高考数学二轮复习专项小测24“20题、21题”理

专项小测(二十四) “20题、21题”

时间：45分钟 满分：24分

20.(12分)

已知函数f (x )＝

a cos x x ＋

b ，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2

，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为6x ＋πy －2π＝0.

(1)求f (x )的解析式；

(2)判断方程f (x )＝32π－1在(0,2π]内的解的个数，并加以证明． 解：(1)直线6x ＋πy －2π＝0的斜率为－6π，过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，－1，f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2a π

＝－6π，即a ＝3， (2分) 又f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝b ＝－1，所以f (x )＝3cos x x －1. (4分) (2)方程f (x )＝32π－1在(0,2π]上有3个解． (5分)

证明：令g (x )＝f (x )－32π＋1＝3cos x x －32π

， 则g ′(x )＝－3(x sin x ＋cos x )x 2. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝93π－32π＞0，g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝－32π＜0， 所以g (x )在⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2上至少有一个零点． 又g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递减，故在⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2上只有一个零点．(7分) 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，3π2时，cos x ＜0，故g (x )＜0， 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2

，3π2上无零点； (8分) 当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3π2，2π时， 令h (x )＝x sin x ＋cos x ，h ′(x )＝x cos x ＞0， 所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递增，h (2π)＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0， 所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，使得g (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3π2，x 0上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减．

又g (2π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＜0，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3π2，2π上有2个零点．(10分) 综上，方程f (x )＝32π

－1在(0,2π]上有3个解． (12分) 21．(12分)

某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为k ＋1次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p .

(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p ＝0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

(2)设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．

①当k ＝5，p ＝0.1时，求ξ的分布列；

②运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．

解：(1)对3人进行检验，且检验结果是独立的．

设事件A ∶3人中恰有1人检测结果为阳性，

则其概率P (A )＝C 13·0.1·0.92＝0.243. (4分)

(2)①当k ＝5，p ＝0.1时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95，每人所检验

的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为1－0.95，则每人所检验的次数为65

次，故ξ的分布列为

(8分) ②分组时，每人检验次数的期望如下： P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＝(1－p )k ，P ⎝

⎛⎭⎪⎫ξ＝1k ＋1＝1－(1－p )k ， 所以E (ξ)＝1k ·(1－p )k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1[1－(1－p )k ]＝1－(1－p )k ＋1k

. 不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需1－(1－p )k ＋1k

＜1，

即1－p＞

1

k

k

，

所以当1－p＞

1

k

k

时，用分组的办法能减少检验次数．(12分)