院热能与动力工程系《计算传热学程序设计》设计报告学生姓名：学号：专业班级:指导教师2012年 7 月 7 日1、设计题目有一房屋的砖墙厚δ=0.3 m ，λ=0.85 W/（m·℃)，ρc=1.05×106 J/( m3·K)，室内温度T f1保持20℃不变，表面传热系数h1=6W/(m2·℃).开始时墙的温度处于稳定状态,内墙表面温度Tw1为15℃寒潮入侵后，室外温度T f2下降为—10℃，外墙的表面传热系数为35W/（m2·℃）.试分析寒潮入侵后多少时间内墙壁面方可感受到外界气温的变化。
图1 墙壁简化图1.1已知参数壁厚，墙壁导热系数，密度与比热容的乘积,室内和寒潮入侵后室外空气温度，室内空气和外墙的表面传热系数，开始时稳定状态下的内墙表面温度.1.2 求解寒潮入侵多少时间后内墙壁面可感受到外界气温的变化？2 物理与数学模型2。
1 物理模型该墙面为常物性，可以假设:（1）其为无限大平面，(2)只有在厚度方向传热，没有纵向传热，则该问题转化为一维常物性无限大平面非稳态导热问题。
2。
2 数学模型以墙外表面为坐标原点，沿厚度方向为坐标正方向，建立坐标系。
基于上述模型,取其在x 方向上的微元作为研究对象，则该问题的数学模型可描述如下：T ()T cx x ρλτ∂∂∂=∂∂∂ （1a)初始条件：(1b)在两侧相应的边界条件是第三类边界条件，分别由傅立叶定律可描述如下： 左边界：0202()x f x T h T T X==∂-λ=-∂ （1c)右边界:11()x f x T h T T X=δ=δ∂-λ=-∂ (1d ）3 数值处理与程序设计3。
1 数值处理采用外点法用均匀网格对求解区域进行离散化，得到的网格系统如图2所示。
一共使用了0~N-1共N 个节点.节点间距δx 为:图2 墙壁内的网格划分此例中墙壁导热系数为常值,无源项。
油藏数值模拟实验报告课案
数值模拟上机实验1：三对角系数矩阵的解法 隐式差分格式出发点在（i,n ＋1)，取关于t 的一阶向后差商和关于x 的二阶差商。
取对于一维渗流问题的隐式差分方程组的系数矩阵为三对角矩阵，追赶法（THOMAS ）就是用来求解三对角矩阵方程组的一种比较简单、 应用也极为广泛的解法。
它的基本思路是将三对角矩阵A 分解成两个特定形式的三对角矩阵的乘积。
in i i n ii n i i d pb pa pc =++++++-11111tp pxp p pn in in i n i n i ∆-=∆+-++-+++121111122tx δ∆=∆()n in i n in ipppp-=++-++++-1111121δδδ追赶法程序如下:Dim m As Integer, n As Integer, i As IntegerDim P(1 To 10) As Single, x(1 To 10) As Single, y(1 To 10) As Single, a(1 To 10) As Single, b(1 To 10) As Single, c(1 To 10) As Single, d(1 To 10) As SingleDim l(1 To 10) As Single, u(1 To 10) As Single n = InputBox("请输入方程个数") For i = 1 To na(i) = InputBox("a(" & i & ")=?") Print "a(" & i & ")="; a(i); Next i PrintFor i = 1 To n - 1b(i) = InputBox("b(" & i & ")=?")Print "b(" & i & ")="; b(i);1d 2d xN d id acb1p 2p xN p ipPrintFor i = 2 To nc(i) = InputBox("c(" & i & ")=?")Print "c(" & i & ")="; c(i);Next iPrintFor i = 1 To nd(i) = InputBox("d(" & i & ")=?")Print "d(" & i & ")="; d(i);Next iPrintl(1) = a(1)For i = 2 To nu(i - 1) = b(i - 1) / l(i - 1)l(i) = a(i) - c(i) * u(i - 1)Next iy(1) = d(1) / l(1)Print "y(1)="; y(1);For i = 2 To ny(i) = (d(i) - c(i) * y(i - 1)) / l(i) Print "y(" & i & ")="; y(i);Printx(n) = y(n)For i = n - 1 To 1 Step -1x(i) = y(i) - u(i) * x(i + 1)Next iFor i = 1 To nPrint "x(" & i & ")="; x(i);Next i运行结果:实验2:单相流数值模拟方法已知一维均质等厚单相渗流，已知边界条件定压、初始压力分布，求任意时刻的压力分布。
改进测地活动轮廓模型的AOS实现
改进测地活动轮廓模型的AOS实现江东林;林震梅;王美清【摘要】The Partial Differential Equation ( PDE ) image processing is an advanced technology due to the ability of obtaining continuous and one-pixel edges. The improved Geodesic Active Contour( GAC) model by using the gradient vector field and a balloon force———GAC_GVF&B is an important one,because it can convergence accurately to target edges on images with multi-object or complex objects. But the model suffers from long running time which blocks its application. By appropriately increasing the time step and reducing the number of iterations,a semi-implicit additive split operator———Additive Operator Splitting ( AOS ) is used to speed up the computing of the GAC_GVF&B model and improve the convergence rate with the same accuracy of the segmentation. Experimental results show that the AOS algorithm is correct and effective,can reduces the number of iterations required,and lowers iteration time and cpu time. Furthermore,it speeds up the segmentation.%基于偏微分方程的图像处理技术由于能够获得连续单像素的边缘而受到重视，其中梯度向量场与气球力混合作用的改进GAC模型———GAC_GVF&B克服了传统GAC模型的缺点，能准确地收敛到多目标图像和形状复杂图像的目标边界。
levenberg-marquardt方法
levenberg-marquardt方法Levenberg-Marquardt方法是一种数值优化方法。
该方法主要是解决非线性最小二乘问题，是用于求解参数估计、函数拟合等问题的重要手段。
本文主要介绍Levenberg-Marquardt方法的原理、算法以及应用。
一、Levenberg-Marquardt方法的原理在介绍Levenberg-Marquardt方法之前，我们先介绍最小二乘问题。
最小二乘问题可以表示为：$$\min_{x\in R^n}||f(x)||_2^2$$其中，$f(x)$是一个从$R^n$到$R^m$，$m>n$的非线性函数。
我们要找到一个向量$x$，使得$f(x)$的平方范数最小。
我们可以使用梯度下降等方法进行求解，但是，这些方法存在收敛慢、易陷入局部最优等问题。
Levenberg-Marquardt方法就是为了解决这些问题而出现的。
Levenberg-Marquardt方法的主要思想是在牛顿法中加入一个衰减因子，这个衰减因子可以保证算法更快、更稳定地收敛到最优解。
具体而言，Levenberg-Marquardt方法将牛顿法中的Hessian矩阵加上一个一定的正定矩阵，这个正定矩阵的大小可以动态调整。
当这个矩阵的大小较小时，Levenberg-Marquardt方法就相当于梯度下降法；当这个矩阵的大小较大时，Levenberg-Marquardt方法就相当于牛顿法。
这个正定矩阵的大小可以通过迭代过程中的误差大小来动态调整。
二、Levenberg-Marquardt方法的算法Levenberg-Marquardt方法的算法可以表示为：输入：函数$f(x)$，初值$x_0$，最大迭代次数$maxIter$，误差容限$eps$，衰减因子$\lambda$，正定矩阵$J^TJ$。
输出：使得$f(x)$的平方范数最小的解$x$。
1.令$x=x_0$，$k=0$。
2.计算函数$f(x)$在$x$处的梯度$g_k=J_k^T(y_k-f_k)$，其中$y_k$是$f(x)$的近似值，$J_k$是$f(x)$在$x$处的雅可比矩阵，$f_k=f(x_k)$。
levenberg-marquardt算法原理
levenberg-marquardt算法原理Levenberg-Marquardt算法是一种非线性最小二乘优化算法，广泛应用于机器学习、模式识别、计算机视觉等领域。
它在解决非线性最小二乘问题时，结合了高效的Gauss-Newton算法和稳定的梯度下降算法的优点，具有快速收敛和稳定性好的特点。
算法原理：Levenberg-Marquardt算法是通过迭代的方式来寻找非线性最小二乘问题的最优解的。
算法主要分为以下几个步骤：1. 初始化参数：给定初始参数向量x0，设置迭代次数k=0，并设置两个控制参数λ和ε，其中λ用于调整Gauss-Newton算法和梯度下降算法的权重比例，ε为迭代停止的阈值。
2. 计算目标函数：根据当前参数向量xk，计算目标函数的值F(xk)和Jacobian矩阵J。
3. 更新模型参数：根据Gauss-Newton算法和梯度下降算法，计算参数向量的更新量Δxk，即Δxk = (J^TJ + λI)^(-1)J^T(F(xk))，其中，J^T为J的转置，I为单位矩阵。
4. 更新参数向量：更新参数向量xk+1 = xk + Δxk。
5. 判断终止条件：如果||Δxk|| < ε或者迭代次数达到最大值，则停止迭代；否则，k=k+1，返回第2步。
Levenberg-Marquardt算法中的控制参数λ起到了控制Gauss-Newton算法和梯度下降算法权重比例的作用，当λ较大时，Gauss-Newton算法占主导地位，算法收敛速度快；而当λ较小时，梯度下降算法占主导地位，算法具有较好的稳定性。
Levenberg-Marquardt算法的数学原理主要基于高斯-牛顿方法，使用了一种称为LM步长的修正策略，该策略可以通过牛顿方法在初始迭代步骤中进行矢量修正。
此外，Levenberg-Marquardt算法对于解决非线性最小二乘问题具有更好的数值稳定性，能够在最优解附近进行充分的搜索，从而进一步优化拟合效果。
水文学原理
《水文学原理》P370—P378第七节水质模型描述水质要素在各种因素作用下，随时间和空间变化规律的数学表达式，称为水质模型。
水质要素相当广泛，而且在不断发展着，常见的有:溶解氧(〕〕)、化学需氧量(COD)、生化需氧量(HC1D)、氨氮E NH3 )、总磷(TP)、总氮(TN)、重金属、大肠杆菌、叶绿素一a、放射性物质、水温等。
应根据实际要求来确定必须研究的水质要素。
如前所述，污染物进人水体后，要受到来自物理、化学、生物、水力、水文和气候等方面因素的作用和影响，产生物理的、化学的、生物化学的变化，引起污染物的稀释、扩散和降解。
建立水质模型的目的就在于设法把这些因素与水质要素之间的关系定量地确定下来，用于预测水质的时空变化，制定防治水污染的对策，实施对水质的科学管理。
可以从水同的角度对水质模型进行分类。
按水质要素的变化规律，水质模型可分为确定性模型和随机性模型，确定性模型是指在给定的输人条件下具有确定解的水质模型;随机性模型是指输入是随机的，或模型参数具有随机特性，因而解为不确定性的水质模型。
按水质要素是否随时间而变，水质模型可分为稳态模型和非稳态(或动态)模型，稳态模型描述不随时间变化的稳定过程，非稳态模型描述随时间变化的动态过程。
按水质要素变化的空间维数，水质模型可分为一维模型和多维模型，一维模型只描述水质要素沿某一方向的变化，对其他方向的变化则加以忽略，多维模型要考虑一个以上方向上水质要素的变化，如二维、三维模型等。
按所考虑的影响水质要素变化的因素多寡，水质模型可分为单因素模型和多因素模型，事实上，水质要索变化都是多因素的综合，只是为了忽略次要因素，或者为了相互比较，才在研究中把多因素分割为单因素进行研究。
按水质要素在水体中扩散和输移的性质，水质模型可分为移流模型和移流一扩散模型，移流模型只考虑移流输送而不考虑扩散，移流一扩散模型既考虑移流又考虑扩散。
按水体中水质要素的反应动力学性质，水质模型可分为保守物质模型、非保守物质模型、纯反应模型和生态模型等4 类，保守物质模型把水质视为保守系统，不发生降解和转化，只有移流和扩散作用;非保守物质模型既考虑移流和扩散作用，也考虑化学和生化降解作用;纯反应模型只考虑化学和生化反应;生态模型只描述生态过程，不涉及移流和扩散作用。
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
方程组直接三角分解法
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
ak1 lk1 , k 2,3, u11
k r 1
, n.
（4.2.2）
a l u ,j k , k 1 , , n , kj kr rj
可得U的第k行元素
ukj =akj 同理，由
k
k 1 r 1
l kr u rj
用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1 ，x2， · · · xn) T, y=（y1, y2, · · · yn) T,b= （b1 ，b2， · · · bn) T, 则有计算公式
y b 1 1 i 1 （4.2.5） y b l y 1 , 2 ,..., n i i ir r ,i r 1
(4.2.8)
利用(4.2.7)和(4.2.7)可得
u1 b 1 n li ai / ui1, i 2,3,... u b l c , i 2,3,... n i i i1 i
(4.2.9)
由此可求得L和U的所有元素.。解原方程组Ax=b可分为两步Ly=d 和Ux=y,计算公式为
由于方车程组的右端参与了消元计算，所以Ly=Pb的解为y=b（3）= （20，14/3，216/39） T 。解Ux=y得x=（1，2，3） T
4.2.2
三对角方程组的追赶法
b a1 A c1 b c2 a n1 bn1 an c n1 bn
(k ) akk
uk 1,k 1 l k , k 1 l n , k 1
(k ) ank
u1n u2 n uk 1,n (k ) akn (k ) ann
数值计算方法21&22_ppt [兼容模式]
![数值计算方法21&22_ppt [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8753d20482fb4daa58d4b37.png)
( A( 1 ) , b( 1) )
由于 det( A) ≠ 0
(i ) 可知 aii ≠0
i = 1,2 , L , n
因此 , 上三角形方程组 A( n ) x = b( n ) 有唯一解
因此可得线性方程组 Ax = b 的解：
16
bn xn = ( n ) ann
(i ) b i − xi =
n −1
全部回代过程需作乘除法的总次数为
n2 n + ( n − i + 1) = ∑ 2 2 i =1
n
于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为
3 n3 n n + n 2 − = + O( n 2 ) MD = 3 3 3
数级
19
当n很大时
如n = 20时
3 n n n 2 = + n − MD ≈ 3 3 3
( 1) L a1 n (2) L a2 n M (k ) L akn M (k ) L ann
( 1) b1 (2) b2 M (k ) bk M (k ) bn
第i行 − 第k行 × mik , 则
( k +1) (k ) (k ) aij = aij − mik akj
det(•) ≠ 0
i , j = k + 1, L , n i = k + 1, L , n
15
bi( k + 1 ) = bi( k ) − mik bk( k )
当经过k = n − 1步后, ( A(1) , b(1) )将化为
( 1) a11 ( A( n ) , b( n ) ) = (1) ( 1) L a1 a12 n (2) (2) L a2 a22 n O M ( n) ann ( 1) b1 (2) b2 M (n) bn
解三对交线方程组的追赶法
VS
矩阵元素的微小变化
在三对交线方程组中，矩阵元素的微小变 化可能会导致解的巨大变化。这种敏感性 使得追赶法在面对某些问题时表现出数值 不稳定性。
提高数值稳定性和减小误差方法
选择合适的算法参数
在追赶法中，可以通过选择合适的算法参数来提高数值稳定性。例如，可以采用部分选主元策略来避免矩阵元素的微 小变化对解的影响。
优缺点分析
优点
追赶法具有计算量小、存储量低、易于编程实现等优点。对于大规模的三对角 线性方程组，追赶法通常比其他方法更加高效。
缺点
追赶法的适用范围有限，仅适用于系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组。此外， 当系数矩阵不满足对角占优等条件时，追赶法可能无法收敛或收敛速度较慢。
Part
02
三对交线方程组数学模型建立
问题描述与定义
三对交线方程组
在二维平面上，给定三对直线，每对直线相交于一个点，这三对交线构成的方程组称为三对交线方程 组。
求解目标
通过给定的三对交线信息，求解出这三对直线的交点坐标。
数学模型构建方法
直线方程表示
在二维平面上，一条直线可以用一般式方程 $Ax + By + C = 0$ 表示，其中 $A, B$ 不同时为0。
THANKS
感谢您的观看
回代过程
从最后一个方程开始，依次将已知量代入方程求 解，得到未知量的值。此过程称为回代过程。
关键算法实现技巧
存储优化
追赶法中的系数矩阵是三对角 的，因此可以采用一维数组进 行存储，节省存储空间。
消元技巧
在消元过程中，需要注意消元 顺序和消元系数的选择，以确 保消元过程的稳定性和效率。
回代技巧
在回代过程中，需要按照正 确的顺序将已知量代入方程 求解，避免计算错误。
levenberg-marquardt 算法原理
levenberg-marquardt 算法原理标题：Levenberg-Marquardt 算法原理详解一、引言Levenberg-Marquardt（LM）算法，又称为改进的梯度下降法，是一种广泛应用于非线性最小二乘问题的有效优化算法。
它结合了高斯-牛顿法和梯度下降法的优点，在解决大规模非线性优化问题时表现出了良好的性能，尤其在机器学习、计算机视觉、信号处理等领域有广泛应用，例如用于训练神经网络模型、图像配准等任务。
二、算法背景与目标非线性最小二乘问题通常表述为寻找参数向量θ使下述目标函数最小：\[ E(\theta) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}(f_i(\theta)-y_i)^2 \]其中，\( f_i(\theta) \) 是依赖于参数向量θ 的非线性模型，\( y_i \) 是观测数据。
Levenberg-Marquardt 算法的主要目标就是在这样的背景下，有效地寻找到使得目标函数值最小的参数估计值。
三、算法原理1. **高斯-牛顿迭代**：Levenberg-Marquardt 算法首先构建了一个基于目标函数二阶导数信息的Hessian矩阵和梯度向量，然后通过求解如下正规方程来更新参数：\[ J^TJ\Delta\theta = -J^T\epsilon \]其中，J是雅可比矩阵（即所有fi关于θ的一阶偏导数组成的矩阵），ε是残差向量（fi(θ) - yi），Δθ是对参数的修正值。
2. **引入正则化项**：在高斯-牛顿方法的基础上，Levenberg-Marquardt算法引入了一个正则化项λI（λ是一个调整参数，I是单位矩阵）。
这样，更新公式变为：\[ (J^TJ + \lambda I)\Delta\theta = -J^T\epsilon \]正则化项的作用是在Hessian矩阵条件不佳（如近似奇异或病态）的情况下，增加搜索方向的稳定性，并在接近最优解时自动转换为梯度下降法，实现更精细的局部搜索。
追赶法(Thomas算法)
定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 p2
1 q1
1 q2A Nhomakorabea
a3 pn1
an
pn
=PQ
1 qn1
1
其中
qpi1
b1 ci
pi
i 1,2,, n 1
得
xi yi qi xi1
i n 1,,2,1
作业：
P50 习题11
感谢您的下载让小编的努力能帮助到您， 最后一页是小编对你的谢谢哦，提醒一下， 下载好了几个全部自己看一遍，把用不上 的删除哦！包括最后一页！
yi fi ai yi1 / pi i 2,3,, n
(2) 解Qx y
1
q1 1
q2
1
qn1
1
x1 x2
y1 y2
xn yn
xn yn
pi
bi
aiqi1
i 2,3,, n
解三对角线方程组 Ax f可化为求解两个三角形 方程组
Py f Qx y
(1) 解Py f
p1
f1
a2 p2
f2
(P, f )
a3
f3
pn1 an
pn
f
n
得
y1 f1 / p1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、解三对角线性方程组的追赶法 定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 A= pn
p2 a3 pn 1 an
1 q1 1 q2 =PQ 1 qn 1 1
其中
p1 = b1 (i = 1,2,, n 1) qi = ci pi p = b a q (i = 2,3,, n ) i i i 1 i
解三对角线方程组Ax = f可化为求解两个三角形 方程组
Py = f
Qx = y
(1) 解 Py = f
p1 a2 ( P, f ) = p2 a3 pn 1 an f1 f2 f3 pn f n
得
{
y1 = f1 / p1
yi = ( f i ai yi 1 ) / piຫໍສະໝຸດ (i = 2,3,, n )
( 2) 解 Qx = y
1 q1 1 q2 1 qn 1 1
x1 y1 x2 = y2 x y n n
得
xn = y n
xi = yi qi xi +1
i = n 1 , , 2 ,1
作业： P50 习题11
§2-4
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法
一、对角占优矩阵
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为严格对角占优矩阵.
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组, 形式为:
Ax = f
其中
b1 c1 a2 b2 c2 A= an 1 cn 1 bn
bn 1 an
x1 f1 x2 f = f 2 x= x f n n
A称为三对角线矩阵, 并且满足
(1) |b1 |> c1 |> 0 |
( 2 ) |bi | |ai |+|ci | , ai ci ≠ 0 ≥ ( 3) |bn |> an |> 0 |
A称为对角占优的三对角线矩阵. 显然, A非奇异,即det A ≠ 0
i = 2 , , n 1
因此A的任意k阶顺序主子式非零,即det Ak ≠ 0